初中一年级数学第一学期核心知识清单

初中一年级数学第一学期核心知识清单  一、数与式：有理数世界的基础构建  （一）有理数的基本概念与分类【基础】【必考】  1、正数与负数：大于0的数是正数，如+5，3.2；在正数前面加上“”号的数是负数，如2，0.5。0既不是正数，也不是负数。正数和负数用来表示具有相反意义的量，例如，零上5℃记作+5℃，零下3℃记作3℃；向东走10米记作+10米，则向西走8米记作8米。  2、有理数的定义与分类：整数和分数统称为有理数。有理数可以按两种方式分类：    按定义分类：有理数分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。    按性质符号分类：有理数分为正有理数（正整数、正分数）、0和负有理数（负整数、负分数）。    【易错点】有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们都属于有理数。例如，0.333…（循环）是有理数，而像π这样的无限不循环小数不是有理数。  3、数轴【重要】：    定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。    三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。    作用：数轴上的点与有理数（实际是实数）建立了一一对应的关系。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。通过数轴，我们可以直观地比较有理数的大小：数轴上右边的数总比左边的数大。  4、相反数【基础】：    定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如，2和2互为相反数。特别地，0的相反数是0。    几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且到原点的距离相等。    性质：若a与b互为相反数，则a+b=0。  5、绝对值【核心概念】【高频考点】：    定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，记作|a|。    代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用数学符号表示为：|a|=a(a>0)；|a|=0(a=0)；|a|=a(a<0)。    【重要性质】：      （1）绝对值具有非负性，即|a|≥0。      （2）若几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0。例如，若|a|+|b|=0，则必有a=0且b=0。      （3）绝对值相等的两个数，要么相等，要么互为相反数。即若|a|=|b|，则a=b或a=b。  （二）有理数的运算【技能核心】【必考】  1、有理数的加减法：    加法法则：      （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。      （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。      （3）一个数同0相加，仍得这个数。    减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即ab=a+(b)。    【运算技巧】在进行有理数加减混合运算时，通常先将减法转化为加法，写成省略加号和括号的代数和的形式，然后运用加法交换律和结合律进行简便运算。例如，将同号、同分母、和为整数的数结合。  2、有理数的乘除法：    乘法法则：      （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。      （2）任何数同0相乘，都得0。    乘法运算律：交换律a×b=b×a；结合律(a×b)×c=a×(b×c)；分配律a×(b+c)=a×b+a×c。    除法法则：      （1）除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)。      （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。  3、有理数的乘方【难点引入】：    定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作a的n次方（或a的n次幂）。    【特别注意】：      （1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。例如，(2)³=8，(2)⁴=16。      （2）正数的任何次幂都是正数。      （3）0的任何正整数次幂都是0。      （4）区分aⁿ与(a)ⁿ。例如，2²=4，而(2)²=4。  4、有理数的混合运算【综合应用】【高频考点】：    运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，先算括号里面的（通常先小括号，再中括号，后大括号）。同级运算，从左到右进行。    【解题步骤】：      第一步：观察算式结构，确定运算顺序。      第二步：逐步进行计算，每一步都要注意符号的确定（尤其是负号）。      第三步：能运用运算律简算的，要优先考虑简算，以提高准确率和速度。    【易错点】：      （1）符号错误，特别是进行乘除和乘方运算时。      （2）运算顺序错误，如先做乘除后做加减的原则被违反。      （3）分数运算时，通分、约分不熟练导致错误。  5、科学记数法与近似数：    科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数）。n等于原数的整数位数减1。例如，=1.35×10⁶。    近似数：接近准确数但不等于准确数的数。一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如，将3.14159精确到百分位（即0.01）的结果是3.14。  二、整式的加减：从数到式的飞跃  （一）整式的基本概念【基础】【入门】  1、用字母表示数：用字母表示数，是数学从算术走向代数的重要标志。字母可以像数一样进行运算，它使数量关系的一般表示成为可能。例如，长方形的长是a，宽是b，则它的面积S=ab，周长C=2(a+b)。  2、单项式：    定义：由数或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。例如，3x，2a²b，0，m。    系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，单项式5x²y的系数是5。注意，当系数是1或1时，“1”通常省略不写，如a²的系数是1，ab的系数是1。    次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，单项式5x²y的次数是2+1=3次。常数项（如5，3）的次数是0。  3、多项式：    定义：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如，多项式2x²3x+1的项是2x²，3x，1，常数项是1。    次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式2x²3x+1中，次数最高的项是2x²（2次），所以这个多项式是二次三项式。    整式：单项式与多项式统称整式。  （二）整式的加减运算【核心技能】【高频考点】  1、同类项【重要】：    定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。例如，2x²y与5x²y是同类项，3与1是同类项。    【判断标准】两“相同”，两“无关”：字母相同且相同字母的指数相同；与系数无关，与字母的排列顺序无关。  2、合并同类项：    法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。    步骤：      （1）找出多项式中的同类项（通常用相同的符号标记）。      （2）利用加法交换律和结合律，将同类项放在一起。      （3）根据合并同类项法则，合并同类项。      （4）写出合并后的结果（通常按某一字母的降幂或升幂排列）。    【易错点】合并时容易漏掉系数为±1的项，或者搞错系数的符号。  3、去括号法则【关键】【易错】：    法则：      （1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。即+(ab+c)=ab+c。      （2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。即(ab+c)=a+bc。    本质：去括号的依据是乘法分配律。例如，(ab+c)=(1)×a+(1)×(b)+(1)×c=a+bc。    【易错点】括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，不要只变第一项的符号。  4、整式加减的运算法则与步骤【综合应用】：    法则：几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。    一般步骤：      （1）根据题意列出代数式（注意将每个多项式看作一个整体，列式时通常加括号）。      （2）去括号。      （3）合并同类项。      （4）代入求值（如果题目要求求值）。代入时，若字母取值为负数或分数，要注意适时添加括号。    【常见题型】：      （1）直接计算两个多项式的和与差。      （2）先化简，再求值。这是期末考试的高频考题，重点考查去括号和合并同类项的熟练度。      （3）与“不含某项”或“与某字母取值无关”的问题。解决此类问题的核心是，先合并含该字母的同类项，然后令其系数为0。  三、一元一次方程：解决实际问题的数学模型  （一）方程的基本概念【基础】  1、方程的定义：含有未知数的等式叫做方程。判断一个式子是不是方程，必须同时满足两个条件：一是等式，二是含有未知数。  2、一元一次方程的定义【重要】：    只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程。其标准形式为：ax+b=0（其中a，b是常数，且a≠0）。    【判断要点】“一元”、“一次”、“整式”。例如，1/x=2不是整式方程，所以不是一元一次方程；x²=4未知数次数是2，也不是。  3、方程的解与解方程：    方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。    解方程：求方程的解的过程，叫做解方程。  （二）等式的性质与解方程【核心技能】  1、等式的性质【解方程的依据】：    性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果a=b，那么a±c=b±c。    性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么a/c=b/c。    【特别注意】等式两边除以一个数时，必须保证这个数不为0。  2、解一元一次方程的一般步骤【解题流程】【高频考点】：    （1）去分母：方程两边同时乘以各分母的最小公倍数。注意不要漏乘不含分母的项，分子是一个整体，去分母后要加上括号。    （2）去括号：一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号。注意括号前的符号，特别是负号。    （3）移项：把含有未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边。移项要变号。    （4）合并同类项：将方程化为ax=b(a≠0)的最简形式。    （5）系数化为1：方程两边同时除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。    【易错点汇总】：      去分母时漏乘整数项；      去分母时忘记给分子加括号；      去括号时符号错误；      移项时忘记变号；      系数化为1时分子分母颠倒。  （三）实际问题与一元一次方程【综合应用】【难点】【热点】  1、列方程解决实际问题的基本步骤：    审：审清题意，分析题目中的数量关系，找出已知量和未知量。    设：设出合理的未知数，可直接设元，也可间接设元。    找：找出能够表示问题全部含义的一个相等关系（这是最关键的一步）。    列：根据这个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程。    解：解所列出的方程，求出未知数的值。    验：检验所求的解是否符合方程，更是否符合实际问题的意义。    答：写出答案（包括单位名称）。  2、常见模型与考向【非常重要】：    （1）配套问题：解决此类问题的关键是明确“什么与什么配套”，并根据配套比例列出方程。例如，一张课桌由一个桌面和四条桌腿组成，则桌面数:桌腿数=1:4。    （2）工程问题：基本关系是工作量=工作效率×工作时间。通常把总工作量看作单位“1”。    （3）行程问题：基本关系是路程=速度×时间。      相遇问题：总路程=甲走的路程+乙走的路程。      追及问题：追及路程=速度差×追及时间（同地不同时出发）；或快者路程=慢者路程+初始距离（同时不同地出发）。      航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速度；逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度。    （4）利润问题：基本关系是利润=售价进价；利润率=利润÷进价×100%；售价=标价×折扣。    （5）储蓄问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息。    （6）方案选择问题：通过计算两种或多种方案的费用，进行比较，选择最优方案。常涉及分类讨论思想。    （7）数字问题：设间接未知数，如设一个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数可表示为10x+y。  四、几何图形初步：开启空间与逻辑的大门  （一）多姿多彩的图形【基础】【兴趣引导】  1、几何图形的分类：    立体图形：各部分不都在同一平面内的图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等。    平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等。  2、从不同方向看立体图形：    主视图（从正面看）、左视图（从左面看）、俯视图（从上面看）。这是三视图的基础，要求能根据立体图形画出其三视图，或根据三视图还原立体图形。  3、立体图形的展开图：    有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形。例如，正方体的展开图有11种形式（“一四一”型6种，“二三一”型3种，“二二二”型1种，“三三”型1种）。需要能够识别常见立体图形（如圆柱、圆锥、棱柱）的展开图。  （二）点、线、面、体【几何构成】  1、几何图形的构成：点、线、面、体是构成几何图形的基本元素。  2、关系：点动成线，线动成面，面动成体。例如，流星划过夜空（点动成线），旋转门（线动成面），三角板旋转形成圆锥（面动成体）。  （三）直线、射线、线段【核心概念】【重要】  1、基本概念与表示方法：    直线：没有端点，向两方无限延伸，用两个大写字母或一个小写字母表示，如直线AB或直线l。    射线：一个端点，向一方无限延伸，用端点和射线上另一个点表示，且端点字母在前，如射线OA。    线段：两个端点，不能延伸，用两个端点字母表示，如线段AB。  2、基本性质【高频考点】：    直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线。简述为：两点确定一条直线。    线段公理：两点的所有连线中，线段最短。简述为：两点之间，线段最短。连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离。  3、线段的中点与计算【必考】：    线段中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。如图，点C是线段AB的中点，则AC=BC=1/2AB，或AB=2AC=2BC。    线段的和、差、倍、分计算：这是几何入门题的重点，常结合图形，利用中点的性质进行线段长度的求解。解题时要注意几何语言的表述，并可能涉及分类讨论思想（如点在线段上或在线段的延长线上）。  （四）角【核心概念】【重要】  1、角的定义与表示：    静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。    动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。    表示方法：用三个大写字母（顶点字母在中间）、用一个大写字母（顶点处只有一个角时）、用希腊字母或数字表示。  2、角的度量与换算：    角的度量单位是度、分、秒，是六十进制。1°=60′，1′=60″。要熟练掌握度、分、秒之间的加减乘除运算。例如，3.2°=3°12′，35°18′=35.3°。  3、角的比较与运算：    角的大小比较可以通过度量法或叠合法进行。    角的和、差、倍、分计算是重点，类似于线段的计算。  4、角平分线【高频考点】：    定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。类似地，还有角的三等分线等。如图，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=1/2∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC。  5、余角和补角【重要性质】：    余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角。同角（等角）的余角相等。    补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角。同角（等角）的补角相等。    【重要】这两个性质是几何推理的基础，常用于证明角相等。  6、方位角：    表示方向的角，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向。例如，北偏东30°，南偏西45°（西南方向）。在航行、测绘等问题中应用广泛。  五、数据的收集、整理与描述（统计初步）  （一）统计调查的基本概念【基础】  1、全面调查（普查）：为特定目的而对所有考察对象进行的调查。如人口普查。优点是结果准确，缺点是耗时费力。  2、抽样调查：从总体中抽取部分个体进行调查，根据样本来估计总体的情况。如调查一批