2025年陕西省高数二专升本考试真题及答案

2025年陕西省高数二专升本考试练习题及答案一、选择题（每题5分，共25分）

1.设函数f(x)=x^33x+1，下列关于f(x)的单调性的叙述正确的是（）

A.在(∞,1)上单调递增

B.在(∞,1)上单调递减

C.在(1,+∞)上单调递增

D.在(1,+∞)上单调递减

答案：C

解析：f'(x)=3x^23，令f'(x)=0，得x=±1。在(1,+∞)上，f'(x)>0，故f(x)在(1,+∞)上单调递增。

2.设函数f(x)=e^x(x2)，则f(x)的极值点为（）

A.x=0

B.x=1

C.x=2

D.x=3

答案：B

解析：f'(x)=e^x(x1)，令f'(x)=0，得x=1。当x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。故f(x)在x=1处取得极小值。

3.设函数f(x)=sin(x)x，下列关于f(x)的零点的叙述正确的是（）

A.有一个零点

B.有两个零点

C.有三个零点

D.有无穷多个零点

答案：B

解析：f'(x)=cos(x)1，令f'(x)=0，得x=0。当x<0时，f'(x)>0；当x>0时，f'(x)<0。故f(x)在x=0处取得极大值。由于f(0)=0，f(x)在x=0两侧符号改变，故f(x)有两个零点。

4.设函数f(x)=x^33x^2+2，下列关于f(x)的拐点的叙述正确的是（）

A.有一个拐点

B.有两个拐点

C.有三个拐点

D.没有拐点

答案：B

解析：f'(x)=3x^26x，f''(x)=6x6。令f''(x)=0，得x=1。在x<1时，f''(x)<0；在x>1时，f''(x)>0。故f(x)在x=1处取得拐点。此外，f'(x)=0的另一个解x=2，f(x)在x=2处也取得拐点。

5.设函数f(x)=ln(x)，下列关于f(x)的反函数的叙述正确的是（）

A.反函数为f^(1)(x)=e^x

B.反函数为f^(1)(x)=ln(e^x)

C.反函数为f^(1)(x)=e^x1

D.反函数为f^(1)(x)=e^x+1

答案：A

解析：由于f(x)=ln(x)为增函数，且f(x)的定义域为(0,+∞)，值域为(∞,+∞)，故f(x)存在反函数。反函数f^(1)(x)满足y=ln(x)的关系，解得x=e^y，即f^(1)(x)=e^x。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.函数f(x)=x^24x+3的极值点为________。

答案：x=2

7.函数f(x)=e^xe^(2x)的单调递增区间为________。

答案：(0,+∞)

8.函数f(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π]上的最大值为________。

答案：√2

9.设函数f(x)=x^33x+1，则f(x)的拐点坐标为________。

答案：(1,1)

10.函数f(x)=ln(x^2+1)的反函数为________。

答案：f^(1)(x)=(√(e^x1))^2

三、解答题（共50分）

11.（10分）设函数f(x)=e^x(x2)。求f(x)的单调区间、极值点及极值。

解析：

f'(x)=e^x(x1)。令f'(x)=0，得x=1。当x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0。故f(x)在x=1处取得极小值，f(1)=e。f(x)的单调递减区间为(∞,1)，单调递增区间为(1,+∞)。

12.（15分）设函数f(x)=x^33x+2。求f(x)的单调区间、极值点及极值，并判断f(x)的拐点。

解析：

f'(x)=3x^23，f''(x)=6x。令f'(x)=0，得x=±1。当x<1时，f'(x)<0；当1<x<1时，f'(x)>0；当x>1时，f'(x)<0。故f(x)在x=1处取得极大值，f(1)=4；在x=1处取得极小值，f(1)=0。f(x)的单调递增区间为(1,1)，单调递减区间为(∞,1)和(1,+∞)。令f''(x)=0，得x=0。当x<0时，f''(x)<0；当x>0时，f''(x)>0。故f(x)在x=0处取得拐点，拐点坐标为(0,2)。

13.（15分）设函数f(x)=x^33x^2+2。求f(x)的单调区间、极值点及极值，并判断f(x)的拐点。

解析：

f'(x)=3x^26x，f''(x)=6x6。令f'(x)=0，得x=0，2。当x<0时，f'(x)>0；当0<x<2时，f'(x)<0；当x>2时，f'(x)>0。故f(x)在x=0处取得极大值，f(0)=2；在x=2处取得极小值，f(2)=2。f(x)的单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)，单调递减区间为(0,2)。令f''(x)=0，得x=1。当x<1时，f''(x)<0；当x>1时，f''(x)>0。故f(x)在x=1处取得拐点，拐点坐标为(1,1)。

14.（10分）设函数f(x)=sin(x)x。求f(x)的零点个数。

解析：

f'(x)=cos(x)1。令f'(x)=0，得x=0。当x<0时，f'(x)>0；当x>0时，f'(x)<0。故f(x)在x=0处取得极大值。由于f(0)=0，f(