统计概率（解答题10种考法）

统计概率（解答题10种考法）

考法一超几何分布

【例T（2022・广东汕头•二模）袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋

中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.

（I）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；

（H）用X表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望.

【例1-2]（2023・陕西铜川・校考・模）某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了

问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究.现将这

50份问卷按成绩分成如下五组：第一组020）,3份：第二组[20,40）,8份：第三组.

[40,60）；第四组[60,80）；第五组[80,100）,4份;已知其中得分高于60分的问卷份数为

20.

（1）在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率；

（2）如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X,写出X的分布

列（结果只要求用组合数表示），并求出期望&X）.

【例1-3]（2023广东湛江）为了减少雾霾，还城市一户蓝天，某市政府于12月4日到12

月31FI在主城区实行车辆限号出行政策，鼓励民众不开车低碳出行，某甲乙两个单位各有

200名员工，为了了解员工低碳出行的情况，统计了12月5日到12月14日共10天的低

碳出行的人数，画出茎叶图如下：

（1）若甲单位数据的平均数是122,求X；

（2）现从如图的数据中任取4天的数据（甲、乙两单位中各取2天），记其中甲、乙两单位

员工低碳出行人数不低于130人的天数为:，＜2,令求〃的分布列和期望.

2

甲乙

9

【例1-4】（2023云南某市卫生防疫部门为了控制某种病毒的传染，提供了批号分别为1,

2,3,4,5的五批疫苗，供全市所辖的A,B,。三个区市民接种，每个区均能从中任选

一个批号的疫苗接种.

（1）求三个区市民接种的疫苗批号中恰好有两个区相同的概率；

（2）记A,B,C三个区选择的疫苗批号的中位数为X,求X的分布列.

考法二二项分布

【例2-1］（2023•辽宁・辽宁实验中学校考模拟预测）近年来，我国加速推行垃圾分类制

度，全国垃圾分类工作取得积极进展.某城市推出了两套方案，并分别在A,4两个大型

居民小区内试行.方案一：进行广泛的宣传活动，通过设立宣传点、发放宣传单等方式，

向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义，讲解分类垃圾桶的使用方式，垃圾投放E寸间

等，定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动；方案二：智能化垃圾分类，在小区内分

别设立分类垃圾桶，垃圾I可收前端分类智能化，智能垃汲桶操作简单，居民可以通过设备

进行自动登录、自动称重、自动积分等一系列操作.建立垃圾分类激励机制，比如，垃圾

分类换积分，积分可兑换礼品等，激发了居民参与垃圾分类的热情，带动居民积极主动地

参与垃圾分类.经过•段时间试行之后，在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问

3

卷调查，记录他们对试行方案的满意度得分(满分100分)，将数据分成6组：

[40,50)450.60)」60,70),[70,80),[80,90)」90,100|,并整理得到如下频率分布直方图:

8小区方案二

(1)请通过频率分布直方图分别估计两种方案满意度的平均得分，判断哪种方案的垃圾分类

推广措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组中间的中点值作代表)；

(2)估计4小区满意度得分的第80百分位数；

(3)以样本频率估计概率，若满意度得分不低于70分说明居民赞成推行此方案，低于70分

说明居民不太赞成推行此方案.现从8小区内随机抽取5个人，用X表示赞成该小区推行

方案的人数，求X的分布列及数学期望.

【例2-2】(2023•北京顺义・统考一模)为调查A,8两种同类药物在临床应用中的疗效，药

品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B的患者的康复时间，经整理得到如下数

据：

康复时间只服用药物A只服用药物B

7天内康复360人160人

8至14天康复228人200人

14天内未康复12人40人

假设用频率估计概率，且只服用药物A和只服用药物B的患者是否康复相互独立.

(1)若一名患者只服用药物A治疗，估计此人能在14天内康复的概率；

(2)从样本中只服用药物A和只服用药物B的患者中各随机抽取1人，以X表示这2人中能

在7天内康复的人数，求X的分布列和数学期望：

(3)从只服用药物4的患者中随机抽取100人，用“儿0(〃)”表示这100人中恰有4人在14天

4

内未康复的概率，其中2=0,1,2，…,100.当4,)(&)最大时，写出上的值.(只需写出结论)

考法三相互独立事件

【例3-1】(2022•全国•统考高考真题)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项

目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学

校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结

果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

【例3-2】(2023・湖南•模拟预测)党的二十大胜利召开，某单位组织举办“百年党史”知识对

抗赛，组委会将参赛人员随机分为若干组，每组均为两名选手，每组对抗赛开始时，组委

会随机从百年党史题库抽取2道抢答试题，每位选手抢到每道试题的机会相等•比赛细则

为：选手抢到试题且回答正确得io。分，对方选手得。分;选手抢到试题但回答错误或没有

回答得。分，对方选手得50分;2道题目抢答完毕后得分多者获胜•已知甲、乙两名选手被分

43

在同一组进行对抗赛，每道试题甲回答正确的概率为三，乙回答正确的概率为彳，两名选

手每道试题回答是否正确相互.独立.

(1)求乙同学得100分的概率；

(2)记X为甲同学的累计得分，求X的分布列和数学期望.

考法四正态分布

【例4-1】(2023♦全国•模拟预测)为落实体育总局和教育部发布的《关于深化体教融合，

促进青少年健康发展的意见》，某校组织学生参加100米短跑训练.在某次短跑测试中，抽

取100名女生作为样本，统计她们的成绩(单位：秒)，整理得到如图所示的频率分布直方

图(每组区间包含左端点，小包含右端点).

，、频率/组距

0.18-------------------

0.14------------------

施

8程

13151719力力:5成薪/秒

(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；(同一组的数据月该组区间的中点值为代表)

(2)由频率分布直方图，可以认为该校女生的短跑成绩X服从止态分布NJ。)，其中〃近

似为女生短跑平均成绩灭，人近似为样本方差$2,经计算得，$2=6.92,若从该校女生中

随机抽取10人，记其中短跑成绩在［12.14,22.66］以外的人数为匕求P(YNl).

附参考数据：师。2.63,随机变量X服从正态分布"("，4)，则

P(//-CT<X</Z+<T)=0.6827,P(〃-2。<X<〃+2cr)=0.9545,

X<//+3(T)=0.9974,O.682710«0.0220,0.954510%0.6277,0.9974°=0.9743.

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【例4-2】（2023・江西•校联考一模）2020年8月，体育总局和教育部联合提出了《关于深

化体教融合，促进青少年健康发展的意见》.某地区为落实该意见，初中毕业生升学体育考

试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳二项测试，二项考试满分为50分，

其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分.某学校在初三上学期开始时要掌握

全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到频率分布直方图（如

图所示），且规定计分规则如下表：

频率

每分钟跳绳个数[155,165)[165,175)[175,185)[185,215]

得分17181920

（1）现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率；

（2）若该校初三年级所有学生的跳绳个数*~乎“/）,用样本数据的平均值和方差估计总

体的期望和方塞已知样本方差$2=169（各组数据用中点值代替）.根据往年经验，该校初三

年级学生经过训练，正式测试时跳绳个数都有明显进步.假设中考正式测试时每人每分钟跳

绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：

①全年级有1000名学生，预估正式测试每分钟跳182个以上人数；（结果四舍五入到整数）

②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195个以上的人数为八

求随机变量丫的分布列和期望.

附：若X~,则

P（|X-“vb）a0.6826,P（X-<2cr）»0.9544,P（\X-“<3b）=0.9974.

7

考法五条件概率

【例5-1】(2023・广东深圳・统考一模)某企业因技术升级,决定从2023年起实现新的绩效

方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”

进行问卷调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中

有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式II可

答问卷，否则按方式H回答问卷”.

方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“。”，否则画“x”；

方式II：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“。”，否则画“x”.

当所有员工完成问卷调查后，统计画。，画x的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即

可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度

企业所有对新绩效方案满意的员工人数,_

二---------企业所有员工人数---------X，0°%o/-

(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式I回答问卷的人数，求X的数学期

望；

(2)若该企业的所有调查问卷中，画“。”与画“x”的比例为4：5,试估计该企业员工对新绩效

方案的满意度.

【例5-2】(2023•安徽蚌埠・统考二模)有研究显示，人体内某部位的直径约10mm的结节约

有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤.某医院引进一台检测设备，可以通过无创的

血液检测，估计患者体内直径约10mm的结节是否会在I年内发展为恶性肿瘤，若检测结

果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节

不会在1年内发展为恶性肿瘤.这种检测的准确率为85%,即一个会在1年内发展为恶性

肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%

的可能性被检出阴性.患者甲被检查出体内长了一个直径约10mm的结节，他做了该项无

创血液检测.

(1)求患者甲检查结果为阴性的概率；

(2)若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率(结果保

留5位小数);

8

(3)医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内

发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有

1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益.

考法六统计案例

【例6-1】】(2023・浙江・永嘉中学校联考模拟预测)“体育强则国家强，国运兴则体育兴”，

多参加体育运动能有效增强中学生的身体素质.篮球和排球是我校学生最为喜爱的两项运

动，为调查喜爱运动项目与性别之间的关系，某调研组在校内随机采访男生、女生各50

人，每人必须从篮球和排球中选择最喜爱的一项，其中喜爱排球的归为甲组，喜爱篮球的

归为乙组，调查发现甲组成员48人，其中男生18人.

(1)根据以上数据，填空下述2x2列联表：

甲组乙组合计

男生

女生

合计

(2)根据以上数据，能否有95%的把握认为学生喜欢排球还是篮球与“性别”有关?

(3)现从调查的女生中按分层抽样的方法选出5人组成一个小组，抽取的5人中再随机抽取

3人发放礼品，求这3人中在甲组中的人数X的概率分布列及其数学期望.

参考公式：六=…图濡需+”),其中〃为样本容量.

参考数据:

尸(片〃°)0.500.050.01

k。0.4553.8416.635

【例6-2】(2022•全国•高三专题练习)实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收

入情况如表.

9

月份工12345678910

收入丁（万元）10121513161715161620

并计算得£X/=890,XV=385,£>=150,点（再-可；75.99.

（1）是否可用线性回归模型拟合N与工的关系？请用相关系数，・加以说明；（当0.75引v7

时，那么变量X,>有较强的线性相关关系）

（2）建立y关于工的回归方程5，=蒯+4（结果保留I位小数），并预测该商场12月份的收

入情况.（结果保留整数）

‘刃斗一秋凹-亍）

附：］=，।“，-----...=耳-------z-，a=y-bx.

£（西-工）力七2”

r=lr=l

【例6-3］（2022•山东聊城.统考三模）为迎接2022年北京冬奥会,践行“更快更高更强”的

奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健

康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.

10

体*3"人敢

（1）为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结

果统计如上图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线），=廿计”的附近，请根据下表

中的数据求出该年级体重超重人数）'与月份x之间的经验回归方程（系数〃和的最终结果

精确到0.01）,并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以

下？

月份X123456

体重超标人数）'987754483227

z=Iny4.584.373.983.873.463.29

（2）在某次足球训练课上，球首先由A队员控制，此后足球仅在A、B、C三名队员之间传

递，假设每名队员控球时传给其他队员的概率如下表所示：

控球队员ABC

接球队员BCACAB

22\_

概率

253333

若传球3次，记川队员控球次数为X,求X的分布列及均值.

〃__

附：经验回归方程：§=鼠+》中，-------,°=亍-妖；

1=1

参考数据:乞4=23.52,£^=77.72,力片=91,>10=2.30.

r=lr=li=l

考法七特征数做决策

【例7-1】（2023・四川乐山・统考・模）“双十•”期间，某大型商场举行了“消费领奖”的促销

活动，在规定的商品中，顾客消费满，200元（含200元）即可抽奖一次，抽奖方式有两

种（顾客只能选择其中一种）.

方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球（其中红球I个，黑球4个）的抽奖盒

11

中，有放回地摸出2球，每摸出1次红球，立减100元.

方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，黑球8个)的抽奖盒

中，不放回地摸出2个球，中奖规则为：若摸出2个红球，享受免费优惠；若摸出1个红

球，1个黑球，则打5折；若摸出2个黑球，则抵扣现金50元.

(1)某顾客恰好消费200元，选择抽奖方案一，求他实付现金的分布列和期望；

(2)若顾客消费300元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪一种抽奖方式更合理？

【例7-3](江西省2022届高三二轮复)某地的水果店老板记录了过去100天A类水果的

日需求量单位：箱)，整理得到数据如下表所示.

X2223242526

频数2020301812

其中每箱A类水果的进货价为50元，出售价为10()元，如果当天卖不完，就将剩下的A

类水果以20元每箱的价格出售给果汁加工企业，以这10()天记录的口需求量的频率作为口

需求量发生的概率.

(1)如果某天的进货量为24箱，用X表示该水果店当天卖出A类水果所获得的利润，求X

的分布列与数学期望；

(2)如果店老板计划某天购进24箱或25箱的A类水果，请以当天利润的期望作为决策依

据，判断应当购进24箱还是25箱.

【例7.3】(2023•福建・统考一模)校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类

急救设备.某学校引进例，N两种类型的自动体外除颤器(简称AED)若干，并组织全校

师生学习AED的使用规则及方法.经过短期的强化培训，在单位时间内，选择N两种

类型AED操作成功的概率分别为|和/，假设每次操作能否成功相互独立.

(1)现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，

求他恰好在第二次操作成功的概率；

(2)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操

作展示，下面是两种方案：

方案甲：在笫一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若笫一次对某类

12

型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，

则第二次使用另一类型AED进行操作.

方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作

是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备.

假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方

案更好？

考法八统计概率与数列综合

【例8-1](2023秋・广东揭阳•高三统考期末)《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981

年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却

始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历.现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分.

前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局.在第5局比赛中

先获得15分并领先对方2分的一方获胜.在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不

得分，且下一回合的发球权属于获胜方.经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的

情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为：；当乙队拥有发球权时，甲队获胜

的概率为g.

(1)假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的

概率；

(2)当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个I可合，设甲队在第，个回合拥有

发球权的概率为匕假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并

判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小.

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【例8-2】(2023•全国•高三专题练习)某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂

前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的

频率分布直方图：

频率

标

0.009................................

0.004...............-I------------------

0.002……——

0.001................................................1

0---------------------------------'-----------►

口180230280330380430单次最大续航里程/千米

(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值

代表)：

(2)经计算第(1)问中样本标准差$的近似值为50,根据大量的测试数据，可以认为这款

汽车的单次最大续航里程X近似地服从止态分布(用样本平均数元和标准差$分

别作为〃。的近似值)，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程Xe[250,400]的概

率；

(参考数据：若随机变量X则外〃卜0.6827,

P(Z/-2cr<X<z/+2a)«0.9545,0(〃-3bWXW〃+3b)=0.9973)

(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，

14

客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0、1、2、

3.....20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（笫19格），则可获得购车优惠券3万

元；若遥控车最终停在“微笑大本营''（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正、

反面的概率都是遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若

掷出正面，遥控车向前移动一格（从k到&+D；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k

到k+2）,直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第

〃（年19）格的概率为试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得

优惠券全额的期望值（精确到0.1万元）.

【例8-3】（2023♦河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击

有•段冷却时间（即发动一次攻击后需经过-一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技

能，技能一是每次发动攻击后有g的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，

该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却时间存续发动攻击；技能二是每次发动

攻击时有g的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为原来的2倍，但是多次

触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2倍伤害加成）.

每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次

触发技能一而带来的连续攻击称为一纶攻击，造成的总为古称为一轮攻击的伤害.假设、•突

击者”单次攻击的伤害为1,技能一和技能二的各次触发均彼此独立：

（1）当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件

8为“技能-和技能二各触发1次”，求条件概率以同八）

（2）设〃是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为2〃的概率记为匕，求文

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考法九统计概率与函数导数综合

【例9-1］（2023•云南曲靖•统考一模）某地A,B,C,。四个商场均销售同一型号的冰

箱，经统计，2022年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表（单位：十

台）：

4商场8商场C商场。商场

购讲该型冰箱数X3456

销售该型冰箱数y2.5344.5

⑴已知可用线性回归模型拟合），与x的关系，求），关于x的线性回归方程与二加+机

（2）假设每台冰箱的售价均定为4000元.若进入A商场的甲、乙两位顾客购买这种冰箱的

（1、

概率分别为P，2/7-1-<P<\,且甲乙是否购买冰箱互不影响，若两人购买冰箱总金额

Iz✓

的期望不超过6000元，求〃的取值范围.

【例9-2】（2022♦湖北十垠•丹江口市第一中学校考模拟预测）某校组织校园科技文化节活

动，5名参赛选手组成一队参与积分答题活动，答题规则：每人答3道题，每道题答对得3

分，答错扣1分.若第一道题答错，不能继续答题，答题结束；若第一道题答对，后2道

题均需作答.5名选手积分成绩之和为该队积分成绩，高三1班的“领航队”的每位选手答

对每道题的概率均为且每人答每道题都是相互独立的.

（1）若“领航队”中恰有3名选手答对第一道题的概率为/（P）,求/（P）的最大值和最大值点

Po的值；

（2）以（1）中确定的4作为〃的值，求“领航队”积分成绩X的数学期望.

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考法十新概念

【例10-1】(2022•全国•统考高考真题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居

民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机

调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照

组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到

的人患有该疾病”.第橙与瑞兴的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的

一项度量指标，记该指标为R.

,•、皿“pP(A|步尸(.后)

(1)证明：R=—=--------------—；

P(A|B\P(A\B)

(ii)利用该调查数据,给出P(*B),P(A国)的估计值,并利用(i)的结果给出R的估

计值.

n(ad-bc)2

附K、

(a+〃)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

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【例10-2]（2023・浙江・统考一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出

现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴

性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性.假设一组样本有

N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为〃目前，我们采用K人混管病毒

N

检测，定义成本函数〃X）=R+KX,这里X指该组样本N个人中患病毒的人数.

K

⑴证明：£|7（X）[22）・N；

（2）若10KKW20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中

大概率恰有一人为阳性.

【例10-3]（2023・广东肇夫・统考二模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.

现连续发射信号〃次，每次发射信号"O”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为X.

⑴当〃=6时，求P（XK2）；

（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量丫，若其数学期望双旷）和方差。（y）均存在，

则对任意正实数有尸（»-/"）|＜。）21-岑2.根据该不等式可以对事件

的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号丁的频率在0.4与

0.6之间，试估计信号发射次数〃的最小值.

I~©-@-©-©------------------------------

1.（2022・广西河池•校联考模拟预测）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读

书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区

随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间（单

位；小时），并将样本数据分成[0,2],（2,4],（4,6],（6,8],（8,10],（10,12],（12,14],

18

(14,16］,(16,18］九组，绘制成如图所示的频率分布直力图.

频率

o.05

0.04

O.03

O.023

O.

O

24681012141618日平均阅读时间(小时)

(1)求。的值:

(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日

平均阅读时间在(8,10］,(10,12］两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从

这1()人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在(10,12］内的学生人数为X,求X的分布列

和数学期望.

2.(2022・全国,高三专题练习)甲、乙两位同学进行摸球游戏，盒中装有6个大小和质地相

同的球，其中有4个白球，2个红球.

(1)甲、乙先后不放回地各摸出1个球，求两球颜色相同的概率；

(2)甲、乙两人先后轮流不放回地摸球，每次摸1个球，当摸出第二个红球时游戏结束，或

能判断出第二个红球被哪位同学摸到时游戏也结束.设游戏结束时甲、乙两人摸球的总次

数为X,求X的分布列和期望.

19

3.（2021•全国•统考高考真题）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题，每位

参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该

同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与

否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；8类问题中的

每个问题回答正确得80分，否则得。分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能

正确回答4类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.

（I）若小明先回答人类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

4.（2023・四川南充・四川省南充高级中学校考模拟预测）在2022年卡塔尔世界杯亚洲区预

选赛十二强赛中，中国男足以1胜3平6负进9球失19球的成绩惨败出局.甲、乙足球爱

好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练（每人各踢一次为•轮），在相同的

条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两

人有I人进球另一人不进球，进球者得I分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，

两人均得。分，设甲每次踢球命中的概率为号,乙每次踢球命中的概率为：，甲扑到乙踢

出球的概率为《，乙扑到甲踢出球的概率（，口各次踢球互不影响.

（1）经过一轮踢球，记甲的得分为X,求X的分布列及数学期望：

（2）若经过两轮踢球，用心表示经过第2轮踢球后甲累计得分高于乙累计得分的概率，求

P2.

20

5.(2023・湖南邵阳・统考一模)新冠疫情暴发以来，各级人民政府采取有效防控措施，时常

采用1()人一组做核酸检测(俗称混检)，某地在核酸检则中发现某一组中有1人核酸检测

呈阳性，为了能找出这1例阳性感染者，且确认感染何种病毒，需要通过做血清检测，血

清检测结果呈阳性的即为感染人员，呈阴性的表示没被感染.拟采用两种方案检测：

方案甲：将这10人逐个做血清检测，直到能确定感染人员为止.

方案乙：将这10人的血清随机等分成两组，随机将其中一组的血清混在一起检测，若结果

为阳性，则表示感染人员在该组中，然后再对该组中每分血清逐个检测，直到能确定感染

人员为止；若结果呈阴性，则对另一组中每份血清逐个喷测，直到能确定感染人员为止.把

采用方案甲，直到能确定感染人员为止，检测的次数记为X.

⑴求X的数学期望E(X)；

(2)如果每次检测的跋用相同,以检测跋用的期望作为决策依据.应选择方案甲与方案乙哪

一种？

6.(2023•江苏徐州・徐州市第七中学校考一模)某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体

教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组

党史题目放在甲、乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和

3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取

一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个

题目放I可原纸箱中.

(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；

(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支

部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个

题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

21

7.(2023・湖南衡阳•校考模拟预测)冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第

24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图所示，其中左端(投掷线MN的左

侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，

冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心。的远近决定胜负，

甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆。中，得3分，冰壶的重心落在圆

环A中，得2分，冰壶的重心落在圆环3中，得1分，其余情况均得0分.已知甲、乙投

掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为!，甲、乙得2分的概率分别为

34

(1)求甲、乙两人所得分数相同的概率；

(2)设甲、乙两人所得的分数之和为X,求X的分布列和期望.

2947

【答案】(1)痴(2)分布列见解析；期望为五

22

8.（2023♦陕西西安•校考模拟预测）2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校

开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不

再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划.强基计划主要选拔培养有志于服务国家

重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.据悉强基计划的校考由试点高校自主

命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三

门考试科目且每门科目是否通过相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为

该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为!，3,〃'，其中

265

3

（1）若分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概

率；

（2）强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期

望为依据作出决策，则当该考生更希望通过甲大学的笔'式时，求加的范围.

9.（2023•福建漳州•统考二模）北京时间2022年9月21日。时,卡塔尔世界杯揭幕战在

海湾球场正式打响，某公司专门生产世界杯纪念品，今年的订单数量再创新高，为回馈球

迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次.已知每

次抽奖抽到一等奖的概率为10%,奖金100元；抽到二等奖的概率为30%,奖金50元；

其余视为不中奖.假设每人每次抽奖是否中奖互不影响.

（I）任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率；

（2）任选2名成功下单金额达500元的顾客，记4为他们获得的奖金总数，求4的分布列和

23

数学期望.

10.(2023・山东・潍坊一中校联考模拟预测)为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方

政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准

的安家补贴费和生活津贴.某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名

的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用.现对该市

1~4月份的报名人员数和录用人才数(单位：千人)进行统计，得到如下表格.

月份1月份2月份3月份4月份

报名人员数打千人3.556.57

录用人才数为千人0.20.330.40.47

(1)求出)，关于X的经@险回归方)S；

(2)假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴

(i)若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生

活津贴的总金额；

(ii)假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为〃，3/7-1.若两人

的生活津贴之和的均值不超过3万元，求〃的取值范围.

附：经验回归力程»几中，斜率和截距的最小一乘法估计公式分别为

Zz-阿44

b=T--------------,<7=7-^;£<=128.5,Xx/=8.24.

欣2/-I

r=l

24

11.（2023•广东广州•统考二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色

“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100

天，这五家“农家乐''的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：

元/日），，为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率勺

的散点图如图.

X10015020030()450

19()65453()20

入住率

8・

O.6

O.■

4■

O,2

O.••收费卜准

O100200300400500

（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记g为“入住率”超过0.6的农家乐的个

数，求g的概率分布列；

⑵令z=lnx,由散点图判断旷=法+〃与y=〃z+a哪个更合适于此模型（给出判断即可，

不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程；（〃，人的结果精确到0.1）

（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天俏售额A最大？

（100天销售额L=l（）0x入住率x收费标准x）

2和1近j_J5

参考数据：。=匕---------，a=y-bx，7=240,XX；=365000,=457.5.

欣2.

M

55

2

2^5.35,52ss28.57,2z,=144.24,»12.72,廿=150,*=220.

/=!/=i

12.（2022•北京•景山学校校考模拟预测）4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书

日为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进

行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成

[0,2],（2,41,（4,6],（6,81,（8,101,（10,121,（12,141,（14,161,（16,冈九组，绘制成

25

如图所示的频率分布直方图.

频率

薪

0.15.....

S

S05

S084

8

OS.3

024681012141618日平均阅读时间/小时

（1）从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在（10,12］内的概率；

（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从FI平

均阅读时间在（12,14］,（14,16］,（16,18］三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10

人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14,16］内的学生人数为X,求X

的分布列和数学期望；

（3）以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10名学生，用P（k）表示这

10名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（8［2］内的概率，其中％=0,1,2,

10.当P小）最大时，写出我的值.（只需写出结论）

13.（2022.重庆.统考模拟预测）在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶

段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这

是我国脱贫攻坚史上的一大壮举.重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利

脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手.奉节县规划发展了以裔

山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色

农产品已经成为了当地村民的摇钱树.尤其是奉节脐橙・因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细

嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香''而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻

坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持.奉节县种植

的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其