初中数学八年级核心知识清单（安徽中考专版）

初中数学八年级核心知识清单（安徽中考专版）一、整式的基本概念与运算（一）整式的相关概念【基础】1、单项式：由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。例如，$3x$，$2a^2b$，$\frac{1}{2}xy^2z$，$5$，$m$。▲注意：分母中不能含有字母，否则不是整式。2、单项式的系数：单项式中的数字因数（包括前面的性质符号）叫做这个单项式的系数。例如，单项式$7x^2y^3$的系数是$7$；$\pir^2$的系数是$\pi$（$\pi$是圆周率，是一个常数）。【易错点】当单项式的系数是$1$或$1$时，“$1$”通常省略不写，如$a^2b$的系数是$1$，$mn$的系数是$1$。3、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。例如，$5x^2y$中，$x$的指数是$2$，$y$的指数是$1$，所以它的次数是$3$，称为三次单项式。单独一个非零数的次数是$0$。4、多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如，多项式$3x^22x+5$的项是$3x^2$，$2x$，$5$，常数项是$5$。5、多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。例如，多项式$2x^3yx^2+y1$中，第一项$2x^3y$的次数是$4$，第二项$x^2$的次数是$2$，第三项$y$的次数是$1$，第四项是常数项，所以该多项式的次数是$4$，称为四次四项式。6、整式：单项式与多项式统称为整式。【核心】判断一个式子是否为整式，关键看分母中是否含有字母。（二）整式的加减运算【基础】1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。▲【高频考点】判断同类项的两条标准缺一不可，与系数无关，与字母排列顺序无关。例如，$3x^2y$与$5yx^2$是同类项。2、合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。★【解题步骤】一找（找出同类项），二移（利用加法交换律将同类项移到一起），三合（逆用乘法分配律，合并系数）。3、去括号法则：【难点】（1）如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。如：$+(ab+c)=ab+c$。（2）如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。如：$(ab+c)=a+bc$。▲【易错点】括号前是负号时，去掉括号和负号后，括号里的每一项都要变号。4、整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。★【解题思路】整式的加减运算实质就是去括号和合并同类项。（三）幂的运算性质【高频考点】【非常重要】1、同底数幂的乘法：$a^m\cdota^n=a^{m+n}$（$m$，$n$都是正整数）。▲【逆用】$a^{m+n}=a^m\cdota^n$。2、幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$（$m$，$n$都是正整数）。▲【逆用】$a^{mn}=(a^m)^n=(a^n)^m$。3、积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）。▲【逆用】$a^nb^n=(ab)^n$。☆【拓展】$(abc)^n=a^nb^nc^n$。4、同底数幂的除法：$a^m\diva^n=a^{mn}$（$a\neq0$，$m$，$n$都是正整数，并且$m>n$）。5、零指数幂：$a^0=1$（$a\neq0$）。【基础】任何不等于$0$的数的$0$次幂都等于$1$。6、负整数指数幂：$a^{p}=\frac{1}{a^p}$（$a\neq0$，$p$是正整数）。【重要】负指数幂转化成正指数幂的倒数。（四）整式的乘法【高频考点】1、单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。★【解题步骤】系数相乘$\rightarrow$同底数幂相乘$\rightarrow$单独字母照抄。2、单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即$m(a+b+c)=ma+mb+mc$。3、多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即$(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn$。（五）乘法公式【必考】【核心】1、平方差公式：$(a+b)(ab)=a^2b^2$。☆【特征】左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。2、完全平方公式：$(a\pmb)^2=a^2\pm2ab+b^2$。☆【特征】左边是两个数和（或差）的平方，右边是一个二次三项式，首平方，尾平方，首尾二倍放中央，符号看前方。▲【拓展与变形】（1）$a^2+b^2=(a+b)^22ab=(ab)^2+2ab$。（2）$(a+b)^2(ab)^2=4ab$。（3）$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$。（六）整式的除法1、单项式除以单项式：把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。2、多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。即$(am+bm+cm)\divm=a+b+c$。二、因式分解【非常重要】【高频考点】（一）因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。▲【易错点】因式分解是恒等变形，必须分解到每一个因式都不能再分解为止。因式分解与整式乘法互为逆运算。（二）因式分解的方法【核心】1、提公因式法：$ma+mb+mc=m(a+b+c)$。▲【找公因式的方法】（1）系数：取各项系数的最大公约数；（2）字母：取各项相同的字母；（3）指数：取相同字母的最低次幂。★【注意】当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“$$”号，使括号内第一项的系数成为正数。提出“$$”号时，多项式的各项都要变号。2、公式法：（1）平方差公式：$a^2b^2=(a+b)(ab)$。☆【适用条件】二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反。（2）完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pmb)^2$。☆【适用条件】三项式，有两项能写成平方的形式且同号，另一项是这两个数（或式）的积的$2$倍，符号可正可负。3、十字相乘法【难点】：$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。对于二次项系数为$1$的二次三项式，常数项分解成两个因数的乘积，这两个因数的和等于一次项系数。对于二次项系数不为$1$的二次三项式$ax^2+bx+c$，将二次项系数$a$分解成$a_1\cdota_2$，常数项$c$分解成$c_1\cdotc_2$，交叉相乘再相加，若等于$b$，则分解为$(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)$。4、分组分解法【拓展】：先分组，然后再提取公因式或运用公式。适用于四项或四项以上的多项式。（三）因式分解的一般步骤【解题流程】★一提（提公因式）、二套（套公式）、三十字（十字相乘）、四分组（分组分解）、五检查（检查是否分解彻底）。三、分式的基本概念与性质（一）分式的定义【基础】一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫做分式。分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。▲【核心】分式与整式的根本区别在于分母中是否含有字母。（二）分式有意义的条件【高频考点】分式的分母表示除数，除数为$0$无意义，所以分式的分母不能为$0$。即对于分式$\frac{A}{B}$，当$B\neq0$时，分式才有意义。★【解题关键】只考虑分母，不考虑分子。（三）分式值为零的条件【高频考点】当分式的分子等于$0$，而分母不等于$0$时，分式的值为$0$。即若$\frac{A}{B}=0$，则需满足$A=0$且$B\neq0$。▲【易错点】容易忽略分母不为$0$的条件，导致求值范围扩大。（四）分式的基本性质【核心】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于$0$的整式，分式的值不变。即$\frac{A}{B}=\frac{A\timesC}{B\timesC}$，$\frac{A}{B}=\frac{A\divC}{B\divC}$（其中$C$是不等于$0$的整式）。（五）分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。即$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$，$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$，$\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$。四、分式的运算【非常重要】（一）约分与最简分式1、约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。★【步骤】先将分子、分母分解因式，再找出公因式，最后约去公因式。2、最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。【目标】分式运算的结果通常要化成最简分式或整式。（二）通分与最简公分母1、通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。2、最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。▲【确定方法】（1）系数取各分母系数的最小公倍数；（2）字母（或因式）取所有出现的字母（或因式）；（3）指数取相同字母（或因式）的最高次幂。（三）分式的运算法则【高频考点】1、分式的乘除法：（1）乘法法则：$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$。（2）除法法则：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$（$c\neq0$）。★【解题步骤】先将分子、分母分解因式，再约分，最后相乘。2、分式的乘方：$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（$n$为正整数）。3、分式的加减法：（1）同分母分式相加减：$\frac{a}{c}\pm\frac{b}{c}=\frac{a\pmb}{c}$。▲【易错点】把分子相加减时，要把每个分式的分子看作一个整体，加上括号，防止符号错误。（2）异分母分式相加减：$\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d}=\frac{ad}{bd}\pm\frac{bc}{bd}=\frac{ad\pmbc}{bd}$。★【核心】先通分，化为同分母分式，再加减。4、分式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。★【解题技巧】在运算过程中，要灵活运用运算律，能因式分解的要先分解，便于约分，使计算简便。五、整数指数幂与科学记数法（一）整数指数幂【基础】1、正整数指数幂的运算性质可以推广到整数指数幂，即当$m$，$n$为任意整数时，上述幂的运算性质仍然成立。2、引入负整数指数幂后，正整数指数幂的运算性质可以归纳为三条：（1）$a^m\cdota^n=a^{m+n}$（$a\neq0$）；（2）$(a^m)^n=a^{mn}$（$a\neq0$）；（3）$(ab)^n=a^nb^n$（$a\neq0$，$b\neq0$）。（二）科学记数法【高频考点】1、对于一个绝对值大于$10$的数，可以写成$a\times10^n$的形式，其中$1\leq|a|<10$，$n$为正整数，$n$等于原数的整数位数减$1$。2、对于一个绝对值小于$1$的正数，可以写成$a\times10^{n}$的形式，其中$1\leq|a|<10$，$n$为正整数，$n$等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前面的那个零）。▲【注意】$n$的符号和取值是易错点。六、安徽中考考点分析与解题策略（一）考向分析【热点】1、幂的运算：通常以选择题或填空题形式出现，考查同底数幂的乘除、幂的乘方、积的乘方的混合运算。★【复习建议】熟记法则，注意符号，区分不同类型幂运算的异同点。2、整式乘除与乘法公式：常与因式分解结合，考查对公式的灵活运用。完全平方公式的变形（如已知$a+b$，$ab$求$a^2+b^2$）是考查热点。☆【解题技巧】掌握公式的各种变形，利用整体代入思想求解。3、因式分解：必考内容，往往在实数范围内进行，通常不单独出大题，而是融合在分式化简、一元二次方程求解、二次函数等题目中。★【复习建议】必须熟练掌握提公因式法和公式法，了解十字相乘法。分解一定要彻底。4、分式有意义及值为$0$的条件：基础题，常考分母不为$0$的隐含条件。5、分式化简求值：安徽中考必考解答题之一，属于中等难度题目。通常先化简，再代入求值。▲【易错点】代入的值必须使原分式有意义（即所有分母均不为$0$）。6、科学记数法：必考基础题，多与当年的科技成就、社会经济数据结合，考查大数或小数的表示。▲【易错点】$10$的指数确定要准确，特别是负指数的处理。（二）典型题型与解题步骤【重要】1、整式的混合运算：（1）明确运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。（2）准确运用法则和公式，注意每一步的符号。（3）合并同类项得出最简结果。2、分式的化简求值：（1）化：将分式的分子、分母能分解因式的先分解因式。（2）通：若为异分母加减，进行通分，化为同分母。（3）算：按照运算法则进行计算，注意约分化简。（4）检：检查结果是否为最简分式或整式。（5）代：将所选字母的值代入化简后的式子计算。▲★【核心警示】所选字母的值必须确保原分式中的所有分母都不为$0$，这是本题的“陷阱”所在，也是评分的重要依据。3、因式分解的应用：（1）简化计算：在有理数或代数式的计算中，先因式分解再约分或合并，可大大简化计算过程。（2）判断整除：将一个数或式表示成因式乘积的形式，可判断其能否被某数整除。（3）解方程：对于某些高次方程，可通过因式分解降次，转化为一元一次方程或一元二次方程求解。（三）易错点与避坑指南【难点】1、幂的运算混淆：如$a^m\cdota^n=a^{m+n}$误记为$a^{mn}$；$(a^m)^n=a^{mn}$误记为$a^{m+n}$。2、完全平方公式漏项：忘记$2ab$这一项，或符号出错。3、去括号法则不熟：括号前是负号，去括号时括号内各项忘记变号。4、因式分解不彻底：提公因式后，括号内还能再分解的没有继续分解；或者只考虑了形式，没考虑数字因数。5、分式化简求值中“所选数”的陷阱：为了计算方便，选了一个使原分式或化简过程分母为$0$的数，导致失分。6、分式通分时只考虑分母，忽略分子：去分母解方程时，方程两边要同时乘以最简公分母，不能漏乘不含分母的项（这一点在