第五章 统计与概率（知识梳理热考题型）（解析版）

第五章统计与概率

单元复习

【知识梳理】

一、普查与抽样调查

⑴普查

①定义：一般地，对总体中每个个体都进行考察的方法称为普杳(也称为全面调杳).

②优点：普查能够了解总体中每个个体的情况，从而能准确地掌握总体的特征.

③适用条件：在总体包含的个体总数不大，或有特殊需要的情况下，可以采用普查的方法.

(2)抽样调查

①定义：只抽取样本进行考察的方法称为抽样调查

②适用条件：普查的方法有时会因为各种原因而无法实施，例如成本太高、时间上不容许、考

察方法具有破坏性等，此时就采用抽样调查.

二、简单随机抽样

(1)定义：一般地，简单随机抽样就是从总体中不加任何分组、划类、排队等完全随机地抽取

个体.

(2)特点：总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到.

⑶适用范围：

当总体中的个体之间差异程度较小和总体中个体数目较少时，通常采用这种方法.

⑷常见的简单随机抽样方法有抽签法、随机数友法.

①抽签法的优缺点

抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量韭蜜大时，操作起来就比较麻烦，而且如果抽

取之前搅拌不均匀，可能导致抽取的样本不具有代表性.

②随机数表法

用随机数表进行简单随机抽样的一般步骤为：

(i)对总体进行编号.

(ii)在随机数表中任意指定一个开始选取的位置.位置的确定可以随机确定，也可用其他方式随

机确定.

(iii)按照一定规则选取编号.例如，若编号是两位，规则可以是每次从左往右选取两个数字，也

可以是每次只选取每一组的前两个数字，还可以是每次只选取下面一行同一位置对应的两个数

字，等等.规则一经确定，就不能更改.在选取过程中，遇到超过编号范闱或已经选取了的数字,

应该舍弃.

⑴)按照得到的编号找出对应的个体.

三、分层抽样

⑴定义：一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的

几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层

随机抽样(简称为分层抽样).

(2)作用：通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征.

四、最值、平均数、中位数、百分位数、众数

⑴最值

一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况.

Q)平均数

①定义：如果给定的一组数是幻，冷，…，羽”则这组数的平均数为7=1於|+-+…+x〃).这一

n

1

公式在数学中常简记为工=txif

尸

②性质：一般地，如果Xl，X2，…,X”的平均数为X,且4,6为常数，则0X2+6，…，

口。+人的平均数为生土力.

(3)中位数、百分位数

①中位数:一般地，如果一组数有奇数个数,且按照从小到大排列后为H，X2,…，则

称U为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为为，了2,…，X2〃,

则泸土以1为这组数的中位数

2

②百分位数：设一组数按照从小到大排列后为为，X2,…，M，计算”•=〃〃％的值，如果，不是

整数，设io为大于i的最小整数，取也为2％分位数；如果，是整数，取赴土也为2％分位数.

特别地，规定：0分位数是刈(即最小值)，100%分位数是当(即最大值).

(4)众数：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数,出现次数最多的数据称为

这组数据的众数.

五、极差、方差与标准差

(1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差.极差反映了一组数的变化

范围.

(2)方差

①定义：如果榻，X2,…，X〃的平均数为X,则方差可用求和符号表示为

②性质：如果a,力为常数，则ovi+b,axHb,…，ax”+b的方差为々“5

(3)标准差

$=/-L(X,"T)'.

①定义：方差的算术平方根S表示,即样本数据型，X2,…，X〃的标准差为业上匚

②性质：如果6为常数，则Qxi+〃，…,9+6的标准差为|a|s.

③作用：如果一组数中，各数据值都相等，则标准差为0,表明数据没有波动，数据没有离散

性；若各数的值与平均数的差的绝对值较大，则标准差也较大，表明数据的波动幅度也较大，

数据的离散程度较高，因此标准差(或方差)描述了数据相对于平均数的离散程度.

六、柱形图、折线图、扇形图和茎叶图

⑴柱形图

①柱形图(也称为条形图)可以形象地比较各种数据之间的数量关系.

②痔点：柱形图(也称为条形图)中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条釉上对应的

是数量、个数或者比例，柱形图中每一矩形都是等宽的.

(2)折线图

一•股地，如果数据是随时间变化的，想了解数据的变化情况,可将数据用折线图来表示.

(3)扇形图

扇形图可以形象地表示出各剖分数据在全部数据中所占的比例情况.扇形图中，每一个扇形的

圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比.

(4)茎叶图

一般来说，茎叶图中，所有的茎都竖直排列，而叶沿水壬方面排列.茎叶图也可以只表示一组

数.“叶”是从“茎”的旁边生长出来的数.茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十

位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共月一个茎，茎按从小到大的顺序从上往

下排列.将一组数整理成茎叶图后，如果每一行的数都是按从大到小(或从小到大)顺序排列，则

从中可以方便地看出这组数的最值、中位数等数字特征.

七、频数分布直方图与频率分布直方图

(1)频数与频率

①频数：在一组数据中，数据出现的次数称为频数，某个区间内的数据的个数称为区间对应的

频数.

②频率：在一组数据中，数据的频数与这组数据总个数的比称为频率,区间对应的频数与这组

数据总个数的比称为区间对应的频率.

（2）频数、频率分布直方图及其折线图

①频率分布直方图制作的方法步骤

计找算出极最差值，一决皿定确合定理区分间组，一冲一定f整数理据列--中--川-作山出士有辛关图同小一

②

③频数分布直方图与频率分布直方图的区别

频数分布直方图的纵坐标是频数,每一组数对应的矩形高度与频数成正比；频率分布直方图的

纵坐标是瞿，每一组数对应的矩形高度与频率成正比，而且每个矩形的面积等于这一组数对

应的频率.

④频数分布折线图和频率分布折线图的制作方法

把每个矩形上面一边的中点用线段连接起来.为了方便看图，折线图都画成与横轴相交，所以

折线图与横轴的左右两个交点是没有实际意义的.

八、用样本估计总体

用样本的分布估计总体的分布

（1）一般情况下，如果样本的容量恰当,抽样方法又合理的话，样本的特征能够反映总体的

特征.特别地，样本平均数（也称为样本均值）、方差（也称为样本方差）与总体对应的值相差

不会太大.

（2）在容许一定误差存在的前提下，可以用挂本的数字特征去估计总体的数字特征.

（3）分层抽样的平均数、方差

假设第一层有〃7个数，分别为X”X2,…，Xm，平均数为X,方差为第二层有〃个数，分

别为V，＞2,…，"，平均数为y,方差为P.

如果记样本均值为小样本方差为〃，则〃=\但即+£引=也"，

）」小2+（x—Q）2]+叩2+（y—Q）2]_1(加s2+〃尸)+T(x—y)2

U=——

〃2+〃加+〃

九、概率

（1）必然现象与随机现象

①一定条件下，发生的结果事先不能确定的现象就是随机现象.

②发生的结果事先能够确定的现象就是必然现象.

（2）样本点和样本空间

①随机试验

把在相同条件下，对随机现象所进行的观察或实验称为随机试验W.

②样本点和样本空间

把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点,把由所有挂空点组成的集合称为样本空

问.

（3）随机事件、必然事件、不可能事件

①随机事件：如果随机试验的样本空间为。，则随机事件力是。的一个非空真子集.而且，若试

验的结果是力中的元素，则称力发生；否则，称4不发生.

②必然事件：任何一次随机试验的结果，一定是样本空间。中的元素，因此可以认为每次试验

中。一定发生，从而称。为必然事件:

③不可能事件：因为空集。不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中。一定不发生，从而称

。为不可能事件W.

④事件的表示与基本事件

（i）不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母人从。，…

来表示.

（ii）基本事件：只含有一个样本点的事件称为基本事件W.

（4）随机事件发生的概率

①事件力发生的概率通常用尸（力）表示.

②我们将不可能事件。发生的概率规定为0,将必然事件。发生的概率规定为1,

即。（。）=0,P（。）=iw.

③对于任意事件/来说，显然应该有P（。）WP（4）WP（。），即。〈尸（4）W1.

十、事件之间的包含、相等、和与积

(1)事件的包含与相等

定义表小法图示

一般地，如果事件4发生时，事

包含关系件5一定发生,则称/包含于

(或8刈)11

8(或5包含4)

相等关系AQBSLBQAA=B11

(2)事件的和与积

定义表示法图示

由所有4中的样本点与8中

4+8

和的样本点组成的事件称为力

（或4U8）11

与B的和(或并)

由事件N,B中的公共样本

积点组成的事件称为“与8的建或4AB)11

积(或交)

十一、事件的互斥与对立及概率加法公式

⑴事件的互斥与对立

定义表示法图示

互若事件4与8不能同时发

48=0（或NC5=0）

斥生，则称4与8互斥50

由样本空间。中所有丕属

对事件A的对立事件

工事件N的样本点组成的

立记为4a

事件称为/的对立事件

如果B=A,则称/与8相互对立.

(2)互斥事件的概率加法公式

①互斥事件的概率加法公式：当力与8互斥(即力8=。)时，有P(A+B)=P(4)+P(B).

②一般地，如果小，小，…，4是两两互斥的事件，则PQ-+・・・+4)=P(4)+尸(4)+…

+P(4).

③P(4)+尸⑷=1.

十二、古典概型

(1)古典概型

一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是直限的(简称为有限性)，而且可以认

为每个只包含一个样本点的事件(即基本事件)发生的可能性大小蒯I笔(简称为等可能性)，则

称这样的随机试验为古典概率模型，简称为古典概型.

(2)古典概型概率公式

古典概型中，假设样本空间含有〃个样本点，如果事件。包含有〃7个样本点，则P(C)=^.

n

十三、频率与概率

用频率估计概率

(1)在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的以至，而旦试

验的次数越多，频率与概率之间的差距很小的可能性越大.

(2)一般地，如果在〃次重复进行的试验中，事件力发生的频率为〃?，则当〃很大时，可以认为

n

事件4发生的概率P(4)的估计值为逍此时也有OWP(4)W1.

n

十四、相互独立事件的定义和性质

(1)定义：一般地，当。(48)=/过⑷时，就称事件力与3相互独立(简称独立).

(2)性质：如果事件力与5相互独立，则4与a4与B,4与B也相互独立.

(3＞个事件相互独立

“小，小，…，4相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们

各自发生的概率之积”.

十五、独立事件的概率公式

(1)若事件力，8相互独立，则尸(43)=上⑷

(2)若事件小，生，…，4相互独立，则P(4»2・・・4〃)=P(4I)X4(42)X…

事件48的各种情形概率公式

48同时发生P(AB)=P(A)P(B)

At8都不发生P(A8)=0(4)P(8)=[1—0(4)]口一0(8)]=1~P(A)~

P⑻+P(A)P⑻

4,8至少有一个不发生1~P(AB)=1—P(A)P(B)

4,8至少有一个发生1~P(AB)=1一P(A)P(B)=P(A)+P(B)—P(A)P(B)

P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=P(A)+P(B)-

4,8恰好有一个发生

2P(A)P(B)

十六、统计与概率的应用

概率是描述随机事件发生可能性大小的度量,它己经渗透到人们的日常生活中，成为一个常用

的词汇，任何事件的概率是0〜1（包含0,1）之间的一个数，它度量该事件发生的可能性.小概

率事件（概率接近0）很少发生，而大概率事件（概率接近1）则经常发生.

【热考题型】

【考点1】统计

一、单选题

1.（2023上•贵州六盘水♦高二统考期中）某校有教师360人，其中高级及以上职称教师240人，一级职称教

师80人，其他职称教师40人，现采用分层抽样从中抽取18人参加某项调研活动，则高级及以上职称教师

应抽取的人数是（）

A.2B.4C.9D.12

【答案】D

【分析】根据分层抽样的定义求解即可.

【详解】由题意知，高级及以上职称教师应抽取的人数为

邺xl8=12人.

360八

故高级及以上职称教师应抽取的人数为12人.

故选：D.

2.（2023上•湖南邵阳•高三校考阶段练习）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三

种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列

说法错误的是（）

A.投资3天以内（含3天），采用方案一

B.投资4天，不采用方案三

C.投资6天，采用方案一

D.投资9天，采用方案三

【答案】D

【分析】由统计图形，判断投资期限内每天回报累积最大的方案.

【详解】由图可以看出，从每天回报看，投资3天以内（含3天），方案一每天的回报都最多，所以三天回

报累积也最多，故A正确；

投资4天，方案三每天的回报都最少，所以三天回报累积也最少，故B正确；

投资6天，方案一每天回报累积约为40x6=240元，方案二每天向报累积约为10+21+30+40+50+61=212

元，

方案三每天回报均少「40元，故每天回报累积小于6x40=240元，所以方案一每天回报累积最多，故C止

确；

投资9天，方案三前6天均小于20,第7天小于40,第8天小于60,第9天大约100,故每天回报累积小

于6x20+40+60+100=320,

方案一每天回报累枳约为40x9-360元，所以方案二9天累积回报不是最多，故D不正确.

故选:D

3.（2023上•全国•高三专题练习）工业生产者出厂价格指数（PPI）是反映工业企业产品第一次出售时的出厂价

格的变化趋势和变动幅度.根据下面提供的我国2020年1月―2021年12月的工业生产者出厂价格指数的

月度同比（将上一年同月作为基期进行对比的价格指数）和月度环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）涨

跌恃况的折线图判断，以下结论中正确的是（）

A.2020年各月的PPI在逐月增大

B.2020年各月的PPI均高于2019年同期水平

C.2021年1月〜12月各月的PPI在逐月减小

D.2021年1月〜12月各月的PPI均高于2020年同期水平

【答案】D

【分析】根据图像可判断AC,根据同比增长线与0.0%线的比较可判断BD.

【详解】由图可看出，选项A,C指的是“环比〃，

2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月减小，故A,C错误；

选项B,D是指"同比"，由于2021年1〜12月同比增长线均在。.0%的上方，

所以2021年1—12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确；

而2020年1〜12月同比增长线不均在0.0%的上方，故B错误.

故选：D

4.：2023上•全国•高三专题练习)某校高一年级1000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究

血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本，则从高一年级A型

血的学生中应抽取的人数是()

A.11B.22C.110D.220

【答案】A

【分析】根据扇形图中4型血的学生占比进行求解即可.

【详解】由图中数据可知高一年级A型血的学生占高一年级学生总体的22%,

所以抽取一个容量为50的样本，从A型血的学生中应抽取的人数是50x22%=11.

故选：A

5.(2023上•天津河北•高三统考期中)某班的全体学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的

分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是()

A.40B.45C.50D.60

【答案】C

【分析】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率，结合低于60分的人数即可求得答案.

【详解】由频率分布直方图可得低于60分的人的频率为20(0.005+0.()10)=().3()(),

由于低于60分的人数是15,则该班的学生人数是蕊=50,

故选:C

6.(2023上•全国•高三专题练习)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统

计计算后填入下表：

班级参加人数中位数方差平均数

甲55149191135

乙55151110135

下列结论中，不正确的是()

A.甲、乙两班学生成绩的平均水平相同

B.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数2150个为优秀)

C.甲班的成绩比乙班的成绩波动大

D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数

【答案】D

【分析】根据平均数大小判断选项A；根据中位数大小判断选项B；根据方差大小判断选项C：根据众数定

义，题中数据无法得出众数，故选项D无法判断.

【详解】甲、乙两班成绩的平均数都是135,故两班成绩的平均水平相同，故A正确：

甲、乙两班人数相同，但甲班成绩的中位数为149,乙班成绩的中位数为151,

则甲班每分钟输入汉字数N150个的人数至多为27人，乙班每分钟输入汉字数之150个的人数228人，

则乙班每分钟输入汉字数2150个的人数要多于甲班，故B正确：

s^=191>110=^,则甲班成绩不如乙班稳定，即甲班成绩波动较大，故C正确；

由题表看不出两班学生成绩的众数，故D不正确.

故选：D.

二、多选题

7.（2023上•高一课时练习）下面的抽样方法不足分层随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位

为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见

D.用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验

【答案】ABD

【分析】根据分层抽样的定义逐个分析判断

【详解】对AB,不是分层随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的：

对于C,是分层随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；

对于D,是简单随机抽样.

故选：ABD

8.（2023上•全国•高三专题练习）习近平总书记强调，要坚持健康第一的教育理念，加强学校体育工作，推

动青少年文化学习和体育锻炼协调发展.某学校对高一年级学生每周在校体育锻炼时长（单位：小时）进行了

统计，得到如下频率分布表：

分组[2,3)[3,4)[4,5)区可

频率

则下列关于高一年级学生每周体育锻炼时长的说法中正确的是（）

【答案】BCD

【分析】根据众数的定义，中位数的定义，平均数的定义，百分位数的定义即可求解.

【详解】对A,因为最大频率的组的中点值为3.5,则众数大约为3.5,故A错误；

对B,由表可知，中位数在第二组中，设其为X,

则（x-3）x0.3=0.25,解得—.83,故B正确；

对C因为平均数为2.5x0.25+3.5＞：0.3+4.5x0.2+5.5x0.25=3.95,故C正确;

对D,因为前三组的频率和为0.75,则第80百分位数位于第4组，设其为〃，

可得（a-5）x0.25=0.05,解得。=5.2,故D正确.

故选：BCD.

三、填空题

9.（2023上•上海杨浦•高三复旦附中校考期中）已知某班全体学生在某次数学考试中的成绩（中.位：分）的

频率分布直方图如图所示，则图中。所代表的数值是.

【分析】根据频率分布直方图结合频率和为1运算求解.

【详解】由频率分布直方图可知每组频率依次为：01,10a,0.35,030.1,

则0.1+10。+（）.35+0.3+0.1=1,傩得。=0.015.

故答案为：0.015.

10.（2023下•上海•高二专题练习）已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相

同，则图中如〃的比值”=_.

n

【答案】\

O

【分析】先分别计算甲组和乙组数据的中位数和平均数，再根据它们的中位数相同，平均数也相同，求出〃?,

〃，从而得解.

【详解】由茎叶图得到甲组数据的中位数为30+m,乙组的中位数为兰华=33,所以30+切-33,解得

2

〃1=3；

甲组的平均数=乙组的平均数，所以27+?+39=20+〃+32+34+38,解得〃=&；

34

所以一=g;

n8

故答案为：|

11.(2023上•上海黄浦•高三统考期中)某校共有400名学生参加了趣味知识竞赛(满分：150分)，且每位

学生的竞赛成绩均不低于90分.将这400名学生的竞赛成绩分组如卜.：

[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到的频率分布直方图如图所示，则这400名学

生中竞赛成绩不低于120分的人数为.

【答案】220

【分析】由频率分布直方图的面积和为1求出。，再计算出结果即可.

【详解】由频率分布直方图可知(0.010+0.010+0.025+a+0.015+0.005)xl0=l,解得。=0.035,

这400名学生中竞赛成绩不低于120分的人数为400'(O.O35+O.O15+O.OO5)'10=220,

故答案为：220

四、解答题

12.(2023上•浙江杭州•高二校联考期中)某市政府为了倡议市民节约用电，计划对居民生活用电费用实施

阶梯式电价制度，即确定一户居民月均用电量标准。，用电量不超过a的部分按照平价收费，超出部分按

议价收费.为了确定一个合理的标准，从某小区抽取了100户居民进行用电量调查(单位kW・h),并绘制

了如图所示的频率分布直方图：

⑴求x的值:

⑵求被调查用户的月用电量平均值：(同一组数据用该区间的中点值作代表)

⑶若使85%居民用户的水费支出不受影响，应确定。值为多少？

【答案】(1)0.0044

(2)186

(3)262.5

【分析】(1)直接根据概率和为1计算得到答案.

(2)直接根据平均值公式计算得到答案.

(3)确定85%分位数在250-300之间，计算得到答案.

【详解】(1)(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)x50=1,解得x=0.0044；

(2)x=75x0.0024x50+125x0.0036x50+175x0.0060x50+225x0.0044c50

+275x0.0024x50+325x0.0012x50=186：

(3)(0.0024+0.0036+0.0060+00044)x50=0.82<0.85；

(0.0024+0.0036+0.0060+0.00444-0.0024)x50=0.94>0.85；

故85%分位数在250~300之间，设为

0.0024x50+0.0036x50+0.0060x50+0.0044x50+0.0024x50xg—250=0.85,

50

解得a=262.5.

13.(2023上•重庆北培•高二西南大学附中校考期中)某研究小组发现某药物X对神经冲动的产牛.有明显的

抑制作用，称为“麻醉〃.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突

触前神经元的动作电位(单位：mV),在大量实验后，得到如下频率分布直力图.

利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值&当动作电位小于c•时判定为“麻醉”，大于或等

于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为p(c)；误判率是将

未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为夕(c).

⑴当漏判率为p(c)=4%时，求临界值c；

(2)令函数/(c)=p(c)+g(c),当ee［60,65］时，求/(c)的最小值.

【答案】⑴。=59

⑵0.075

【分析】(1)根据题意由第二个频率分布直方图的频率可求出

(2)根据题意得出/(c)的解析式，再根据一次函数的单调性即可求解.

【详解】(1)依题可知，漏判率为P(c)=4%,

右边第二个频率分布直方图图形中后两个小矩形的面积分别为5x0.005=0.025,5x0.015=0.075,

因为0.025<4%,所以55<c<60,所以(60—c)x0.015=0.04—().025=0.015,解得c=59；

(2)当c€［60,65］时，f(c)=p(c)+g(c)=(65-c)x0.005+0.05-(c-60)x0.02=0.015c-0.825,

因为函数/©在［60,65］上单调递增，所以/(e)20.015x60-().825=0.075,

所以/(。)在区间［60,65］的最小值为0.075.

14.(2023上•上海杨浦•高三复旦附中校考阶段练习)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理

效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理,

另一个川乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记

为无，乂［=1,2,…,10),记3=的-乂(，=1,2,…』0).试验结果如下：

试验序号/-12345678910

伸缩率须545533551522575544541568596548

伸缩率”536527543530560533522550576536

⑴求甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率的中位数和极差；

⑵设Z”Z2,…当。的样本平均数为Z,样本方差为判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后

的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺

V10

处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.

【答案】（1）中位数:546.5；极差：74

（2）芍显著提高

【分析】（1）根据中位数和极差的定义计算即可；

（2）根据平均数与方差公式计算z与一,计算比较大小即可.

【详解】（1）根据表格将这十次试验中甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率按大小顺序排列，可得中位数为

548+545

-2--=546.5,极差位596—522=74；

(2)由表格可知

序号，12345678910

9688151119182012

1010

故菁-乂)=10z=9+6+8M—8)+15+11+19+18+20+12=110=z=11,

(11-+(19-11)2+«8-11j+(20-11j+(2-11j_

10

所以2亿=2⑸<6vz，

V10

显然有显著提高.

【考点2】概率

一、单选题

1.（2023下•北京通州•高一统考期中）抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，该试验的样本空间

中样本点的个数为（）

A.1B.2C.4D.8

【答案】C

【分析】利用基本事件的定义，列举即可.

【详解】先后抛掷两枚质地均匀的硬币，有先后顺序，

则此试验的样本空间为｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面））.

故选：C.

2.（2023•广东•高三学业考试）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个

事件是（）

A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与都是红球

C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与至少有一个红球

【答案】C

【分析】先写出从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球所包含的基本事件，再根据选项写出各事

件的基本事件，利用互斥事件与对立事件的定义判断即可.

【详解】根据题意，记2个红球分别为力、8,2个黑球分别为“，b,

则从这4个球中任取2个球的总基本事件为力B,Aa,Ba,Ab,Bb,ab：

A、都是黑球的基本事件为他，至少有一个黑球的基本事件为加，Ba,Ab,Bb,ab,

两个事件有交事件岫，所以不为互斥事件，故A错误；

B、至少有一个黑球的基本事件为4a,Ba,Ab,Bb,ab,都是红球的基本事件为

两个事件不仅是互斥事件，也是对立事件，故B错误；

C、恰有两个黑球的基本事件为加，恰有一个黑球的基本事件为4?,Ba,Ab,Bb,

两个事件是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；

D、至少有一个黑球的基本事件为力a,Ba,Ab,Bb,ab,

至少有一个红球的基本事件为力以AafBa,Ab,Bb,两个事件不是互斥事件，故D错误.

故选：C.

3.（2023上•四川•高三统考学业考试）某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》

中履机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为（）

3।1I

A.—B.—C.-D.—

4234

【答案】D

【分析】直接计算概率即可.

【详解】《红楼梦》恰好被选中的概率为，=：.

4

故选：D.

4.（2023上•北京•高二北京五十五中校考期中）支付已经成为人们几乎最常用的付费方式.某大型超市为

调查顾客付款方式的情况，随机抽取了100名顾客进行调杳，记录结果整理如下表.从这100名顾客中随机

抽取1人，则该顾客年龄在［40,60）内且未使用支付的概率为（）.

顾客年龄（岁）20岁以下[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)70岁及以上

支付人数31214132790

其他支付方式人数0029551

【答案】D

【分析】由题意，算出100名顾客中，顾客年龄在［40,60）且未使用支付的的人数，结合古典概型的概率

公式，进而可以得到未使用支付的概率.

【详解】在随机抽取的100名顾客中，顾客年龄在［40,60）内且未使用支付的共有9+5=14（人），

所以从该超市随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在内且未使用支付的概率为P二1击4='7.

故选；D.

5.（2023上•浙江•高二萧山二中校联考期中）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，设事件力一第一次点

数为偶数”,事件4="第二次点数为3的倍数〃，则（）

A.A与8是互斥事件B.A与8是互为对立事件

C.P（Ar>B）=P（A）P（B）D.P（/U8）=P（4）+P（B）

【答案】C

【分析】利用古典概型的概率公式，结合互斥事件与对立事件的定义即可得解.

【详解】依题意，一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次的基本事件有6x6=36件，

事件A的基本事件有3x6=18件，事件〃的基本事件有6x2=12件，

事件力C8的基本事件有3x2=6件，事件力28的基本事件有3x6+3x2=24件，

所以P⑷="=；,P（8）="（4"）=3®=受:

Jo2Jo3Ioo303

故P（4cB）=P（Z）P（S）,P（/U8）HP（4）+P（8）,

所以A与8不是互斥事件，更不是对立事件，故ABD错误，C正确.

故选：C.

6.（2023上•广东佛山・高二华南师大附中南海实验高中校考期中）下列命题中正确的是（）

A.有一批产品的次品率为0.05,则从中任意取出200件产品中必有10件是次品

C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率

【答案】D

【分析】根据频率与概率的区别，概率的定义和性质进行判断.

【详解】对于A,实验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，

并不是一个确定的值，一批产品次品率为0.05,

则从中任取200件，次品的件数在10件左右，而不一定是10件，A错误；

对于B,100次并不是无穷多次，

只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为盖，故B错误；

对于C,根据定义，随机事件的频率只是概率的近似值，它并不等于概率，C错误；

对于D,频率估计概率，频率为出现的次数与重兔试验的次数的比值，

抛掷骰子100次，得点数是6的结果有20次，则出现1点的频率是2令0=0.2,D正确.

10（）

故选：D.

二、多选题

7.（2023・全国•模拟预测）下列说法中正确的是（）

A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体〃]

B.已知一组数据1,2,/»,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是竺

5

C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23

D.若样本数据王广2,…小。的标准差为8,则数据23-1,29-1「、2不。-1的标准差为32

【答案】AB

【分析】A选项,根据分层抽样的定义和概率性质得到答案;B选项，根据平均数公式得到方程,求出m=4,

再利用方差公式计算出结果：C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可：D选项，先

得到X”/，…,％的方差，根据方差性质得到28-1,2/-1,・・・,2演0-1的方差，进而得到其标准笈

【详解】A选项，个体/"被抽到的概率为白=0/，A正确；

OV

B选项，已知一组数据1,2,小，6,7的平均数为4,则l+2+；+6+Z=4,

解得机=4,

(1-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(7-4)226

55

则这组数据的方差是g，B正确；

C选项，数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23共10个数，

从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,

由于10x0.7=7,故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，

)3+24

即七三=23.5,所以第70百分位数是23.5,C错误；

D选项，若样本数据玉,孙…,〜的标准差为8,则再,々，的方差为64.

设小々,…的平均数为9则x+占+…+/=10x,

看［(用一工)~+(占-xj+•••+(x-x)2

l0=64,

2玉一1+2X—1+,•・+2x-121Xj+x+,••+x)—10—

2J0-210=zx

1010

故(2玉-1-2,1,+…+(2%-1—2f+1j4■一可一+…+(%—qJ

256'

"To—io-

则2占-1,2々-1,…,2%-1的标准差为7256=16,D错误.

故选：AB

8.(2023上•四川遂宁•高二四川省蓬溪中学校校考期中)将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上

的点数，设事件力="记下的点数为3",事件8="记下的点数为偶数〃，事件C=”记下的点数小于3〃，事件

。=”记下的点数大于2”,则()

A.事件A与8互斥B.事件A与。互斥

C.事件B与。对立D.事件C与。对立

【答案】ABD

【分析】根据互斥事件、对立事件的定义判断即可.

【详解】依题意骰子面朝上的点数可能为1、2、3、4、5、6共6个基本事件,

则事件8="记卜.的点数为偶数"包含2、4、6共3个基本事件，

事件。="记下的点数小于3〃包含1、2共2个基本事件，

事件。="记下的点数大于2”包含3、4、5、6共4个基本事件，

所以事件A与“互斥，故A正确；

事件A与C互斥，故B正确；

事件8与。不互斥也不对立，故C错误；

事件。与。互斥且对立，故D正「角；

故选：ABD

三、填空题

9.（2022上•高一单元测试）（1）随机现象的发生能够人为控制其发生或不发生;

（2）随机现象的结果是可以预知的；

（3）不可能事件反映的是确定性现象；

【答案】（3）

【分析】根据随机事件、确定性事件的定义逐项判断，可得出结果.

【详解】随机现象不能人为控制，结果无法预知，所以（1）（2）错误；

不可能事件反映的是确定性现象，所以（3）正确；

已经发生的事件以后不一定发生，所以（4）错误.

故答案为:（3）.

10.（2023上•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考期中）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决

赛（比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为0.6,现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概

率，先由计算机产生广5之间的随机数，指定1,2,3表示一局比赛中甲胜，4,5表示一局比赛中乙胜、

经随机模拟产生了如下20组随机数：

334221433551454452315142331423

212541121451231414312552324115

据此估计甲获得冠军的概率为.

【答案】0.65

【分析】由13组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.

【详解】20组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共13组数据表示甲获得冠军,

13

故估计甲获得冠军的概率为看=0.65.

故答案为：0.65

11.（2023上•四川绵阳•高二绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打

决赛，假设比赛打满3局，赢得2局或3局者胜出，用计算机产牛.1~5之间的随机数，当出现随机数1,2,

3时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛3局，所以每3个随机数为一组，产生20组随机数:

423123423344114453525332152342

534443512541125432334151314354

据此估计甲获得冠军的概率为:

【答案】0.65电

【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.

【详解】由题意得甲获胜的情况有：423,123,423,114,332,152,342,

512,125,432,334,151,314,共13种，

所以估计甲获得冠军的概率为。=非=0.65.

故答案为：0.65

四、解答题

12.（2023上•湖北鄂州•高二校联考期中）一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解

不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚.学生多角度、多方

位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数

学解题更加丰富而多彩.假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分

别为P，P，g；，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为5•

⑴求〃的值；

⑵求小红不能正确解答本题的概图；

⑶求小红使用四种解法解题，其口有三种解法答对的概率.

【答案】（l）P=；；

（2）［

O

【分析】（1）根据给定条件，利用相互独立事件的概率公式计算得解.

（2）利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算得解.

（3）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式计算得解.

【详解】（1）记小红使用解法一、二、三、四答对分别为事件DR凡G,则尸（Q）=P（E）=p,P（"卜，P©）二

因为各种解法能否答对互不影响，且全部答对的概率为L，

72

于是p（。以3=P（。）网身网尸）网。=4op二72，解得〃=3:，

所以p=;.

（2）若小红不能正确解答本题，则说明小红任何方法都不会，

所以小红不能正确解答本题的概率是（1-；>[1-^卜（1_-卜（1《）3.

（3）记事件〃为小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对，

则尸（"）=尸（。•不）+尸（OE后）-P9汴G卜P/FG）

I1A1]11011J1）।1।

H331412313J42I3j342<

所以小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率为".

13.（2023•全国•模拟预测）鲁班锁是一种广泛流传于中国民间的智力玩具，相传由春秋末期到战国初期的

鲁班发明，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧，易拆难装，十分巧妙，每根木条上的花纹是卖点，也是

手工制作的关键.某玩具公司开发了甲、乙两款鲁班锁玩具，各生产了100件样品，样品分为一等品、二

等品、三等品，根据销售部