二维随机变量练习题

二维随机变量练习题概率论与数理统计·12道典型例题精讲Contents练习目录概率论与数理统计核心练习章节，涵盖多维随机变量及其分布的关键知识点。01联合分布与边缘分布02条件分布与独立性判断03二维均匀分布与正态分布04随机变量函数的分布CHAPTER01联合分布与边缘分布掌握离散型与连续型二维随机变量的联合分布及边缘分布求解方法Probability·Exercise01练习1：离散型联合分布律本题通过摸球问题考查二维离散型随机变量联合分布律的求解。核心方法是利用超几何分布思想，对每对可能取值计算组合概率，需特别注意变量间的约束关系（X+Y≤3）对取值空间的限制。题目·口袋中3红球、2白球、3蓝球，随机取3个，X=红球数，Y=白球数，求(X,Y)联合分布律Y=0Y=1Y=2X=01/566/563/56X=19/5618/563/56X=29/566/56—X=31/56——取值空间X∈{0,1,2,3}，Y∈{0,1,2}，需满足约束X+Y≤3，实际有效组合共10对概率公式P(X=i,Y=j)=C(3,i)·C(2,j)·C(3,3-i-j)/56验证表中所有概率之和=56/56=1，分布律成立PROBABILITYTHEORY练习2：连续型边缘概率密度本题在矩形区域上考查连续型二维随机变量边缘概率密度的求解。矩形区域下积分限确定较为直接，但需验证联合密度的归一性，并理解边缘密度本质上是对另一个变量的"积分消去"。01题目条件设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=6xy²（0<x<1,0<y<1）求X和Y的边缘概率密度fX(x)与fY(y)JOINTPDF02验证归一性对f(x,y)在整个平面上积分：∫₀¹∫₀¹6xy²dxdy=∫₀¹3y²dy=1✓确认联合密度合法=103求fX(x)将联合密度对y积分：fX(x)=∫₀¹6xy²dy=6x·[y³/3]₀¹=2x其中0<x<1，其余区间为02x04求fY(y)将联合密度对x积分：fY(y)=∫₀¹6xy²dx=6y²·[x²/2]₀¹=3y²其中0<y<1，其余区间为03y²概率论·多维随机变量练习3：联合分布函数求解本题要求从联合概率密度出发求解联合分布函数F(x,y)，核心难点在于对(x,y)所在平面进行区域划分，在每个区域上分别计算二重积分。01

题目条件：设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=4xy，其中0<x<1，0<y<1，求联合分布函数F(x,y)02

核心计算区域：当0≤x≤1且0≤y≤1时，F(x,y)=∫₀ˣ∫₀ʸ4uvdudv=x²y²03

边界区域：x>1且0≤y≤1→F=y²；0≤x≤1且y>1→F=x²；x>1且y>1→F=104

完整结果：当x<0或y<0时F(x,y)=0；最终F(x,y)以分段函数覆盖全部5个区域，需验证F(+∞,+∞)=1CHAPTER02条件分布与独立性判断深入理解条件概率密度与随机变量独立性的判定方法概率论·练习练习5：条件概率密度计算本题在三角形区域上考查条件概率密度f(x|y)的求解。核心难点有二：一是求边缘密度时积分限由三角形区域决定，二是条件密度的定义域会随给定条件值而变化，需重新确定有效区间。题目设(X,Y)的联合概率密度为f(x,y)=1（0<x<1，0<y<2x），求条件概率密度f(x|y)STEP01求边缘密度fY(y)对x积分，由0<y<2x得x>y/2，积分限[y/2,1]：fY(y)=∫y/211dx=1−y/2，0<y<2STEP02计算条件密度f(x|y)f(x|y)=f(x,y)/fY(y)=1/(1−y/2)=2/(2−y)，y/2<x<1STEP03条件定义域变化当Y=y确定后，X的有效范围从(0,1)变为(y/2,1)—条件分布的核心特征Exercise07练习7：条件概率的具体计算本题综合考查条件概率密度的求解与条件概率的积分计算。解题流程为：先求边缘密度fY(y)，再得条件密度f(x|y)，代入具体y值后在目标区间上积分，体现条件分布从密度到概率的完整应用链。Step01题目条件设f(x,y)=8xy，其中0<x<y<1求在Y=1/2条件下X>1/4的条件概率P(X>¼|Y=½)Step02求边缘密度fY(y)=∫₀ʸ8xydx=4y³代入y=1/2，得fY(1/2)=1/2fY(½)=½Step03条件密度f(x|y)=8xy/4y³=2x/y²代入y=1/2，得f(x|1/2)=8x，0<x<1/2f(x|½)=8xStep04计算概率P=∫(¼→½)8xdx=[4x²]=4·(1/4−1/16)=3/4P=3/4概率论·练习练习8：独立性判断完整流程CHAPTER03二维均匀分布与正态分布掌握两类重要连续型分布的性质、计算与独立性特征Probability&Statistics·Exercise09练习9：矩形区域上的均匀分布矩形区域上的二维均匀分布是最基础的情形，其联合密度为面积的倒数，且X与Y必然独立。概率计算转化为几何面积比，关键在于准确确定事件区域与定义域的交集。01题目(X,Y)在D={(x,y):0<x<2,0<y<3}上服从均匀分布。求P(X+Y<2)，并判断X与Y是否独立。02联合密度f(x,y)=1/S(D)=1/6，(x,y)∈D。P(X+Y<2)需计算区域{x+y<2}∩D的面积——三角形(0,0)(2,0)(0,2)，面积=2，故P=1/3。03独立性验证fX(x)=1/2（0<x<2），fY(y)=1/3（0<y<3）。fX(x)·fY(y)=1/6=f(x,y)，故X与Y独立。04推广结论矩形区域均匀分布的独立性可推广：当且仅当区域D为矩形直积集时，均匀分布的两个分量相互独立。PROBABILITY练习10：圆形区域上的均匀分布圆形区域上的均匀分布与矩形情形形成鲜明对比：虽然概率计算仍可用面积比简化，但非矩形的定义域决定了X与Y必然不独立。边缘密度呈现与圆几何特征相关的非线性形式。01题目：(X,Y)在单位圆D:x²+y²≤1上服从均匀分布。(1)求P(X²+Y²≤1/4)；(2)判断X与Y是否独立。02联合密度与概率：f(x,y)=1/π（(x,y)∈D）。P(X²+Y²≤1/4)=小圆面积/大圆面积=π·(1/2)²/π=1/403边缘密度：fX(x)=∫(−√(1−x²)到√(1−x²))1/πdy=2√(1−x²)/π（|x|<1）；同理fY(y)=2√(1−y²)/π（|y|<1）04独立性判断：fX(x)·fY(y)=4√(1−x²)·√(1−y²)/π²≠1/π=f(x,y)，故X与Y不独立。圆形区域的非矩形特征直接决定了不独立性。PROBABILITY&STATISTICS·EXERCISE11练习11：二维正态分布性质二维正态分布具有三个核心性质：边缘分布恒为正态、独立性与不相关性等价(ρ=0)、线性组合仍为正态。这些性质使正态分布在多维统计分析中具有独特优势。题目设(X,Y)服从二维正态分布N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ)，其中μ₁=1,μ₂=2,σ₁²=4,σ₂²=9,ρ=0。(1)求P(X>1)；(2)判断X与Y独立性；(3)求Z=2X−Y的分布边缘分布与概率X的边缘分布为N(1,4)，利用正态分布关于均值的对称性：P(X>1)=P((X−1)/2>0)=1−Φ(0)=0.5=0.5独立性判断ρ=0，由二维正态分布的特殊性质，X与Y独立。一般分布中ρ=0不能推出独立，但正态分布中可以——这是其独有的优良性质。ρ=0线性组合分布Z=2X−Y服从正态分布：E(Z)=2·1−2=0D(Z)=4·4+1·9−0=25Z~N(0,25)Chapter04随机变量函数的分布掌握离散型穷举法、连续型分布函数法与卷积公式三大核心方法PROBABILITYEXERCISE练习13：离散型函数的分布（穷举法）离散型随机变量函数的分布采用穷举法求解：列出所有可能的取值组合，计算函数映射值，合并相同结果对应的概率。此方法简单通用，是离散型情形的标准解法。01PROBLEMX与Y独立，均服从P(X=0)=P(X=1)=1/2的分布，求Z=X+Y和W=XY的分布律。02ENUMERATE穷举(X,Y)四种组合：(0,0)概率1/4→Z=0,W=0；(0,1)概率1/4→Z=1,W=0；(1,0)概率1/4→Z=1,W=0；(1,1)概率1/4→Z=2,W=103RESULTZ=X+Y的分布律：P(Z=0)=1/4，P(Z=1)=1/2，P(Z=2)=1/4；W=XY的分布律：P(W=0)=3/4，P(W=1)=1/404VERIFY验证：Z的概率之和=1/4+1/2+1/4=1✓；W的概率之和=3/4+1/4=1✓；合并时注意相同函数值对应的概率要累加。PROBABILITYTHEORY·EXERCISE14练习14：连续型Z=X+Y的分布（卷积公式）独立连续型随机变量之和Z=X+Y的密度可用卷积公式求解。积分限的确定是关键难点，需要根据X和Y的定义域对z进行分段讨论，最终得到分区域定义的密度函数。01题目X与Y独立，均在(0,1)上服从均匀分布，求Z=X+Y的概率密度fZ(z)02卷积公式fZ(z)=∫fX(x)·fY(z−x)dx，其中fX(x)=1（0<x<1），fY(z−x)=1（z−1<x<z）03分段积分限当0<z≤1时，交集0<x<z，fZ(z)=∫₀ᶻ1dx=z；当1<z<2时，交集z−1<x<1，fZ(z)=∫z−1¹1dx=2−z04综合结果fZ(z)=z（0<z≤1）、2−z（1<z<2）、0（其他）验证∫₀²=1✓练习15·Probability连续型Z=X/Y的分布（分布函数法）对于非加减形式的函数Z=g(X,Y)，应采用分布函数法：先求FZ(z)=P(g(X,Y)≤z)的二重积分，再对z求导得密度。积分区域随z变化需分段处理，对积分技巧要求较高。01题目X与Y独立，均在(0,1)上服从均匀分布，求Z=X/Y的概率密度fZ(z)02建立分布函数FZ(z)=P(X/Y≤z)=P(X≤zY)=∬(x≤zy)f(x,y)dxdy，其中f(x,y)=1，定义域0<x<1,0<y<103分段计算积分0<z≤1时：FZ(z)=∫₀¹∫₀zydxdy=z/2；z>1时：FZ(z)=∫₀1/z∫₀zydxdy+∫1/z¹∫₀¹dxdy=1−1/(2z)04求导与验证对z求导：fZ(z)=1/2（0<z≤1）、1/(2z²)（z>1）、0（其他）；验证∫₀∞fZ(z)dz=1/2+1/2=1✓Probability·Exercise16练习16：极值分布max(X,Y)与min(X,Y)独立随机变量的极值分布具有简洁的公式：M=max(X,Y)的分布函数FM(m)=FX(m)·FY(m)；W=min(X,Y)的分布函数为FW(w)=1-[1-FX(w)][1-FY(w)]。这两个公式可推广到n个独立随机变量情形。01题目：X与Y独立，X~Exp(1)，Y~Exp(2)，求M=max(X,Y)和W=min(X,Y)的分布函数与密度02M的分布：FM(m)=FX(m)·FY(m)=(1-e-m)(1-e-2m)=1-e-m-e-2m+e-3m(m>0)；求导得fM(m)=e-m+2e-2m-3e-3m03W的分布：FW(w)=1-[1-FX(w)][1-FY(w)]=1-e-w·e-2w=1-e-3w(w>0)；求导得fW(w)=3e-3w，即W~Exp(3)04推广：n个独立Exp(λi)的min仍为指数分布，参数为Σλi；max的密度展开后有2n-1项，n较大时可编程计算ProbabilityExercise练习17：连续型Z=XY的分布乘积型函数Z=XY的分布需用分布函数法，积分区域由双曲线xy=z界定。当z较小时积分区域需分段处理，最终密度函数呈现对数形式，体现了非线性变换对分布形状的影响。01题目：X与Y独立，均在(0,1)上服从均匀分布，求Z=XY的概率密度fZ(z)Z=XY02FZ(z)=P(XY≤z)，当0<z<1时积分区域为{xy≤z}∩(0,1)²，分两段：∫₀ᶻ∫₀¹dydx+∫ᶻ¹∫₀z/xdydx=z+∫ᶻ¹(z/x)dx=z−zlnz03对z求导：fZ(z)=d/dz(z−zlnz)=1−(lnz+1)=−lnz(0<z<1)当z≥1时FZ(z)=1；当z≤0时FZ(z)=004验证：∫₀¹(−lnz)dz=[−zlnz+z]₀¹=1✓fZ(z)在z→0时趋于+∞但可积，这是乘积分布的典型特征∫=1✓PROBABILITY·EXERCISE18练习18：混合型Z=X+Y的分布当X为离散型、Y为连续型且二者独立时，Z=X+Y的分布函数可用全概率公式按X的取值分解，结果为多个连续分布函数的加权混合，密度函数呈现多峰特征。01题目X与Y独立，X服从P(X=0)=P(X=1)=1/2，Y~N(0,1)，求Z=X+Y的分布函数和密度函数。X∈{0,1}，Y~N(0,1)02分布函数全概率公式分解：FZ(z)=½·Φ(z)+½·Φ(z−1)全概率分解03密度函数对z求导得密度：fZ(z)=1/(2√2π)·[e−z²/2+e−(z−1)²/2]N(0,1)+N(1,1)04分布特征fZ(z)是两个正态密度N(0,1)与N(1,1)的等权混合，呈双峰分布；Z不服从正态分布。E(Z)=½D(Z)=5/4Probability&Statistics·Exercise21练习21：协方差与相关系数计算协方差Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)衡量两个随机变量的线性相关程度，相关系数ρ=Cov(X,Y)/[σX·σY]将其标准化到[-1,1]区间。负协方差表明变量间存在反向变动趋势。01题目(X,Y)联合密度f(x,y)=x+y（0<x<1,0<y<1），求Cov(X,Y)和相关系数ρf(x,y)=x+y02期望计算E(X)=∫₀¹x(x+½)dx=7/12；由对称性E(Y)=7/12；E(XY)=∫₀¹∫₀¹xy(x+y)dxdy=1/3E(XY)=1/303协方差Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)=1/3−(7/12)²=48/144−49/144=−1/144≈−0.00694Cov=−1/14404相关系数E(X²)=1/4+1/6=5/12；D(X)=5/12−(7/12)²=11/144；由对称性D(Y)=11/144；ρ=(−1/144)/(11/144)=−1/11ρ=−1/11EXERCISE22·RELIABILITY练习22：串联系统寿命的应用题串联系统的寿命等于各部件寿命的最小值。当部件寿命服从独立指数分布时，系统寿命仍服从指数分布，其失效率为各部件失效率之和，体现了串联系统可靠性随部件增加而降低的规律。01系统由两个独立部件串联，寿命X~Exp(λ)、Y~Exp(μ)，系统寿命Z=min(X,Y)，求Z的分布、P(Z>t)和E(Z)min(X,Y)02Z的分布函数