2026上海中考数学复习专题04 一次函数与反比例函数（5大题型7难点）（原卷版）

专题04一次函数与反比例函数

题型一：一次函数与方程（组）、不等式的关系题型四：反比例函数与一次函数结合

难点01：结合新定义难点03：结合二次函数的新定义

题型二：一次函数中的方案选择问题题型五：反比例函数中的面积问题

购买方案难点04：作坐标轴上的垂线构造模型

分段计费方案难点05：面积的转化、分割或补形

租车方案难点06：结合多个双曲线

题型三：一次函数中费用最少、利润最大问题难点07：利用k的几何意义将面积进行转化

一次函数与二元一次方程组结合

一次函数与二元一次方程组、不等式综合

一次函数与分式方程结合

难点02：利润最大时求参数的值

题型一：一次函数与方程（组）、不等式的关系

【中考母题溯源·学方法】

【典例1-1】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数ykxb的图象，关于x的不等式kx3b0的

解集为（）

A．x<4B．x4C．x2D．x2

【变式1-1】（2025·安徽合肥·三模）已知点A2,3是一次函数ykx1k0的图象一点，若Bx0,y0是该

直线上另一点，且y02，则关于x0的取值范围在数轴上表示为（）

A．B．

C．D．

【变式1-2】（2025·宁夏·中考真题）如图，直线l1:yk1xb1与直线l2:yk2xb2交于点A，则关于x,y的

ykxb

方程组11的解是．

yk2xb2

【变式1-3】难点01：结合新定义

（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若mn2，称点m,n与点n2,m2互为友好

点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·宁夏银川·二模）点Px,y在直线yx4上，坐标x,y是二元一次方程2xy7的解，则点

P的位置在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2．（2025·山西吕梁·三模）如图，若一次函数ykxb的图象与x轴交于点2,0，与y轴交于点0,3．则

关于x的不等式kxb0的解集为（）

A．x3B．x2C．x2D．0x2

3．（2025·辽宁锦州·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1x1与y2axb（a、b均为常数，

且a0）的图象相交于点P(1,2)，则关于x的不等式axbx1的解集是（）

A．x4B．x4C．x1D．x1

4．（2025·湖北孝感·三模）如图，一次函数ykxb与ymxn的图象交于点(2,1)，且ykxb经过点(1,0)，

则关于x的一元一次不等式kxbmxn的解集是（）

A．x2B．x2C．x1D．x1

5．（2025·湖南长沙·一模）如图，直线y2x4与坐标轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，则AOB的

面积为（）

A．8B．4C．2D．1

1

6．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线yx，y2x2，y3x2围成三角形的面积为．

13

7.（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线l1:yx6经过点A1,a，将l1绕A点顺时针旋转，旋转角为

45135，得到直线l2．点Bm,n在l2上，若m1，则n的值可以是．（填写一个值即可）

8.（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，函数ykxbk0的图象经过点1,3和2,5．

(1)求k，b的值；

(2)当x1时，对于x的每一个值，函数ymxm0的值既小于函数ykxb的值，也小于函数yxk的

值，直接写出m的取值范围．

9．（2025·河北邯郸·三模）已知在一个有活塞装置的容器中，气体的体积y(单位：ml且y0)与温度x(单

位：C)满足一次函数关系.嘉嘉和淇淇想通过实验验证此结论，嘉嘉往容器中注入气体P，将实验数据中温

3

度x的值作为点的横坐标，与其对应的体积y的值作为点的纵坐标，发现这些点均在直线yx63上，

13

淇淇往容器中注入气体Q，并参考嘉嘉的方法在同一坐标系中绘出部分实验数据(虚线AB上的点)如图所

示．

(1)求直线AB的解析式．

(2)嘉嘉说：存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍．请你通过计算判断嘉嘉的说法是否

正确．

(3)淇淇发现当x确定时，气体P，Q的体积之比为常数k，请推算k的值．

10．（2025·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A3,0，C2,0，过点C作CD∥y

轴，设点D的纵坐标为a，将点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B．

(1)在图中画出直线AB，并求直线AB的解析式；

(2)若直线AB与线段CD有交点，求a的取值范围；

(3)若直线ykxk2与x轴，直线AB围成的封闭图形(不包括边界)有4个整点(横、纵坐标均为整数的点)，

直接写出k的取值范围．

题型二：一次函数中的方案选择问题

【中考母题溯源·学方法】

【典例2-1】（购买方案）（2025·河南郑州·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．某小区为给居

民营造良好的阅读环境，决定建立社区图书馆．现有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架

单价高20%；用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个．

(1)请求出A，B两种书架的单价；

2

(2)该小区现需购进15个书架用于摆放书籍，且A种书架数量不少于B种书架数量的，请设计费用最少的

3

购买方案．

【变式2-1】（电话计费）（2023·四川·中考真题）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．

计费方式月使用费/元主叫限定时间/min主叫超时费/（元/min）被叫

A782000.25免费

B5000.19免费

108

(1)设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计

费金额关于t的函数解析式；

(2)若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；

(3)请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．

【变式2-2】（租车问题）（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、

育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老

师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动

实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现

有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示

甲型客车乙型客车

载客量/（人/辆）4530

租金/（元/辆）400280

(1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？

(2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆；

(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？

【变式2-3】（购买方案）（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，

气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”

和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀

宝”和3个“锦仔”共需380元．

(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？

(2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？

(3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2026·云南·模拟预测）请你根据下列素材，完成有关任务．

某校计划购买云南扎染布和民族木雕，用于举办文化展览，增强学生

背景

对云南民族艺术的了解，提升文化自信．

素材一购买3个扎染布与购买4个民族木雕需要的费用相等；

素材二购买3个扎染布和5个民族木雕共需540元；

该校计划购买扎染布和民族木雕共60个，两种物品均需购买，且购

素材三

买民族木雕的个数不超过购买扎染布个数的2倍．

请完成下列任务：

任务一每个扎染布、每个民族木雕的价格分别是多少元？

任务二给出最节省费用的购买方案．

2．（2026·山东临沂·模拟预测）文体书店老板到批发市场选购A、B两类书籍共240本，B类书籍的进货单

价比A类书籍进货单价多20元，当购进A类书籍80本时，购进A、B两类书籍共需9200元．

(1)求A、B这两种书籍的进货单价．

(2)若该文体书店每销售1本A类书籍可获利6元，每销售1本B类书籍可获利13元，根据学生需求，书店

老板决定仍购进A、B两类书籍共240本，准备用不超过8600元购进A、B两类书籍，且这两种书籍全部

售出后获利不低于2336元，问该文体书店有哪几种进货方案．

(3)哪种方案能使获利最大，最大获利为多少元？

3．（2026·新疆阿克苏·模拟预测）“互联网+”和直播带货的蓬勃发展成为农村经济发展的“新引擎”，某合作社

计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的1.2倍，用4800元购买A型设备

的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台．

(1)求A、B型设备单价分别是多少元；

(2)该合作社计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备x

台，购买总费用为w元，请你给出最省钱的购买方案．

4．（2025·黑龙江七台河·一模）某市为大力推销本市果农的水果产品，计划把甲水果大约700吨，乙水果大

约1020吨，一次性运往外地销售．需要不同型号的A、B两种车皮共30节，A种车皮每节运费2500元，

B种车皮每节运费3000元．

(1)设租车皮的总费用为y元，租A种车皮x节，请写出y和x之间的函数关系式．

(2)如果每节A车皮最多可装甲水果30吨和乙水果20吨，每节B车皮最多可装甲水果25吨和乙水果40吨，

装水果时按此要求安排A、B两种车皮，共有几种安排方案？哪种安排方案运费最低并求出最低运费．

(3)计划下一次租用A、B两种车皮时，想用（2）中的最低费用同时租用A、B两种车皮，请直接写出有哪

几种租车方案？

5．（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买A、B两种型号的充电桩，已知A

型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元．

(1)求A、B两种型号充电桩的单价；

(2)小区准备采购A、B两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案：

方案一方案二

A、B两种型号的充电桩分别按单价A、B两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担

的九折销售1.2万元的运费．

①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出n的值；

4

②当m20时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计

3

费用最省的购买方案．

6．（2025·四川德阳·中考真题）中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特

的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字

号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共

需费用120元．

(1)A型、B型挂面的单价分别是多少元？

(2)为进一步推广此非遗美食，兴趣小组决定购买A、B两种型号挂面共40袋．在单价不变，总费用不超过

950元，且B型挂面不少于10袋的条件下，共有几种购买方案？其中最低花费多少元？

7．（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决

定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2

盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元．

(1)求甲、乙两种路灯的单价；

1

(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计

3

一种购买方案，使所需费用最少．

题型三：一次函数中费用最少、利润最大问题

【中考母题溯源·学方法】

【典例3】（一次函数与二元一次方程组结合)（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城

市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美

化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元．

(1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？

(2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少

费用为多少元？

【变式3-1】（一次函数与二元一次方程组、不等式综合）（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在

拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款

式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表：

款式成本（元/件）售价（元/件）

甲7001000

乙8001200

根据以上信息，解答下列问题：

(1)列方程（组）解应用题

若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服

装各多少件？

(2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求

甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？

【变式3-2】（一次函数与分式方程结合）（2025·山东济南·中考真题）随着“体重管理年”三年行动的实施，

全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需

求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量

和用56000元购买乙型健身器材的数量相同．

(1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元．

(2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器

材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？

【变式3-3】难点02：利润最大时求参数的值

（2025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该

小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经

验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，

书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元．

(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的

取值范围；

(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？

(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a0<a6元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为

1960元，求a的值．

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一

种优惠．

活动一：所购商品均按原价八折出售；

活动二：所购商品按原价每．满．200元减50元．

(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元．

(2)若设某商品原价为x元，当400x600时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）

之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱．

2．（2025·宁夏·中考真题）中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清达到鼎盛．某

种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米．

(1)编织这种中国结恰用绳25米，则大、小号各编织多少个？

(2)计划用不超过1200米的绳子编织350个这种中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为8元．当

大号编织多少个时总利润最大？最大利润是多少？

3．（2025·四川广安·中考真题）某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量

与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．

(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？

(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的

1

数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是

3

多少元？

4．（2026·江苏连云港·模拟预测）某中学开展爱心义卖活动，推出A，B两款帆布袋，深受该校广大师生喜

爱．已知购买2个A款帆布袋和3个B款帆布袋共需31元，购买3个A款帆布袋和2个B款帆布袋共需34

元．

(1)求A，B两款帆布袋的单价分别为多少元．

1

(2)某老师决定购买A，B两款帆布袋共12个，且购进A款帆布袋的数量不少于B款帆布袋数量的．当购

2

买A，B两款帆布袋各多少个时，总费用最低？最低费用是多少元？

题型四：反比例函数与一次函数结合

函数图象的判断

确定不等式的解集

【中考母题溯源·学方法】

【典例4-1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，正比例函数y1k1xk10的图像与反比例函数

k

y2k0的图像交于A、B两点，点A的横坐标为1．当yy时，x的取值范围是（）

2x212

A．x1或x1B．x1或0x1

C．1x0或x1D．1x0或0x1

m

【典例4-2】（2025·四川达州·中考真题）如图，直线ykxb(k0)与双曲线ym0交于点A2,2，

x

点B4,a．

(1)求一次函数与反比例函数的表达式；

(2)点P在x轴上，S△AOP3，求点P的坐标．

【变式4-1】（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数ymxm0的图象与反

k

比例函数yk0的图象交于A2,m9,B两点，点C在反比例函数的图象上，且在第一象限内点B的

x

右侧，连接BC,OC,BOC的面积为5．

(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；

(2)探究在x轴上是否存在点M，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点N的坐标；

若不存在，请说明理由．

612

【变式4-2】（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数yx0和yx0的图象分别与直线

xx

ykxb依次相交于Am,1，B，C3,n三点．

(1)求出直线AC对应的函数表达式；

1

(2)分别以点A，C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F．直线EF交y轴于点D，

2

连接AD，CD．试判断ACD的形状，并说明理由；

6

(3)请直接写出关于x的不等式kxb的解集．

x

【变式4-3】难点03：结合二次函数的新定义

（2025·湖南娄底·模拟预测）如果一个函数的图象由两分支组成，且每分支都满足y随x的增大而增大，那

8

么称这个函数为“双赢函数”．例如我们学过的反比例函数y就是一个双赢函数．

x

a

(1)已知双赢函数y的图象经过1,b和1,4b，求该双赢函数的解析式；

x

k4x2cx0

(2)若关于x的函数y是双赢函数（k为整数）与直线yd（d为常数）有两个交点A、

k6xcx0

B，且A、B两点间的距离为定值9，求d的取值范围；

x2mx0

(3)若关于x的函数y2是双赢函数．当x0时，函数的图象关于原点对称．当txt1

xm2x0

时，y的最大值为P，最小值为Q，且PQ10，求t的值．

【中考模拟闯关·练提分】

k

1．（2026·陕西西安·一模）在同一平面直角坐标系中，函数y（k为常数，且k0）和ykx4的图象

x

大致是（）

A．B．

C．D．

k

2．（2026·江西·模拟预测）如图，一次函数y=x+3与反比例函数yk0的图象交于点A1,a，点B

x

在反比例函数图象上，以AB为斜边构造直角三角形ABC，点C落在x轴上．

(1)a；k；

(2)当点B的横坐标为5时，求OC的长．

2

3．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，函数yx1和y的图象相交于A、B两点．

x

(1)A点的坐标为__________，B点的坐标为__________；

2

观察图象，不等式x1的解集为__________；

x

(2)若y轴上存在点C，使SABC6，求点C的坐标．

m

4．（2026·湖北襄阳·二模）如图，一次函数ykxbk0的图象与反比例函数ym0的图象交于

x

A2,3、Bn,1两点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求AOB的面积；

m

(3)直接写出当kxb时，x的取值范围．

x

5．（2026·重庆大渡口·一模）如图，在ABC中，ACB90,AC3，BC4，点P从点C出发，以每秒

1个单位长度的速度沿着CAB匀速运动，点P的运动时间为x秒，△PBC的面积为y1,BC与点P的运

动路程的比为y2．

(1)请直接写出y1,y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

，

(2)在给定的平面直角坐标系中画出y1y2的图象，并写出函数y1的一条性质；

(3)结合函数图象，请直接写出当y1y2时，x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）．

6．（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数ykxbk0的图象与x轴、y轴分别交于点A2,0，

m

点B0,4，与反比例函数ym0的图象交于点Cn,6．

x

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)点P是反比例函数图象在第一象限分支上的一点（不与点C重合），过点P作PQ∥x轴，交射线OC于Q，

CQ1

若，求点P的坐标．

OQ2

8

7．（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数ykxbk0的图象与反比例函数yx0的图象交

x

于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，ADx轴于点D，CBCD，点C关于直线AD的对称点为点

E．

(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；

(2)连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．

①求k、b的值；

②若点P在y轴上，当PEPB最大时，求点P的坐标．

8．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yxm与直线y2x相交于点

k

A2,a，与x轴交于点Bb,0，点C在反比例函数y（k0）图象上．

x

(1)求a，b，m的值．

(2)若以O，A，B，C为顶点的四边形为平行四边形，求点C的坐标和k的值．

(3)过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得

tanDAE8，求k的值．

9.（2025·江苏盐城·三模）“鹿鸣学堂”数学兴趣小组研究发现∶在平面直角坐标系中，某些点的纵坐标比横

坐标的2倍还大a(a为常数)，则称此点为“2倍大点”，例如1,2a、5,10a都是“2倍大点”．

【验证感知】若a1时，“2倍大点”为x,2x1，则一次函数y4x5的图像上的“2倍大点”的坐标为

2

【知识应用】若反比例函数y存在“2倍大点”，求a的取值范围；

x

【拓展延伸】若a1时，二次函数yx22xc在3x1的范围内，图像上有且只有1个“2倍大点”，

求c的取值范围．

10．（2025·辽宁朝阳·一模）定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“倍值

函数”，该点称为“倍值点”．例如：“倍值函数y=3x+1，其“倍值点”为1,2．

(1)函数y2x4是“倍值函数”吗？为什么？

8

(2)求函数y的图象上的“倍值点”；

x

1

(3)若关于x的二次函数ym1x2mxm的图象上有唯一的“倍值点”A，点B2m,n在该函数的图象

4

上．

①求点A的坐标；

②该函数图象在点A与点B之间的部分记为图象G（G包含A，B两点），图象G上点的纵坐标的最大值与

最小值的差为t，求t的值．

11．（2025·湖南·三模）已知关于x的一次函数y1mxnn0与y轴的交点为P，y2也是关于x的函数，

∥

若函数y2图象上存在点Q1,t，满足PQx轴，则称y2是y1的“平等函数”．例如y1x2与y轴的交点为

2∥2

P0,2，y2x1图象上存在一点Q1,2，且PQx轴，所以称y2x1是y1x2的“平等函数”．根

据上述约定，解决以下问题．

(1)已知函数yx2，判断下列函数是否为它的“平等函数”，若是，在括号内打“√”，若不是，在括号内打“×”

2

①y=x1（）；②y（）；③yx22（）．

x

c

(2)若反比例函数yc0是一次函数ymxnn0的“平等函数”，且它们的交点为A，B，且

2x1

5

S△c，则一次函数y1mxn是否经过定点，如果经过某定点，请求出坐标；如果不经过定点，请

AOB2

说明理由．

222

(3)若二次函数y23k2k1x3k2k1xk是一次函数y1mxnn0的“平等函数”且一次函

1

数y的图象经过二次函数y的顶点，求当k2时，一次函数ymxn与坐标轴围成的三角形面积S

1221

的范围．

12．（2025·辽宁葫芦岛·一模）定义：若函数F1的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数F2

的图象上，则称函数F1，F2为理想函数，这两个点称为函数F1，F2的一对理想点．例如，函数y3x与函

数yx4为理想函数，点1,3和点1,3是这两个函数的一对理想点．

20

(1)请写出函数yx1与函数y的一对理想点；（写出一对即可）

x

(2)若对于任意实数k，函数y2xb与ykxk3始终为理想函数，求b的值；

n2

(3)若函数yx2mx1与函数y2x（m，n为常数）为理想函数，且只存在一对理想点，求2m2n210m

4

的取值范围．

题型五：反比例函数中的面积问题

方法1：利用k的几何意义

方法2：利用代数法

【中考母题溯源·学方法】

【典例5】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，

1

四边形OACB是矩形，函数yx0的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N（M，N不重合）．给

x

出下面四个结论：

①△COM与CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；

③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形．

上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A．①③B．①④C．②③D．②④

【变式5-1】难点04：作坐标轴上的垂线构造模型

k

（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，点A、B在双曲线y1x0上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、

1x

k

D，与双曲线y2x0交于点E，连接OA、OB，若S20,AB3BC，ADDE，则k的值为（）

2xAOC2

A．10B．11C．12D．13

【变式5-2】难点05：面积的转化、分割或补形

（2025·山东淄博·中考真题）如图，D为矩形OABC（边OA，OC分别在x，y轴的正半轴上）对角线OB上

1k

的点，且ODBD，经过点D的反比例函数y的图象分别与AB，BC相交于点E，F，连接OE，OF，

2x

EF，若OBF的面积是24，则OEF的面积为（）

7980

A．25B．26C．D．

33

【变式5-3】难点06：结合多个双曲线

42

（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数y的图象上，点B在反比例函数y的图象上，

xx

连接OA，OB，AB．若AOBO，则tanBAO．

【变式5-4】难点07：利用k的几何意义将面积进行转化

k

（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数y经过A、C两点，过点A作ABy轴于点B，过点C

x

作CDx轴于点D，连接OA、OC、AC．若S△ACO4，CD:OB1:3，则k的值是（）

A．12B．9C．6D．3

【中考模拟闯关·练提分】

1．（2025·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴

k

上，点D在BC上，BD3CD，函数yx0的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M，顺次连结

x

点D、O、M，若△ODM的面积为4.5，则k的值为（）

A．5B．6C．7D．8

k6

2．（2025·广东肇庆·一模）如图，矩形ABEF的顶点A，B分别在反比例函数yx0和yx0的图

xx

象上，顶点E，F都在x轴上，AB交y轴于点D．若点C在y轴上，且SADC:SBCD2:3，则k（）

88

A．B．C．4D．4

33

kkk

3．（2025·宁夏·中考真题）函数y1k0和y2k0的部分图象如图所示，点A在y1的图象上，

x1x2x

kk1

过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交y2的图象于点B．若AC3BC，则的值为（）

xk2

11

A．3B．C．D．3

33

k

4．（2026·广西柳州·一模）如图，一次函数yxb与反比例函数yx0的图象交于点Am,3和

x

B3,1．点P是线段AB上一点，过点P作PDx轴于点D，连接OP，若POD的面积为S，则S的取值

范围是．

1

5．（2025·山东潍坊·中考真题）如图1，点Ax,y是函数yx0图象上任意一点，过A1向y轴作垂线

111x

1

交y轴于点B1，向x轴作垂线交x轴于点C1，矩形A1B1OC1的周长L12A1B1A1C12x1y12x1，

x1

1

2

当x1时，L1有最小值4；如图2，点A2x2,y2是函数yx0图象上任意一点，同样作矩形A2B2OC2，

x1x

2n

它的周长L22x2，同理得L2的最小值为42；；点Anxn,yn是函数y（x0，n为正整数）

x2x

图象上任意一点，作矩形AnBnOCn，它的周长为Ln，则Ln的最小值为．

6

6．（2026·陕西西安·一模）如图，正比例函数与反比例函数y的图象交于A，B两点，点C在x轴上，且

x

ACOA，则ABC的面积为．

3k

7．（2025·河南濮阳·一模）已知反比例函数y(x0)和y(x0)的图象如图所示，点C是x轴正半轴上

xx

3

一点，过点C作AB∥y轴分别交两个图象于点A，B．连接OA，OB，若S△S△，则k的值为．

AOC5AOB

k

8．（2025·安徽淮南·二模）如图，已知ABCD的顶点A在反比例函数y(x0)的图象上，点B，C，D在

x

坐标轴上，连接OA交BC于点E．若SBOE3，S四边形AECD8，则k的值为．