2025-2026学年天津市南开中学高一下期末试卷及答案

第1页（共1页）2025-2026学年天津市南开中学高一（下）质检数学试卷（二）Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共60分，每题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数3﹣2i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α3．（5分）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（）A．A∪B∪C是必然事件 B．A与B是互斥事件 C．P（A∩B）≤0.4 D．P（B∪C）可能为1.14．（5分）已知事件A与事件B相互独立，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，则P（A∪B）＝（）A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.45．（5分）2026年美加墨世界杯开赛前10天，每天的进球数如下：5，7，7，19，8，16，13，14，7，13，按从小到大的顺序将其排序为：5，7，7，7，8，13，13，14，16，19，则这组数据的第80百分位数和平均数分别是（）A．15和10.9 B．10.5和10.9 C．10.5和11 D．15和10.56．（5分）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．7．（5分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成三角形的概率是（）A． B． C． D．8．（5分）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角为60°，C点的仰角为45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝50m，则山高MN为（）A．75m B．150m C．180m D．200m9．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D．若，则AB＝（）A． B．7 C．8 D．910．（5分）在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2AD＝2CD＝6，点F是BC边靠近B点的三等分点，点E是CD边上一个动点．则的取值范围是（）A． B．[0，3] C． D．11．（5分）已知球O与正四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱和底面均相切，若，则球O的表面积为（）A． B．2π C． D．π12．（5分）如图，有两张全等的正三角形纸片，边长为2，按照下面两种方法分别将它们裁剪拼成一个三棱锥和一个三棱柱（包括侧面和底面），设三棱锥的体积为V1，三棱柱的体积为V2，则等于（）A． B． C． D．1Ⅱ卷（共90分）二、填空题（共40分，每题5分）13．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝2﹣2i，则|z|＝．14．（5分）已知实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根，则q＝．15．（5分）下列说法中，不正确的是．①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5；⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨．16．（5分）为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛．为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为分．17．（5分）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝．18．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4．M为棱DC的中点，N为侧面AD1的中心，过点M的平面α垂直于C1N，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为．19．（5分）东方真纯是我校学生，她想创办一本杂志——《南星》——以沉淀南开之美．她选择五芒星（或称正五角星形，是由正五边形的对角线所构成的星形正多边形）作为刊物标志，并计划订制五十枚纪念摆件作为创刊号赠品．如图，该纪念摆件为由正五角星形绕AF所在直线旋转180°形成的面所围成的旋转体，已知，BD＝DF＝FH＝HJ＝JB＝2，则该旋转体的表面积为．20．（5分）已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是．三、解答题（共50分）21．（12分）数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现．数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面．某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况．（1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？（2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为A，B，C，D，E．具体情况如下表，其中“〇”表示达标，“×”表示不达标．现从这5人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母写出样本空间Ω，并说明样本点的总数；（ii）设事件M：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求P（M）．核心素养数学抽象直观想象逻辑推理数学运算数学建模数据分析A×〇〇×〇×B×〇〇×〇×C〇×〇〇×〇D×〇×〇〇〇E〇×〇×〇〇22．（12分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB﹣b＝2c．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，且sinB＝2sinC．①求△ABC的周长；②求sin（2B+A）．23．（12分）如图，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（1）求证：AF∥平面CDE；（2）求平面ADE与平面BCEF夹角的大小；（3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．24．（14分）如图1，在平面五边形MADCB中，AB∥CD，AB⊥BC，AB⊥MA，BC＝CD＝2AB＝2MA＝4，将△MAB沿AB折起得到如图2所示的四棱锥P﹣ABCD，且PD＝4，E为棱CD的中点．（1）证明：PE⊥平面PAB；（2）若G为棱PD上一动点，直线CG与平面PAD所成角的正弦值为．（i）求；（ii）求点G到平面PBC的距离．

2025-2026学年天津市南开中学高一（下）质检数学试卷（二）参考答案与试题解析Ⅰ卷（共60分）一、选择题（共60分，每题5分）1．（5分）i是虚数单位，复数3﹣2i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的几何意义求解即可．【解答】解：由题意可得：复数3﹣2i在复平面内对应的点为（3，﹣2），位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m⊥n，则n⊥α C．若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n D．若m∥n，n⊂α，则m∥α【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n与α相交，相交也不一定垂直，故B错误；对于C，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故C正确；对于D，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故D错误．故选：C．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3．（5分）在一次随机试验中，三个事件A，B，C发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项正确的是（）A．A∪B∪C是必然事件 B．A与B是互斥事件 C．P（A∩B）≤0.4 D．P（B∪C）可能为1.1【分析】通过举反例说明A与B不正确；通过交事件A∩B的性质、并事件的概率的求法判断CD．【解答】解：对于A，若A⊂B⊂C，则P（A∪B∪C）＝P（C）＝0.6＜1，故A错误；对于B，若A⊂B，则P（A∩B）＝P（A）＝0.4≠0，故B错误；对于C，由（A∩B）⊂A，得P（A∩B）≤P（A）＝0.4，故C正确；对于D，由概率的性质得：0≤P（B∪C）≤1，∴P（B∪C）不可能为1.1，故D错误．故选：C．【点评】本题考查交事件、并事件的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．（5分）已知事件A与事件B相互独立，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，则P（A∪B）＝（）A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.4【分析】根据题意，先求出P（AB），又由P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），计算可得答案．【解答】解：根据题意，事件A与事件B相互独立，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.1，故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.2+0.5﹣0.1＝0.6．故选：B．【点评】本题考查相互独立事件的概率计算，涉及概率的性质，属于基础题．5．（5分）2026年美加墨世界杯开赛前10天，每天的进球数如下：5，7，7，19，8，16，13，14，7，13，按从小到大的顺序将其排序为：5，7，7，7，8，13，13，14，16，19，则这组数据的第80百分位数和平均数分别是（）A．15和10.9 B．10.5和10.9 C．10.5和11 D．15和10.5【分析】先根据百分位数的计算规则确定第80百分位数的位置，结合排序后的数据计算，再计算所有数据的算术平均数即可得到结果．【解答】解：已知每天的进球数按从小到大的顺序排列为：5，7，7，7，8，13，13，14，16，19，样本容量n＝10，i＝10×80%＝8，第8项为14，第9项为16，所以第80百分位数为，平均数为．故选：A．【点评】本题考查百分位数相关知识，属于中档题．6．（5分）已知非零不共线向量，满足，则向量与向量的夹角为（）A． B． C． D．【分析】结合向量数量积的运算及性质即可求解．【解答】解：因为非零不共线向量，满足，所以，得，，代入可得，所以向量与向量垂直，即夹角为．故选：C．【点评】本题主要考查了向量数量积的运算及性质，属于基础题．7．（5分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的骰子，将得到的点数分别记为a，b，则a，b，4能够构成三角形的概率是（）A． B． C． D．【分析】先计算两次抛掷骰子的总基本事件数，再根据三角形三边关系求出不能构成三角形的基本事件数，利用古典概型公式计算概率．【解答】解：先后两次抛掷同一枚骰子，总基本事件数为6×6＝36，若a，b，4能构成三角形，则需满足任意两边之和大于第三边，即同时满足a+b＞4，a+4＞b，b+4＞a，满足a+b≤4的事件有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），共6种，满足a+4≤b的事件有（1，5），（1，6），（2，6），共3种，满足b+4≤a的事件有（5，1），（6，1），（6，2），共3种，所以不能构成三角形的基本事件总数为6+3+3＝12种，由古典概型概率公式得所求概率P＝1．故选：B．【点评】本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．8．（5分）如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角为60°，C点的仰角为45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝50m，则山高MN为（）A．75m B．150m C．180m D．200m【分析】由题意在Rt△ABC中求出AC，在△ACM中由正弦定理求出AM，然后在Rt△ANM中求出MN的值．【解答】解：由题意可得∠CAB＝45°，所以在Rt△ABC中，AC50，因为∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，所以可得∠AMC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，在△MAC中由正弦定理可得：，即，解得AM＝50，在Rt△ANM中可得：MN＝AM•sin∠MAN，而∠MAN＝60°，所以MN＝5075，故选：A．【点评】本题考查直角三角形中边的求法及正弦定理的应用，属于基础题．9．（5分）如图，二面角α﹣l﹣β的大小为，点A，B分别在半平面α，β内，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D．若，则AB＝（）A． B．7 C．8 D．9【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解．【解答】解：二面角α﹣l﹣β的大小为，AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，，依题意，，而，所以．故选：D．【点评】本题主要考查了空间向量数量积的运算，属于基础题．10．（5分）在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2AD＝2CD＝6，点F是BC边靠近B点的三等分点，点E是CD边上一个动点．则的取值范围是（）A． B．[0，3] C． D．【分析】以点A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，设E（x，3），则x∈[0，3]，且，，从而得到，结合二次函数的性质即可求解．【解答】解：在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，如图，以点A为原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，AB＝2AD＝2CD＝6，点F是BC边靠近B点的三等分点，点E是CD边上一个动点，则A（0，0），C（3，3），B（6，0），F（5，1），设E（x，3），则x∈[0，3]，且，，，因x∈[0，3]，当x＝0时，，当时，，故．故选：D．【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算和二次函数的性质，属于中档题．11．（5分）已知球O与正四棱锥P﹣ABCD的四条侧棱和底面均相切，若，则球O的表面积为（）A． B．2π C． D．π【分析】先确定球O的球心在PO1上，再根据三角形相似确定球的半径，即可确定所求球的表面积．【解答】解：如图所示，O1为底面ABCD的中心，由图形的对称性可知球O的球心O在线段PO1上，因为，所以，，在△PO1B中，如图作OM⊥PB于点M，设球O的半径为R，则OO1＝OM＝R，，易得△PMO∽△PO1B，则，即，解得，因此，球O的表面积为．．故选：A．【点评】本题考查几何体表面积的计算，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题．12．（5分）如图，有两张全等的正三角形纸片，边长为2，按照下面两种方法分别将它们裁剪拼成一个三棱锥和一个三棱柱（包括侧面和底面），设三棱锥的体积为V1，三棱柱的体积为V2，则等于（）A． B． C． D．1【分析】借助所拼成三棱柱上底面与下底面面积相等可得该三棱柱底面边长，再结合体积公式计算这两个多面体的体积即可得．【解答】解：设给出正三角形纸片的边长为2，那么该三棱锥为正三棱锥，该三棱柱为正三棱柱，设正三棱锥的高为h1，正三棱锥的体积为，如图：设正三棱柱底面边长为BC＝a，则AB＝2﹣a，则其高为，由三个角剪下的三个全等四边形的面积与底面三角形面积相等，则有，解得a＝1，则三棱柱的体积为，所以．故选：B．【点评】本题主要考查了棱锥和棱锥的体积公式，属于中档题．Ⅱ卷（共90分）二、填空题（共40分，每题5分）13．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝2﹣2i，则|z|＝2．【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．【解答】解：复数z满足（1+i）z＝2﹣2i，则z2i，故|z|＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查模的求解，属于基础题．14．（5分）已知实系数一元二次方程x2+px+q＝0有虚根，则q＝3．【分析】将方程根代入方程化简，利用待定系数法列方程组求解．【解答】解：将方程的根代入可得：，即，所以，解得．故答案为：3．【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．15．（5分）下列说法中，不正确的是①②④．①抛掷一枚硬币正面朝上的概率为0.5，则抛掷两枚这样的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上；②抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果是4次正面朝上，所以事件“正面朝上”的概率为0.4；③当试验次数很大时，随机事件发生的频率接近其概率；④在一次试验中，随机事件可能发生也可能不发生，所以事件发生和不发生的概率各是0.5；⑤对天气预报中“降水的概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨．【分析】根据题意，由概率的性质依次分析5个结论，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析5个结论：对于①，抛掷一枚硬币是随机试验，在一次试验中出现某种结果也是随机的，所以抛掷两次硬币也可能出现两次正面朝上和两次反面朝上，故①错误．对于②，事件“正面朝上”的频率是0.4，而不是概率是0.4，故②错误．对于③，根据频率的稳定性可知③正确．对于④，随机事件发生和不发生的概率不一定是0.5，故④错误．对于⑤，“降水的概率为90%”的含义是在类似的气象条件下，大约有90%的天数要下雨，故⑤正确．故答案为：①②④．【点评】本题考查概率的定义和性质，注意概率的意义，属于基础题．16．（5分）为提升我校学生的科研能力，现拟在今年暑假举办我校首届中学生数学建模大赛．为了办好这项赛事，数学组老师研究了很多相关赛事的资料，其中包括这一由某高校最近一届数学建模比赛成绩绘制而成的频率分布直方图，根据直方图，估计该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为86.25分．【分析】根据百分位数相关知识可解．【解答】解：根据题意，[90，100]的频率为0.016×10＝0.16，[80，90）的频率为0.024×10＝0.24，[40，50）的频率为0.004×10＝0.04，[50，60）的频率为0.006×10＝0.06，[60，70）的频率为0.020×10＝0.20，[70，80）的频率为0.030×10＝0.30，前四组累计频率：0.04+0.06+0.20+0.30＝0.60＜0.75，前五组累计频率：0.60+0.24＝0.84＞0.75，所以第75百分位数落在区间[80，90）内，设第75百分位数为x，则（x﹣80）×0.024＝0.75﹣0.60，所以x＝86.25，综上，该高校数学建模比赛成绩的第75百分位数为86.25分．故答案为：86.25．【点评】本题考查百分位数相关知识，属于中档题．17．（5分）在△ABC中，AB＝5，AC＝7，D为BC的中点，AD＝5，则BC＝4．【分析】设BD＝DC＝x，在△ADC和△ADB中利用余弦定理，又∠ADB+∠ADC＝180°，即可得到cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，即可求出参数x的值，从而得解；【解答】解：设BD＝DC＝x，则BC＝2x，在△ADB中由余弦定理AB2＝AD2+DB2﹣2AD•DBcos∠ADB，即25＝25+x2﹣10xcos∠ADB①；在△ADC中由余弦定理AC2＝AD2+DC2﹣2AD•DCcos∠ADC，即49＝25+x2﹣10xcos∠ADC②；又∠ADB+∠ADC＝180°，所以cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，所以①+②得，x2＝12，解得，所以．故答案为：4．【点评】本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．18．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4．M为棱DC的中点，N为侧面AD1的中心，过点M的平面α垂直于C1N，则平面α截正方体AC1所得的截面面积为．【分析】通过空间向量法确定垂直于C1N的平面方程，找到截面顶点，判定截面为菱形后，利用对角线求面积即可．【解答】解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为4，所以C1（0，4，4），M（0，2，0），N（2，0，2），则，设截面上的点为P（x，y，z），则，因为过点M的平面α垂直于C1N，所以是平面α的一个法向量，所以，得x﹣2y﹣z＝﹣4，当点在棱A1B1上时，x＝4，z＝4，则y＝2，得E（4，2，4）；当点在棱AB上时，x＝4，z＝0，则y＝4，得B（4，4，0）；当点在棱DD1上时，x＝0，y＝0，则z＝4，得D1（0，0，4），所以截面为四边形MBED1，又因为，同理可得，所以四边形MBED1为菱形，又因为对角线，所以面积．故答案为：．【点评】本题考查利用向量法判断线面位置关系，以及计算距离问题，属于中档题．19．（5分）东方真纯是我校学生，她想创办一本杂志——《南星》——以沉淀南开之美．她选择五芒星（或称正五角星形，是由正五边形的对角线所构成的星形正多边形）作为刊物标志，并计划订制五十枚纪念摆件作为创刊号赠品．如图，该纪念摆件为由正五角星形绕AF所在直线旋转180°形成的面所围成的旋转体，已知，BD＝DF＝FH＝HJ＝JB＝2，则该旋转体的表面积为．【分析】根据旋转体的形状，分别求各部分的表面积．【解答】解：因为纪念摆件为由正五角星形绕AF所在直线旋转180°形成的面所围成的旋转体，又，BD＝DF＝FH＝HJ＝JB＝2，所以等腰△ABJ中，底边与腰的长度比，为黄金分割比，所以△ABJ顶角为36°，底角为72°，显然C，B，J，I四点共线，则有，易得△ABJ与△ADH相似，则，即得，又因△DFH与△EFG相似，，则，则顶层圆锥的侧面积，上表面圆环的面积，中间圆台的侧面积，下层圆台的侧面积，下面圆锥的侧面积，该旋转体的表面积．故答案为：.．【点评】本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积问题的求解，属中档题．20．（5分）已知函数，、、为三个不同的平面向量，且．若，则的取值范围是．【分析】由题可得中有一个为0，一个为正，一个为负，令，设为θ，由题设可得所求表达式关于θ的表达式，据此可得答案．【解答】解：根据f（x）解析式及，那么全为0，或中有一个为0，一个为负，一个为正，若全为0，因为，那么、、两两垂直，这与、、为三个不同的平面向量矛盾．那么中有一个为0，一个为正，一个为负．令，设，如下图及题设可得．，因此．由于，那么，那么．那么的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查函数与平面向量的综合应用，属于中档题．三、解答题（共50分）21．（12分）数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感态度与价值观的综合体现．数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面．某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况．（1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？（2）从（1）抽取的人中随机选出5人，分别记为A，B，C，D，E．具体情况如下表，其中“〇”表示达标，“×”表示不达标．现从这5人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母写出样本空间Ω，并说明样本点的总数；（ii）设事件M：“抽取的2人中，不达标的项目至少有一项相同”，求P（M）．核心素养数学抽象直观想象逻辑推理数学运算数学建模数据分析A×〇〇×〇×B×〇〇×〇×C〇×〇〇×〇D×〇×〇〇〇E〇×〇×〇〇【分析】（1）根据分层抽样的定义计算即可；（2）（i）列出所有情况即可；（ii）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型计算即可．【解答】解：（1）某学校高一、高二、高三学生分别有1000，1500，1500人，采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取240人调查学生数学核心素养六个方面的发展情况，∵高一、高二、高三学生人数之比为2：3：3，∴采取分层抽样的方法从中抽取240位学生，，∴应从高一、高二、高三学生中分别抽取60人，90人，90人．（2）（i）从5人中随机抽取2人，样本空间Ω为所有可能的两人组合，即：Ω＝{（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）}，样本点总数为10；（ii）设对立事件：“抽取的2人中，不达标的项目没有相同的”，A，B：不达标项目为{数学抽象}，{数学运算}，{数据分析}；C：不达标项目为{直观想象}，{数学建模}；D：不达标项目为{数学抽象}，{逻辑推理}；E：不达标项目为{直观想象}，{数学运算}；找出包含的样本点：（A，C）：A的不达标项目与C的无交集；（B，C）：B的不达标项目与C的无交集；（C，D）：C的不达标项目与D的无交集；（D，E）：D的不达标项目与E的无交集；∴包含4个样本点，其概率，∴．【点评】本题考查分层抽样、古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22．（12分）在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acosB﹣b＝2c．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为，且sinB＝2sinC．①求△ABC的周长；②求sin（2B+A）．【分析】（1）根据正弦定理及三角方程，即可求解；（2）①根据三角形面积公式，正弦定理，余弦定理，即可求解；②根据正弦定理，三角函数的同角关系．三角函数公式，即可求解．【解答】解：（1）因为在ΔABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB﹣b＝2c，所以2sinAcosB﹣sinB＝2sinC＝2sin（A+B）＝2sinAcosB+2cosAsinB，所以﹣sinB＝2cosAsinB，又sinB＞0，所以，又A∈（0，π），所以；（2）①由，得bc＝2．由sinB＝2sinC及正弦定理，得b＝2c，所以bc＝2c2＝2，所以c＝1，b＝2，又a2＝b2+c2+bc＝7，所以．所以△ABC的周长为．②根据上述分析可知，，，由正弦定理，又B是锐角，所以，可得，计算可得．【点评】本题考查解三角形的综合应用，属中档题．23．（12分）如图，平面ABCD⊥平面BCEF，且四边形ABCD为矩形，四边形BCEF为直角梯形，BF∥CE，BC⊥CE，DC＝CE＝4，BC＝BF＝2．（1）求证：AF∥平面CDE；（2）求平面ADE与平面BCEF夹角的大小；（3）求直线EF与平面ADE所成角的余弦值．【分析】（1）取CE的中点H，连接DH，可得FH∥AD，且FH＝AD，证明四边形AFHD为平行四边形，从而能证明AF∥平面CDE；（2）以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ADE与平面BCEF夹角的大小；（3）利用向量法能求出直线EF与平面ADE所成角的余弦值．【解答】解：（1）取CE中点H，连接DH，则BF＝CH＝2，且BF∥CH，又BC⊥CE，∴四边形BFHC为正方形，则FH∥BC，且FH＝BC，又四边形ABCD为矩形，则BC∥AD，且BC＝AD，∴FH∥AD，且FH＝AD，则四边形AFHD是平行四边形，∴AF∥DH，又AF⊄平面CDE，DH⊂平面CDE，∴AF∥平面CDE；（2）∵四边形BCEF是直角梯形，四边形ABCD是矩形，∴BC⊥CE，BC⊥CD，又∵平面ABCD⊥平面BCEF，且平面ABCD∩平面BCEF＝BC，∴DC⊥平面BCEF，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CE所在直线为y轴，CD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，4），B（2，0，0），C（0，0，0），D（0，0，4），E（0，4，0），F（2，2，0），设