高一数学选修第2册第7章数列习题

高一数学选修第2册第7章数列习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则b_5的值为（）A.16B.31C.48D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.100C.150D.200解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，变形为c_{n+1}+n(n+1)=c_n+n(n-1)+2n=n(n+1)，即数列{a_n=n(n+1)}为等差数列，a_1=2。故c_{10}=a_{10}-a_1=110-2=108。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得q^2=9，解得q=3或q=-3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时e_1=T_1=2符合通项，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}的前n项和为S_n=3^n-1，则数列{f_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差又是等比数列D.既非等差也非等比数列解析：当n≥2时，f_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-[3^{n-1}-1]=2×3^{n-1}，验证n=1时f_1=S_1=2符合通项，故{f_n}是首项为2，公比为3的等比数列。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值为（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，解得a_3=3。8.已知数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=2h_n+n，则h_5的值为（）A.62B.64C.66D.68解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，变形为h_{n+1}-n-1=2(h_n-(n-1))，即数列{a_n=h_n-n-1}为等比数列，首项a_1=1，公比q=2。故h_5=a_5+5+1=32+6=38。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前6项和S_6等于（）A.63B.127C.255D.511解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=1，i_3=8得q=2。故S_6=（1-2^6）/（1-2）=63。10.已知数列{j_n}的前n项和T_n=2n^2-3n，则数列{j_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差又是等比数列D.既非等差也非等比数列解析：当n≥2时，j_n=T_n-T_{n-1}=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时j_1=T_1=-1符合通项，故{j_n}是首项为-1，公差为4的等差数列。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：5n解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n+1，则b_4的值为_________。参考答案：13解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n+1-[（n-1）^2+(n-1)+1]=2n，验证n=1时b_1=S_1=3符合通项，故b_4=2×4=8。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_6的值为_________。参考答案：56解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，变形为c_{n+1}+（n+1）^2=c_n+n^2+3n+1=n^2+3n+1，即数列{a_n=n^2+3n+1}为等差数列，首项a_1=6，公差d=4。故c_6=a_6-5^2=50-25=25。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_5=32，则该数列的公比q=_________。参考答案：±2解析：由等比数列性质d_5=d_2q^3，代入d_2=4，d_5=32得q^3=8，解得q=2或q=-2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-n，则数列{e_n}是_________数列。参考答案：等比解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，验证n=1时e_1=S_1=1符合通项，故{e_n}是首项为1，公比为2的等比数列。6.在等差数列{f_n}中，若a_1=1，d=2，则该数列的前10项和S_10=_________。参考答案：100解析：由等差数列求和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入n=10，a_1=1，d=2得S_10=10/2[2+18]=100。7.已知数列{g_n}满足g_1=3，g_{n+1}=2g_n+n，则g_4的值为_________。参考答案：27解析：由递推关系g_{n+1}=2g_n+n，变形为g_{n+1}-n-1=2(g_n-(n-1))，即数列{a_n=g_n-n-1}为等比数列，首项a_1=2，公比q=2。故g_4=a_4+4+1=16+5=21。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=16，则该数列的前4项和S_4=_________。参考答案：30解析：由等比数列性质i_3=i_1q^2，代入i_1=2，i_3=16得q=2。故S_4=（2-2^4）/（1-2）=30。9.已知数列{j_n}的前n项和T_n=n^2+n，则数列{j_n}是_________数列。参考答案：等差解析：当n≥2时，j_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时j_1=T_1=2符合通项，故{j_n}是首项为2，公差为2的等差数列。10.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。参考答案：3n-1解析：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）参考答案：正确解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1，验证n=1时a_1=S_1=5符合通项，故{a_n}是首项为5，公差为4的等差数列。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_3=8，则该数列的公比q=2。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质b_3=b_1q^2，代入b_1=1，b_3=8得q^2=8，解得q=2或q=-2。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，则该数列是等差数列。（）参考答案：错误解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，变形为c_{n+1}+（n+1）^2=c_n+n^2+2n+1=n^2+2n+1，即数列{a_n=n^2+2n+1}为等差数列，但原数列{c_n}不是等差数列。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=5。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质a_1+a_5=2a_3，a_2+a_4=2a_3，故a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则数列{e_n}是等比数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，验证n=1时e_1=T_1=2符合通项，故{e_n}是首项为2，公差为2的等差数列。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质f_4=f_2q^2，代入f_2=6，f_4=54得q^2=9，解得q=3或q=-3。7.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=2g_n+n，则该数列是等比数列。（）参考答案：错误解析：由递推关系g_{n+1}=2g_n+n，变形为g_{n+1}-(n+1)=2(g_n-(n-1))，即数列{a_n=g_n-n-1}为等比数列，但原数列{g_n}不是等比数列。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=25，则h_3=5。（）参考答案：正确解析：由等差数列性质h_1+h_5=2h_3，h_2+h_4=2h_3，故h_1+h_2+h_3+h_4+h_5=5h_3=25，解得h_3=5。9.已知数列{i_n}的前n项和S_n=2^n-n，则数列{i_n}是等差数列。（）参考答案：错误解析：当n≥2时，i_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，验证n=1时i_1=S_1=1符合通项，故{i_n}是首项为1，公比为2的等比数列。10.若等比数列{j_n}中，j_1=2，j_3=8，则该数列的前6项和S_6=62。（）参考答案：正确解析：由等比数列性质j_3=j_1q^2，代入j_1=2，j_3=8得q=2。故S_6=（2-2^6）/（1-2）=62。四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解答：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时a_1=S_1=1符合通项，故a_n=6n-5。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=3，b_4=81，求该数列的公比q及前5项和S_5。解答：由等比数列性质b_4=b_1q^3，代入b_1=3，b_4=81得q=3。故S_5=（3-3^5）/（1-3）=123。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，求该数列的前4项及通项公式。解答：c_2=c_1+2=3，c_3=c_2+4=7，c_4=c_3+6=13，故前4项为1,3,7,13。由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，变形为c_{n+1}-(n+1)^2=c_n-n^2+1，即数列{a_n=c_n-n^2+1}为等比数列，首项a_1=1，公比q=2。故c_n=a_n+(n-1)^2=2^{n-1}+(n-1)^2。4.在等差数列{d_n}中，若a_1=2，d=3，求该数列的前n项和S_n的最小值。解答：由等差数列求和公式S_n=n/2[2a_1+(n-1)d]，代入a_1=2，d=3得S_n=3n^2+n/2。当n=1时S_1=2，当n=2时S_2=11，当n=3时S_3=18，故S_n的最小值为S_1=2。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.某工厂第一年产量为100万件，计划以后每年比上一年增产20%，求该工厂第5年的产量。解答：由等比数列性质，产量构成首项为100，公比为1.2的等比数列。第5年产量b_5=100×1.2^4=207.36万件。2.某城市人口2010年为100万，预计以后每年人口增长率保持5%，求该城市2025年的人口。解答：由等比数列性质，人口构成首项为100，公比为1.05的等比数列。2025年人口b_15=100×1.05^15≈404.6万。3.某人存款计划每年年底存入银行1000元，银行年利率为10%，求第3年年底的存款总额。解答：构成等比数列，首项为1000，公比为1.1。第3年年底存款总额S_3=1000×1.1^2+1000×1.1+1000=3641元。4.某林场现有森林木材量100万立方米，计划以后每年木材量比上一年增长8%，求该林场第6年的木材量。解答：由等比数列性质，木材量构成首项为100，公比为1.08的等比数列。第6年木材量b_6=100×1.08^5≈146.93万立方米。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.B3.C4.C5.B6.B7.A8.A9.A10.D二、填空题1.5n2.2n3.2n^2-3n4.±25.等比6.1007.218.309.等差10.3n-1三、判断题1.√2.√3.×4.√5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、简答题1.a_n=6n-5解析：当n≥2时，a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时a_1=S_1=1符合通项。2.q=