人教版小学数学二年级下册 数量间的乘除关系 知识清单

人教版小学数学二年级下册数量间的乘除关系知识清单一、核心概念倍的深度理解与建构【基础】★（一）“倍”的本质含义【非常重要】1、关系定义“倍”是用来表示两个数量之间的一种比率关系，即一个量中包含几个另一个量。它不是具体的单位名称，而是一种比较的结果。2、核心要素标准量（一份量）与比较量（1）标准量通常被看作“一份”，是进行比较的基准。在问题中常表现为“是”字后面的量。（2）比较量是包含几个标准量的量。3、经典模型以鹅2只为标准量1份，鸡6只为比较量，6里面有3个2，即3份，因此可以说鸡的只数是鹅的3倍。【citation8】【citation10】（二）“倍”与“几个几”的内在联系【重要】1、承启关系“倍”的概念建立在已学的“几个几”的基础之上。“一个数的几倍”就是几个这样的数相加。2、示例剖析5的3倍，就是3个5，即5×3。【citation1】3、转化思想求一个数是另一个数的几倍，本质上就是求一个数里面含有几个另一个数，这与除法的含义求一个数里包含几个另一个数完全一致。（三）标准量变化对倍数关系的影响【难点】1、标准量变化，倍数随之变化在比较量不变的情况下，标准量越大，倍数越小；标准量越小，倍数越大。2、案例分析鸡6只，鹅2只时，鸡是鹅的3倍；若鹅变为3只标准量变大，则鸡是鹅的2倍倍数变小。【citation8】二、数量间乘除关系的三大基本类型与解题模型【高频考点】（一）类型一求一个数是另一个数的几倍［比较量标准量］【重要】1、问题特征已知两个数量，求它们之间的倍数关系。2、解题模型一个数另一个数比较量标准量3、数量关系倍数比较量标准量4、解题步骤（1）找准标准量通常为被比较的量（如是的几倍中的后面的量）。（2）列式计算用除法。（3）结果表述商表示倍数关系，不带单位。5、典型案例小亮星期五写了6个毛笔字，星期六写了18个毛笔字。星期六写的字是星期五的几倍？1863答星期六写的毛笔字是星期五的3倍。【citation1】（二）类型二求一个数的几倍是多少［标准量倍数求比较量］【重要】1、问题特征已知标准量一份量和倍数，求比较量几份量。2、解题模型标准量倍数3、数量关系比较量标准量倍数4、解题步骤（1）找准标准量一份量。（2）列式计算用乘法。5、典型案例公园去年飞来8只天鹅，今年是去年的4倍。今年飞来多少只？8432只。【citation1】（三）类型三已知一个数的几倍是多少，求这个数［比较量倍数求标准量］【重要】1、问题特征已知比较量几份量和倍数，求标准量一份量。2、解题模型比较量倍数3、数量关系标准量比较量倍数4、解题步骤（1）理解题意找出哪个量是“几倍”的结果。（2）列式计算用除法。5、典型案例乐乐采了24个蘑菇，是园园的3倍。园园采了多少个？2438个。【citation3】三、解决问题的高级策略与方法【核心素养】（一）画图策略几何直观的运用【非常重要】1、线段图法（1）适用范围清晰表示标准量与比较量之间的倍数关系，尤其适用于稍复杂的连续两问或比较问题。（2）画图规范先画1份量标准量，再根据倍数画几份量比较量。用直尺画，线段左端对齐。（3）示例舞蹈组有9名男生，女生人数是男生的3倍。线段图表示为男生画一段，女生画这样的三段。【citation1】【citation2】2、实物图或符号图法（1）适用范围初学阶段，用于直观理解“倍”的概念。（2）操作方式用圆片、三角形等符号代替实物，进行圈一圈、摆一摆，直观看出数量关系。【citation8】（二）分析综合法1、从条件入手分析已知条件，看能求出什么中间问题，再逐步求解最终问题。适用于条件明确的问题。2、从问题入手看要求最终问题，需要知道哪两个条件，哪个条件已知，哪个条件未知需先求。适用于连续两问的问题。【citation2】四、专项题型全解析【考试考点全覆盖】（一）连续两问的实际问题【高频考点】【热点】1、结构特征一个问题中包含两个相互关联的小问，后一问的解答可能需要用到前一问的结果。2、解题关键第一问必须计算准确；判断第二问所需数据，若涉及第一问的结果，则直接代入；若需要重新寻找条件，则回到题目中找。3、典型案例分析（1）舞蹈兴趣小组有9名男生，女生人数是男生的3倍。①女生有多少人？②舞蹈兴趣小组一共有多少人？（2）解题路径①9327人；②总人数男生女生92736人。【citation1】4、变式训练（1）运算机柜个数是网络机柜的5倍。网络机柜有8个。①运算机柜有多少个？②两种机柜一共有多少个？（2）答案①8540个；②40848个。【citation2】（二）“提问题”与“补条件”的开放性问题【难点】【考查能力】1、根据已知条件，提出可以解决的问题（1）考查要点能否根据两个或以上相关联的条件，提出一个合理的、用乘除关系解决的数学问题。（2）案例有8朵红花，是的3倍。可以提出什么问题？可以提出有多少朵？或黄花有多少朵？【citation1】2、根据问题，补充合适的条件（1）考查要点理解问题需要什么样的数量关系支撑，补充的条件必须能解决问题且逻辑自洽。（2）案例有8朵红花，______。有多少朵？要使问题用乘法解决，可以补充条件是的5倍或是的几倍并需明确标准量。【citation1】【citation9】（三）解决比多比少与倍数融合的问题【易错点】1、题型特征题目中既有倍数关系，又有多少的表述。2、案例剖析（1）题目舞蹈兴趣小组有9名男生，女生比男生多18名。女生有多少人？小组一共有多少人？（2）辨析此题虽涉及多，但并非用乘除关系倍，而是用加减法解决。女生人数男生人数18，91827人。【citation1】3、易错警示不能一看到多就盲目用加法，要分清是倍数关系中的多还是相差关系中的多。（四）涉及增加或减少的变倍问题【拓展思维】1、题型特征在倍数关系中，通过增加或减少标准量或比较量，使倍数关系发生变化。2、典型案例（1）情境佳佳有7颗，48颗，要制作一条项链，使的数量是的6倍。需要减少多少颗？（2）解题思路先求出当为7颗时，要达到6倍，应有的数量7642颗；再比较应有数量和现有数量48426颗，得出需要减少6颗。【citation9】3、另一变式（1）情境有8颗黄珠子，红珠子数量是黄珠子的6倍多6颗。红珠子数量不变，要使红珠子是黄珠子的6倍，需要增加几颗黄珠子？（2）解题思路先求红珠子数量864848654颗；再求在红珠子54颗不变且倍数为6倍时，黄珠子应有的数量5469颗；最后比较981颗需增加。【citation2】五、解题步骤规范化与易错点预警【提分关键】（一）标准解题四步法1、审题圈画关键信息数量、倍、一共、多多少等，明确已知和所求。2、分析确定数量关系，是［标准量倍数比较量］还是［比较量标准量倍数］或两步计算。可以画图辅助。3、列式根据数量关系列出正确的算式，注意倍不是单位，不写在结果的后面。4、检查将答案代入原题，反推是否合理；检查计算是否正确。（二）易错点深度剖析【非常重要】1、混淆求倍数与求比较量（1）错误看到倍字就用乘法。（2）纠正问是的几倍，相当于求份数，用除法大数小数；问的几倍是多少，相当于求总数，用乘法小数倍数。2、标准量找错（1）错误在鸡的只数是鹅的3倍这句话中，把鸡当作标准量。（2）纠正标准量是是字后面的对象（鹅）。标准量是1份，比较量是几份。3、结果带单位（1）错误1863倍写成1863（倍）。（2）纠正［倍］表示两个数量之间的关系，不是具体的计量单位，在算式结果中不写，只在答语中写出。4、连续两问中，第二问忽略第一问的结果（1）错误第二问重新列式，或忘记使用第一问求出的数。（2）纠正第二问解答前，先思考“需要用到哪些数？其中有没有第一问求出的结果？”5、解决提问题、补条件问题时，逻辑不通（1）错误提出的问题与已知条件无关，或补充的条件不能求出指定问题。（2）纠正提问题要确保每个条件都用上；补条件要根据问题所需的运算加、减、乘、除来补充。六、常见考查方式与题型归纳【备考指南】（一）基础填空与选择1、直接考查概念如48里面有个8，48是8的倍。【citation1】2、考查几个几与几倍的转化如6个7的和就是7的倍，8的5倍就是求个的和。【citation1】（二）看图列式计算1、考查方式给出线段图或实物图，要求学生根据图意列式。2、示例第一行画5个圆，第二行画比第一行的4倍还多2个，要求学生先画再列式。（三）解决实际问题应用题1、常规应用题如求倍数、求比较量、求标准量。2、连续两问应用题如教材39页第3题。【citation1】3、融合情境应用题如结合读书月、生态保护等情境，增加阅读量，考查信息提取能力。【citation3】（四）开放性试题1、提问题如根据苹果有8个，梨是苹果的3倍，你能提出什么数学问题并解答？2、补条件如黑兔有6只，______，白兔有多少只？要求补充一个条件，使问题用乘法/除法解决。【citation9】3、选择信息从多个条件和问题中，选择合适的进行搭配并解答。【citation9】（五）拓展与变式思维训练题1、和倍问题雏形如小白兔和小灰兔共拔了24个萝卜，小灰兔拔的萝卜是小白兔的3倍，它们各拔了多少个？此为三年级内容，但在二年级可作为拓展思考渗透。2、差倍问题雏形如甲是乙的4倍，甲比乙多24，求甲乙各是多少。3、周期问题中的倍数应用如按照2个红珠子、3个蓝珠子的规律穿珠子，第20个是什么颜色？其中蕴含倍数的思想。【citation6】七、数量关系与乘除运算的对应表【总结】已知条件所求问题数量关系运算标准量和倍数比较量比较量标准量倍数乘法比较量和倍数标准量标准量比较量倍数除法两个数量标准量和比较量比较量是标准量的几倍倍数比较量标准量除法比较量和标准量求标准量的几倍是多少比较量标准量倍数乘法八、学科融合与生活应用1、与美术学科融合通过画一画、设计图案如设计有倍数关系的花边，加深对倍的理解。2、与体育学科融合统计跳绳、拍球个数，计算倍数关系。如小明拍了6下，小刚拍了