湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情数学自测卷（人教版A）（解析版）

湖南省长沙市2026-2027学年高一秋季开学学情自测卷数学试题（解析版）题号12345678910答案DACAADCABCDAB题号11答案ACD1．D【分析】根据函数定义域和值域求出，从而求出交集.【详解】由函数定义域可得：，由值域可得，故.故选：D2．A【分析】由分别表示与同向的单位向量分析判断即可.【详解】由于分别表示与同向的单位向量，因此的充要条件是与同向．除A外，其它项均不为充要条件.故选：A．3．C【分析】由或求得并代入集合检验．【详解】因为，所以分为以下两种情况讨论．①或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合元素的互异性，故舍去．②，此时集合，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上所述，．故选：C．4．A【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.【详解】因为不等式的解集为，所以有，由，或，故选：A5．A【分析】结合题意分别列出方程，即可得答案.【详解】设良田为亩，劣田为亩，由于合买良、劣田1顷（100亩），故；由题意可知劣田7亩价值500钱，故劣田1亩价值钱，由于共价值10000钱．故，即得，故选：A6．D【分析】利用三角形全等、三角形相似及角平分线的特征可判断选项.【详解】由步骤①，；由步骤②，；由步骤③，，；所以，故，所以A不一定正确；若，需满足，由选项A分析可得，，不一定成立，矛盾，故B不一定正确；由选项A可知，.因为，而是角平分线，所以.所以，所以，所以D正确.因为，，所以与相似，所以，因为，所以，若，则，通过题目条件无法判断一定成立.故选：D7．C【分析】先求出方程的根，接着分类讨论求出、和三种情况下不等式的解集，再结合题意即可得解.【详解】解方程得，当时，不能等式解集为，因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为，所以，符合；当时，不等式解集为，不符合；当时，不等式解集为，因为不等式恰有5个整数解，则这5个整数解为，所以，符合；综上，满足题意的实数的取值范围是.故选：C.8．A【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可.【详解】，且，所以，当且仅当，即时等号成立.故选：.9．BCD【分析】根据必要条件的定义逐一判断即可.【详解】A：x＋y是偶数不一定能推出x，y是偶数，因为x，y可以是奇数，不符合题意；B：当方程x2－2x＋a＝0有实根时，则有，显然能推出a＜2，符合题意；C：因为菱形对角线互相垂直，所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直，符合题意；D：显然由a＝0推出ab＝0，所以符合题意，故选：BCD10．AB【分析】对于A，写出命题的否定即可；对于B，当时即可排除；对于C，根据,则，再分类讨论即可；对于D，根据,则,然后根据子集公式计算即可.【详解】对于A，命题“，都有”的否定是“，都有”，故A错误；对于B，因为,所以，因为，所以当时，，当时，或，解得或，综上，实数的取值集合为，故B错误；对于C，因为,所以，因为，当时，即或，若时，成立，若时，不成立，当时，成立，综上，的值为或，故C正确；对于D，因为,所以,因为,即集合的子集个数为。所以集合的个数为，故D正确.故选：AB.11．ACD【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对D：根据题意结合函数单调性分析运算.【详解】对A：令，可得，解得，A正确；对B：∵当时，，则，∴，B错误；对C：令，可得，即，设，则，可得，则，即，故函数在内单调递增，C正确；对D：∵函数在内单调递增，故当时，，D正确.故选：ACD.12．【分析】由题，分别化简的值代入即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查对数的运算，熟练掌握换底公式、对数运算公式是解决问题的关键.13．【分析】根据指数与对数的互化公式即可求解.【详解】由题知，因为，所以，所以.14．①③④【分析】先由平移对称性推出原抛物线对称轴得到，再依次代入化简，结合二次函数单调性、恒成立条件、中点与对称轴位置关系逐一判定四个命题正误.【详解】二次函数向右平移1个单位后，解析式变为，该图象关于轴对称，说明其对称轴为,原二次函数的对称轴为，向右平移个单位后对称轴变为，令其等于，可得，即.对于①：由，得，①正确；对于②：将代入代数式，得：，这是开口向上的二次函数，对称轴为，给定区间在对称轴右侧，函数在此区间随增大而增大，因此当时取最小值，代入得最小值为，②错误;对于③：将代入不等式左边：，已知，且，因此恒成立，③正确；对于④：原二次函数对称轴为，说明开口向上，点到对称轴的距离越远，函数值越大，由得，即两点中点在对称轴右侧，且，说明离对称轴更远，故，④正确.15．（1），；（2）【详解】（1），当时，原式．（2）由韦达定理可知，，所以，故原式=.16．(1)；(2)(3)【分析】（1）根据已知条件及等量关系联立方程组即可求解；（2）利用关系式为：总费用减去B种电器的总费用不超过件A种电器的费用即可求解；（3）根据政府补贴资金和自己出的资金得到不等式组，求得整数解即可.【详解】（1）设购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.由题意可知,解得，故购买一件A种电器和一件B种电器所需的资金分别为元和元.（2）设购买B种电器件.,解得,故可购买B种电器至少有件.（3）设购买A种电器件，则购买B种电器件.,解得，因为取整数，所以可取，共种方案.17．(1)(2)【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围.（2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可.【详解】（1）已知“”是“”的充分不必要条件，根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集.已知，，则，解得.故实数的取值范围为.（2）当时，因为，所以，解得，此时成立；当时，，解得.因为，，则或，解得或，故此时.综上，若，则实数的取值范围为.18．(1)(2)【分析】（1）利用偶函数的性即可求得参数的值；（2）根据题意得到，先利用绝对值不等式得到，再构造，通过一系列的分类讨论与整合，结合二次函数的性质求得，从而求得的取值范围.【详解】（1）因为为偶函数，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以，解得，当时，得，由于不恒为，故不满足题意；当时，得；经检验，当时，，所以，易知的定义域为，关于原点对称，又易得，所以为偶函数，综上：.（2）因为对任意的，都存在使得，所以，因为，所以，则，令，则，，当时，，则开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递增，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；当时，，则开口向上，对称轴为，当，即时，在上单调递减，则；当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则；综上：当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，故；当时，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，故；当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，，则，当时，，则，综上：当时，；当时，，所以当时，有，解得或，故；当时，有，解得或，故；所以或，即.【点睛】方法点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．19．（1）证明：因为平分，所以，又因为，，故，因此；（2）；（3）.【分析】（1）证明出，即可得出结论；（2）过C作于点D．通过导角证明，利用角平