考研数学三（微积分）模拟试卷97

考研数学三(微积分)模拟试卷97

一、选择题(本题共5题，每题上0分，共5分。)

1、在函数

0/⑴=4叵人.

x'2/(")=sin—,

x，

rB,nx.]

/sin-cos/2d/

③/⑴____,④/⑴十

Ixe.*<0.

Uim/(x)IU中当

x—0时极限X*0不存在的是

B、②：

C、③.

D、①②③④.

标准答案：D

知识点解析:

对于①：由于lim©9=|加狂•色=I.

i-o*x>x\x

故1而0叵不存在.

x-0X

对于②：取笳=,>“----------，则均有X”T0.);T0(nT8),但

Z/iTTcIT

2mr♦2

linisin—=0,limsin-=1,因此limsin不存在.

n—ooXKfi—♦ooynX

对于③：已知/(%)='")sin，•,其中g(x)=fcos尸d。，由于

XXJo

..K(x)洛必达法则［.,.2\IYC

Inn2------hmco§(sinx)cosx=I#0,

i—*0Xi-*0

而limsinJ-不存在，所以］im/(x)

lim—不存在.

x-*0Xx>0x-oxx

对于④：由于lim/(*)=lime-^=0,

x-0,x-(r

lim/(x)=limxe~~(不存在)

x»0-x-0-

故li*(x)不存在.

综上分析，应选D.

2、极限—*

I

A、等于e*

I

T

B、等于e

C、等于eg

D、不存在.

标准答案：A

I-sinxSH1X

|lim-------1/(x)

知识点解析:注意到*7*本题为严型.设”则原极限

..lin/4r^

lime=ei

而

13

-------7"%

/(4)T二jsine614

limim

x-ox21ox3x36故原极限一0应选

A.

：lim-/(.)+J也=4,则lim，⑴二?=

3、设一。/X-*0x

A、2

B、4

C、6

D、8

标准答案：C

知识点解析：

,-/(x)-2xf(x)+ln(1-2x)_ln(1-2%)+2x

田J_2__5,

Xx2X2

../(x)-2..rx/(x)+ln(1-2x)ln(1-2x)+2x

lim---------=limI--------------------------------------------------------------------------

x—4)Xx—*olXT/

-22

..ln(1-2x)+2x洛必达1-2x+

=4-lim--------；-------==4-lim----------

x-*ox2法则一o2x

=4-limJ*=6.

x-o2x

故选C.

4、设f(x)在x=a连续,(p(x)在x=a间断,又f(a)#0,则

A、(p[f(x)]在x=a处间断.

B、f[(p(x)]在x=a处间断.

C、[(p(x)]2在x=a处间断.

D、/(X)在x=a处间断.

标准答案：D

,W(冗)

知识点解析：反证法.若久x)在x=a连续，由连续函数的四则运算法则可得

卬(力)

f()

2)=鬻5,在.与假设(p(x)在x=a间断矛盾，从而八x

必在x=a间断.故选D.

5、“f(x)在点a连续”是If(x)|在点a处连续的()条件.

A、必要非充分

B、充分非必要

C、充分必要

D、既非充分又非必要

标准答案：B

知识点解析：由IIf(x)I—If(a)II<If(x)—f(a)I可知当f(x)在x=a连续可推

知If(x)I在x=a连续；而由

f(x)=[L""O'知l/(%)l=1(Vxe(-8,+8))

1-1x<a成立,

从而If(x)I在x=a连续,但f(x)却在x=a间断.以上讨论表明“f(x)在点a连续”

是If(x)I在点a处连续的充分非必要的条件.应选B.

二、填空题(本题共7题，每题分，共7分。)

|lim[5K-x+(1-$)一]-；

6、设K,L,6为正的常数，则、一°=

标准答案：K8L'"8

知识点解析：

1广-limasL♦「厂:・lim些：•%一广

+(1-8)L~X]=e"⑷=e

x-»0

5limI-S)UE

a+bx1,4W0,

sin(6x)八

----------,x>0

1x在x=0连续，则常数a与b满足的关系是

标准答案：a=b

知识点解析：对任何常数a和b,f(x)分别在(一8,0|,(0,+8)连续，且f(0)=a,

=/(0)=/♦(0)oa-b.

f+(0)=b.故f(x)在x=0连续

8、1+x2—©乂？当x-0时是x的阶无穷小(填数字).

标准答案：4

知识点解析：有

「I+妙―e'1/门

Iim------------------=——#()

即1。12故当x-0时l+x2一1是x的4阶无穷

小.或用的泰勒展开式

44

er=1+£+j+o(J),由1+--1+.6+J+〃(.J)]

22J可知其

为x的4阶无穷小.

9、已知啊扁=2叫端空二

标准答案：3

知识点解析：

因lim77TT=2o--,故

…o/(3%)x-ox

二^而侬•=m小心1=4

+2-/a"+l)(a>0)

10、in

0.a>1,

3-反a=1♦

的徒竹末：1拉-'，°<0<L

知识点解析:

注意.当a>1时lima"=+«,当0<a<I时I而“"=0.从而

lim金)①

，吧+2-7T)±23=|im=0.乂当“=I

时J。"+2-v/a"+I--",故当fl=10>tlim+1-/«n+I)=、'3-Jl.

当0Va<I时lim(J/+2-Ja"+1)=。-I.综合得

f|TB

0.«

lim(/a"+2-+1)=y/3-a

0<a<I

lim(1+2n+3〃)』

11、n-»«=o

标准答案：3

知识点解析：

lim(i+2"+3n=lim(1+2"+3"

n-♦x—t8

书/(［二2。+%/⑴=3,则］im&)；2/

12、若10xx-4°X5

标准答案：5

知识点解析:

.好包=।加但卢=M/⑴+"-2/)3二1小匚虫

X-0Xs-0X*-oX

y

故

三、解答题（本题共15题，每题1.0分，共15分。）

..v1+xsinx-1

lim------：---------

-o个_1

13、e-]

标准答案：

..+xsinx-1..(1+xsinx)

lim---------：-------------=lim----------：-------

I

xsinxsinx1

—lim—iim一—二—

2一o2一ox2

或用等

1

—xsinx

../I+xsinx-1..2I

lim---------j-------------=lim

%—0©，一]x—0x2

价无穷小因子替换，得

知识点解析：暂无解析

lim(1+—+£)一/1

J为常数;

14、«-*»\几2nI

标准答案:

知识点解析：暂无解析

vr-

lim--------

15、j"(1+%)*

标准答案:

x(I♦<)

lim-三]=—limx/|\=±lim

1+x)xeJe….8I+--je/-»0•I

IMI♦”.ln(l+/)

I―---------------------

-=—iim

ei.o*

1..f-In(1+/)I].I

=-lim------------z-----------=—lim=z-lim—

R1()•广2et，o*2J“)♦I+2r

知识点解析：暂无解析

TT

lim------arclanx

T♦B2

16、

标准答案:

ln(:-arclanx

=是“8”型未定式.川洛必达

设J.则lim-arctanx

InxX

法则计算可得

="lim-:-----lim

ITt—•♦x|.X*x-17

_-arctanx・2-arctanx

2

洛必达法则X2

一一,一lim-----------=-I,

故im(7-arctanx|

•♦x\2)

知识点解析:暂无解析

Ilim

17、

标准答案:

linuniln-ylimxlnx

，■,t3

I

i»nx

Inx

又因limXInx=limlim£limx=。，代入即得lim=e°=

一（）•♦I；.0*工一0・x-O,

知识点解析：暂无解析

limx(y/x2+100+x)；

18、I"

标准答案：

limx(/x2+100+x)=lim欠(，+100-£1=100lim—

I-H1-8Jx2+100-Xi8J2+100.

----------------1

X

=-100lim--------=-50.

一…yx2+1(X)

知识点解析：暂无解析

Hm(x+2)er-x;

X-ocJ

19、

标准答案：

_1

lim[(x+2)e；-x]=limxl[1+—-1]-lim"+2)'----

JCTBX—t»I\Xf」，

=lim--------+2limef=3.

#0I*0

知识点解析：暂无解析

cos2ax

Ilim——(«嗜0)；

i-*0X2

20、

标准答案：

COS2a2a2

(e"J-l)cosx+cos2ax-1"-12o1-cos°x

由于------T-；—acosx；------

ax----------------------x

e＜，＜l2a

又lim；＜icosx=lim丝1a

x-*oax'x-0ax1

0

..1-cos2ax0..2asinx(cosx)2n1

lim-------；-------'—lim-------------------------

x-*0x*102x

知识点解析：暂无解析

0*♦144*+11z«X\T

(--r--(a,6,c为正的常数)；

…°+b+c)

标准答案：属严型极限.原极限=9,而

1

lim—,“加匕二1+。隔J

U+h：<'一0xx-*0xX-0X

I..xlna...x\nb..x\nc

-------:-------1alim------b-lim------+chm-

a+6+c\xixx^Oxx-0X

\n(aabbcc)

------；------(aIna+b\nb+clnc)

a+6+ca+6+c

因此，原极限=士.

知识点解析：暂无解析

22、设f(x)具有连续导数，且f(0)=0,f(0)=6,求

w=^{/?(x)d7[/o/(i)df]3}-

limQ^=1加地匕一倍•=//(0)=6

x

标准答案:由f(0)=0,F(0)=6可得一°—4一°

「/(”)市

hm零=

lim工5—3

l*⑷2%

从而Ix这表明当XT0时Hf(t)~3x2,由此又有当

X-0时H3f(叫〜3(X3)2=3X6故

「口⑷山「3d「3/

\

w=hm--------------------=lim-----------=lim-----

一°(3/尸一。27、g

知识点解析：暂无解析

23、设八支)=+xarcsinx-/cos%求常数A与k使得当x->0时f(x)与

Axk是等价无穷小量.

标准答案:

因为1而华=Bm"土孑包厂/cos%

X-OX2N-0X2

..1+xarcsinx-cosx___________1

=lim-------------------

7X2y/l+xarcsinx+/cosx

=T1...S/~I-7co-s.*+-arcsinxx)=TI(/71+,\)=43*

故*htO时/(x)的等价无穷小址是g/.因4=」.*=2.

44

知识点解析：暂无解析

24、讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：

1.v2n_1

(1)y=(1+x)arctan------；(II)y=lim(弓二

1-Jt-t8\%2"+|

Jn(l+x)

(ni)/=_____

2f%，xw2,

(IV)y,其中/<(#)=[，xwl,g(x)=2(欠-1),2

<%W5.

11-x,%>1,

i#+3,x>5.

y=(1+x)arctan—*--

标准答案：⑴.1-X”的定义域为(一8,—1)U(—1,1)U(1,

+co),由初等函数连续性知y分别在(一8,—1),(―1,1),(1,+8)内连续.因

ITT

archin---------।<-,

I-x~2

limarrtnnlimarclan—=-[,且lim(I+x)=0,lim(1+x)=2,故

*-♦1•I一尸2«-♦1•1-2x—•1

limy=lini(1+x)arcUn

limy-lim(I+x)arctan---------=2•-TT,Iimy=2,(-j=-IT.

-•i-1•1-x"2

从而x=-1与X=1都是函数的第一类间断点，其中x=-1是函数的可去间断点,

x=l是函数的跳跃间断点.（H）因

X

2n

lim-\=0,=1.从而y=-x,|x|=I

n—»*X+I

一】，<I,1-17,|x：<L显然x=一

1与X=1都是函数的第一类(跳跃)间断点.(HI)由初等函数的连续性及)，的定义可

知，y分别在[-1,0)与(0,+8)连续.又因

[.「ln(I+x)

limy=hm-----------------=1,

一0・…()♦x

=2lim•；-------；-…=1,

一旷/TT7+八7故y仅有x=o

为第一类(可去)间断点.(W)先写出f[g(x)]的表达式.考察g(x)的值域：

g(x)广'"W'，g(*)]=[1(X).1,

V>1,II-g(x).X>I,

x2,*W1,x2,*£I.

即〃g(x)】=「1-W2.亦即/1<*W2.

1-2(.r-1),2<x<5,3-2x.2c*W5.

1-(x+3),x>5,-(x+2),x>5.

当x,l,2,5时f[g(x)]分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续.当x=2,5

时，分别由左、右连续得连续.当x=l时,

lim/[g(.r)；=lim(1-x)=0,lim]=lim?=I.

x—*1*0x—*1*0x~*l-0-0从

而x=l是f[g(x)]的第一类间断点(跳跃间断点).

知识点解析：暂无解析

lim(3%->/ax2+6x+I)=2

25、已知x—+8求常数a>0和b的值.

标准答案：题目中的极限式可改写为

..9x2-(ax2++I)

2=lim(3x-ax2++I)lim-----------

f+83X+JaP+6x+1

由此即知9-a=0,2=——J,故a=9,6=-2(3+/T)=-12.

3+A

知识点解析：暂无解析

lim(x-3sin3x+ax~2+6)=0

26、设公⑷试确定常数a,b的值.

标准答案：由题设知

八../sin3x+ax,\,..sin3x+ax

0=liml---------------+61=b+lim--------；------

llx3/0x

...sin3x+ax

=b=-lim---------------.

z-ox3

利用(*)，一方面有

sin3x