考研数学三（微积分）模拟试卷132

考研数学三(微积分)模拟试卷132

一、选择题(本题共3题，每题7.0分，共3分。)

［苗吃，(”，外,(°，°)，

1、设f(x,y)=1°，=(°，°)，则f(x,y)在点(0,0)处

A、连续，偏导数存在.

B、连续，偏导数不存在.

C、不连续，偏导数存在.

D、不连续，偏导数不存在.

标准答案：C

知识点。析：这是讨论f(x,y)在点(0,0)处是否连续，是否可偏导.先讨论容易

的，即f(x,y)在点(0,0)处是否可偏导.由于f(x,0)=0

(V%W(-8,+8))，则｝=0.同理，芈=0

社《。⑼ay(0.0).因此f(x,y)在

点(0,0)处不连续.故应选(C).再考察f(x,y)在点(0,0)处的连续性.令y=x3,

―・/1

lim/(x,y)=lim----------=--

y=*'x-*OI，+(T)~2

则,⑷#(0,0),因此f(x,y)在点(0,0)处不连

续.故应选(C).

2、设函数z=f(x,y)在点(xo，yo)的某邻域内有定义，目在点(xo，yo)处的两个偏导

数『x(xo，yo)，f\(xo，yo)都存在，则

lim

«―»•

A、存在常数匕使L”(X,y)=k.

lim

B、i"f(x,y)=f(xo，yo)-

lim/(x,y0)=/(与，为)与lim.

C、L"fof(xo，y)=f(xo，yo).

D、当(八发+2丫9―。时f(xo+4x,yo+Zky)—f(xo，yo)一［f\(xo，yo)Ax+fy(xo，

yo)Ay］=o(/(A4)2+(Ay)').

标准答案：C

知识点解析：选项(A)表示f(x,y)当(x,y)—►(xo，yo)时极限存在；选项(B)表示

f(x,y)在点(x(),yo)处连续；选项(D)表示f(x,y)在点(xo，yo)处可微.它们在题设

条件下都未必成立.而选项(C)表示一元函数f(X0,y)与f(xo,yo)分别在点产y0,

x=x()处连续.由于f\(xo，yo)=

df(x।

/go，%)

(lx打…,根据一元函数可导必连续的

性质知(C)成立.

(x2+y2)do,则

A、1V12Vl3.

B.I2<l3<Il

C>I3<I1<I2.

D、I3<l2<ll

标准答案：B

知识点解析：先比较h和13的大小：由于h和13被积函数连续，相同且非负，而

h的积分域包含了13的积分域，由性质7可知I]>13.再比较12和13的大小：由

于12和13的积分域相同，又/+尸22IxyI,由比较定理可知I3>l2，从而有

I3>l2.故应选(B).

二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)

4、设ud则悬在点d号的值为

标准答案:

—=一©7sin--+(e-rcos-=e*(—cos•——sin二)

知识点解析：dx>'储5y(对x

求导时y为常量).将上式对y求导，得(对y求导时X为常量)

把“=2,y=,代入上式，得

7F

2

au=e"(-IT2cos21T+2ir'sin2F+2TT2COS2-TT)=(三).

dxdy(25

y

5、(1)设心丫，x)=y2(x2-*l)(xy^O),则dfI(1，i5；(II)设二元函数

z=xex+y+(x+1)In(1+y),则dzI(1,o)=.

标准答案：(I)dx―dy；(II)2edx+(e+2)dy

知识点解析：(I)求诲本题的关键是确定函数f(x,y)的解析式.令u=xy,v=

上就有/(腿•〃)=uvl-?

x'酚一1=U~一UV,即f(x,y)=x2-xy,求一阶全微分可得

df(x,y)=(2x—y)dx—xdy.在上式中令x=l,y=l即得dfI(1,i)=dx―dy.(1)利

用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算即得

dz=exlydx+xd(ex,y)+ln(l+y)d(x+l)+(x+1)d|ln(l+y)]

dy

=ex+ydx+xex+>d(x+y)+ln(1+y)dx+(x+1)，=ex+ydx+xexy(dx4-dy)+ln(1+y)dx+

心+l)dy

I+',于是dzI(1,o)=cdx+e(dx+dy)+2dy=2edx+(c+2)dy.

三、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)

6、求下列极限:

因此，/=e-.

(11)由/+//2/|”=ow=9|“上

2+y241yl2

而lim=0,因此原极限为0.

知识点解析：暂无解析

7、证明极限㈠」"0期不?7不存在.

标准答案：(x,y)沿不同的直线y二kx趋于(0,0),有

lim六一7=hm3了4=lim———z=0・

八八再令(x,y)沿抛物线

lim-卢一-=lim~~-=；.

(«,y)-(0,0)xl+fI/+V2

/拿X

、由二者不相等可知极限lim小二不存在.

y~=x趋于(0,0),有(«,y)-(o.o)x+y

知识点解析：先考察(x,y)沿不同的直线趋于(0,0)时f(x,y)的极限.若不同，则

得证；若相同，再考察点(x,y)沿其他特殊的路径——曲线趋于(0,0)时f(x,y)的

极限.

8、

♦(……七巴求与孔2.」

(I)»/(x,y)

222

(x+y)ln(x+/)Jx.y)W(0,0),求，(0。)t，V(0.0)

(fl)设/(%,〉)0.(x.y)=(0,0),'.dy

标准答案：

s因“一)故乳刈4小/)/=由/

又因/(2.y)=4+(y-I)arcsin■，故

乳”)审2Mle■孙+(…皿而曲|小

(II)按定义

mi+一“邛3=!i[Axln(A^)]=0.

=m

dxAx-OAxAx-oAxA1-*O

类似可求嘤&■=()(或由的对称性得).

知识点解析：暂无解析

力上,求~

9、设z二arctaJdx2\(o.c>

标准答案：按定义

dz(x,O)dzd/d(arctanx)1

-=£(„0)=瓦心，°)=-^―=

故叱=色产(打叫I=±(-L-\\=-2*=0

222

a/(O.O)dxldx/I«-odx\I+XI|mb0(14X)xs0

知识点解析：暂无解析

aza。

10、设z=xY.yx,求於'加力.

dz-z

标准答案：5x=yxy_1.yx+xy.yxlny=xyy_1.yx(y+xlny),=xy—

x

11nx.yx(y+xlny)+xy-1.xyx-1(y+xlny)+xny)+xy-1yx(1+r)=xy-1yx-

I22

(xlny+y"lnx+xylnxlny+xy+x+y).

知识点解析：暂无解析

11、设z=f(u,V,x),U=(p(x,y),v=w(y)都是可微函数，求复合函数z=f((p(x,

dz与更

y)，w(y)，x)的偏导数觎町.

标准答案：由复合函数求导法可得

工"普=齐黑+小

年'=八果+，”(，)，(*)

知识点解析：暂无解析

12、设z=f(u,v),u=(p(x,y),v=v(x,y)具有二阶连续偏导数,求复合函数

z=f[(p(x,y),v(x,y)]的一阶与二阶偏易数.

标准答案：

已求喈=/；中+/；%T=/*+/；步下面进一步求鲁•

dxdxdxdydydy3x

第一步,先对李的表达式用求导的四则运算法则得

dx

惑=2(/;)?+<卷+We竽+/;学(*)

dx2dxdxdx2dxdxdx,

a(f»)与。

第二步，再求瓦’一瓦(门).这里f(u,V)对中间变量U,V的导数f尸

曳,/;=曳

加仍然是山v的函数，而u,v还是x,y的函数，它们的复合仍是

u(,，)与y

X,y的函数，因而还要用复合函数求导法求瓦一瓦(「2).即

第三步，将它们代入(*)式得

W"闿跖普/(豹1；察+/；步

用类似方法可求得奈磊・

知识点解析：暂无解析

13、设z=f(2x—y,ysinx),其中f(u,v)有连续的二阶偏导数，求己好几

匹业

标准答案：dx=fi(2x-y,ysinx).2+f*2(2x一y,ysinx).ycosx,“力=一

2f'ji(2x—y,ysinx)+2f'i3(2x-y,ysinx)sinx一f'2i(2x-y,ysinx)ycosx+f'22(2x—

y,ysinx).sinx.ycosx+f2(2x一y,ysinx)cosx.为书写简便,可以把变量省略,

冉

写成8欠讨=-2f*n+(2sinx-ycosx)f'12+ysinxcosxf'22+cosxf2»因为f有连续的二

阶偏导数，故其中的『12二『21.

知识点解析：暂无解析

14、设f(x,y)与(p(y)均是二次可微函数.若z=f(x,y),其中y=y(x)是由方程

色

x=y+(p(y)所确定，求d/.

标准答案：将x=y+(p(y)两端对x求导，得

1=匕+,(>)电,从而泣:一!一.

S==/；+%•匚$w

S=Z'*+/'2，S小f"(y)+小兴1，⑺

5—•/勺喷方…

“+，(y)]3’

知识点解析：暂无解析

15、设z=z(更也自由方程F(xy,y+z,xz)=O所确定的隐函数，且F具有一阶连续

dx'dy

偏导数，求

标准答案：把方程F(xy,y+z,xz)=O看成关于(x,y)的恒等式，两端求全微分，由

一阶全微分形式不变性可得0二dF(xy,y+z,xz)=F,id(xy)+F，2d(y+z)+F，3d(xz)

=F'i(ydx+xdy)+F，2(dy+dz)+F，3(zdx+xdz)

二(yF'i+zF'3)dx+(xF']+F'2)dy+(F'2+xF’3)dz,

泮；+zF；xF\+/

由此可解出dz=--^一~_j-dy.

知识点解析：暂无解析

16、求二元函数f(x,y)=x4+y4—2x?—2y2+4xy的极值.

rf\=4x3-4x+4y=0,

标准答案：为求函数f(x,y)的驻点，解如下方程组=4/-纣+=0,得

到三个驻点(xi，yi)=(0,0),(X2，y2)=("，-々).(X3,了3)=(一瓜々).为

判定上述三个驻点是否是极值点，再计算

/[(%>)=型与以=127-4,B(x,y)=咚筌^=4.

dx2dxdy

C(.J>)=，火？，).:12/-4.

“在点(0,0)处，由

于A(0,0)=-4<0,B(0,0)=4,C(0,0)=—4,且AC—B2=0,故无法用充分条

件判断点(0,0)是不是f(x,y)的极值点.但由于在直线y=x上，f(x,y)=2x4在x=0

取极小值；而在直线厂一x上，f(x,一x尸2x4—取2在x=0取极：大值，所以点

(0,0)不是函数f(x,y)的极值点.在点(右，一々)处，由于A=20>0,B=4,

C=20,AC—B2=384>0,故f(衣，一衣户一8是函数f(x,y)的极小值.在点(一

区里)处，由于A=20>0,B=4,C=20,AC—B2=384>0,故f(一&)二一8

也是函数f(x,y)的极小值.

知识点解析：暂无解析

17、求函数z=x?y(4—x一y)在由直线x+y=6,x轴和y轴所围成的区域D上的最

大值与最小值.

标准答案：区域D如图4.1所示，它是有界闭区域.z(x,y)在D上连续，所以在

D上一定有最大值与最小值，或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到.为求

D内驻点，先求

dz

-=24y(4-x-y)-x2y=4y(8-3x-2y),

dx

dr-

22

dy=，(4-x-y)-xy=x(4-x-2y).

再解方程组

|3x+2y=8,

lx+2y=4,

图4.1

得z(x,y)在D内有唯一驻点(x,y)=(2,1)且z(2,1)=4.在D的边界y=0,0<x<6

或z=0,0<y<6±z(x,y)=0：在边界x+y=6(0vx<6)上将y=6—x代入得z=x2(6—

x)(—2)=2(x3一6x2),0<x<6,令h(x)=2(x3—6x2),则h,(x)=6(x2一4x),

厅(4尸0,h(0)=0,h(4)=~64,h(6)=0,即z(x,y)在边界x+y=6(O0x06)上的最大值

maxz(x,y)=£(2,1)4tminz

为0,最小值为一64.因此,DD(x,y)=z(4,2)=—

64.

知识点解析：暂无解析

18、求函数f(x,y)=3x?+3y2—乂2在D={(x,y)Ix?+y2wi6}上的最大值与最小值.

标准答案：因为函数f(x,y)在有界闭域D上连续，所以f(x,Y)在D上存在最大

/；=6x-3x2=0,

值与最小值.解方程组6)。=0,得两个驻点(x,y)=(0,0)与(x,

y)=(2,0).令F(x,y,X)=3x2+3y2—x3—X(x2+y2—16),解方程组

/；=6%-3x2-2Xx=0,

F\=6y-2Ay=0,

F4-(/+/-16)=0,得(X,y尸±4,0)或(x,y)=(0,±4).由于f(0,

0)=0,f(2,0)=4,f(4,0)=-16,f(—4,0)=112,f(0,±4)=48,所以函数f(x,y)

在D上的最大值为f(一4,0)=112,最小值为f(4,0)=~16.

知识点解析：暂无解析

19、将。f(x,y)dc化为累次积分，其中D为x，y%2ax与x2+y2&2ay的公共部分(a

>0).

标准答案：采用直角坐标系.x?+y2=2ax与”+y2=2ay是两个圆，其交点为0(0,

0)与P(a,a).从D的图形(图4.10)可知

。二I(x.y)|0CxCa,a-/a2-x2y^2ax-x2|

=I(x.y)0W”a,a-JW-/这％w■y”,

因此，若先对y求积分，就有

(rr»r/2a«-jr3

J/(7)(岫二(产乙尔/(7)也

若先对4求积分,则

J/(x.v)dxdy=J^dvjx.y)dx.

知识点解析：暂无解析

20、设D是由曲线=l(a>0,b>0)与x轴，y轴围成的区域,求1=。

ydxdy.

标准答案：先对X积分.区域D如图4.12所

（彳,））|ow，w。,0w%

=「町丁9加=0（'-用处=喘

图4.12

知识点解析：暂无解析

21、设D是Oxy平面上以A（1,1）,B（—I,1）和C（一1,一1）为顶点的三角形区

+2x2+3y2

域.则I="sin（xy）+4]dxdy=_______.

标准答案：8_

知识点解析：连丽将区域D分成Di（三角形OAB）,DX三角形OBC）两个部分（见

图4.13）,它们分别关于y轴与x轴对称.由于S+21+3汽布的）对x与y均

为奇函数，因此

"1+2/+3y2sin(xy)dxdy="1+2/+3y2sin(xy)dxdy

D、

+Jy/\+2x2+3/sin(xy)dxdy=0.

又由于0的面积=y,2-2=2,所以J4dxdy=4・2=8.

于是

I=0+8=8.

J一丁d』y,其中。为y=yi-X2

22、求1=。，y=x及x=0所围成区域.

标准答案：区域D如图4.14.被积函数只含y,先对x积分，虽然积分区域要分

fdxf-y2dy

块，但计算较简单.若先对y积分，则求积分J。儿要费点功

夫.选择先对x积分，将D分块：

知识点解析：暂无解析

f5/|y-X2|dxdy

23、求1=。，其中D：lxIS,0<y<2.

fy-x2,y",

标准答案：在积分区域D上被积函数分段表示为Iy—x2|=I/一九>W*2,

(x,y)GD,因此要将D分块，用分块积分法.又D关于y轴对称，被积函数关于

x为偶函数，记Dk{(x,y)I(x,y)GD,x>0,y>x2},D?={(x,y)I(x,y)GD,

x>0,y<x2),

于是/=2"y一炉dxdy+2”/-ychdy=2卜,/y-/dy+2(呵：/x2-ydy

0iD2

4〃，x=^2sint4rT111

=-yj(2-x2)Tdx+—jx3dx=====—J2}cos3/,21costdf+

7T5

SCO8Sdr+---♦—

T/OT=23*

知识点解析：暂无解析

24、设D由抛物线y=x?,y=4x2及直线y=l所围成.用先x后y的顺序将I=%f(x,

y)dxdy化成累次积分.

标准答案：区域D如图4.15所示，将D分成x沙与烂0两部分，用分块积分法

-r/r

,=f(x，x)dxf(x.y)dx.

得图4.15

知识点解析：暂无解析

25、求I="dxdy,其中D由直线x=-2,y=0,y=2及曲线产一%)'--「所围

成.

标准答案：D的图形如图4.16所示.若把D看成正方形区域挖去半圆D],则计

算Di上的积分自然选用极坐标变换.若只考虑区域D,则自然考虑先x后y的积

分顺序化为累次积分.若注意D关于直线y=l对称，选择平移变换则最为方

便.图今16作平移变换u=x,v=y-l,注意曲线x=—/2y-/即

x2+(y—1)2=1,x<0,则D变成D，.D'由u=—2,v=-1,v=l,u2+v2=l(u<O)S

1=+1)dudv=0+=SD-=4-.

成，则o1%(在uv平面上D，关于

u轴对称)

知识点解析：暂无解析

26、设z(x,y)满足

dz1

-="smy+--------,①

dx1-xy

②

L(I,y)=siny,

求Z(X,y).

标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求积分得

z(4,y)=-xsiny------In|1-xy|+夕(y).

其中伊(，)为待定函数.由②式得-»iny--In|I-yi+夕(,)=siny,故

夕(义)=2siny+—In1-y|.

因此，z(x,))=(2-x)siny+-In1--

y1-xy

知识点解析：实质上这是一元函数的积分问题.当y任意给定时，求z(x,y)就是

x的一元函数的积分问题，但求积分后还含有y的任意函数，要由z(l,y)定出这

个任意函数.

y-><*./)*(0,0),⑴求富

x-¥y

27、设f(x,y)=°，(”♦)=(°，°)，;(1)讨论f(x,y)

在点(0,0)处的可微性，若可微并求dfI(0,o).

标准答案:

af.2%y2//

(1)当(#,y)*(0,0)时,

dxx2+y2(x2+y2)

当(*y)=(0,0)时,因〃*0)=0(V外，于是¥

=0.

dx(0.0)

242y3更

=0.

由对称性得当(4,y)#(0,0)时,2222

dyx+/(x♦y),dy<0.0)

(口)考察不*在(°，。)的连续性.注意

-rJwi.W1,于是w4!*I,

2#W41yl.

x+旷Ix+/

..df。空

从而hm一=lim—=0=旦

(«,y)-.(0.0)dxdx(0.0)(«.y)-(o,o)dy打(0.0)

即基圣在点0°)处均连续,因此在点⑸。)处可微.于是

d/l(O,O)=M

dx+更|dy=0.

(0.0)ay!(0.0)

知识点解析：暂无解析

28、求下列各函数的偏导数与全微分：

(I)设工=arctan山，求dz;(R)设z=(/+/八”心，求心与鲁.

X-ydxdy

标准答案：(I)由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得

dz=——!~^山)(X-y)2.(L))d(x+y)-(x+y)d(x-1)

2:

]+(一)2(/+y)(x-y)

(|])dz=e-rc,ant(l(x2+/)+(x2+y2)d(e-BrrUnx)

=flxdx.2ydy_(/+/)也

.vx

廿

-rr,an

=e-rci.Bf(2xdx+2ydy-xdy♦ydx)=e-T[(2x♦y)i\x+(2y-x)<h).

由去的表达式得*=e-«UBi(2x+y),

dx

对,求导得前一T--------.丁'1一，八/.

知识点解析：暂无解析

29、求下列复合函菰''3/数:(I)^1=f(x,xy),v=g(x+xy),且f和g具有一

•I

a4a%x

阶连续手？数，求；(11)设2=f(xy)+y(p(x+y),且f,(p具有二阶连续偏导

dxdy

数，求.

du

标准答案：(I)由复合函数求导法可得£=C+y「2.又v=g(x+xy)是一元函数

丫=以幻与2=*+乂丫的复合函数，z是中间变量，同样由复合函数求导法得

~=g，(z)粤=(1+y)g，(z)•

dxdx

因此普•当=(1+外(/；+>/；)g'(z)=(1+y)(/；+/；)，(#+0).

dxdx

dzfdz

--3t--

(口)先求所盯由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变

量，(p(x+y)是一元函数(p(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量.由题设知

d2zd2z4工也

----=-----，先求一

标盯aym打方便，由复合函数求导法则得

空=—/#(^)v-(xr)+w-y)♦”(…):(一外

dyxdydy

=/'(xy)+<p(x+y)+y，(%

咨募嗯勖""⑺)+«'(，+>)+y/(X+外•

知识点解析：暂无解析

30、设f具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分：(I)Z=f(x2+y2,

,鲁(口)设〃=［二，工)，求八及鲁

e^cosx),求心力'vz")也

标准答案：(I)利用一阶全微分形式不变性与全微分的四则运算法则可得

dz=f|d(x2+y2)4-f2d(eycosx)=(2xdx+2ydy)f|+(一eysinxdx+eycosxdy)f2=(2xfi—

yyy,y

esinxf2)dx-i-(2yfi+ecosxf2)dy,—>z\=2xfi―esinxf2»zy=2yfi+ecosxf2.从

d2z

yy，

而dxdy=z”=(x'x)'y=(2x「i—eYsinxr2)'y=2x(C)勺一esinxf2-esinx(f2)y

=2x(2yf'11+eycosxf'12)-eysinxf2-eysinx(2yf'2i+cycosxf'22)=4xyf\i+2ey(xcosx

ysinx)f,j2—1c~ysinxcosxr*22-'cysinxP2-(口)u=

A—u=/(sJ)与S二二"二工

'yz，yz复合而成的x,y,z的三元函数.先求

du(从而也就求得

?岑岑）或先求990”也就可求得必然后再由当求盘（或由当求变=TV

dxdydzIdxdydzdydydz\dzdzdydydz

）.由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得

du=小信卜小（？）=/；7；干〈I

=；/；d—卜5/；+：/；）dy-点/；dz・

从而＞一｝/；+：/；・

因此就喂©“炉g**g-y

=-3（—-1（一狰卜夕;

-吃％--y/n-；/；•

yzZZ

知识点解析：暂无解析

31、设u=u(x,y,z)具有连续偏导数，ffix=rsin(pocos9,y=rsin(psinO,

dududu

x—+y—+z

z=rcos(p.(I)若必打dz=0,试证明u仅为(p与。的函数；(口)若

1du1du_1du

Xa#-yay-Z加，试证明u仅为r的函数.

标准答案：(I)按函数的复合关系可得

dududxdudydudzdu.du..八du

—=-------+---------+---------=—sinscos。4-81ngsin®+—coscp

drdxdrdydrdzdrdxdydz

1/dududu\

="­[X—+Y—+z-I.

r'dxdydz!

由已知条件即得翌=0.所以〃仅为3和。的函数.

dr

(n)设工要=/=4，则按函数的复合关系可得

xdxydyzdz

Hududxdudydu,dzdudu.3u...

~=~+T-/+~T--=—rcosweos^+—rcos.sinb+——(-rsintp)

gdx丽dyi)(pdzdtpdxdydz

=A(r2sin(pcos(pcos20+r2sin(pcos(psin20-r2sin(pcos(p)=Xr2(sin(pcos(p-sin(pcos(p)=0,

所以u不依赖于＜p.注意到中间变量z不依赖于自变量e,所以

dudxdudydu...du.dudu

朋dxdedydOdxdyJa#dy由已

知条件知上式右端为0,所以u也不依赖于0,综上即得u仅为r的函数.

知识点解析：这是三个中间变量、三个自变量的复合函数，变量间的依赖关系如

伊为证明结论(I),只需证明

黑°即可;为证明结论(n),需推出且也。

32、设z=z(x,y)是由方程xy+x+y—z=』所确定的二元函数，求dz,

普及裳

dx2dxdy

标准答案：将方程两边求全微分后求出dz由dz可求得

1|,郎・再将卷分别对7求导求得

a/'丽.将方程两边同时求全微分，由一

阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得