2026年安徽省示范高中皖北协作区第28届联考数学试题

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年安徽省示范高中皖北协作区第28届联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若复数满足，则的虚部为（

）A．1 B．i C． D．2．在平行四边形中，，，则（

）A．1 B．4 C．6 D．113．已知集合，若，且，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．从1，2，3，4，5，6这6个数中随机选取3个不同的数，则这3个数的中位数为4的概率为（

）A． B． C． D．5．龙辰塔，萧县“龙城”文化地标，矗立于岱湖中心，是一座仿唐宋形制的八角仿古景观塔．某中学社会实践小组为探究这座古塔的高度，开展了一次实地测量的活动，他们在塔底B所在的水平地面上选取，两点，测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则龙辰塔的高度约为（

）（参考数据：取，）A．48米 B．50米 C．52米 D．54米6．若是抛物线上的动点，点，则的最小值为（

）A． B．5 C．7 D．7．已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆的圆周上取一点A，在圆台下底面圆的圆周上取一点B，且，则直线与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知函数，若函数恰有个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知函数，，，则（

）A．，的图象都关于点对称B．，的图象都关于直线对称C．将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象D．将图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象10．已知圆经过双曲线的两个焦点，，且P为双曲线C上异于顶点的任意一点，点，则（

）A．点M在双曲线C上B．当P在圆T上时，的面积为8C．点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为3D．双曲线C上存在定点Q，使得直线和的斜率之积为定值11．若x，y，，且，则（

）A．当时， B．C．当取得最大值时， D．当取得最小值时，三、填空题12．若某正三棱柱的表面积是侧面积的两倍，且底面的边长为2，则该正三棱柱的体积为____________．13．已知函数的值域为，则a的取值范围是____________．14．将一个正n边形顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个不同的三角形区域，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则____________，____________．四、解答题15．某市高三学生学习强度指数Q的概率分布情况如下表所示．学习强度指数Q概率0.20.50.3应对情况轻松应对勉强应对困难应对(1)从该市随机选取3名高三的学生，记学习强度指数的人数为X，求及X的数学期望．(2)定义为在事件M发生的条件下事件N发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件A发生的条件下事件B发生的优势．16．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．(1)求Γ的方程；(2)若直线与交于A，B两点，且，求m的取值范围．17．已知函数．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若不等式恒成立，求m的取值范围；(3)证明：函数的最小值小于函数的最小值．18．在中，，，点分别在边,上，且，，将沿折起，点落在点的位置，连接,,得到如图所示的四棱锥，点在线段上，且．(1)证明：平面．(2)设．（i）求平面与平面夹角的余弦值；（ii）设直线与平面相交于点，求的值．19．在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”．(1)若，判断是不是“组差数列”，并说明理由．(2)若是“组差数列，且为定值，证明：．(3)记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2026年安徽省示范高中皖北协作区第28届联考数学试题》参考答案题号12345678910答案ACCBCBDAACABD题号11答案BCD1．A【详解】由，得，则的虚部为1.2．C【详解】，，则在平行四边形中，，.3．C【详解】因式分解得；可得，故集合；因为且，所以，解得.所以的取值范围是.4．B【详解】总样本点个数为：；若3个数的中位数为4，则必须满足：一定选中数字4，剩余2个数中，恰好1个比4小、1个比4大，比4小的数有1，2，3共3个，比4大的数有5，6共2个，因此符合条件的样本点个数为：；根据古典概型公式，得：所求概率为：.5．C【分析】利用正弦定理求出，再由直角三角形求解即可.【详解】因为，所以由正弦定理可得，即，在中，，所以（米）.6．B【分析】先根据抛物线方程确定其焦点和准线方程，再利用抛物线的定义将进行转化，最后结合几何图形的性质求出的最小值.【详解】由抛物线，得，则，所以抛物线的焦点，准线方程为.设点到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即.因为点到准线的距离就是，所以，那么，根据几何性质，当，，三点共线时，的值最小，即，已知，，得：，所以的最小值为.7．D【分析】利用内切圆台的性质求出圆台高，建立空间直角坐标系后，结合线面角的定义，用点到平面距离除以线段长得到所求正弦值.【详解】已知圆台上下底面半径分别为，，且圆台存在内切球，根据圆台内切球性质，母线长.由勾股定理，圆台的高满足：代入得，即.以为原点，以所在直线为轴，以过与平行的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，平面即为（平面），点到平面的距离；，设直线与平面所成角为，由线面角定义可知.8．A【分析】利用奇函数的定义及导数与函数单调性间的关系，可得为奇函数且为减函数，从而将问题转化成函数与函数的图象有个交点，再利用导数求出的单调性，进而得出的图象，数形结合，即可求解.【详解】因为，易知的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，又恒成立，所以为减函数，令，得到，所以，整理得到，令，因为函数恰有个零点，则函数与函数的图象有个交点，又，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，又时，，时，，时，，时，，且恒成立，其图象如图所示，由图可知，要使函数与函数的图象有个交点，则，解得，所以实数的取值范围是.9．AC【分析】根据正弦函数、正弦型函数的对称性判断AB，根据两角和的余弦公式及图象的伸缩与平移变换判断CD.【详解】对A，关于中心对称，也关于中心对称，故A正确；对B，的一条对称轴为，因为，所以的图象不关于直线对称，故B错误；对C，，的图象向左平移个单位长度，可得到，故C正确；对D，图象上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数，故D错误.10．ABD【分析】根据题意，求出双曲线方程，将点M代入方程验证A选项；联立求出点的横坐标值，根据三角形面积公式求解验证B选项；求出双曲线渐近线，利用点到直线距离验证C选项；利用点差法验证D选项.【详解】由题知双曲线的焦点在轴，故，焦点坐标为，因为圆过焦点，代入得，即，解得，因此双曲线的方程为：.对于A：点代入双曲线方程得左边右边，因此在双曲线上，故A正确；对于B：联立，消去得，故横坐标可以为，中，，高为，面积，故B正确.对于C：双曲线渐近线为，设，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为，因为在双曲线上，故满足，即，点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积如下，为，故C错误；对于D：设是位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点，则，又①，②，由①②得到，得到，所以，综上，只要满足位于双曲线上，关于原点对称，且异于的两个点均可满足点P与两点连线斜率之积为定值，故当点坐标为时，直线和的斜率之积为定值，故D正确.11．BCD【分析】对A，根据条件，利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件，利用重要不等式，即可求解；对C，根据条件，利用基本不等式得到，构造函数，利用导数求出的单调区间，即可求解；对于D，根据条件，利用基本不等式得到，再利用基本不等式，即可求解.【详解】对于A，当时，由，得到，即又x，y，，所以，所以，得到，当且仅当时取等号，所以A错误，对于B，因为，即，当且仅当时取等号，所以B正确，对于C，由，得到，则，所以，当且仅当时取等号，则，令，则，当时，，当时，，即在区间上单调递增，在区间上递减，即当，有最大值，所以C正确，对于D，由选项C知，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，又因为，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当，即时取等号，此时，所以D正确.12．【分析】棱柱的高为，先求出侧面积及表面积，利用题干给出的条件解出高，最后用体积公式求解体积.【详解】设正三棱柱的高为，底面正三角形边长，侧面积：，底面积：，两个底面的总面积为，表面积：，依题意得：，代入得：化简求解：，正三棱柱体积：.13．【分析】分别求出在和的值域，根据集合包含关系可得，解不等式即可求解.【详解】因为当时，，此时，即，所以在时，的值域为，函数为，令，则在时为，且增大时减小，在时单调递增，所以单调递减，因此在上单调递增，此时：当时，，当时，，所以在时，的值域为，所以要使函数的值域为，则，解得：，则a的取值范围是14．184086【分析】根据排列组合的基本性质，通过分类和分步计数方法，求出三个区域、四个区域、和五个区域的不同方案数，再根据题意，讨论个、个、个不同的三角形区域的不同方案数之间的递推关系，根据递推关系，构造等比数列，进而求出结果.【详解】有三个区域时，如下图，任意两个区域两两相邻，则三种颜色都要使用，共有种不同涂色方案；有四个区域时，如下图，分两类情况，①当和区域颜色相同，不同方案有种；②和区域颜色不同，不同方案有种.故当有四个区域时，共有种不同涂色方案；当有五个区域时，如下图，分两类情况，①和区域颜色相同，不同方案数为种；②和区域颜色不同时，不同方案数为种；故当有五个区域时，共有种不同涂色方案；当有个不同的三角形区域时，如下图所示，情况一：当区域和区域颜色相同时，可理解为对个区域进行涂色，有种不同的方案，此时区域有两种不同的颜色可用，即共有种不同的方案；情况二：当区域和区域颜色不同时，可理解为对个区域进行涂色，有种不同的方案，此时区域只有一种颜色可用，即共有种不同的方案；综上可得；所以，即，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，可得，所以.15．(1)，的数学期望为；(2)；【详解】（1）解：由表可知，学习强度指数的概率为：,从该市随机选取名学生，记学习强度指数的人数为，则服从二项分布，所以；的数学期望为：；（2）解：由题意可知，事件为“该学生学习有压力”，事件为“该学生困难应对”.，，因为事件包含于事件中，所以，在事件发生的条件下事件发生的概率为：，在事件发生的条件下事件发生的概率为：，所以在事件发生的条件下事件发生的优势为：.16．(1)(2)【分析】（1）根据短轴长和离心率求出椭圆方程.（2）联立直线与椭圆方程，利用判别式、韦达定理和弦长公式，结合弦长条件求出的取值范围.【详解】（1）由题意可得：短轴长，故，又因为离心率，结合椭圆关系可得：，解得，，所以椭圆的方程为：.（2）由题意可知，联立直线与椭圆方程：，消去整理得：，设直线与椭圆交于点，，则判别式：，解得，即，由韦达定理得：，，由弦长公式，其中，可得：，又因为，所以，化简可得：，两边平方得：，即或，又因为，所以的取值范围为：.17．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）代入得到函数解析式后求导得到处的切线斜率，结合切点坐标用点斜式化简得到切线方程；（2）将恒成立问题转化为对恒成立，通过求导得到的最小值，进而确定的取值范围；（3）先求出原函数的单调性与最小值点，分别得到内层函数和的值域，结合的单调性得到两个复合函数的最小值，通过比较大小完成证明.【详解】（1）当，，定义域，计算得，求导得​，切线斜率，由点斜式得切线方程，整理得.（2）恒成立等价于对任意恒成立，设，则，求导得​，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，因此的取值范围是.（3）对，，由（2）可知在单调递减，在单调递增。因为，所以由解析式可知​，由于，可以取到，因此函数的最小值为，设，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以，即​.由于在递增，因此函数的最小值为，因为，所以，因此的最小值小于的最小值，得证.18．(1)证明见解析(2)（i）；（ii）3【分析】（1）通过构造平行四边形，得到，再依据线面平行的判定定理即可证明；（2）利用翻折性质得到三角形三边长度，通过建立空间直角坐标系，借助向量法即可求得；（3）通过延长线利用平行线分线段成比例的性质即可求得.【详解】（1）如图1，在