7种极限高数题目及答案

7种极限高数题目及答案考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高中一年级第一学期数学

7种极限高数题目及答案

一、选择题

1.当x趋向于2时，函数f(x)=(x^2-4)/(x-2)的极限是

A.0

B.2

C.4

D.不存在

2.函数g(x)=sin(x)/x当x趋向于0时的极限是

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

3.函数h(x)=(e^x-1)/x当x趋向于0时的极限是

A.0

B.1

C.e

D.不存在

4.函数k(x)=x^3-3x+2/x^2-1当x趋向于1时的极限是

A.0

B.1

C.2

D.不存在

5.函数m(x)=1/(x-3)当x趋向于3时的极限是

A.0

B.1

C.3

D.不存在

6.函数n(x)=x/|x|当x趋向于0时的极限是

A.0

B.1

C.-1

D.不存在

7.函数p(x)=sqrt(x)-1/x-1当x趋向于1时的极限是

A.0

B.1

C.1/2

D.不存在

8.函数q(x)=(2^x-1)/(3^x-1)当x趋向于0时的极限是

A.0

B.1/2

C.1

D.不存在

9.函数r(x)=(1-cos(x))/x^2当x趋向于0时的极限是

A.0

B.1/2

C.1

D.不存在

10.函数s(x)=(a^x-1)/x当x趋向于0时的极限是（a为常数且a不等于1）

A.0

B.1

C.ln(a)

D.不存在

二、填空题

1.当x趋向于无穷大时，函数f(x)=3x^2-2x+1/x^2+4的极限是______

2.当x趋向于无穷大时，函数g(x)=x^3-x/x^2+1的极限是______

3.当x趋向于无穷大时，函数h(x)=2x-1/x+3的极限是______

4.当x趋向于0时，函数k(x)=sin(2x)/x的极限是______

5.当x趋向于0时，函数m(x)=(e^3x-1)/x的极限是______

6.当x趋向于1时，函数n(x)=(x^2-1)/(x-1)的极限是______

7.当x趋向于无穷大时，函数p(x)=5x^2-3x+2/2x^2+1的极限是______

8.当x趋向于0时，函数q(x)=(tan(x)-x)/x^3的极限是______

9.当x趋向于无穷大时，函数r(x)=x^3-2x^2+3x/x^4+1的极限是______

10.当x趋向于0时，函数s(x)=(1-cos(2x))/x^2的极限是______

三、多选题

1.下列函数中，当x趋向于0时，极限存在的是

A.f(x)=1/x

B.g(x)=sin(x)/x

C.h(x)=(x^2-1)/(x-1)

D.k(x)=(e^x-1)/x

2.下列函数中，当x趋向于无穷大时，极限存在的是

A.f(x)=2x/x^2+1

B.g(x)=x^2/x^3+1

C.h(x)=x^3/x^2+1

D.k(x)=x/x^2+1

3.下列函数中，当x趋向于1时，极限存在的是

A.f(x)=(x^2-1)/(x-1)

B.g(x)=(1-x)/(x-1)

C.h(x)=(x^3-1)/(x-1)

D.k(x)=(1-x^2)/(x-1)

4.下列函数中，当x趋向于无穷大时，极限为0的是

A.f(x)=3/x^2

B.g(x)=x/x^2+1

C.h(x)=x^2/x^3+1

D.k(x)=x^3/x^2+1

5.下列函数中，当x趋向于0时，极限为1的是

A.f(x)=(1+x)/x

B.g(x)=(e^x-1)/x

C.h(x)=sin(x)/x

D.k(x)=(sqrt(1+x)-1)/x

四、判断题

1.当x趋向于无穷大时，函数f(x)=2x+1/x-1的极限是1。

2.函数g(x)=x^2/(x-1)当x趋向于1时的极限是1。

3.函数h(x)=sin(x)/x当x趋向于0时的极限是1。

4.函数k(x)=(e^x-1)/x当x趋向于无穷大时的极限是无穷大。

5.函数m(x)=1/(x-2)当x趋向于2时的极限是0。

6.函数n(x)=x/|x|当x趋向于0时的极限不存在。

7.函数p(x)=sqrt(x)-1/x-1当x趋向于1时的极限是1/2。

8.函数q(x)=(2^x-1)/(3^x-1)当x趋向于0时的极限是1。

9.函数r(x)=(1-cos(x))/x^2当x趋向于0时的极限是1。

10.函数s(x)=(a^x-1)/x当x趋向于0时的极限是ln(a)。

五、问答题

1.解释如何使用洛必达法则求解0/0型极限。

2.求极限lim(x→0)(x^2*sin(1/x))。

3.当x趋向于无穷大时，比较函数f(x)=1/x和g(x)=1/x^2的极限。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：将x=2代入分母，得到0，分子也得到0，满足0/0型，可以约分得到f(x)=x+2，极限为2+2=4。

2.B

解析：这是著名的极限，当x趋向于0时，sin(x)/x趋向于1。

3.B

解析：这也是著名的极限，当x趋向于0时，(e^x-1)/x趋向于1。

4.C

解析：将x=1代入分母，得到0，分子也得到0，满足0/0型，可以约分得到k(x)=3x-3，极限为3*1-3=0，不正确，这里需要用洛必达法则，k'(x)=6x-3，k'(1)=6*1-3=3，所以极限为3。原解析错误，已修正。

5.D

解析：当x趋向于3时，分母趋向于0，分子为常数1，所以极限不存在。

6.D

解析：当x趋向于0时，|x|在0的左侧为-x，右侧为x，所以极限从左侧为-1，从右侧为1，极限不存在。

7.C

解析：将x=1代入分母，得到0，分子也得到0，满足0/0型，可以约分得到p(x)=1/sqrt(x)，极限为1/sqrt(1)=1/2。

8.B

解析：这是著名的极限推广，当x趋向于0时，(a^x-1)/x趋向于ln(a)，这里a=2，所以极限为ln(2)。原解析错误，已修正。

9.B

解析：这是著名的极限推广，当x趋向于0时，(1-cos(x))/x^2趋向于1/2。

10.C

解析：这是著名的极限推广，当x趋向于0时，(a^x-1)/x趋向于ln(a)。

二、填空题答案及解析

1.3

解析：将分子分母同时除以x^2，得到f(x)=(3-2/x+1/x^2)/(1+4/x^2)，当x趋向于无穷大时，2/x和1/x^2都趋向于0，所以极限为3/1=3。

2.正无穷大

解析：将分子分母同时除以x^2，得到g(x)=x-1/x^2/(1+1/x^2)，当x趋向于无穷大时，1/x^2趋向于0，所以极限为无穷大除以1，即无穷大。

3.2

解析：将分子分母同时除以x，得到h(x)=2-1/x/1+3/x，当x趋向于无穷大时，1/x趋向于0，所以极限为2/1=2。

4.2

解析：这是著名的极限推广，当x趋向于0时，sin(2x)/x趋向于2。

5.3

解析：这是著名的极限推广，当x趋向于0时，(e^(3x)-1)/x趋向于3。

6.2

解析：将x^2-1分解为(x+1)(x-1)，约分得到n(x)=x+1，极限为1+1=2。

7.5

解析：将分子分母同时除以x^2，得到p(x)=(5-3/x+2/x^2)/(2+1/x^2)，当x趋向于无穷大时，3/x和1/x^2都趋向于0，所以极限为5/2。

8.1/3

解析：当x趋向于0时，tan(x)/x趋向于1，tan(x)-x可以看作tan(x)-sin(x)+sin(x)-x，利用sin(x)/x趋向于1和tan(x)-sin(x)/x^3趋向于1/2，得到tan(x)-x/x^3趋向于-1/2+1/2=0，所以极限为0/3=0，原解析错误，已修正。

9.0

解析：将分子分母同时除以x^3，得到r(x)=(1-2/x+3/x^2)/(1+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，2/x和3/x^2都趋向于0，所以极限为1/1=1。原解析错误，已修正。

10.2

解析：这是著名的极限推广，当x趋向于0时，(1-cos(2x))/x^2趋向于2。

三、多选题答案及解析

1.B,C,D

解析：A中，当x趋向于0时，1/x趋向于无穷大，极限不存在；B中，当x趋向于0时，sin(x)/x趋向于1；C中，当x趋向于1时，(x^2-1)/(x-1)约分为x+1，极限为1+1=2，不正确，这里需要重新判断C，实际上C是正确的，因为(x^2-1)/(x-1)约分为x+1，极限为1+1=2。原解析错误，已修正；D中，当x趋向于0时，(e^x-1)/x趋向于1。

2.A,B,D

解析：A中，当x趋向于无穷大时，2x/(x^2+1)趋向于0；B中，当x趋向于无穷大时，x^2/(x^3+1)趋向于0；C中，当x趋向于无穷大时，x^3/(x^2+1)趋向于无穷大；D中，当x趋向于无穷大时，x/(x^2+1)趋向于0。

3.A,C,D

解析：A中，当x趋向于1时，(x^2-1)/(x-1)约分为x+1，极限为1+1=2，不正确，这里需要重新判断A，实际上A是错误的，因为(x^2-1)/(x-1)约分为x+1，极限为1+1=2，但题目问的是极限是否存在，答案是存在的；B中，当x趋向于1时，(1-x)/(x-1)=-1，极限为-1；C中，当x趋向于1时，(x^3-1)/(x-1)约分为x^2+x+1，极限为1+1+1=3；D中，当x趋向于1时，(1-x^2)/(x-1)约分为-(x+1)，极限为-(1+1)=-2。原解析错误，已修正。

4.A,B

解析：A中，当x趋向于无穷大时，3/x^2趋向于0；B中，当x趋向于无穷大时，x/(x^2+1)趋向于0；C中，当x趋向于无穷大时，x^2/(x^3+1)趋向于0；D中，当x趋向于无穷大时，x^3/(x^2+1)趋向于无穷大。

5.B,C

解析：A中，当x趋向于0时，(1+x)/x趋向于无穷大；B中，当x趋向于0时，(e^x-1)/x趋向于1；C中，当x趋向于0时，sin(x)/x趋向于1；D中，当x趋向于0时，(sqrt(1+x)-1)/x可以看作((sqrt(1+x)-1)(sqrt(1+x)+1))/(x(sqrt(1+x)+1))，约分为(1+x)/x(sqrt(1+x)+1)，当x趋向于0时，极限为1/(sqrt(1+0)+1)=1/2。

四、判断题答案及解析

1.错误

解析：将x=无穷大代入分母，得到无穷大，分子也得到无穷大，满足无穷大/无穷大型，可以约分得到f(x)=2+1/x/1-1/x，当x趋向于无穷大时，1/x趋向于0，所以极限为2/(-1)=-2。

2.错误

解析：将x=1代入分母，得到0，分子也得到0，满足0/0型，可以约分得到g(x)=x/(x-1)，当x趋向于1时，极限不存在，因为从左侧趋向于-1，从右侧趋向于1。

3.正确

解析：这是著名的极限，当x趋向于0时，sin(x)/x趋向于1。

4.错误

解析：将x=无穷大代入分母，得到无穷大，分子也得到无穷大，满足无穷大/无穷大型，可以约分得到k(x)=1/1/x，当x趋向于无穷大时，1/x趋向于0，所以极限为1/0=无穷大，不正确，这里需要用洛必达法则，k'(x)=-e^x/x^2，k'(无穷大)=0，所以极限为0。原解析错误，已修正。

5.错误

解析：当x趋向于2时，分母趋向于0，分子为常数1，所以极限是无穷大。

6.正确

解析：当x趋向于0时，|x|在0的左侧为-x，右侧为x，所以极限从左侧为-1，从右侧为1，极限不存在。

7.正确

解析：将x=1代入分母，得到0，分子也得到0，满足0/0型，可以约分得到p(x)=1/sqrt(x)，极限为1/sqrt(1)=1/2。

8.正确

解