高一数学必修第7册第6章函数性质习题集

高一数学必修第7册第6章函数性质习题集一、单选题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)上的最大值是（）A.3B.5C.7D.9解析：本题考查函数极值与最值的求解。首先求导f'(x)=3x²-3，令f'(x)=0得x=±1。计算f(-2)=-11，f(-1)=3，f(1)=-1，f(2)=3。因此最大值为3，选项A正确。注意极值不一定是最值，需比较端点值。2.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上且关于y轴对称，则f(x)在区间(0,1)上（）A.递增B.递减C.先增后减D.先减后增解析：由开口向上且关于y轴对称可知a>0且b=0，即f(x)=ax²+c。在(0,1)上f(x)为增函数，选项A正确。此类函数为偶函数，单调性由a决定。3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：利用绝对值三角不等式|f+g|≥|f|+|g|，f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为点x=1与x=-2之间距离3，选项C正确。也可分段讨论：当x<-2时f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时f(x)=3；当x>1时f(x)=2x+1。4.函数f(x)=x²-2x+3的图像关于直线x=1对称，则f(x)在区间(2,4)上（）A.递增B.递减C.先增后减D.先减后增解析：由对称轴x=1可知f(x)在(2,4)上递增，选项A正确。二次函数单调性由对称轴与区间位置决定。5.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像向左平移π/2个单位后，得到的函数（）A.仍关于x轴对称B.仍关于y轴对称C.周期变为πD.奇偶性不变解析：平移后f(x)=sin(x+3π/4)，该函数既非奇函数也非偶函数，但关于原点对称，选项A正确。平移不改变周期与奇偶性。6.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[0,2]C.(-∞,0]∪[2,+∞)D.R解析：由x²-2x+1>0得(x-1)²>0，解得x≠1，定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，选项A正确。对数函数的真数必须大于0。7.函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的值域是（）A.(0,1)B.(1,e)C.(0,e)D.(1,e-1)解析：f(0)=0，f(1)=e-1，函数在(0,1)上递增，值域为(0,e-1)，选项D正确。指数函数的值域为(0,+∞)。8.若函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极值，则f(x)在区间(-2,2)上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：f'(1)=0，f(-2)=-11，f(2)=3，f(1)=-1，由零点定理在(-2,-1)和(1,2)各存在一个零点，选项B正确。极值点两侧函数值异号。9.函数f(x)=2cos²x-sin(2x)-1的最小正周期是（）A.πB.2πC.4πD.8π解析：f(x)=1-cos(2x)-sin(2x)-1=-sin(2x)-cos(2x)=-√2sin(2x+π/4)，周期为π，选项A正确。三角函数周期由内层变量系数决定。10.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间(1,2)上的最小值是（）A.0B.1C.2D.3解析：在(1,2)上f(x)=x-1+x-2=2x-3，当x=1.5时取得最小值0，选项A正确。绝对值函数在区间内可转化为线性函数。二、填空题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x²-4x+3在区间(-1,3)上的最大值与最小值之差为________。参考答案：8解析：f(-1)=8，f(3)=0，f(2)=-1，最大值8，最小值-1，差为9。需比较端点与极值点。2.函数f(x)=|x+1|在区间(-3,1)上的值域为________。参考答案：[0,3]解析：在(-3,-1)上f(x)=-x-1，在(-1,1)上f(x)=x+1，最小值0，最大值3。3.函数f(x)=sin(2x-π/3)的图像关于点________对称。参考答案：(π/6,0)解析：令2x-π/3=kπ+π/2，得x=kπ/2+5π/12，取k=0时x=5π/12，f(5π/12)=0。4.函数f(x)=log₅(x²-3x+2)的定义域为________。参考答案：(-∞,1)∪(2,+∞)解析：x²-3x+2>0解得x≠1且x≠2。5.函数f(x)=e^x-1在区间(0,1)上的平均值是________。参考答案：e-2解析：平均值为[f(1)-f(0)]/(1-0)=e-1。6.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处的切线方程是________。参考答案：y=-2x+2解析：f'(1)=-2，f(1)=-1，切线方程y-(-1)=-2(x-1)。7.函数f(x)=cos(2x+π/4)的最小正周期是________。参考答案：π解析：周期为2π/2=π。8.函数f(x)=|x-1|+|x-3|的最小值是________。参考答案：2解析：分段讨论得f(x)=4-2x(x<1)，2(1≤x≤3)，4-2x(x>3)，最小值2。9.函数f(x)=sin(x+π/6)的图像向右平移π/3个单位后，得到的函数是________。参考答案：sin(x-π/6)解析：平移后f(x)=sin[(x-π/3)+π/6]=sin(x-π/6)。10.函数f(x)=x²-2x+3在区间(-1,3)上的值域是________。参考答案：[2,6]解析：对称轴x=1，f(-1)=6，f(3)=6，f(1)=2，值域[2,6]。三、判断题（总共10题，每题2分，共20分）1.函数f(x)=x³在R上单调递增。（）参考答案：正确解析：f'(x)=3x²≥0，等号仅当x=0成立，故单调递增。2.函数f(x)=|x|在区间(-1,1)上存在最大值和最小值。（）参考答案：错误解析：最小值0存在，但无最大值（趋于无穷大）。3.函数f(x)=sin(x+π/2)与f(x)=cosx在R上单调性完全相同。（）参考答案：正确解析：均为周期为2π的增函数。4.函数f(x)=logₐ(x)在a>1时单调递增。（）参考答案：正确解析：对数函数底数大于1时单调递增。5.函数f(x)=x³-3x+1在x=1处取得极大值。（）参考答案：错误解析：f'(1)=0，f''(1)=-6<0，为极大值。6.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像关于x=-1.5对称。（）参考答案：正确解析：两个绝对值中点为(-1.5,0)，图像关于该点对称。7.函数f(x)=e^x在R上无界。（）参考答案：正确解析：当x→+∞时f(x)→+∞。8.函数f(x)=sin(2x-π/3)的图像关于y轴对称。（）参考答案：错误解析：f(-x)=-sin(2x-π/3)≠f(x)，非偶函数。9.函数f(x)=|x-1|+|x-2|在区间(1,2)上递减。（）参考答案：正确解析：f(x)=2x-3，斜率为2>0，但需注意区间内单调性。10.函数f(x)=log₅(x²-3x+2)在x=2处取得最小值。（）参考答案：错误解析：x=2时f(x)无定义。四、简答题（总共4题，每题4分，共16分）1.已知函数f(x)=x³-3x+2，证明f(x)在R上单调递增。解答：f'(x)=3x²-3=3(x+1)(x-1)，令f'(x)=0得x=±1。当x∈(-∞,-1)时f'(x)>0，当x∈(-1,1)时f'(x)<0，当x∈(1,+∞)时f'(x)>0。但f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上递增，在(-1,1)上递减，故f(x)非单调递增。修正：需证明f'(x)≥0，即3(x+1)(x-1)≥0，解得x∈(-∞,-1]∪[1,+∞)，但f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)上递增，故f(x)非单调递增。正确证明：f'(x)=3x²-3，当x∈(-∞,-√3/3)∪(√3/3,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(-∞,-√3/3)和(√3/3,+∞)上单调递增。2.函数f(x)=|x-1|+|x-2|的图像有什么对称性？解答：函数图像关于点(1.5,0)对称。证明：设P(x,y)为图像上任意一点，则Q(3-x,y)也在图像上，因为|3-x-1|+|3-x-2|=|x-2|+|x-1|=y，故图像关于x=1.5对称。3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是多少？如何验证？解答：周期为π。验证：令2x+π/3=2x+π/3+2kπ，得k=0，周期为2π/2=π。也可通过f(x+π)=sin[2(x+π)+π/3]=sin(2x+7π/3)=sin(2x+π/3)=f(x)验证。4.函数f(x)=log₃(x²-2x+1)在定义域内单调性如何？解答：定义域为(-∞,0]∪[2,+∞)，令t=x²-2x+1=(x-1)²，当x∈(-∞,0]时t递减，log₃t递减；当x∈[2,+∞)时t递增，log₃t递增。故f(x)在(-∞,0]上递减，在[2,+∞)上递增。五、应用题（总共4题，每题6分，共24分）1.已知函数f(x)=x³-3x+1，求f(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值。解答：f(-2)=-11，f(-1)=3，f(0)=1，f(1)=-1，f(2)=3。极值点x=±1，f(±1)=-1。最大值为3，最小值为-11。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间[-3,3]上的值域是多少？解答：分段函数：当x∈[-3,-2]时f(x)=-2x-1，最小值7，最大值5；当x∈[-2,1]时f(x)=3，值域[3,3]；当x∈[1,3]时f(x)=2x+1，最小值3，最大值7。值域为[3,7]。3.函数f(x)=sin(2x-π/4)的最小正周期是多少？求f(x)在[0,π]上的零点个数。解答：周期为π。令2x-π/4=kπ+π/2，得x=kπ/2+3π/8，取k=0时x=3π/8，取k=1时x=7π/8，均∈[0,π]，零点个数为2。4.函数f(x)=log₅(x²-3x+2)在定义域内是否存在极值？若存在，求出极值点与极值。解答：定义域x∈(-∞,1)∪(2,+∞)，令t=x²-3x+2=(x-1.5)²-0.25，当x=1.5时t取最小值-0.25，但x=1.5不在定义域内。故无极值点。【标准答案及解析】一、单选题1.A2.A3.C4.A5.A6.A7.D8.B9.A10.A解析：1.极值点与端点比较；2.二次函数对称性；3.绝对值函数分段；4.对称轴与区间关系；5.三角函数平移；6.对数函数真数；7.指数函数单调性；8.极值点两侧函数值；9.三角函数周期；10.绝对值函数最小值。二、填空题1.82.[0,3]3.(π/6,0)4.(-∞,1)∪(2,+∞)5.e-22.y=-2x+27.π8.29.sin(x-π/6)10.[2,6]解析：1.极值与端点比较；2.绝对值函数分段；3.三角函数对称中心；4.对数函数真数；5.指数函数平均值；6.切线方程求法；7.三角函数周期；8.绝对值函数最小值；9.三角函数平移；10.二次函数值域。三、判断题1.√2.×3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.×解析：1.立方函数单调性；2.绝对值函数最大值；3.三角函数单调性；4.对数函数单调性；5.三次函数极值；6.绝对值函数对称性；7.指数函数有界性；8.三角函数奇偶性；9.绝对值函数单调性；10.对数函数定义域。四、简答题1.证明f(x)=x³-3x+2单调递增需证f'(x)=3x²-3≥0，解得x∈(-∞,-√3/3]∪[√3/3,+∞)，但f(x)在(-∞,-√3/3]和[√3/3,+∞)上递增，故f(x)非单调递增。正确证明：f'(x)=3x²-3，当x∈(-∞,-√3/3)∪(√3/3,+∞)时f'(x)>0，故f(x)在(-∞,-√3/3)和(√3/3,+∞)上单调递增。2.函数图像关于点(1.5,0)对称。证明：设P(x,y)为图像上任意一点，则Q(3-x,y)也在图像上，因为|3-x-1|+|3-x-2|=|x-2|+|x-1|=y，故图像关于x=1.5对称。3.周期为π。验证：令2x+π/3=2x+π/3+2kπ，得k=0，周期为2π