初中数学八年级全等三角形常见模型专题复习导学案

初中数学八年级全等三角形常见模型专题复习导学案

一、教学背景与设计理念

（一）【基础】课标定位与素养指向

本节内容属于初中数学“图形与几何”领域的核心部分，是连接三角形性质与几何证明、逻辑推理能力的关键枢纽。在新课程改革理念下，全等三角形的教学已不仅限于对判定定理的记忆与简单应用，而是升华为一种培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模和直观想象核心素养的载体。本设计遵循“从特殊到一般、从静态到动态”的认知规律，旨在帮助学生超越孤立的知识点，构建系统化的几何模型认知体系。通过将动态几何变换（平移、旋转、翻折）的观点引入全等复习，引导学生用“变换”的眼光重新审视全等图形的生成过程，深刻理解“全等是图形变换前后不变关系的定量刻画”，从而在复杂图形中剥离出基本模型，实现从“解题”到“解决问题”、从“会做”到“会想”的思维跃升，这完全契合《义务教育数学课程标准（2022年版）》中强调的“引导学生通过图形的变化认识图形特征，发展空间观念和推理能力”的要求-1。

（二）【重要】学情研判与教学创新

1.学情研判：授课对象为八年级学生。学生已系统掌握了全等三角形的定义、性质及五种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），具备基础的几何证明书写能力。然而，在实际解题中，学生普遍面临两大困境：一是面对复杂几何图形时，无法有效识别其中蕴含的基本全等模型，导致思路受阻；二是对于涉及图形变换（尤其是旋转）的动态问题，难以把握运动过程中的不变量，缺乏建立函数关系或进行逻辑连贯推理的经验-4。学生往往“见木不见林”，习惯于就题论题，缺乏对几何模型的归纳与总结意识。

2.教学创新：本设计打破传统的“判定定理罗列+例题讲解”的复习模式，采用“主题牵引—模型建构—变式拓展—综合创造”的进阶式教学策略。创新性地将“手拉手”模型、“一线三等角”模型（含K字型）、“倍长中线”模型作为三大核心探究主题，并引入几何画板或GeoGebra进行动态演示，将静态的几何结论动态化、可视化。特别融入数字化教学工具（如点阵笔或希沃白板的投屏功能），实时捕捉学生思维过程，实现精准点评与高效互动，让学生在“做”中学、“悟”中得-4。

二、教学目标设定

（一）【基础】知识与技能

1.能够准确识别“平移型”、“翻折型（轴对称型）”、“旋转型（含手拉手）”、“一线三等角型”及“倍长中线型”等常见全等三角形模型。

2.熟练掌握从复杂图形中分解出基本模型的方法，并能依据模型特征快速确定对应边、对应角，选择合适的判定定理（SAS、SSS、ASA、AAS、HL）进行严谨的逻辑证明。

3.【高频考点】掌握“手拉手”模型中“共顶点、等线段、等夹角、得全等”的核心结论及其推导过程；掌握“一线三等角”模型中利用外角或内角和进行等角转换的技巧。

（二）【重要】过程与方法

1.通过观察、操作、类比、归纳等数学活动，经历从“特殊图形”到“一般模型”的抽象过程，体会从具体到抽象的数学思想。

2.【难点突破】通过对基本图形进行平移、旋转、翻折等动态变换，探索图形变换过程中的不变关系，感悟“变中不变”的数学思想，培养运动变化的几何直观和空间观念。

3.通过小组合作探究开放性问题（如：补充条件使三角形全等），培养逆向思维和多角度分析问题的能力-2。

（三）情感态度与价值观

1.在探索几何模型的过程中，感受数学的严谨性与逻辑美，体验成功的喜悦，增强学习几何的自信心。

2.培养敢于探索、勇于质疑的科学精神，以及细致观察、规范书写的良好学习习惯。

三、教学重难点

（一）教学重点

掌握“手拉手”模型、“一线三等角”模型和“倍长中线”模型的基本特征、核心结论及其在解题中的应用。

（二）【难点】【热点】教学难点

1.在复杂的几何图形中准确识别、分离出基本全等模型。

2.理解并应用“手拉手”模型中由旋转产生的二次全等及“八字形”倒角。

3.灵活构造“一线三等角”或“倍长中线”模型解决非标准图形下的几何问题。

四、教学准备

多媒体课件（嵌入几何画板/GGB动态演示）、导学案、点阵笔及教学系统（选配）、学生用三角板与圆规。

五、教学实施过程（核心环节）

（一）【基础】唤醒经验，模型初探——平移与翻折型（约8分钟）

1.温故知新：

（1）教师通过课件展示两组图形：一组是三角形在网格中水平移动（平移），另一组是三角形关于一条直线对称（翻折）。

（2）提出问题：“在这两种变换下，变换前后的两个三角形有什么关系？它们的对应边、对应角有什么位置特征？”

（3）学生观察并回答：两个三角形全等。平移型中，对应边平行且相等，对应点连线平行且相等；翻折型（轴对称型）中，对称轴是对应点连线的垂直平分线。

2.【基础】模型识别：

（1）呈现例题1（平移型）：如图，点A、E、C、F在同一直线上，AB∥DE，BC∥EF，且AE=CF。求证：△ABC≌△DEF。

（设计意图：引导学生挖掘“AE=CF”背后的隐含条件“AC=DF”，并利用平行线性质找等角，这是平移模型的典型应用。）

（2）呈现例题2（翻折型）：如图，AB=AC，AD是∠BAC的平分线。求证：∠B=∠C。

（设计意图：让学生在“共边”或“共角”的图形中识别出轴对称模型，体会角平分线与垂直平分线在构造全等中的作用-2。）

3.教学策略：

本环节以“唤醒”和“梳理”为目标，节奏宜快。教师引导学生口述思路，板书规范过程，重点强调“对应顶点写在对应位置”的规范性-3-9。通过这两个最简单的模型，让学生意识到“全等三角形往往隐藏在图形的变换之中”，为后续复杂旋转模型的探究做好铺垫。

（二）【重要】【难点】深度探究，模型建构——旋转型之“手拉手”模型（约15分钟）

1.情境导入，引发冲突：

（1）教师利用几何画板动态演示：两个共顶点的等边三角形，其中一个绕公共顶点旋转。

（2）提出问题：“在旋转过程中，除了两个等边三角形本身全等（指内部全等，非二者全等），你还能发现哪些始终保持全等的三角形对？”

2.【重要】合作探究，发现结论：

（1）探究活动1（特殊情形）：将两个等边三角形△ABC和△DCE，其中C为公共顶点，B、C、E共线（即初始位置）。连接BD和AE。请学生小组合作，找出图中的全等三角形，并说明理由。

（学生通过观察与讨论，易发现△BCD≌△ACE【SAS】。）

（2）探究活动2（一般情形）：将△DCE绕点C旋转任意角度（非特殊角），连接BD和AE。刚才的结论还成立吗？

（教师展示动态旋转过程，学生惊讶地发现，无论旋转到任何位置，△BCD和△ACE似乎始终全等。）

（3）模型归纳：

教师引导学生归纳“手拉手”模型的基本特征：【非常重要】“共顶点（公共点C）、等线段（CB=CA，CD=CE）、等夹角（∠BCD=∠ACE，都等于旋转角加或减公共角）、得全等（△BCD≌△ACE）”。

将图形抽象为“两个等腰三角形共顶点，左手拉左手（点B与点D的连线），右手拉右手（点A与点E的连线）”，形象记忆-4。

3.【高频考点】【热点】结论延伸与“八字形”倒角：

（1）追问：除了全等，你还能发现BD和AE在数量和位置上有何关系？

（2）教师引导学生利用“全等对应边相等”得出BD=AE。

（3）教师引导学生利用“全等对应角相等”结合“八字形”模型（或三角形内角和）证明BD与AE的夹角等于等腰三角形的顶角。

例如：设BD与AC交于点O，BD与AE交于点H。由△BCD≌△ACE，可得∠CBD=∠CAE。又因为∠BOC=∠AOH，根据三角形内角和定理，可得∠BHA=∠BCA=60°。

（4）核心结论：【非常重要】“手拉手”模型不仅得到一组旋转全等三角形，还带来了对应边的数量相等和对应边的夹角等于等腰三角形的顶角（即旋转角）。

4.例题精讲，规范建模：

例题：如图，在直线AB的同一侧作△ABD和△BCE，且△ABD和△BCE都是等边三角形。连接AE、CD。求证：

（1）△ABE≌△DBC；

（2）AE=DC；

（3）AE与DC的夹角为60°。

（教师引导学生识别模型：点B是公共顶点，BA=BD，BE=BC，∠ABE=∠DBC=120°（或60°+公共角），符合“手拉手”模型条件，直接应用结论。重点讲解第（3）问的倒角技巧，这是本环节的难点，也是中考的热点-4。）

（三）【重要】【难点】变式拓展，模型应用——“一线三等角”与“K字型”（约12分钟）

1.图形引入，感知模型：

（1）教师展示图形：一条直线上依次排列着三个相等的角，角的顶点在同一直线上。例如，在直线l上，有三个点B、C、D，使得∠B=∠ACE=∠D=90°（此为“一线三直角”，是“一线三等角”的特例，又称“K字型”）。

（2）动态演示：利用几何画板演示点C在线段BD上运动，但始终保持∠B=∠ACE=∠D。

2.【基础】模型分析，探究原理：

（1）问题驱动：在“一线三直角”模型中，若AC=CE，你能证明△ABC≌△CDE吗？

（2）学生探究：根据平角定义和三角形内角和，易得∠ACB+∠DCE=90°，又∠A+∠ACB=90°，所以∠A=∠DCE。结合∠B=∠D=90°和AC=CE，可得△ABC≌△CDE（AAS）。

（3）推广到一般“一线三等角”：教师将直角变为任意角α，引导学生证明同样成立。核心在于利用“三角形内角和”和“平角”进行等角转换，得到两个三角形中除直线上三个角之外的另一组锐角（或角）相等。

3.【热点】变式训练，构造模型：

（1）呈现问题：如图，在△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，点D是斜边BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且DE⊥DF。求证：DE=DF。

（2）引导分析：这是一个典型的“K字型”构造问题。学生往往不知如何下手。教师引导学生过点D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，构造出以D为直角顶点的“一线三直角”模型（实际上是在四边形AGDH内部构造了双垂直）。或者连接AD，利用等腰直角三角形“三线合一”及AD平分直角的性质，证明△ADE≌△CDF（或△BDF≌△ADF）。

（3）教师强调：当题目中没有现成的“一线三等角”时，要善于根据已知条件（如等腰直角三角形、正方形等）通过作垂线等方法构造出需要的模型-5-6。

（四）【重要】方法提炼，模型再识——“倍长中线”构造全等（约7分钟）

1.经典引例，唤醒记忆：

（1）出示问题：在△ABC中，AD是BC边上的中线。求证：AB+AC>2AD。

（2）这是三角形中线不等关系的证明题，也是“倍长中线”法的经典应用场景。

2.【难点】思维引导，总结模型：

（1）教师引导：要证明线段之和大于另一条线段的2倍，我们通常会将分散的线段集中到一个三角形中。如何将2AD、AB、AC集中到一起？

（2）学生思考后，教师讲授“倍长中线”法：延长AD至点E，使DE=AD，连接CE。

（3）分析：此时，在△ABD和△ECD中，AD=ED，∠ADB=∠EDC（对顶角），BD=CD，所以△ABD≌△ECD（SAS）。从而AB=EC。

（4）在△ACE中，由三边关系：AC+CE>AE，即AC+AB>2AD。

3.【高频考点】模型归纳：

倍长中线模型的核心特征：【非常重要】出现“中点（或中线）”。其本质是通过旋转构造“8字型”全等，从而达到转移边和角的目的。此模型不仅是证明线段不等关系的利器，也是证明线段相等、角相等以及线段倍分关系的常见辅助线添加方法。

（五）【综合】思维拓展，综合应用（约5分钟）

1.呈现问题（融合模型）：

如图，在平面直角坐标系中，A（0，a），B（b，0），且a、b满足√(a-2)+|b-4|=0。

（1）求A、B两点的坐标。

（2）点C为AB的中点，过点C作CE⊥x轴于E，CF⊥y轴于F，求证：CE=CF。

（3）若P为x轴负半轴上一动点，以AP为腰作等腰直角△APQ，且∠PAQ=90°，连接OQ。当点P运动时，求证：OQ的长度为定值。

2.小组合作，分层推进：

（1）第（1）问为基础送分题。

（2）第（2）问是“等积变形”或“三线合一”的应用，也可以用“一线三直角”模型证明。

（3）第（3）问是综合能力的检验，融合了“手拉手”模型和坐标思想。学生需要识别出：点A是公共顶点，等腰直角△AOB和等腰直角△APQ构成“手拉手”模型（△AOP≌△ABQ或△APO≌△AQB，根据旋转方式不同）。通过证明全等，得到BQ=OP且BQ⊥OP，进而得出点Q在某条定直线上运动，OQ的长度可转化为与OA、AB相关的定值。

3.展示与评价：

利用点阵笔或希沃授课助手，实时选取具有代表性的小组解法进行投屏展示，让学生讲解其思路，特别是如何识别和构造模型。教师点评时，重点关注学生从复杂背景中抽象出数学模型的能力-4。

（六）【基础】课堂小结与反思（约3分钟）

1.知识网络构建：

引导学生从“变换”的视角总结本节课所学的全等三角形模型：

（1）平移变换——平移型；

（2）翻折变换——轴对称型（含角平分线、垂直平分线模型）；

（3）旋转变换——旋转型（核心是“手拉手”模型）；

（4）构造变换——“一线三等角”模型（常通过作垂线构造）、“倍长中线”模型（遇中点构造）。

2.思想方法提炼：

本节课渗透的主要数学思想方法有：

（1）从特殊到一般（从等边三角形到一般等腰三角形的“手拉手”探究）；

（2）转化思想（将复杂图形转化为基本模型，将线段关系转化为三角形全等问题）；

（3）数形结合思想（在综合应用中与坐标系结合）。

3.学习感悟：

请一位学生谈谈本节课的最大收获，或提出一个尚未解决的困惑。

六、板书设计

（屏幕左侧）（屏幕中间）（屏幕右侧）

第四章微专题六二、手拉手模型三