几何概型历年真题汇编

几何概型历年真题汇编一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为1的同心圆内的概率是多少？A.1/4B.1/2C.π/4D.π/22.一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出两个球，则两个球颜色相同的概率是多少？A.5/28B.13/28C.3/8D.15/283.在边长为4的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆内的概率是多少？A.π/16B.π/8C.π/4D.π/24.一个半径为2的球体被一个半径为1的圆柱体所穿过，球心位于圆柱体轴线上。则随机从球体表面一点向球体内部看时，看到圆柱体的概率是多少？A.1/2B.2/3C.3/4D.π/45.在一个边长为2的正三角形内部随机投掷一个点，则该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形内的概率是多少？A.1/3B.1/4C.1/6D.1/96.一个不透明的盒子里装有标号为1至10的10张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，则两张卡片标号之和为奇数的概率是多少？A.1/4B.1/2C.5/18D.7/187.在一个边长为2的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在以正方形对角线交点为圆心、半径为1的圆内的概率是多少？A.π/8B.π/4C.π/2D.π8.一个不透明的袋子里装有4个红球和6个蓝球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出三个球，则至少有一个红球的概率是多少？A.1/21B.3/7C.4/7D.2/39.在一个半径为2的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为1的同心圆外但落在半径为2的圆内的概率是多少？A.1/4B.1/2C.3/4D.π/410.一个不透明的盒子里装有标号为1至20的20张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，则两张卡片标号之差不超过3的概率是多少？A.3/38B.4/19C.5/19D.6/19二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个边长为4的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆外的概率是________。2.一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出两个球，则两个球颜色不同的概率是________。3.在一个半径为2的球体内部随机投掷一个点，则该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率是________。4.在一个边长为2的正三角形内部随机投掷一个点，则该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形外的概率是________。5.一个不透明的盒子里装有标号为1至10的10张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，则两张卡片标号之和为偶数的概率是________。6.在一个边长为2的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆内的概率是________。7.一个不透明的袋子里装有4个红球和6个蓝球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出三个球，则三个球均为蓝球的概率是________。8.在一个半径为1的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为0.5的同心圆内的概率是________。9.一个不透明的盒子里装有标号为1至20的20张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，则两张卡片标号之差大于5的概率是________。10.在一个边长为4的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆与外接圆之间的概率是________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在一个边长为4的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆内的概率等于该点落在正方形内切圆外的概率。2.一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出两个球，则两个球颜色相同的概率等于两个球颜色不同的概率。3.在一个半径为2的球体内部随机投掷一个点，则该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率等于该点落在球体内部且与球心距离大于1的概率。4.在一个边长为2的正三角形内部随机投掷一个点，则该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形内的概率等于该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形外的概率。5.一个不透明的盒子里装有标号为1至10的10张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，则两张卡片标号之和为奇数的概率等于两张卡片标号之和为偶数的概率。6.在一个边长为2的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆内的概率大于该点落在正方形内切圆外的概率。7.一个不透明的袋子里装有4个红球和6个蓝球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出三个球，则至少有一个红球的概率大于三个球均为蓝球的概率。8.在一个半径为1的圆形靶内，随机投掷一个点，则该点落在半径为0.5的同心圆内的概率等于该点落在半径为0.5的同心圆外的概率。9.一个不透明的盒子里装有标号为1至20的20张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，则两张卡片标号之差大于5的概率小于两张卡片标号之差小于5的概率。10.在一个边长为4的正方形内部随机投掷一个点，则该点落在正方形内切圆与外接圆之间的概率等于该点落在正方形内切圆内的概率。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.在一个边长为4的正方形内部随机投掷一个点，求该点落在正方形内切圆内的概率。2.一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出两个球，求两个球颜色不同的概率。3.在一个半径为2的球体内部随机投掷一个点，求该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率。4.在一个边长为2的正三角形内部随机投掷一个点，求该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形内的概率。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.一个不透明的盒子里装有标号为1至10的10张卡片，这些卡片除标号外完全相同。现从中随机抽取两张卡片，求两张卡片标号之和为偶数的概率。2.在一个边长为2的正方形内部随机投掷一个点，求该点落在正方形内切圆与外接圆之间的概率。3.一个不透明的袋子里装有4个红球和6个蓝球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出三个球，求至少有一个红球的概率。4.在一个半径为1的圆形靶内，随机投掷一个点，求该点落在半径为0.5的同心圆内的概率。【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：半径为2的圆形靶的面积为4π，半径为1的同心圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在半径为1的同心圆内的概率为π/(4π)=1/4。但题目要求的是半径为1的同心圆内的概率，因此正确答案为1/2。2.B解析：从8个球中随机摸出两个球的总情况数为C(8,2)=28。两个球颜色相同的情况数为C(5,2)+C(3,2)=10+3=13。因此，两个球颜色相同的概率为13/28。3.A解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆内的概率为π/16。4.B解析：球体被圆柱体穿过后，球体表面可见部分为球冠。球冠的面积为2πrh，其中r为球体半径，h为球冠高度。根据几何关系，球冠高度为√(4-1)=√3。球冠面积与球体表面积的比值为2πrh/(4π)=√3/2。但题目要求的是看到圆柱体的概率，因此正确答案为2/3。5.A解析：正三角形的面积为2√3，重心与顶点连线所构成的三角形面积为1/3×2√3=2√3/3。根据几何概型的概率公式，该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形内的概率为1/3。6.B解析：从10张卡片中随机抽取两张卡片的总情况数为C(10,2)=45。两张卡片标号之和为奇数的情况数为C(5,1)×C(5,1)=25。因此，两张卡片标号之和为奇数的概率为25/45=1/2。7.A解析：正方形的面积为4，内切圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆内的概率为π/4。但题目要求的是以正方形对角线交点为圆心、半径为1的圆内的概率，因此正确答案为π/8。8.C解析：从10个球中随机摸出三个球的总情况数为C(10,3)=120。至少有一个红球的情况数为C(4,1)×C(6,2)+C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+24+4=64。因此，至少有一个红球的概率为64/120=4/7。9.C解析：半径为1的同心圆的面积为π，半径为2的圆的面积为4π。根据几何概型的概率公式，该点落在半径为1的同心圆外但落在半径为2的圆内的概率为(4π-π)/4π=3/4。10.B解析：从20张卡片中随机抽取两张卡片的总情况数为C(20,2)=190。两张卡片标号之差不超过3的情况数为C(6,2)+C(5,2)+C(4,2)+C(3,2)+C(2,2)=15+10+6+3+1=35。因此，两张卡片标号之差不超过3的概率为35/190=4/19。二、填空题1.1-π/16解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆外的概率为1-π/16。2.13/28解析：从8个球中随机摸出两个球的总情况数为C(8,2)=28。两个球颜色不同的情况数为C(5,1)×C(3,1)=15。因此，两个球颜色不同的概率为15/28。3.1-8/16π解析：球体的体积为4/3π(2)^3=32π/3，球冠的体积为1/3π(1)^2(3)=π。根据几何概型的概率公式，该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率为1-π/(32π/3)=1-3/32=29/32。4.2/3解析：正三角形的面积为2√3，重心与顶点连线所构成的三角形面积为1/3×2√3=2√3/3。根据几何概型的概率公式，该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形外的概率为1-1/3=2/3。5.5/18解析：从10张卡片中随机抽取两张卡片的总情况数为C(10,2)=45。两张卡片标号之和为偶数的情况数为C(5,2)+C(5,1)×C(5,1)=10+25=35。因此，两张卡片标号之和为偶数的概率为35/45=5/18。6.π/16解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆内的概率为π/16。7.1/20解析：从10个球中随机摸出三个球的总情况数为C(10,3)=120。三个球均为蓝球的情况数为C(6,3)=20。因此，三个球均为蓝球的概率为20/120=1/6。8.π/4解析：半径为1的圆形靶的面积为π，半径为0.5的同心圆的面积为π/4。根据几何概型的概率公式，该点落在半径为0.5的同心圆内的概率为π/4。9.9/38解析：从20张卡片中随机抽取两张卡片的总情况数为C(20,2)=190。两张卡片标号之差大于5的情况数为C(6,2)+C(5,2)+C(4,2)+C(3,2)+C(2,2)=15+10+6+3+1=35。因此，两张卡片标号之差大于5的概率为35/190=7/38。10.π/12解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π，外接圆的面积为4π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆与外接圆之间的概率为(4π-π)/16=π/12。三、判断题1.正确解析：正方形内切圆的面积占正方形面积的比例为π/4，因此该点落在正方形内切圆内的概率等于该点落在正方形内切圆外的概率。2.错误解析：从8个球中随机摸出两个球的总情况数为C(8,2)=28。两个球颜色相同的情况数为C(5,2)+C(3,2)=10+3=13。因此，两个球颜色相同的概率为13/28，两个球颜色不同的概率为15/28。3.正确解析：球体的体积为4/3π(2)^3=32π/3，球冠的体积为1/3π(1)^2(3)=π。根据几何概型的概率公式，该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率为π/(32π/3)=3/32。因此，该点落在球体内部且与球心距离大于1的概率为1-3/32=29/32。4.正确解析：正三角形的面积为2√3，重心与顶点连线所构成的三角形面积为1/3×2√3=2√3/3。根据几何概型的概率公式，该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形内的概率为1/3，因此该点落在正三角形重心与顶点连线所构成的三角形外的概率为2/3。5.正确解析：从10张卡片中随机抽取两张卡片的总情况数为C(10,2)=45。两张卡片标号之和为奇数的情况数为C(5,1)×C(5,1)=25。因此，两张卡片标号之和为奇数的概率为25/45=1/2，两张卡片标号之和为偶数的概率也为1/2。6.错误解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆内的概率为π/16，该点落在正方形内切圆外的概率为1-π/16。7.正确解析：从10个球中随机摸出三个球的总情况数为C(10,3)=120。至少有一个红球的情况数为C(4,1)×C(6,2)+C(4,2)×C(6,1)+C(4,3)=36+24+4=64。因此，至少有一个红球的概率为64/120=4/7，三个球均为蓝球的概率为20/120=1/6。8.正确解析：半径为1的圆形靶的面积为π，半径为0.5的同心圆的面积为π/4。根据几何概型的概率公式，该点落在半径为0.5的同心圆内的概率为π/4，该点落在半径为0.5的同心圆外的概率为1-π/4。9.错误解析：从20张卡片中随机抽取两张卡片的总情况数为C(20,2)=190。两张卡片标号之差大于5的情况数为C(6,2)+C(5,2)+C(4,2)+C(3,2)+C(2,2)=15+10+6+3+1=35。因此，两张卡片标号之差大于5的概率为35/190=7/38，两张卡片标号之差小于5的概率为153/190。10.错误解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π，外接圆的面积为4π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆与外接圆之间的概率为(4π-π)/16=π/12，该点落在正方形内切圆内的概率为π/16。四、简答题1.在一个边长为4的正方形内部随机投掷一个点，求该点落在正方形内切圆内的概率。解析：正方形的面积为16，内切圆的面积为π。根据几何概型的概率公式，该点落在正方形内切圆内的概率为π/16。2.一个不透明的袋子里装有5个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同。现从中随机摸出两个球，求两个球颜色不同的概率。解析：从8个球中随机摸出两个球的总情况数为C(8,2)=28。两个球颜色不同的情况数为C(5,1)×C(3,1)=15。因此，两个球颜色不同的概率为15/28。3.在一个半径为2的球体内部随机投掷一个点，求该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率。解析：球体的体积为4/3π(2)^3=32π/3，球冠的体积为1/3π(1)^2(3)=π。根据几何概型的概率公式，该点落在球体内部且与球心距离小于1的概率为π/(32π/3)=3/32。4.在一个边长为2的正三角形内部随机投掷一个点，求该点落在正三角