第89讲、古典概型与概率的基本性质

第89讲古典概型与概率的基本性质

知识梳理

知识点1、随机事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表

示.

知识点2、古典概型

(1)定义

••般地，若试验石具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，设试验上是4典概型，样本空间。包含、样小点，事件A包含其中的攵个样

本点，则定义事件A的概率P(A)=[=^.

知识点3、概率的基本性质

(1)对于任意事件A都有：OMP(A)K1.

(2)必然事件的概率为1,即尸(0)=1；不可能事概率为0,即P(0)=O.

(3)概率的加法公式：若事件A与事件4互斥，则P(AU8)=P(A)+P(5).

推广：一般地，若事件4，人,…，儿彼此互斥，则事件发生(即A，A，…，A.中

有一个发生)的概率等于这〃个事件分别发生的概率之和，即：

p(A+A,+...+4)=p(Ai+P(4)+...+P(A〃).

(4)对立事件的概率：若事件A与事件8互为对立事件，则P(A)=1-P(8),

P(B)=1-P(A),且尸(AUB)=尸(A)+P(B)=1.

(5)概率的单调性：若A=B,则尸(4)KP(8).

(6)若A,8是一次随机实验中的两个事件，则?(AU0=夕(八)+。(或一%人03).

【解题方法总结】

1、解决占典概型的问题的关健是：分清基本事件个数〃与事件A中所包含的基本事件

数.

因此要注意清楚以下三个方面：

(1)本试验是否具有等可能性；

(2)本试验的基本事件有多少个;

（3）事件A是什么.

2、解题实现步骤：

（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；

（3）分别求出基本事件的个数〃与所求事件4中所包含的基本事件个数加：

（4）利用公式户①）=＞包；嚅:蓝片2个数求出事件A的概率.

3、解题方法技巧：

（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

（2）利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件4包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图

法.

必考题型全归纳

题型一：简单的古典概型问题

例1.（2024•高一课时练习）下列概率模型中，是古典概型的个数为（）

①从区间［1,10］内任取一个数，求取到1的概率；②从1,2,3,…，10中任取一个数，求

取到1的概率；③在正方形A8CO内画一点P,求点P梏好为正方形中心的概率；④向上

抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可

能性相等，故②是古典概型；

①和③中的样本空间中的样本点个数不是有限的，故不是古典概型；

④由于硬币质地不均勺，因此样木点发生的可能性不相等，故④不是古典概型.

故选：A.

例2.（2024•全国-高一专题练习）下列关于古典概型的说法正确的是（）

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；④样本点的总数为〃，随机事件A若包含女个样本点，

则尸（A）=一.

A.②④B.②③④C.©®®D.①③④

【答案】D

【解析】在①中，由古典概型的概念可知：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，

故①正确；

在②中，由占典概型的概念可知：每个基本事件出现的可能性相等，故②错误；

在③中，由古典概型的概念可知：每个样本点出现的可能性相等，故③正确；

在④中，基本事件总数为〃，随机事件4若包含〃个基本事件，则由古典概型及其概率计

算公式知P（A）=±,故④正确.

n

故选：D.

例3.（2024•全国•高三专题练习）下列有关古典概型的四种说法：

①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；

②每个事件出现的川能性相等；

③每个样本点出现的可能性相等；

④己知样本点总数为〃，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P（4）=：,

其中所正确说法的序号是（）

A.①②®B.①③C.③@D.①③④

【答案】D

【解析】根据古典概型的基本概念及概率公式，即可得出结论②中所说的事件不一定是样

本点，所以②不正确；

根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.

故选:D

变式1.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆八中校考阶段练习）一项试验旨在研究臭氧效应，

试验方案如下：选6只小白鼠，随机地将其中3只分配到试验组且饲养在高浓度臭氧环

境，另外3只分配到对照组且饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量

（单位：g）.则指定的两只小鼠分配到不同组的概率为（）

A.—B,-C.1D.-

10525

【答案】D

2c2cl2

【解析】指定的两只小鼠分配到相同组的概率为一**二4，

23

所以指定的两只小鼠分配到不同组的概率为1-：=不

故选：D

变式2.（2024•青海西宁•高三统考开学考试）乒乓球是中国的国球，拥有广泛的群众基

础，老少皆宜，特别适合全民身体锻炼.某小学体育课上，老师让小李同学从7个乒乓球

（其中3只黄色和4只白色）中随机选取2个，则他选取的乒乓球恰为1黄1白的概率是

（）

4391

A.—B.—C.—D.—

77142

【答案】A

【解析】根据古典概型，从7个乒乓球中随机选取2个，基本事件总数有C；=21个，其中

恰为1黄1白的基本事件有C；C=12个，所以概率p啮=1.

故选：A.

变式3.（2024•河北保定•统考二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、

引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完

全相同的概率是（）

A.—B.-C.—D.—

1231212

【答案】C

【解析】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有个，它们等可能，

有且仅有两人选择的项目完全相同的事件A含有的基本事件数有C；C：（C：-1）个，

所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P（A）=C：偿一”[

故选：C

变式4.（2024•湖北•高三校联考阶段练习）将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个

盒子，则2个小球在同一个盒子的概率为（）

A.-B.；C.D.—

5283

【答案】D

【解析】将2个不同的小球随机放入甲、乙、丙3个盒子，共有：3，=9种方法，

2个小球在同一个盒子有3种情况，

所以2个小球在同一个盒子的概率为13=：1.

故选：D.

题型二：古典概型与向量的交汇问题

例4.(2024-重庆•高三统考阶段练习)已知正九边形A4…A),从病,内,…，病中

任取两个向量，则它们的数量积是正数的概率为()

A.1B.JC.-D.,

2399

【答案】A

【解析】

可以和向量AA?构成数量积有…,AA一共8个向量，

其中数量积为的正数的向量有：&A；,AA』，AA；AA一共4个，

由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：?4二：1.

o2

故选：A

例5.(2024•全国•高三专题练习)已知。,北{-2,-1,1,2},若向量〃;=(“向，n=(lj),

则向量而与；;所成的角为脱角的概率是()

3137

A.—B.-C.-D.—

164816

【答案】B

【解析】向量正与;;所成的角为锐角等价于丽i>o,且加与；;的方向不同，

BPm-n=(a,力)(1,1)=a+b>0,

则满足条件的向量而有(T，2),(L1),(1,2),(2,-1),(21),(2,2),

其中=或正=(2,2)时，与;?同向，故舍去，故共有4种情况满足条件,

又加的取法共有4x4=16种，

则向量帚与7所成的角为蜕角的概率是94=：1.

164

故选：B.

例6.（2024•甘肃武威•甘肃省武威第一中学校考模拟预测）连掷两次骰子分别得到点数

"7,〃，则向量。儿〃）与向量（-I,D的夹角的概率是（）

A.；B.—C.—D.—

231212

【答案】D

【解析】由题设，向量。小〃）的可能组合有36种，

要使向量。儿”）与向量（-1，I）的夹角。,则（加，〃）•（T1）=〃一加＜0,即"HI,

满足条件的情况如下：

"1=2时，H€{1},

〃1=3时，«e{1,2},

〃?=4时，ne（1,2,3},

〃?=5时，nG{1,2,3,4）,

〃?=6时，〃w{1,2,3,4,5},

综上，共有15种，故向量（〃?,〃）与向量（-打）的夹角的我概率是1弓5二j5

L3612

故选：D

变式5.（2024•四川成都•四川省成都市玉林中学校考模拟预测）从集合亿2,4}中随机抽

取一个数。,从集合{2,4,5}中随机抽取一个数从则向量而=3力）与向量元=（2,7）垂直的

概率为（）

]?12

A.-B.=­C.-D.=■

9933

【答案】B

【解析】求出组成向量所=（。，份的个数和与向量〃=（2,-1）垂直的向量个数，计算所求的概

率值.从集合{LZ4}中随机抽取一个数a,从集合[2,4,5}中随机抽取一个数人，

可以组成向量初=（。㈤的个数是3x3=9（个）；

其中与向量月=（2,-1）垂直的向量是谕=（1,2）和成=（2,4）,共2个；

故所求的概率为/'=25.

故选：B.

变式6.（2024•云南楚雄・高三统考期末）从集合｛0,123｝中随机地取一个数。，从集合

｛3,4,6｝中随机地取一个数〃，则向量后=（〃M）与向量3=（1,-2）垂直的概率为（）

11

二-

-a-

A.B.3-46

12

【答案】D

【解析】计算出所有的基本事件数，记事件上正,人列举出事件A所包含的基本事件,

然后利用古典概型的概率公式可计算出事件A的概率.从集合｛0J2,3｝中随机地取一个数

。，从集合｛3,4,6｝中随机地取一个数〃，基本事件总数N=4x3=12.

记事件人：JL〃，当向量，〃=（〃,〃）与向量〃=（1,一2）垂直时，mn=b-2a=0=>b=2a

则事件A包含的基本事件有:（2,4）、（3,6）（形如（。仍））,共2个,

21

因此，P（A）=-=4

故选：D.

变式7.（2024•湖北・高考真题）连掷两次骰子得到的点数分别为加和〃，记向量

/■

乙二（〃?,〃）与向量6=（1,-1）的夹角为巴则夕e0弓的概率是（）

A.-B.；C.-D.—

122126

【答案】C

【解析】'-=一〃之0,即“？〃，

事件仁”所包含的基本事件有：“I）、（2,1）、（2,2）、（3,1）、（3,2）、（3,3）、

（4,1）、（4,2）、（4,3）、（4,4）、（5,1）、（5,2）、（5,3）、（5,4）、（5,5）、（6,1）、（6,2）、

（6,3）、（6,4）、（6,5）、（6,6）,共21个，

所有的基本事件数为6=36,因此，事件的概率为三=二.

\2J3612

故选：C.

题型三：古典概型与几何的交汇问题

例7.（2024•全国-高三专题练习）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上面画点

或用小石子表示数，他们将1，3,6,10,15,...»3D,称为三角形数；将1,4,

2

9,16,25,…，〃2,称为正方形数.现从200以内的正方形数中任取2个，则其中至少

有1个也是三角形数的概率为（）

A25n24

A.—B.—

9191D-

【答案】A

【解析】令解4200,VneN*,

故200以内的正方形数有14个：1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,

169,196,

其中是三角形数的仅有1与36,

Cg+C二25

故所求概率P==

C[4'91

故选：A.

例8.（2024•四川达州•统考二模）把腰底比为避二17（比值约为0.618,称为黄金比）

2

的等腰三角形叫黄金三角形，长宽比为&:1（比值约为1.414,称为和美比）的矩形叫和

美矩形.树叶、花瓣、向日葵、蝴蝶等都有黄金比.在中国唐、宋时期的单檐建筑中存在较多

的&:1的比例关系，常用的A4纸的长宽比为和美比.图一是正五角星（由正五边形的五条

对角线构成的图形），八。二牛"!■人从图一是长方体，£尸=&,砍;=2石”=2.在图一图

二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，恰好一个是黄金三角形•个是和美矩形的概率

D.

8

【答案】B

【解析】在如下图所示的正五角星中,

M

该图中共有10个三角形，且等腰VCDW的腰底之比大于1,等腰△A6N的腰底之比小于

且AN=AD=正二!•AB,则等腰AABN的腰底之比为AN:AB=正二1,

22

则在该五角星中，黄金三角形的个数为5,

在如下图所示的长方体中，

EF=五,EG=2EH=2,则七/：£"=0：1，EG:EH=2:1,EG:EF=Bl，

所以，矩形印/。/、EFPG均为和美矩形，

所以，长方体中共6个矩形，其中和美矩形的个数为4,

所以，图一和图二中共10个三角形，6个矩形，

在图一图二所有三角形和矩形中随机抽取两个图形，

C'C1201

恰好一个是黄金三角形一个是和美矩形的概率为P=三产=

C.c1206

故选：B.

例9.（2024•江西•高三校联考阶段练习）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大

致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形

区域涂色，每个区域只涂•种颜色，则相邻的区域所涂颜色不同的概率是（）

【答案】A

【解析】将四块三角形区域编号如下,

[/4

由题意可得总的涂色方法有24=16种，

若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种，

故所求概率尸=弓2=巳I

168

故选：A

变式8.（2024•江西•校联考二模）圆周上有8个等分点，任意选这8个点中的4个点构

成一个四边形，则四边形为梯形的概率是（）

A10R12,1416

A.—13.—C.—D.—

35353535

【答案】B

【解析】依题意，从8个点中任取4个点构成有C；=70个四边形，构成梯形就只有以下两

种情况：

以某相邻两个点（如点4,B）构成的线段为边的梯形有2个，共有2x8=16个，

G

以某间隔一个点的两点（如点4,C）构成的线段为边的梯形有I个，共有1x8=8个,

于是构成的四边形中梯形有16+8=24个，

所以四边形为梯形的概率是2方4=|最9

故选：B

变式9.（2024•广东深圳•高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）《几何原本》是古

希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，大约成书于公元前300年.汉语的最早译本是

由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦合译，成书于1607年.该书前6

卷主要包括：基本概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章，几乎

包含现今平面几何的所有内容.某高校要求数学专业的学生从这7章里任选4章进行选

修，则学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

7777

【答案】B

【解析】数学专业的学生从这7章里任选4章进行选修共有：C；=35种选法；

学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章共有：或二2（）种选法,

204

故学生李某所选的4章中，含有“基本概念”这一章的概率为：P==

故选：B.

变式10.（2024•河北张家口•张家口市宣化第一中学校考三模）如图，将正方体沿交于

同一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，截取后的剩余部分

称为“阿基米德多面体”，它是一个24等边半正多面体.从它的棱中任取两条，则这两条棱

所在的直线为异面直线的概率为（）

【答案】B

【解析】当一条直线位置于上（或下）底面，另一条不在底面时，共有10x8=80对异面直

线,

当两条直线都位于上下底面时，有4x2=8对异面直线,

当两条直线都不在上下底面时，有7X8=56对异面直线,

8()+56+8_12

所以，两条棱所在的直线为异面直线的概率为尸=Q=23

故选：B

变式11.（2024•全国•高三专题练习）《九章算术・商功》指出“斜解立方，得两堂堵.斜解

遒堵，其一为阳马，一为鳖脯.阳马居二，鳖席居一，不易之率也.合两鳖腌三而一，验之以

其形露矣意为将一个正方体斜切，可以得到两个港堵，将邀堵斜切，可得到•个阳

马,一个鳖脯（四个面都是直角三角形的三棱锥），如果从正方体的8个顶点中选4个顶点

得到三棱锥，则得到的三棱锥是鳖㈱的概率为（）

18C16-12n8

A.—B.—C.—D.—

29292929

【答案】C

【解析】

4B1

从正方体的8个顶点中任选4个顶点，共有C；=70（种）情况，

其中4点在同一平面的情况共有两种，

第一种是当取正方体的一个面上的4个点时，共有6种情况；

第二种是当取上下、左右、前后斜切面的4个点时，共有6种情况，

所以从正方体的8个顶点选4个顶点得到三棱锥共有70-6-6=58（种）.

因为鳖膈是四个面都是直角三角形的三棱锥，

所以以AA为例，AA与下底面组成的鳖嚅有A-A,C,D,和A-A*，

与上底面构成的鳖J搐也有两个，鳖嚅共有4x4=16（个）.

又AD与侧面组成的4个鳖脯有两个与前面得到的重复，有2个不重合，

故有2x4=8（个），所以一共有24个鳖膈，

所以得到的三棱锥是鳖嚅的概率为24£P

5o29

故选：C.

题型四：古典概型与函数的交汇问题

例10.(2024•四川遂宁•统考三模)已知〃?J1g2+lg5,log]3,gj'lanl、从这四个数

中任取一个数〃"使函数/0)=/+2,依+1有两不相等的实数根的概率为.

【答案】1/0.5

【解析】函数八%)=/+2〃田+1有两不相等的实数根，则4/7-4>0,解得〃?<-1或/〃>1.

Ig2+lg5=lgl()=l,0=log4l<log43<log44=l,6y=

因为3v1v2,所以tan1>tan—=1.

424

即从这四个数中任取一个数加，使函数/*)=/+2〃*+1有两不相等的实数根的概率为

故答案为：\

例11.(2024•全国•高三专题练习)已知四个函数：(1)/(x)=x,(2)/；(x)=sinx,

(3)/(x)=tanx,(4)力("=尸，从中任选2个，则事件”所选2个函数的图象有且仅

有一个公共点”的概率为.

【答案】；

【解析】

如图所示，/(x)=x与人(x)=tanx,人(x)=sinx与6(x)=lanx,£(x)=sinx与

A

f4(x)=e-\人(x)=tanx与人(x)=e-均有多个公共点，

令g(X)=<(X)-人(X)=1一sinx,则g；(x)=1-cosX20,，©(力在R上单调递增,

又:g"0)=0,.・・g|(x)=/(x)-f2(x)有唯一零点,

・・・，("=x与A(x)=siru•的图象有且仅有一个公共点；

令a(x)=fi(力-1(x)=x-e~x,则g；(x)=l+e-*>0»:.&(x)在R上单调递增,

又・・“2(0)=一1<0，^(1)=1-->0

2e

工存在使g2(%)=0,且4=而是g2(x)=<(x)-力(X)的唯一零点，

•••工(力=工与力(1)=。的图象有且仅有一个公共点.

・••从四个函数中任选2个，共有C：=6种可能，

”所选2个函数的图象有且仅有一个公共点的有/("=］与£(x)=sinx和/(x)="与

/,(x)=e-x共2种可能，

・••”所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为:=!.

63

故答案为:1.

例12.(2024•河南信阳•河南省信阳市第二高级中学校联考一模)在-2,-1,0,1,2

的五个数字中，有放回地琬机取两个数字分别作为函数y=af+3bx-2中仇。的值，则该

函数图像恰好经过第一、三、四象限的概率为.

【答案】1/0.2

【解析】五个数字任取一个作数字作系数。，放回后随机任取一个数作为4有.5x5=25种

不同取法.

当。=0时，函数图像为一条直线)，=3Za=2,若图像恰好经过第一、三、四象限，则

^>0,即有。=。，/?=1；。=(),〃=2两组数满足；

。工。时，二次函数经过笫一、三、四象限则开口向下，又图像过点(0,-2),顶点必在第一

象限，即满足。<0,—7―>0,△>0»有a=—2,b=2；«=—1,b=l；a=—\>。=2三

2a

组数满足.故共有5组满足，

所求概率为［=

255

故答案为：-

变式12.（2024•四川遂宁•统考i模）若函数y=/（K的定义域和值域分别为A={1,2,3}

和3={1,2},则满足/⑴工/⑶的函数概率是.

【答案】|

【解析】因函数y=/（幻的定义域和值域分别为A={1,23}和8={1,2},则函数），=/（X）有

6个，它们是：

/（1）=/（2）=1,/（3）=2；/（1）=/（2）=2,/（3）=1；/（1）=1,/（2）=/（3）=2；

/（1）=2,/（2）=/（3）=1；/（1）=/（3）=1,/（2）=2；/|1）=/（3）=2,/（2）=1,

满足/（I）=/（3）的函数有2个数，它们是/（I）=/（3）=1J（2）=2或

/（1）=/（3）=2,/（2）=1,

42

因此满足了⑴xf（3）的函数有4个，所以满足/⑴的函数概率是9=；.

63

故答案为：；

变式13.（2024•全国•高三专题练习）一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六

3

个定义域为R的函数：/⑺=x,&（x）=X2,/1（x）=x,£（x）=sinx,f5（x）=cosx,

/6（X）=2|X|+1.现从盒子中逐一抽取卜片并判函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若

取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X,则X<3的概率

为.

【答案】（4/0.8

【解析】易判断人（X）=cosx,/6（x）=2|x|+1为偶函数，所以写有偶函数的

卡片有3张，X的取值范围是{1,2,3,4}.

P（X=1）=£L=1,p（x=2）=等=」，

'C：2'7CC1。

所以尸（X<3）=P（X=l）+P（X=2）=g+V*g

4

故答案为：y

变式14.（2024•全国-高三专题练习）对于定义域为。的函数/（X）,若对任意的

xPx2eZ）,当王时都有/（M）W/（$），则称函数为“不严格单调增函数”，若函数

/"）的定义域。={123,4,5},值域为4={6,7,8},则函数/（x）为“不严格单调增函数”的

概率是.

【答案】^70-04

【解析】基本事件总数为：把D中的5个数分成三堆：①1,1,3：C/=10,②1,2,2：

则总共有（10+15）-A；=150种，

求函数/*）是“不严格单调增函数”的情况，等价于在1,2,3,4,5中间有4个空，插入

2块板分成3组，分别从小到大对应6.7,8共有C：=6种情况，

••・函数八刈是“不严格单调增函数”的概率是羽总

故答案为：—.

变式15.（2024•上海•高三专题练习）从3个函数：）,=/；）,=工2和y=x中任取2个，

其积函数在区间（-8,0）内单调递增的概率是.

【答案】|

【解析】从三个函数中任取两个函数共有3种取法，

若取y=/\I），=d，积函数为）,=/5，所以），.=25.-/，

3

因为当X<0时，），,=533->0,所以函数）,二5/在（,。单调递增；

I2,7-1

若取,,=£3和丁=工，积函数）,=/,所以

1-12

因为当XVO时，），=二“3<0,所以函数）,=/在（YO.0）单调递减；

若取了=/和），=工，积函数y=d,所以y=3/,

因为当xvO时，y=3x2>0,所以函数在（一8,。）单调递增：

故满足题意的有2个积函数，所以概率值为:，

故答案为：1.

题型五：古典概型与数列的交汇问题

例13.（2024•江西鹰潭•统考一模）斐波那契数列｛工｝因数学家莱昂纳多•斐波那契

（LeonardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列”.因〃趋向于无穷大

时，与无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以下

*n+l

递推方法定义：数列｛8｝满足£=6=1,6+2=£T+/；，若从该数列前10项中随机抽取

2项，则抽取的2项至少有I项是奇数的概率为（）

A.±B.上C.AD.反

15151515

【答案】D

【解析】依题意可知，数列优｝的前10项为：1,1,2.3,5,8,13,21,34,55,

其中偶数有3个，

所以从该数列前10项中随机抽取2项，则抽取的2项都是偶数的概率为尸=胃=2，

I?

1|4

所以至少有1项是奇数的概率为1

JLJ1

故选：D.

例14.（2024•全国-高三专题练习）斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数

列“，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列｛《,｝满足＜=叼=1,

%+2=%+4“，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）

A.—B.-C.\D.—

124312

【答案】A

【解析】由斐波那契数列的递推关系可知，前12项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,

34,55,89,144,所以基本事件数共有12,其中质数有2,3,5,13,89,共5种，故是

质数的概率为夕=看.

故选：A.

例15.（2024•黑龙江•黑龙江实验中学校考三模）已知某抽奖活动的中奖率为g,每次

抽奖互不影响.构造数列匕｝,使得q=；篇[小由汐，记

[—1,羽〃f人不干关，

，=。+。2+…+C”（〃wNx）,则悔|=1的概率为（）

【答案】A

【解析】由图=1，可得机=±1,

抽奖5次，出现3次中奖2次未中奖或2次中奖3次未中奖,

故国=1的概率为尸=且尹=?

故选:A.

变式16.（2024•山东潍坊•高三统考阶段练习）数列｛q｝共有10项，且满足：4=1,

%=11,每一项与前一项的差为2或-2,从满足上述条件的所有数列中任取一个数列，则

取到的数列满足每一项与前一项的差为-2的项都相邻的概率为（）

2145

A.—B.—C.—D.—

93918

【答案】A

【解析】由于％-4=10=5x2,｛/｝从口至%,“+2”或“-2”共9次,

所以“+2”共7次，“-2”共2次，

基本事件的总数有C；=36种，

“每一项与前一项的差为-2的项都相邻”的事件有8种，

Q2

故取到的数列满足每一项与前一项的差为-2的项都相邻的概率为正=§.

故选：A

变式17.（2024•全国-高三专题练习）斐波那契数列｛£,｝因数学家莱昂纳多・斐波那契

（LconardodaFibonaci）以兔子繁殖为例而引入，故又称为“兔子数列因〃趋向于无穷大

时，?无限趋近于黄金分割数，也被称为黄金分割数列.在数学上，斐波那契数列由以

工+i

下递推方法定义：数列优｝满足£=6=1，%+2="讨+工，若从该数列前10项中随机抽

取1项，则抽取项是奇数的概率为（）

【答案】D

【解析】依题意可知，数列位」的前10项为：1,12358,13,21,34,55,

其中奇数有7个，所以从该数列前10项中随机抽取I项，则抽取项是奇数的概率为

故选：D

变式18.(2024•全国•高三专题练习)记数列｛q｝的前〃项和为S.，已知

S“=〃”2―4〃”+〃，在数集｛-1,0』｝中随机抽取一个数作为。，在数集｛TO,3｝中随机抽取

一个数作为人在这些不同数列中随机抽取一个数列｛%｝，则何〃｝是递增数列的概率为

()

I923

A.-B.三C.-D.-

3934

【答案】B

【解析】由已知，当〃一1时，=S｛=b-3a,

当〃22时，a“=5“-S”_]-4即+6)—[〃(〃-1)~一4“(〃-1)+〃=2an-5a,

(、la<«,\b-3a<-a\b<la

因为数列｛q｝为单调递增数列，则即。>0，即〃>0，

所有样本点(4。)有：(—-3)、(-1,0)、(-1,3)、(0-3),(0,0)>(0,3)、(1-3).(1,0),

(1,3),共9个，

其中，满足｛《,｝是递增数列的样本点⑼有：(1,-3)、(1,0),共2个，

2

故所求概率为

故选：B.

变式19.(2024•全国•高三专题练习)已知数列｛4｝(，"N")的前〃项和为工必=1,且

S.=2《-l,若数列也｝满足。也+-32,从5K〃小(),〃eN中任取两个数，则

至少一个数满足“讨=”的概率为()

A.1B.-C.—D.\

25123

【答案】B

【解析】由于S“=2a"-1①，当〃=1时，得q=2q-l,解得％=1；

当〃N2时,S.T=2%-1②,①-②化简可得=2%,

所以数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a“=2i；

因为。也=一〃2+“〃一32,所以以:一犷十::一”，

A/IZLJT厂+9/7—22~+11〃—32AfAM/TR

令方用="得----------=——诃------解Z得〃=6或7,

从5。M10,〃eN•中任取两个数共有（5,6）,（5,7）,（5,8）,（5,9）,（5,10）,（6,7）,

（6,8）,（6,9）,（6,10）,（7,8）,（7,9）,（7,10）,（8,9）,（8,10）,（9,10）15种，

其中至少一个6或7的有9种，

所以至少一个数满足力用="的概率为:，

故选：B.

变式20.（2024•全国•高三专题练习）已知等比数列｛4｝的首项为1,公比为-2,在该数

列的前六项中随机抽取两项q”，为（m,〃wN'），则4・凡28的概率为（）

A.—B.-C.2D.；

5432

【答案】C

【解析】由题意知：4=1,。2=-2,4=4,«4=-8,=16,ab=-32,

由％aN8>0,则"?，"奇偶相同,

若〃?，〃都为偶数时，符合题意，情况数为c；=3种；

若〃?，〃都为奇数时，仅有％。=4<8不符题意，情况数为C；7=2种，

综上，符合题意的情况数为3+2=5种，而总情况数为C：=15种，

工概率

故选：C.

题型六：古典概率与统计的综合

例16.（2024•四川宜宾・统考二模）2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以

比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球

新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调杳了10000辆新

能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图:

(1)估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间［5,35)(面位：万元)的概率，以及中国新

能源车的销件价格的众数；

⑵现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，

求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.

【解析】(1)一辆中国新能源车的销售价格位于区间［5,35)的概率

=(0.022+0.04+0.017)x10=0.79,

中国新能源车的销售价格的众数为(15+25)+2=20

(2)记2辆比亚迪新能源车为AB,其余4辆车为1,2,3,4,

从6辆新能源车中随机抽取2辆的情况有:(A3),(A1MA2),(A3),(A4),(B,1),(A2),

(B,3),(B,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共15种情况.

其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有:(A3),(A1),(A2),(A3),(A4),(3,1),(8,2),

(8,3),(及4),共有9种情况.

93

至少有1辆比亚迪新能源车的概率

例17,(2024•北京西城•高三北京市笫三|五中学校考开学考试)为了解某中学高一年

级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班~(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随

机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀

的人数散点图如下(》轴表示对应的班号，丁轴表示对应的优秀人数)：

⑴若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生

身体素质监测成绩达到优秀的概率；

⑵若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出I人，设X表示2人中身体

素质监测成绩达到优秀的人数，求X的分布列及其数学期望；

⑶假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相

等.现在从每班中分别随机抽取I名同学，用“4=1”表示第A班抽到的这名同学身体素质

优秀，'4=0”表示第〃班抽到的这名同学身体素质不是优秀（k=l，2,...,8）.写出方差

。（刍）,。仁）,。（刍）,。（刍）的大小关系（不必写出证明过程）.

【解析】（1）从高一年级（1）班~（8）班学生中抽测了80人，

其中身体素质检测成绩优秀的人数有8+6+9+4+7+5+9+8=56人，所以，优秀的概率是

7

10

因为是随机抽样，所以用样本估计总体，可知从高一年级学生中任意抽测一人，

该生身体素质检测成绩达到优秀的概率是《

（2）因为高一（2）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有6人，不

优秀的有4人，

因为高一（4）班抽出的10名同学中，身体素质监测成绩达到优秀的人数有4人，不优秀

的有6人，

所以从中抽出2人，X的可能取值为0J2

p（X=0）=-x-=A,p（x=l）=-x-+-x-=—,p（x=2）=-x-=A,

''552517555525175525

所以X的分布列为

X012

6136

P

252525

数学期望E（X）=Ox卷+以共+2'卷