线性代数(含全部课后题详细答案)7第七章线性空间与线性变换习题解答

习题七

A组

1•填空题

(1)向量组」)，(1,2,3,0),(2,3,3,・1)生成的向量空间的维数是__________.

解2.

(2)设全体三阶上三角形矩阵构成的线性空间为V,则它的维数是•

解6.

2

(3)次数不超过2的多项式的全体构成线性空间P[x]2，其U」的元素/(x)=x+x+1在基

(x-1)(兀一2)下的坐标是____________

0[=1抱?=1在该基下的坐标

±I

解(3,4,1厂

1A(([)⑴

(5)二维向量空间R?中从基。二国尸到另一个基。严，0,=的过渡矩阵

3号向算空间％的一个基，UJ(2J

是________.

(23)

解

-2)

(6)三维向量空间中的线性变换T(x,y,z)=(x+y,x-y,z)在标准基勺=(1,0,0),e2=(0,1,0),

勺=(0,0』)下对应的矩阵是__________.

’110'

解1-10.

'001J

2.选择题

(1)下列说法中正确的是__________・

(A)任何线性空间中一定含有零向量；

(B)由厂个向量生成的子空间一定是厂维的;

(C)次数为n的全体多项式对于多项式的加法和数乘构成线性空间；

(D)在72维向量空间V中，所有分量等于1的全体向量的集合构成V的子空间.

(2)下列说法中错误的是_________•

(A)若向量空间V中任何向量都可以由向量组0],。2,・・・，°”线性表示，则%是丫的

一个基；

(B)若〃维向量空间V中任何向量都可以由向量组…，％线性表示，则…，％是V的

一个基；

(C)若斤」维向量空间V中任何向量都可以由向量组0,闵，…，乞线性表示，则0,八2,…，％不

是V的一个基；

(D)”维向量空间V的任一个基必定含有“个向量.

(3)下列3维向量的集合中，是R'的子空间.

)；；；；

(A){(%„X2,X3|Xtx2X3<0X„X2,X3GR}(C){(xpX2,X3)\X1=X2=X3XpX2,X3GR}

(22；

(B)|(XpX2,x3)%+X2+xr=1XpX2,X3GRJ

A

(D){(X1,X2,X3)|X,>X2>3；XpX2,X3GR]•

(4)在认中，下列向量集合构成子空间的是

(A)(0,0),(0,1),(1,0)组成的集合；

(D)(0,0)组成的集合；

(C)所有形如0,1)的向量组成的集合；

(D)满足x+y=1的所有(x,y)组成的集合.

(5)匕的下列变换不是线性变换.

(A)T(xty)=(0,0)；

A

(B)T(x,y)={cix+byfcx・・dy),a,b,c、d是实数；

(C)T(x,,y)=(x+y,1)；

(D)T(x,y)=(0,x-y).

解⑴A;⑵A;⑶C;(4)B：⑸C.

3.验证：

（1）主对角线上元素z和等于0的2阶矩阵的全体S,；

（2）2阶对称矩阵的全体S?,

对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出每个空间的一个基.

/\/»\

acbe

A=,B=，

\d-。JU-b)

解(1)任取AeSABeSA

其中ci,b,cde、f表示任意实数，则对于任意的匕/IwR,有线性运算的封闭性成立：

(ka+Zbkc+Ad

kA+AB=

flO>/P0'

<0T)\o>J0>

(2)任取/wS2iBeS2,对于任意的匕衽花都满足运算成立：

ykd十人f-ka-Aby

3的一个基是

52的一个基是

flO)"0)(

20J(01

TrT/x

(kA+Z5)=Zs4+X5=+AJBG52.

4.验证：与向量（0』,0）T不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间.

证明与向量（01,不平行的全体3维数组向量的集合记作V,a=（1,1』「，O=（lQJj「wV,

但a-/?=（OJ,O）T八V,所以V不是线性空间.

5.设（7是线性空间V的一个子空间，证明：若（/与V的维数相等，则〃=P.

证明设…'雌U的一个基，因为t/oV,所以GV.对于任意的6TGV,

必定可被。，他，…，乞线性表示，否则与“”与V的维数相等”矛盾.由a的任意性知Vuiz,从而

U=V.

6,判断的下列子集是否构成子空间，说明理由.

⑴叱=（：:卜，"CWR.；

1方°)

av2+/?+c=0,2.8.ceR>.

,0c0J

g(1r-p-e-Unr

0、00、

oooJ

即叫时矩阵加法不封闭♦

(2)构成.任取

(

从0'a2h20'

eW2t

qo、0C2

Q]+b]+C]=0,6T2+/?2+C2=0,

于是

Qi+禺+0+少•+。+c?=0,

Z+a“地O'

2e>2,

、0c]+c20

，kakb、0、

对任意R,必”,ka、+kb\+kC\=O,所以Me肛

<okc'0J

航寸矩阵加法和数乘运算封闭，所以嚅构成子空间.

7,判断R2X2的下列子集是否构成子空间，说明理由.

(1)由所有行列式为零的矩阵所组成的集合说；

/<10、0、'10、

解(1)不构成.取/二A,B=,4历的但是4+8=

o>b<0b

(2)由所有满足A2=A的矩阵组成的集合％.

此/+加法不封闭-

(2)不构成.取单位矩阵E

,"E,£GW2,但(2E)2=4EH2£，所以2EeW2t

数乘不封闭.

8.在应中求向fi：a=(-2,7,6)T在基a,=(2,0—=(1,3,2)匕3=(-2,1,1)T下的坐标.

解得(XpX2,X3)i=(—1,2,1)T.

9.R?中两个基为

$=(1,1,1)T,°2=(1,0,・If,他二(1,0,1八0严(1,2/几02=Q,3,4)T,

03=(3,4,5)丁,求由基到基屈，禹，A的过渡矩阵.

解设(0:2,属)=(0,«2,”3)几则

a1P“23、「234、

：

P=(],02.。3尸(屈，禹，属)二100234—0-1-1

<1-11><145J<-100

lO.iER,5^，取两个基

勺二(1QO)T,勺=(0,l,0)T,®=(0,0,l)T；

a,=(l,0,0)r,a2=(l,l,0)『道.=(1_L1)「，

(1)求由基士,向,t到基a(如1的过渡矩阵;

'1-10、

⑵已知rti基a,,a2,a.到基久几’属的过渡矩阵为昇=0\、求^辰队；

001>

(3)已知。在基01,02,03下的坐标为(1,2,3/,求a在基0,。2,“3下的坐标.

(I\1)

解(1)因为(0,«2,。3)=(勺，勺，勺)011,所以基勺2,勺到基的过渡矩阵为

'001>

pl1)

P=011

<001J

hi-io、勺00、

H11)故

(2)由于(0],02,03)=($,。2,0[[oi-i=010

上001,

,001,<00b

"1=(1。0)T,02=(0±0),03=(0,0,l)T.

A

(3)设a在基apa2,a3b的坐标为(XpX2,&/,则有a=(a]9a2fa处，又

a=J队、口2、2=小血闭切2

nT

<3

从而

0、⑴

-12-1

3)<3

\7.I

11.在R3，P取两个基

勺=(.0.0.0)T,©=(2-L-IQ,

02=(0.1.0.0)T.勺02=(0,3,1,0)丁,

=(O.OI.O)T.a3=(5,3,2,l)T,

S=(OJ.O.I)T.a4=(6,6J,3)T.

（1）求前一个基到后一个基的过渡矩阵;

⑵求向量（西，兀2,兀3/4）丁在后一个基下的

⑶坐标；

2056]

1536

解（1）因为（，a2,03,&）=1,所以前一个基到后一个基的过渡矩

-112

.101

<2056

1336

阵为昇二

-1121

<1013

/W

3i'

X

2时Y2

—(31932,33,34)=A

%

<3)

（2）设向fi（XPX2,X3,A：4）T在后一个基下的坐标为（）1歹3」）丁，则

、/w

；2056、/\9-27-33、

V£52

兀

的=4~'兀213362_1112-9-23

兀〜27

%兀3-11213900-18

LJ"J「1013,申J<-7-3926,

所以,

/、(、‘4

'II"

兀2兀2

x2x2

(a,e2,63,e4)二E=A

尤3兀3K

HJ<^4>

⑶设向量。二（西，勺，兮兀）丁在两个基下有相同的坐标，则

'X（X}

12.说明初平面上变竹f=A的几何意义’其中

所以(力一£)勺=0，解得G=£(l,l,l,—l)T"eR・

fo

A=

I。

(0(01)

⑷彳=

<-10'J

(DT

<01J

1-10J

，，

<00>r

解7T、——n、，投影到，舛般y/由对称；I

芒<0L

1yy)

（、<0/、(、

X1;X—

y，关于直线y=x对称；

ivJ0>

T

°1)(y

(4)T一日卫，顺时针旋转9(T-

>-107J

13•”阶对称矩阵的全体V对于矩阵的线性运算构成-个呼维线性空间.给定”阶矩阵P,以

/表示V中的任一元素，变换

T(A)=PTAP

称为合同变换.证明合同变换丁是V中的线性变换.

证明设/1,BGV,公心则力丁二/1,3丁二〃，所以国题(kA=kA.从而A+B与㈠是对称矩阵.又因为

T(A+B尸(力+B)P=//AP+P『BP=T(A)+T(B)t

T(kA)=P'(kA)P=kPAP=kT(A)f

所以7是U中的线性变换.

r460、

14.设中ai9a2声3是一个基，且线性变换丁在此基下的矩阵为6-3-50,

f-3-61J

(1)证明-$+〃2+砚，。3,-20+阻也是R”的一个基；

(2)求线性变换口在此基下的矩阵.

证明(1)令0]=-$+还+磅，02=«3,属=一2$镁，可解得

a、二"I-0-夕3、”2=2几・2那03,“3=02,

这说明了0,5g，他和A,0,几可以相互线性表示，从而它们等价，所以以、以，以是R'的一个基.

<-10-2、f120、

由条件知Fl=1o1，得"=-1-21,从而

<110J、一・1oJ

2

B=P'AP=0

(2)设线性变换P在基久属，03下的矩阵是〃，并设从基久碌，砌到基0|,02,禹的过渡矩阵是

15.函数集合V3={a=(%/+6Z,x+6/0)八11/2,tz„6/0GR}对于函数的线性运算构成三维线性空

间.在％中取一个基a,g/laRela.Nl求微分运算D在这个基下的矩阵.解因为

D(0)=+2xH=©+2a.+0a3t

D(a2)=^+xd=0©+a2+a3,

D(a3)=，=0$+Oa2+%,

(100、

所以微分运算D在这个基下的矩阵为210

16.二阶对称矩阵的全体V^=1A=_石，吃，忑％R对于矩阵的线性运算构成三维线性空

[上4=S1、，4=1r0。、

<0、0'<\°5|<01>I

fl

丁⑻二10

[011,

求7在基4,力2,九下的矩阵-

兀2

<11、a0、a0、<

间.在岭中取一糙％=[ii4<01<11<00

J,0b，在％中定义合同变换

1)

=力]+/I.+力3.

1J

解因为

a0、o、Pl、<0P

A2rr

101Jo>,oi<12J

T(A)=

a0、<1i>nn)fo010<00、

T(A.)=4

<1b<1b<0b<07b

<[0

o)

9

(T(4),T(A2),TGo))=(4,,j।0

J21

700、

所以7在基4,力2,力3下的矩阵为110

[121,

17.设/是一个正定矩阵，向量a=（xpx%一,x〃），〃=（yp…，几）•在R”中定义内积[%0]

为[/fi]=弱炉’•证明在这个定义之下，R”是一个Euclid空间.

证明按定义证明满足以下四条性质即对-

⑴对称性[a,0]=a/0T=(740T)T=0/丁刃=0力刃二[0,a].

(2)线性加性[a+0,刃二(a+0)//=04灯*)力灯二[%刃+[0,刃.

T

(3)线性齐性/女的0]=伙a)Afi=k(aAff)=k[a90].

(4)非负性由于/是正定矩阵，所LU[a,a]=aAT是个正定二次型，从而[a,a]>0,当且仅当a=0时

[a,a]=0.

18.设V是一个斤维Euclid空间”羊。是V中一固定向量，证明：々〃|〃祥/=。松『}是口的一个

子空间.

证明因为06V，所以%非空.再证%对两种运算封闭.

任给Xi,X2GV；,即[西,a]=0,[X2,a]=0，根据V的线性加性有[西+x?,a]=[xpa]+因,4=0+0

AA

=0,从而可知x,+於后以另一方面»^[kx,ta]=A[xi?a]=0可知，kxV.

此即证得V,={x|[x,a]=0,x€V]是V的一个子空间.

€00、

1.求二阶矩阵构成的线性空间R"2中元素力1]

,2b

〃1\n下的坐标.

<01

解设/=RQ+©G2+他G3+E4G4,则

雄+八3+“4=。,

k'+£3+上—1,

——+心=2,何+

化，+&=・3,

解得e=0g1上=・2,八=3,所求坐标为(0,—1,—2,3)1・

2.在二阶矩阵构成的线性空间R2X2+,

U）求基

<01、、£「00、

£，二<00

<00>「Z<00J0><0b

到基

(cNo3

<\z1o<5%F661

F\=LF=

-l1IrfaJ3,

的过渡矩阵;

Ni

分别求向量M=...在基Q,£•2,d和基耳，耳，&九下的坐标;

(2)0«：IEy

（3）求一个非零向量/,使得力在这两个基下的坐标相等.

解（1）因为

F]一2E、+£*2—E?+9

F2=0Er+3E?+耳.+阳,

耳=5Q+3E2+2E3+E4,

2056>

1336

（耳，耳，耳，舄）二（£\,耳，d）[,.।

-1121

1013

F4=6£|+6£*2+凤.+3£*斗，

2056、

1336

-1121

1013

所以，基Q,£.2,色，d到基沙2/37的过渡矩阵为

⑵显然M=d||E]为+02「3+0227E4'得到M在基Q,瓦，禺，忙4下的坐

11）（41

+T12々~一。22

3〜9

o；t

4_]_•11141八

CI：1小<

9〜3叫2

272793212722

佝

0022

\。翱止亍22

3~322

2?671176

11Tli2

工27~，27J

3I）7II。77"/

标为（如，如，。21.。22）丁­设M在基£，耳，4所的坐标为（开，H勺，力，＞4）T则

AI

。12二（耳,耳，®九）

=（E]tE»EyEJP

a2\

<a22）<>4>

⑶解方程

M=（d,&尽，d）

4111

•叫一.")2”21…人"22

27119123212722

12

沪厂「22

71126

得dll=012=°口=―1。22,所以

1)

A-k,RH0■

（1-*1J

3.设T是口q维线性空间V的线性变换，T在y的基下的矩阵为

*-1-2-2-2、

2652

A二

00-1-2

、0026J

求T在V的基0］=e,02=-&+。2,队=-54下的矩阵.

解（0］据，禹J4）=（倨，《2"&«4）P，其中

P10°、

01-10

P=

001-1

<000L

所求矩阵

<13o0

2400

B=PAP=

0013

、0024

4.设a、。？，…，%是R”的一个基.

⑴证明0,0+。2,$+的+少，…，0+02+­•+。“也是R”的一个基；

（2）求由基项…，％到基+«2,$+斶+码,…，心+。2+•・•+%的过渡矩阵；

（3）求向量a在基a、，%%下的坐标（兀［，花，…，兀JT和在基0,$+冬，

+a2+as,...,

0+的-…+乞下的坐标（X，儿，…，儿）T间的变换公式.

弊（1）因为

’11...1、

01...1

+e+°2+...+%J=(0,・..

、00...1,

q1...p

01...1..

所以P=...............................IPI=1HO,P可逆，从而向量组a】，e+a?,+a+a3,...,

••••2

,00...1?

・・・

$+冬+…+乞与向量组《!,«2,等价，而0,色，,%是R”的一个基，所以&,a,+a2,6Z)+az+av,

e+砌+・・・+””也是R”的一个基.

(2)由基0,。2,…，％到基0,&+斶，a.+az+a3,…，&+斶+•••+«”的过渡矩阵为

111...1、

01•••1

••♦•

••••

••••

'00...1J

1-10...•0001

1'

八1…1丫7工、01-…•000

1001••.000XI

p-l工2_01…1X2■■••■■兀2

••••••

........................................000...•1-10■

000...•01-11/17

<000...•0o

（3）坐标变换公式为

5.设别^,…，%是丫的_个基，且（久02,…,0”）(。1,”2,力，证明0]，02,...,0〃是V

证明由于$，礁，…，％线性无关，注意到

的一个基的物必要条件是矩阵/为可逆矩阵.

a)(0O...1JbJ

今kxflx+k2/J2+…+knfi0=0时,必定有&=k：2=♦•♦4”=0仆、

k

0(匕，住…••，%>)力.2=0时，必定有攵产5—=kB=O

kr

可得

久属，…,0〃是V的一个基。久属，…,0〃线性无关.

川01+血02+...+破=（"1,02,...,1：.

0"）■=（0,闵，•••，％）/•

&J

0/.=〃时，必定有=k2-=kB=0