考研数学二(线性代数)模拟试卷27(题后含答案及解析)

考研数学二（线性代数）模拟试卷27（题后含答案及解析）

题型有：1.选择题2.填空题3.解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设向量组⑴al,a2,…，as线性无关，（II）B1,B2,…，Bs线性

无关，且Qi（i=1♦2.…，s）不能由（H）Bl,B2,…，0s线性表出,Bi（i=1»2,…，

。不能由⑴。1，。2,…，aS线性表出，则向量组a1,a2,…，as,El,

B2,…，Bs（）

A.必线性相关

B.必线性无关

C.可能线性相关，也可能线性无关

D.以上都不对

正确答案：C

解析：只要对两种情况举出例子即可.①取aL线性无关，且显然不能

相互线性表出，但四个三维向量必定线性相关；②取a1二线性无关，且显然

不能相互线性表出，且四个向量仍然线性无关.由①，②知，应选（C）.知

识模块：线性代数

2.已知n维向量的向量组Q1,<12,…，as线性无关，则向量组Q'l,

a，2,…，。1可能线性相关的是）

A.a*s(i=l,2,…，s)是as(i=l,2,…，s）中第一个分量加到第2个分量

得到的向量

B.aXi-1,2,…，s)是Qs(i—1,2,…，s）中第个分量改变成其相反数

的向量

C.Q's(i=l,••2•,s)是as(i=l,2,…，s）中第一个分量改为0的向量

D.a[(i=l,2,…，s)是as(i=l,2,…，s）中第n个分量后再增添一个分

量的向量

正确答案：C

解析：将一个分量均变为0,相当于减少一个分量，此时新向量组可能变为

线性相关.（A）,（B）属初等（行）变换不改变矩阵的秩，并未改变列向量组的线性

无关性，（D）增加向量分量也不改变线性无关性.知识模块：线性代数

3.设则()

A.存在aij(i,j=l,2,3)使得81,B2,B3线性无关

B.不存在aij(i,j=l,2,3)使得61,P2,B3线性相关

C.存在bij(i,j=l,2,3)使得Bl,32,B3线性无关

D.不存在bij(i,j=l,2,3)使得Bl,P2,B3线性相关

正确答案：C

解析：由[al,a2,a3,a4]=知向量组al,a2,Q3线性相关，a2,

a3,a4线性无关.因al,a2,a3线性相关，故(A),(B)不成立，因a2,

a3,a4线性无关，故(C)成立，(D)显然不成立.知识模块：线性代数

4.A是mXn矩阵，r(A)=r<min{m,n),则A中必()

A.没有等于零的「一1阶子式，至少有一个r阶子式不为零

B.有不等于零的r阶子式，所有r+1阶子式全为零

C.有等于零的r一阶子式，没有不等于零的什1阶子式

D.任何r阶子式不等于零，任何什1阶子式全为零

正确答案：B

解析：由矩阵的秩的定义知，r(A尸r,r是A中最大的不等于零的子行列式

的阶数，故A中有不等于零的(至少一个)r阶子式，而r阶以上子式都等于零，

这只需所有r+1阶子式全为零即可，故选(B),而(A),(C),(D)均不成立，请读

者自行说明理由.知设模块：线性代数

5.向量组⑴al,a2,…,as,其秩为rl,向量组(II)B1,B2,…，B

S其秋为r2,且Bi,i=l,2,…，S均可由向量组(I)a1,a2,…，as线性表

出，则必有()

A.a1+g1,a2+P2,…，as+Bs的秩为rl+r2

B.a1-Bl,a2—B2,…，as—Bs的秩为rl—r2

C.a1,a2,as,Bl,B2,…，Bs的秩为H+r2

D.a1,Q2,…，as,Bl,B2,…，Bs的秩为rl

正确答案：D

解析：设Ql,C12,…，QS的极大线性无关组为a1,a2,…，arL则

ai(i=1,2,…，s)均可由al,a2,…，arl线性表出，又i(一1,2,…，s)

可由⑴表出，即可由al,a2,…，arl线性表出，即Ql,a2,…，Qrl也

是向量组al,a2,…，as,Bl,B2,…，Bs的极大线性无关组，故r(al,

a2,…，as,Bl,32,…，Bs尸rl,其余选项可用反例否定.知识模块：

线性代数

6.已知r(A)=rl,且方程组AX=a有解，r(B)=r2,且BY=3无解，设A=[a

1,a2,…，an],B=fP1,B2,…，Bn],且r(a1,a2,…，an,a,3

1,P2,…，Bn,B)=r,则()

A.r=rl+r2

B.r>rl+r2

C.r=rl+r2+l

D.Vl+r2+l

正确答案：D

解析：由题设r(Q1,a2,…，Qn,a)=r1.r(S1,B2,…，Bn,B)=r2+1,

故r(a1,a2,…，an,a,g1,B2,…，Bn,B)Wrl+r2+l.知识模

块：线性代数

7.已知向量组al,a2,a3,。4线性无关，则向量组2。1+a3+。4,

a2—a4,a3+a4,a2+Q3,2Q1+Q2+Q3的秩是()

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：C

解析：r(2a1+Q3+a4,a2-a4,a3+Q4,a2+a3,2al+a2+a3)r(P

1,B2,P3,B4,35)=3.[Bl,B2,B3,B4,S51=fa1,a2,。3,

a4mB1,B2,B3,B4,B5尸=3.知识模块：线性代数

8.设n阶(n23)矩阵，A=,若矩阵A的秩为n—1,则a必为()

A.1

B.

C.-1

D.

正确答案：B

解析：因知识模块：线性代数

9.设xOy平面上n个不同的点为Mi(xi,yi),i=l,2,…，n(n23),记则

Ml,M2,…，Mn共线的充要条件是r(A尸()

A.1

B.2

C.3

D.4

正确答案：B

解析：A=,其中M(xi,yi),i=l,2,…，n(nN3)是n个不同的点，至少A

中有一个2阶子式不为零.r(A)22,又n个点共线，A中任一3阶子式为零，

故r(A)V3.故而r(A)=2.知识模块：线性代数

填空题

10.已知三维向量组Ql,a2,a3线性无关，则向量组Q1—。2,a2

一ka3,a3-a1也线性无关的充要条件是k.

正确答案:二1

解析：[al—。2,a2—ka3,a3—a1]=[a1,a2,a3].因al,a2,

a3线性无关，故al—Q2,a2—ka3,a3-a1线性无关的充要条件是

二1一kWO,kWl.知识模块：线性代数

2,•••,ai—1,ai+1,…，Qs,B线性相关，则存在不全为零的kl,k2,…,

ki一1,ki+1,・・・，ks,k使得klal+・・・+ki―1Qi―1+ki+lai+l+…+ksQ

s+k3=0.①另一方面，由题设B=11a1+12Q2+…+liQi+…+lsQs,

其中liWO,i=1,2,…，s.代入上式，得(kl+kll)al+(k2+k12)a2+-+(ki

―1+kli—1)ai—1+ljiai+(ki+l+kli+l)Qi+l+…+(ks+kls)Qs=0.因已知Q

1,a2,…，as线性无关,从而由kli=O,liWO,故k=0,从而由①式得kl,

k2,…，ki—1,ki+1,…，ks均为0,矛盾.故al,Q2,…，as,B中任意

s个向量线性无关.涉及知识点：线性代数

17.已知向量组Ql,a2,…,as+l(s>l)线性无关，3i=ai+tai+I,i=l,

2,…，s.证明：向量组Bl,B2,…，Bs线性无关.

正确答案：设有数kl,k2,…，ks,使得klBl+k2B2+…+ksBs=O成立，

即kl(a1+ta2)+k2(a2+ta3)+…+ks(as+tas+l)=klal+(klt+k2)a

2+(k2t+k3)a3+…+(ks—1+ks)as+kstas+l=O.因al,Q2,…，Qs+1线性

无关，故得唯一解kl=k2=・・=ks=0,故Bl,B2,…，Bs线性无关.涉

及知识点：线性代数

18.设A是3X3矩阵，a1,a2,Q3是三维列向量，且线性无关，已知

Aal=a2+a3,Aa2=a1+a3,Aa3=a1+a2.(1)证明：Aa1,Aa2,

Aa3线性无关；(2)求IAl.

正确答案：(l)[Ao1,Aa2,Aa3]=[a2+a3,a1+a3,a1+a2]=[a1,

a2,Q3]=2W(),C是可逆阵.(2)[Aa1,Aa2,Aa3]=A[a1,a2,a3]=[a

1,a2,a3]两边取行列式，得|AI==2.涉及知识点：线性代数

19.已知A是n阶矩阵，a1,a2,…，as是n维线性无关向量组，若

Aa1,Aa2,…，Acs线性相关，证明：A不可逆.

正确答案：因Aal,Aa2,…，A。s线性相关，故存在不全为零的数kl,

k2,…，ks,使得klAal+k2Aa2+-+ksAas=0,即A(kla1+k2a2+・・・

+ksas)=A€=0.其中自二kla1+k2a2+…+ksas成立，因已知al,a2,

as线性无关，对任意不全为零的kl,k2,…，ks有，=klal+k2Q2+…

+ksasWO,而A€=0«说明线性方程组AX=O有非零解，从而IA|=0,

A是不可逆矩阵.涉及知识点：线性代数

20.设A是mXn矩阵，证明：存在非零的nXs矩阵B,使得AB=O的充

要条件是r(A)<n.

正确答案：充分性r(A)Vn,AX=O有非零解,将非零解X组成B,则BWO,

且有AB=O.必要性若AB=O,其中BWO,设B=[B1,B2,…，Bs],则

A&i=0,i=l,2,…，s.其中Bi,i=l,2,…，s,不全为0,即AX=O有非零

解，故r(A)Vn.涉及知识点：线性代数

21.设n阶矩阵A的秩为1,试证：(1)A可以表示成nXl矩阵和1

Xn矩阵的乘积；(2)存在常数口，使得Ak=uk-1A.

正确答案：(1)将A以列分块，则r(A)=r(a1,a2,…，an)=l表明列向量

组Ql,Q2,…，Qn的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为Qi二[al,

a2,…，an]T(WO),其余列向量均可由ai线性表出，设为aj=bjai(j=l,2,…,

n,j=i时，取bi=l),则A=[al,a2,…，an]=[bla1,b2a2,…，bna

s]=ai[bl,b2,…，bs]=[bl,b2,…，bs]o(2"己a=ai=[al,a2,…，as]T,

B=[bl,b2,…，bs]T,贝ljA=oBT,Ak=(opT)k=(a6T)(oBT)…(aB

T)=a(PTa)(pTa)•••(3Ta)pT.记BTQ=albl+a2b2+-+anbn=u,则

Ak=auk-1PT=uk-1A.涉及知识点：线性代数

22.设A是nXn矩阵，对任何n维列向量X都有AX=0,证明：A=O.

正确答案：由于对任何X均有AX=0,取X=[l,(),…，()]T,由得all=答仁…

=aml=0.类似地，分别取X为el似1,0,…，0]T,e2=[0,1,0,…，0]T,…,

en=[(),0,…，1]T代入方程，可证每个aij=O,故A=O.涉及知识点：

线性代数

23.向量组Bl,B2,…，Bt可由向量组al,。2,…，as线性表出，

设表出关系为[Bl,B2,…，&t]=[a1,a2,•••,as][a1,a2,…，a

s]

C.若Ql,a2,…，as线性无关，证明：r(P1,B2,…，Bl)=r(C).

正确答案：B=[PI,02,…，3t]=[a1,a2,…，aS]C=A

C.r(B)=r(AC)<r(C).又r(B)=r(AC)^r(A)+r(C)—s,r(A)=s,故r(B)2

r(C),从而有r(B)=r(C).涉及知识点：线性代数

24.设A是sXn矩阵，B是A的前m行构成的mXb矩阵，己知A的行

向量组的秩为r,证明；r(a)^r+m—s.

正确答案：因(A的行向量的个数s)一(A的线性无关行向量的个数r(A))2(B

的行向量个数m)-(B的线性无关的行向量的个数r(B)),即s一r(A)2m—

r(B),得r(B)2r(A)+m—s=r+m—s.涉及知识点：线性代数

25.设A是mXn阶实矩阵，证明：(l)r(ATA)=r(A)；(2)ATAX=ATb

解.

正确答案：⑴设r(A)=rl,r(ATA)=r2,由于AX=0的解都满足

(ATA)X=AT(AX)=(),故AX=()的基础解系(含n-rl个无关解)含于ATAX=0的

某个基础解系(含n—「2个无关解)之中，所以n—rlWn—r21,故有r2WM,

即r(ATA)Wr(A).①又当ATAX=0时(X为实向量)，必有XTATAX=0,

即(AX)TAX=0,设AX=[bl,b2,…，bm]T,则(AX)T(AX)=b2=0,必有b=b2=…

=k=0,即AX=0,故方程组ATAX=0的解必满足方程组AX=0,从而有n一

r(ATA)n一r(A),r(A)r(ATA).②由式子①，⑦得证

r(A)=r(ATA).(2)ATAX=ATb有解"-->r(ATA)=r(ATAIATb).由(1)知

r(A)=r(AT)=r(ATA),将AT,ATA=B以列分块，且B=ATA的每个列向量均可由

AT的列向量线性表出，故AT和B=ATA的列向量组是等价向量组，ATb是AT

的列向量组的某个线性组合，从而r(AT)=r(ATIATb)=r(ATAIATb),故

r(ATA)=r(AT)=r(ATIATb)=r(ATAIATb),故(ATA)X二ATb有解.涉及知

识点：线性代数

26.设线性方程组N为何值时，方程组有•解，有解时，求出所有的解.

正确答案：方程组是齐次线性方程组当人工一2且入W2时，唯一零解；当

入=2时,有无穷多解，其解为kl[l,-1,0,0]T+k2[l,0,-1,0]T+k3[l,

0,0,一1]T；当入二一2时，方程为有通解k[l,1,1,1]T.涉及知识

点：线性代数

27.已知四元二个方程的齐次线性方程组的通解为X=ki[l,0,2,3]T+k2[0,