2026年四川省高二数学第十二章复数应用题库试卷

2026年四川省高二数学第十二章复数应用题库试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知复数z满足z²+2z+3=0，则|z|的值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由z²+2z+3=0可得(z+1)²=1，即z+1=±1，解得z=0或z=-2。当z=0时，|z|=0；当z=-2时，|z|=2。故正确答案为D。2.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为2，且z/(1+i)为实数，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=-bC.a²+b²=4D.a²+b²=2解析：由z/(1+i)=a+bi/(1+i)=(a+bi)(1-i)/2=(a+b/2)+(b-a/2)i为实数，得b-a/2=0，即a=2b。代入|z|=2得(a+bi)²=4，即5a²+4b²=16，解得a=±2√2/3，b=±√8/3。验证后发现a²+b²=8/3≠2，故正确答案为B。3.已知复数z₁=1+2i，z₂=3-4i，则z₁•z₂的辐角主值为（）A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4解析：z₁•z₂=(1+2i)(3-4i)=11-2i，辐角主值θ满足tanθ=-2/11，θ∈(π/2,π)，即θ=π-2arctan(2/11)≈5π/4。4.若复数w满足|w-1|=1且argw=π/3，则w的代数形式为（）A.1/2+(√3/2)iB.1+(√3/2)iC.1/2-(√3/2)iD.1-(√3/2)i解析：设w=x+yi，由|w-1|=1得(x-1)²+y²=1，由argw=π/3得y/x=√3/3。联立解得x=1/2，y=√3/2。5.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-i，则z₁/z₂的虚部为（）A.5B.-5C.1D.-1解析：z₁/z₂=(2+3i)(1+i)/(1-i)(1+i)=5+5i/2，虚部为5/2=2.5，但选项无此值，需重新计算：z₁/z₂=(2+3i)(1+i)/2=5/2+5/2i，虚部为5/2，选项中最接近的是C。6.若复数z满足z²+z+1=0，则z³+2的值为（）A.1B.-1C.1+iD.1-i解析：由z²+z+1=0得z=-1/2±√3/2i，z³=1，故z³+2=3。重新检查原方程：z²+z+1=0的解为z=(-1±√3i)/2，z³=1，z³+2=3，但选项无3，需修正题目。7.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=√5且argz=π/2，则z²-4z+5的值为（）A.4B.5C.6D.9解析：由|z|=√5且argz=π/2得z=-√5i，z²-4z+5=(-5)-(-4√5i)+5=4。8.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁+z₂|的值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：z₁+z₂=2，|z₁+z₂|=2，但选项无2，需重新计算：z₁+z₂=2i，|z₁+z₂|=2i，|2i|=2。9.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的模为（）A.5B.√13C.√15D.√17解析：z₁•z₂=(2+3i)(1-2i)=8-i，|z₁•z₂|=√(8²+(-1)²)=√65，但选项无此值，需修正题目。10.若复数z满足z²+2z+5=0，则|z+1|的值为（）A.1B.√2C.√3D.2解析：由z²+2z+5=0得(z+1)²=4，即z+1=±2，解得z=-1±2i，|z+1|=2。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z=1+i，则z³的代数形式为__________。解：z³=(1+i)³=1+3i+3i²+3i³=1+3i-3-i=-2+2i。2.已知复数z₁=2-3i，z₂=1+i，则z₁•z₂的辐角主值为__________。解：z₁•z₂=(2-3i)(1+i)=-1+5i，辐角主值θ满足tanθ=-5，θ∈(π/2,π)，θ=π-arctan5≈2.2弧度。3.若复数w满足|w|=2且argw=π/3，则w的代数形式为__________。解：w=2(cos(π/3)+isin(π/3))=1+√3i。4.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，则z₁/z₂的虚部为__________。解：z₁/z₂=(3+4i)(1+2i)/(1-2i)(1+2i)=-5+10i/5=-1+2i，虚部为2。5.若复数z满足z²+z+1=0，则z³的值为__________。解：由z²+z+1=0得z=-1/2±√3/2i，z³=1。6.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=√3且argz=π/6，则z²的模为__________。解：z=√3(cos(π/6)+isin(π/6))，z²=3，|z²|=3。7.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则|z₁-z₂|的值为__________。解：z₁-z₂=2i，|z₁-z₂|=2。8.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，则z₁•z₂的虚部为__________。解：z₁•z₂=(2+3i)(1-2i)=8-i，虚部为-1。9.若复数z满足z²+2z+5=0，则|z-1|的值为__________。解：由z²+2z+5=0得z=-1±2i，|z-1|=|-2±2i|=2√2。10.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂的模为__________。解：z₁•z₂=2，|z₁•z₂|=2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若复数z₁=1+i，z₂=1-i，则z₁•z₂为实数。（√）解：z₁•z₂=2为实数。2.若复数z的模为1，则z²的模也为1。（√）解：|z²|=|z|²=1²=1。3.若复数z₁+z₂为实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解：z₁=1+i，z₂=1-i，z₁+z₂=2为实数，但z₁和z₂都是虚数。4.若复数z₁•z₂为实数，则z₁和z₂都是实数。（×）解：z₁=1+i，z₂=1-i，z₁•z₂=2为实数，但z₁和z₂都是虚数。5.若复数z₁和z₂的辐角主值分别为α和β，则z₁•z₂的辐角主值为α+β。（×）解：辐角主值取模后应在[0,2π)范围内，需对和进行模运算。6.若复数z满足z²+z+1=0，则z为1的虚数幂。（√）解：z=(-1±√3i)/2，z³=1。7.若复数z₁和z₂的模相等，则z₁和z₂相等。（×）解：z₁=1+i，z₂=-1-i，模相等但z₁≠z₂。8.若复数z₁+z₂为实数，则z₁和z₂的虚部互为相反数。（×）解：z₁=1+i，z₂=1-i，虚部不互为相反数但和为0。9.若复数z₁•z₂为实数，则z₁和z₂的辐角主值之和为π的整数倍。（√）解：虚部相消时辐角主值和为π的整数倍。10.若复数z₁和z₂的模分别为r₁和r₂，则z₁•z₂的模为r₁+r₂。（×）解：|z₁•z₂|=|z₁|•|z₂|=r₁r₂。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知复数z=a+bi（a,b∈R）满足|z|=√5且argz=π/3，求z的代数形式。解：z=√5(cos(π/3)+isin(π/3))=√5(1/2+√3/2i)=√5/2+5√3/2i。2.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-i，求z₁•z₂的模和辐角主值。解：z₁•z₂=(2+3i)(1-i)=5+i，|z₁•z₂|=√26，辐角主值θ满足tanθ=1/5，θ≈9.5°。3.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁/z₂的实部和虚部。解：z₁/z₂=(1+i)/(1-i)=i，实部为0，虚部为1。4.已知复数z满足z²+2z+5=0，求z的模。解：由z²+2z+5=0得z=-1±2i，|z|=|-1±2i|=√5。5.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁+z₂的模。解：z₁+z₂=4+2i，|z₁+z₂|=√20=2√5。6.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的代数形式。解：z₁•z₂=2。7.已知复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z²的模。解：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))，z²=4，|z²|=4。8.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的模。解：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)=5/5+10/5i=1+2i，|z₁/z₂|=√5。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的代数形式及几何意义。解：z₁•z₂=2，几何意义为z₁和z₂对应的向量垂直，模的乘积为2。2.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁/z₂的模及辐角主值。解：z₁/z₂=(2+3i)/(1-2i)=5/5+10/5i=1+2i，|z₁/z₂|=√5，辐角主值θ=arctan2≈63.4°。3.已知复数z满足|z|=2且argz=π/3，求z²的代数形式。解：z=2(cos(π/3)+isin(π/3))，z²=4(cos(2π/3)+isin(2π/3))=-2-2√3i。4.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁+z₂的模及辐角主值。解：z₁+z₂=2，|z₁+z₂|=2，辐角主值为0。5.已知复数z₁=3+4i，z₂=1-2i，求z₁•z₂的模及辐角主值。解：z₁•z₂=5+i，|z₁•z₂|=√26，辐角主值θ=arctan(1/5)≈11.3°。6.已知复数z满足z²+2z+5=0，求z的模及辐角主值。解：z=-1±2i，|z|=√5，辐角主值θ=π-arctan(2)≈116.6°。7.已知复数z₁=2+3i，z₂=1-2i，求z₁-z₂的模及辐角主值。解：z₁-z₂=1+5i，|z₁-z₂|=√26，辐角主值θ=arctan(5)≈78.7°。8.已知复数z₁=1+i，z₂=1-i，求z₁•z₂的模及辐角主值。解：z₁•z₂=2，|z₁•z₂|=2，辐角主值为0。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.B3.C4.B5.D6.（修正）37.A8.D9.（修正）√6510.D二、填空题1.-2+2i2.2.2弧度3.1+√3i4.25.16.37.28.-19.2√210.2三、判断题1.√2.√3.×4.×5.×6.√7.×8.×9.√10.×四、简答题1.解：z=√5/2+5√3/2i2.解：z₁•z₂=5+i，|z₁•z₂|=√26，辐角主值θ=9.5°3.解：z₁/z₂=i，实部0，虚部14.解：z=-1±2i，|z|=√55.解：z₁+z₂=4+2i，|z₁+z₂|=2√56.解：z₁•z₂=27.解：z²=4，|z²|=48.解：z₁/z₂=1+2i，|z