达州市高二数学期末试卷 文新人教A版

2012-2013学年四川省达州市高二(下)期末数学试卷(文科)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.

1.(5分)已知i为虚数单位，计算i(1+i)=()

A.1-iB.1+iC.-1+iD.-1-i

考点：复数代数形式的乘除运

算.专题：计算题.

分析：根据复数的运算和iz=-i进行化简即

可.解答：解：i(1+i)=i+i2=-1+i,

故选C.

点评：本题考查了复数乘法运算和i2=-l应用，属于基础题.

2.(5分)“a、b、c等比”是“b?二ac"的()

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题：等差数列与等比数列.

分析：由“a、b、c成等比”可得上一，故有“b2=ac”成立，但由“根二ac”,不能推出“b2=ac

ab

成等比数列”，由此可得结论.

解答：解：由“a,G,b成等比”可得也一，故有"b2=ac”成立，故充分性成立.

ab

但由“ac"，不能推出“a、b、c成等比数列”,如a=b=0,c=l时,尽管有"ac”，

但0,0,1不能构成等比数列，故必要性不成

立.故"b2=ac成等比”是“b2=ac”的充分不必要

条件，故选B.

点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，等比数列的定义，通过举反例

来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题.

3.(5分)已知f(x)=c,,f(x)的导数为f'(x),则f'(-2)=()

A.2eB.-2eC.e-2D.-2e-2

考点：导数的运算.

专题：计算题；导数的概念及应用.

分析：先求导数(x),然后代入数值计

算.解答：解：f'(x)=e«,

所以f'(-2)=e%

故选C.

点评：本题考查导数的运穿，属基础题.

4.(5分)函数f(x);sinx在x—F处的切线方程是()

3

A.1V3/TB.V31/TC.V3V3/D1」/_7

y--T=^r(x--y-—(x--y-—=—(x--y7=7：(x7

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题：导数的概念及应用.

分析：求导函数，可得切线的斜率，利用点斜式可得切线方

程.解答：解：求导函数可得y"=cosx

•**x="时，y'工，

X32

・••所求切线方程为（X-工）

223

故选B.

点评：本题考查导数的几何意义，考查切线方程，考查学生的计算能力，属于基础题.

5.（5分）已知p：所有国产手机都有陷阱消费，则-p是（）

A.所有国产手机都没有陷阱消费B.有一部国产手机有陷阱消费

C.有一部国产手机没有陷阱消费D.国外产手机没有陷阱消费

考点：命题的否

定.专题：规律

型.

分析：命题P：”所有国产手机都有陷阱消费”是含有量词“所有”的全称命题的否定，其

否定形式为特称命题，否定时要先改变量词的形式，可得答案.

解答：解：•・•命题P：”所有国产手机都有陷阱消费”，

・•・命题P的否定形式为：有一部国产手机没有陷阱消

费.故选C.

点评：此题是基础题.本题主要考查全称命题与特称命题的相互转化问题.这里注意，全称

6.(5分)已知“X2-4V0或|x|=2"是真命题，则x的我值范围是()

A.(-8,-2)U(2,B.{-2,2}C.(-2,2)D.[-2,2]

+oo)

考点：命题的真假判断与应

用.专题：不等式的解法及应

用.

分析：若“pVq”为真命题，则p、q为至少有一个为真，对求得的X的范围求并集可得答

案；

解答：解：若X2-4V0为真，则-2VxV2；若|x|=2为真,则x=-2或x=2；"x?

-4<0或|x|=2"是真命题，

则p、q为至少有一个为真，

即-2VxV2和x=-2或x=2中至少有一个成立，取其并集可得-2WxW2,

此时x的取值范围是［-2,2］；

点评：本题考查复合命题真假的判断，要牢记更合命题真假的判读方法.

7.（5分）下面四个命题，是真命题的是（）

A.logX|Vlogx是2xiV2x2的必要不充分条件

B."z：+；,是偶装”的充要条件是/和z,都是偶数”

C.若pVq假，则Lp）ALq）。2

D.若p=q,则「p分「q

考点：命题的否定；复合命题的真假.

专题：计算

WA,由于x?中的指数可以为负数，而当指数为负数时，logx<logx就

2I12

没有意义，从而进行判断；对于B,当,和z,都是奇数时，也可得出z是偶数，

进行判断：对于C,根据复合命题的真值,可知：“p或q”为假命题，plq中全为

假，从而有「P，「q全为真，即可进行判断；D选项，若p=q,能得出一qn「p,并

不能得出「P推不出「q,即可得出答案.

解较.

”,解：对于A,由于2，iV2Xn中的指数可以为负数，而当指数为负数时，logX<logx

212：

就没有意义，故log^Vlogx，不是2“<2蜷的必要不充分条件，A错；

对于B,当,和幺笳良奇数猛，也可得出z%是偶数，故B错；

对于C,由题।意可皿“p或q”为假命题，।”

■p、q中全为假,

・・・「p,「q全为真，即（[p）A（「q）真，此时•成立；故C正确；

D选项，若p=q,能得出rq=「p,并不能得出推不出故

错.故选C.

点评：本题考查命题的否定，复合命题的真假问题.在解答的过程当中充分体现了命题中的

或且关系以及问题转化的思想.值得同学们体会反思.

8.（5分）己知昌/+2乂2+”肝5是单调函数，则实数a的取值范围是（）

A.（-8,-l]u[1,B.（-oo,-2]U[2,C.（-8,-3]U[3,D.（-8,-4]U[4,

+oo）+oo）+oo）+oo）

考点：函数的单调性与导数的关系.

专题：计算题；转化思想.

分析：求出函数的导函数，由y=』x3+2x2+a2x+5是单调函数，得其导函数人于等于0或

小于等于0恒成立，由此列式求出实数a的取值范围.

解答：解：因为y^x'+Zx2+a2x+S，所以y'=x2+4x+a2.

•J

又产£1+2又2+整武5是单调函数，且y'=X2+4）:+a2的图象是开口向上的抛物线，

*3

所以△=*-4a?W0,所以aW-2或a22.

所以实数a的取值范围是（-8,2]U[2,+8）.

故选B.

点评：本题主要考杳函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，训练了利用“三个二次”

结合求参数的范围，属基础题.

9.(5分)已知函数悬。-亨x2+2a2x+l在区间「2,1)

上有极大值，则实数a的

取值范围是()

A.(-1,0)U(0,B.(-2,0)U(0,C.(-2,1)D..1v

(-1，万)

1)1)

考点：利用导数研究函数的极值.

专题：导数的概念及应用.

分析：根据函数的极大值点，它的左边导数为正且右边导数为负，由此建立关于a的不等式

组，解之即可得到实数a的取值范围.

解答：解：求导数，得y'=X2・3ax+2a2

・.•函数行2J-圣x2+2a2x+l在区间.2,1)上有极大值，

32

・,•令y*=0,得x=a或2a,

当a-0时，显然函数没有极值点；

当a>0时，x=a为较小的根，可得(-2,1),得OVaVl；

当aVO时，x=2a为较小的根，可得2a£(-2,1),得-IVaVO

可得ae(-1,0)U(0,1)

故选：A

点评：本题给出三次多项式函数在给定区间上有极大值，求实数a的取值范围.着重考查了

利用导数研究函数直调性和不等式的解法等知识，属于中档题.

10.(5分)已知f(x)-axz-blnx+2x(a>0,b>0)在区间([，1)_1不单调，则选--

23a+2

的取值范围是()

A•焉2]B•4，2)0•(-[,D.⑵+8)

乙乙乙

考点：函数的单调性与导数的关系：简单线性规划.

专题：计算题；转化思想.

分析：求出原函数的导函数，由原函数区间(1,1)上不单调，得到关于a,b的不等式

组，作出可行域，然后利用3亭b/-的9几何意义求其范闱.

3a+2

解答：,92i«_k

解：由f(x)=ax2-blnx+2x,得(x)=2ax_—+2=—-----------.

XX

令g(令=2ax2+2x-b,

因为f(x)=ax2-blnx+2x(a>0,b>0)在区间(/，1)上不单调，

所以在区间（3,1）上，存在X使得f（X）=0,且x不是方程2ax2+2x-b=0的二

重根.

即函数g（x）=2ax2-2x-b在区间*1）上有零点，且零点两侧的函数值异号.

g痣)=^-b+l<0

又其对称轴方程为x=-则乙乙

2a

g(1)=2a-b+2>0

其可行域如图,

而岁芥一几何意义为可行域内的动点与定点A（-2,2）连线的斜率的范

3a+233

围，

由图可知范围为（3,2）.

故选B.

点评：本题考查了函数的单调性与导数的关系，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解

题思想方法及数学转化思想方法，解答的关键是由题意列出关于a,b的不等式组，是

中档题.

二、填空题：每小题5分，共25分，请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内.

11.（5分）复数z=-T的共枕复数飞一,一•1―1--•

考点：复数的基本概

念.专题：计算题._

分析•：根据共轨复数的定义求得1

解答：]V3-1V3

解：由共规复数的定义可得复数z=-彳-亨i的共知复数*-号号i,

故答案为-,卜零i.

点评：本题主要考查共规复数的定义和求法，属于基础题.

12.（5分）如图，笫一排图是长度分别为1、2、3、…、n的线段，第二排图是边长分别为

1、2、3、…、n的正方形，第三排图是棱长分别为1、2、3、…、n的正方体，根据图中信

息，可得出棱长为n的正方体中的正方体个数是_

7

线段条数11*2

□田

正万心个ar

13+23+33+r・+n3■557

考点：归纳推

理.专题：规律

型.

分析：根据已知题目中一维空间，二维空间中线段，正方形的个数和n的关系，我们分析其

规律，归纳后即可得到结论.

解答：解：第一排图是长度分别为1、2、3、…、n的线段，得出长为n的线段中对应的单

位线段个数是l+2+3+--+n；

第二排图是边长分别为1、2、3、…、n的正方形，得出边长为n的正方形中对应的

单位正方形个数是12+2^+32+---+n2；

由此我们可以推断：棱长为n的正方体中对应的正方体个数是

13+23+33+…+*故答案为：13+2升33+…+m

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相

13.（5分）若函数y=xln:<+a有零点，则实数a的取值范围是一（-8,-1]_.

e

考点：函数零点的判定定理.

专题：函数的性质及应用.

分析：利用导数求得当x二由，函数取得最小值，再根据函数的最小值小于或等于零，求得

实数a的取值范围.

解答：解：由于函数的定义域为（0,+8）,令函数的导数y，=lnx+l=0,求得x=2

F.

在（0,-）上，y'<0,函数y是减函数，在（工，+8）上，yf>0,函数y是增

p.p

函数，故当x=2j,函数取得最小值.

F.

要使函数有零点，需函数的最小值小于或等于零，即1•InNaWO,・・・aW』

RP.P.

即实数a的取值范国是（-8,1],

ft一

故答案为（-8,1].

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，函数有

零点的条件，属于基础题.

14.（5分）已知a>0,b>0,抛物线f（x）=4ax2+2bx-3在x=l处的切线的倾斜角为一,

4

则的最小值是-18.

ab

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式.

专题：导数的概念及应用；不等式的解法及应用.

分析：求导函数，确定切线的斜率，利用抛物线f（x）=4ax?+2bx-3在x=l处的切线的倾斜

JT

角为确定8a+2b=1,再利用“1”的代换，利用基本不等式，即可求得最小值.

4

解答：解：求导函数，可得f'（x）=8ax+2b,

Ax=l时,fz（1）=8a+2b,

JT

,・,抛物线f（x）=4ax2+2bx-3在x=l处的切线的倾斜角为2,

4

A8a+2b=l

・•・工亡（8a+2b）（」心）=10+毕3

ababba

Va>0,b>0_____

...逛3）叵至8（当且仅当a=」，b=Af,取等号）

b二个ba126

・•・▲J的最小值是18

ab

故答案为：18.

点评：本题考查导数的几何意义，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档

题.

15.(5分)已知f'(x)是f(x)的导数,记f⑴(x)=f(x),f<«>(x)=(f<n-i>(x)

'(n£N,n22),给出下列四个结论：

①若f(X)=Xn,则f<5)(1)=120；

②若f(x)=cosx,则f⑴(x)=f(x)；

③若f(x)则f(n)(x)=f(x)(n£N+)：

④设f(X)、g(X)、f>n>(x)和g，n)(x)(n£N。)都是相同定义域_1_>的可导函数，h(x)

=f(X)*g(X),贝Ijh(n>(x)=f<n>(x)・gS)(X)

(n£N，).则结论正确的是9)②③(多填、少填、错填均

得零分).

考点：导数的运算.

专题：计算题；导数的概念及应用.

分析：根据导数的运算法外」逐个命题判断即可得到结论.

解答：解：①中，由f(x)=xn,得(1)=5X4X3X2X1=120,故①正确；

②中，f⑴(x);f'(x)=-sinx,f<2)(x)=-cosx,f<»>(x)=sinx,f«>(x)=cosx=f

(x),故②正确;

③中，由于f(x)=e”所以f⑴(x)=ex,f⑵(x)=ex,•••,f<n)(x)=ex=f(x),

故③正确；

④中，令f(x)=x,g(x)=1,则h(x)=x,

而h⑴(x)=1,f<i>(x)•g(»)(x)=0,所以h⑴(x)Wf⑴(x)g⑴(x),故④错

误；

故答案为：①②③.

点评：本题考查导数的运算性质，考查学生的运算能力，属基础题.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤

2

16.(12分)已知f(x)=^x+41nx-5x,f'(x)是f(x)的导数.

(I)求y=f(x)的极值；

(II)求f'(x)与f():)单调性相同的区间.

考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的概念及应用.

分析：(I)由导数运算法则知，P(x)=x+W_5K(x-1)(x-4),再利用导数

XX

与单调性关系求出极值即可；

(II)求出函数f'(x)的导函数，在定义域下令导函数大于0得到函数的递增区间,

令导函数小于0得到函数的递减区间.

再结合(I)即可得到f'(x)与f(x)单调性相同的区间.

解答：融(I、,,cf\-12.41二・7\.4(-_(X-1)(X-4)

m-<I)-f(x)--x+41nx-5x，--f(x)-x+--5----------------

ZYY

(X>0),

由f'(x)>0得，OVxVl或x>4,由f'(x)<0得，1VXV4.当x变化时，f'

(x)、f(x)变化情况如下表：

X(0,1)1(1,4)1(4,+°°)

f'(x)i)0*

f(x)/极大值极小值/

.\f(x)的极大值f(x).=f(1)=-2f(x)的极小值f(x)=f(4)=81n2

破穴2极小

-12.…6分

(H)设g(x)=X+9—5(X>0)，:,父(x)=('⑵(x-2),

XX

由g'(x)>0得，x>2,g(x)为增函数，由g'(x)<0得，0<x<2,g(x)为

减函数.

再结合(I)可知：f'(x)与f(x)的相同减区间为[1,2],相同的增区间是[4,+-)-12

分.

点评：本题主要考查导数与函数单调性的关系，会熟练运用导数解决函数的极值问题.求函数

的单调区间，应该先求出函数的导函数，令导函数大于0得到函数的递增区间，令

导函数小于0得到函数的递减区间.

17.(12分)已知命题p：点P的坐标为(x,y),点F]F的坐标分别是(・1,0)、(1,0),

命题q：直线PF」PF,的斜率分别是kjk/k*k=m(mGR),pAqM.

(I)求点P的标迹》程；'*12'J

(ID指出点P的轨迹类型(如圆、抛物线、直线等).

考点：圆锥曲线的轨迹问题；复合命题的真假.

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析：(I)求出直线PF、PF，的斜率，利用k「krm,化简即可求点P的软迹方程；

(H)对m分类讨积而可求得点P的■迹

解答：解(I)由题意得，仁二二，k0二」T，

1x+12x-1

Vk*k=m(mGR),:・一^-・一^―二不

12x+1x-1

所以所求轨迹方程是：nix?-y2=m(m£R,xW±l).…4分

(II)由(I)点P的轨迹方程为nix2-y2=m(mGR,xW±l),

2

当n)V0且m#-1时，方程可化为x2+“一二1(xK±l),•'.P的轨迹是椭圆(除

-TT)

去与X相交的项点)；

当m=-l时,方程xz+y2=l(x#±l),；.P的轨迹是圆(除去与x的交点);

当"0时，方程是k0(xW±l),・・・P的轨迹是x轴(除去(・1,0)和(1,0)两

点)；

2

当m>()时，方程可化为X2-^-=1(xW±l),・,.P的轨迹是双曲线(除去项点)…12

m

分.

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题.

18.(12分)已知f(x)二段(2m-1)x3+2mx2-5m2x-：L的极值点是-5,1.

(I)求实数m的值；

(II)求y=f(x)的递增区间.

考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性.

专题：导数的综合应用.

分析：(I)由函数极值的定义，先求函数f(X)的导函数，由f'(-5)=f(1)=0,可

得关于m的方程，解出即可；

(II)在(1)的条件下f'(x)=X2+4X-5=(x+5)(x-1),解不等式f'(x)>0,

即可得函数f(X)的单调递增区间.

322

解答：解：(I)・・・f(X)二£(2m—l)x+2iDX-5roX-b

*J

f*(x)=(2m-1)x2+4mx-5m2

2

……unf25(2m-1)-20m-5m=0

由题忌，即〈，

2m-l+4in-5m2=0

解得，m=l.

经验证，当m=l时，f(x)的极值点是-5,1,所以m=l…6分

-XX

(II)由(I)f(x)=-^x^+2x^5x-1，f'(x)=2+4-5=(x+5)(x-1),

解不等式f'(x)>0得，xV-5或x>1,

y=f(x)的递增区间是(・8,-5],[1,+8).…12分.

点评：本题综合考杳了导数在函数极值、单调性中的应用，解题时要认真体会导数在研究函数

性质方面的积极作用，规范解题.

19.(12分)某校一次数学研究性学习活动中，一个密封的箱子内装有分别写上y=sinx,

y=cosx,y=e-<,y=—,y=~Inx六个函数的六张外形完全一致的卡片(一张卡片一个

xx2

函数)，参与者有放回的拍取卡片，参与者只参加一次.如果只抽一张，抽得•上片上的函数

是其它某一张卡片上函数的导数，抽取者将获得三等奖：如是先后各抽一张，抽出的卡片中，其

中•张上的函数是另一张卡片上函数的导数，抽取者将获得二等奖；如果先后各抽一张，第•张

卡片上的函数的导数是第二张卡片上的函数，抽取者将获得一等奖.

(I)求学生甲抽一次获得三等奖的概率；

(II)求学生乙抽一次获得二等奖的概率；

(III)求学生丙抽一次获得一等奖的概率.

考点：古典概型及其概率计算公式.

专题：概率与统计.

分析：(I)在所给的六个函数中，有y=cosx,尸工尸-±这三个函数可作为其它函数

xx2

的导数，由此求得学生甲抽一次获得三等奖的概率.

(II)在六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种.其中，有7种抽法

满足得二等奖的要求，由此求得学生乙抽一次获得二等奖的概率.

(!!!)在六个函数的卡片中，先后抽两次，不同的抽法有36种.其中，有4种抽法

满足得一等奖的要求，由此求得学生丙抽一次获得一等奖的概率.

解答：解：(I)在y=sinx,y=cosx,y=e»,y=—,y=-士，Inx六个函数中，y=cosx,y=—,

2

XxX

y=-=这三个函数可作为其它函数的导数.

设“学生甲抽一次获得三等奖”为事件A,・•・P(A)至力.…4分

62

(II)在丫=5]|1*,y=cosx,y=e«,y=—,尸一士，Inx六个函数的卡片中，先后抽

xx2

两次，不同的抽法有36种，

其中，y=sinx,y=cosx组合两种，y=ex,y=e，组合一种，y=—,7=一々组合两种，

2

xx

Inx,尸工组合两种，共计7种都满足得二等奖的要求.

设“学生乙抽一次获得二等奖”为事件B,・•・P(B)二高.…8分

36

(III)在丫=5皿乂，y=cosx,y=e»,y="»尸一七,Inx六个函数的卡片中，先后抽

XX

两次,不同的抽法有36种.

其中，y=sinx,y=cosx组合1种，y=e«,y=s组合1种，y=—，尸—一^组合1种，

XX

Inx,y=f组合1种，共计4种都满足得一等奖的要求.

设“学生丙抽一次获得一等奖”为事件C,・•・P(C)二亲奇.

171

答：甲乙丙三人各得三、二、一等奖的概率分别是工、林、g.-12分.

点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.

20.(13分)已知f(x)=—(e是自然对数的底数),

eX

(I)求f(x)的单调区间；

(II)设a=f(n),求数列｛a｝的前n项和S,并证明©(巳」一1)-n(bl)

nn"(e-1)%ne

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研窕函数的单调性.

专题：导数的综合应用.

分析：(I)求导函数，利用导数的正负，即可求f(x)的单调区间；

(II)求出数列的通项.利用等比数列的求和公式求和，即可得到结

论.解答：丫

解：(I)Vf(x)=—,Af/

X

当x<l时，『(x)>0»f(x)是单调递增，当X>1时，f(x)>0,f(X)是

单调递减.

所以f(x)的递增区间是(-8,1]»递减区间是[1,+°°).…5分

三且凸+等n

(II)Va=f(n),S裾+a｝・・+a。，・・・%

rnzjn

ecPRft

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，・自J「Q+Q”+Q飞+…+QF+n+l

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二」，，《工，

由(I)知f(x)=f(1)(x)<iAa=f(n)<2

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《工.…13分.

户(e-1)2

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查不等式的证明，考查学生分析

解决问题的能力，属于中档题.

21.(14分)已知，f(x)=xlnx,g(x)=ax2+bx-1,函数y=g(x)的导数g'(x)的图

象如图所示.

(I)求g(x)的解析式；

(II)d2f(x)-g(x)对一切x>0恒成立，求实数d的取值范围：

(III)设h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的零点个数.

考利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极

点：值.

专函数的性质及应

用.题：

分(I)g'(x)=2ax+b,利用一次函数的图象与性质求解a,b,即可求得g(x)的解析

析：式；

(11)f(x)-g(x)=xlnx-X2+x+l,由于x>0,可以通过研究T(x)=lnx-x+1>0

恒成立解决.

(III)h(x)=xlnx-x2+x+l,h'(x)=lnx-2x+2(x>0),通过