湖南省永州市宁远县第一中学2027届高三上学期收心检测数学试卷（含解析）

湖南永州市宁远县第一中学2027届高三上学期收心检测数学学科试卷一、单选题1．已知集合，，则中的元素个数为（

）A．5 B．4 C．3 D．22．已知是两个不共线的向量，向量共线，则实数的值为（

）A． B． C． D．3．已知等差数列的前项和为，其中，则取得最大值时的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．114．已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（

）A．18种 B．27种 C．36种 D．54种7．在平面直角坐标系中，，直线的斜率与直线的斜率的差是2，则的最小值为（

）A． B． C． D．38．已知函数函数有4个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，则（

）A． B．C． D．10．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，下列结论正确的是（）A．B．若为直角三角形，则C．外接圆的方程为D．直线的方程为11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为侧面内一点（含边界），则（

）A．若为线段上一点，则三棱锥的体积为定值B．若该正方体表面上的动点满足，则动点的轨迹长度是C．若为侧面的中心，则过点且与垂直的平面截正方体所得截面面积为D．若该正方体的内切球表面上的动点满足平面，则线段长度的最小值为三、填空题12．设随机变量，且，则___________．13．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________.14．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，《孙子算经》中“物不知数”问题的解法符合关于同余式解法的一般性定理，因而也称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：在1到2026这2026个数中，取能被4除余3且被6除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列的项数为_________．四、解答题15．在中，角所对的边分别为，，，已知.(1)求；(2)若的面积为，且，求的最小值.16．如图，在三棱柱中，，，四边形是菱形，，平面ABB1A1⊥平面ABC，点是中点，点是上靠近点的三等分点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17．对于定义在上的函数，若，使得成立，则称为函数的不动点．(1)若，求的不动点；(2)对于二次函数．（i）当时，函数有唯一的不动点，求实数a的取值范围；（ii）若函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值．18．已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，直线（）与椭圆交于、两点（点在点的上方），与轴交于点．(1)当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长；(2)若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．19．DM训练机器人玩传球游戏，现有编号为的位球员围成一个圆，机器人DM居于圆心位置，传球规则如下：球由DM传给球员，任何球员接球都直接传回DM为一次传球．DM传球给目标球员顺序依次为1→2→3→…→．每次传球时，DM只从尚未接球的球员中随机选择一人，若选中当前目标球员（如当前应传至号，则为目标球员），则传球成功且之后不再给该球员传球，目标球员更新为号；若选中非目标球员，则传球失败，球传回DM，DM记下该球员编号，并在其成为目标球员时直接传球给该球员，且在其成为目标球员前不会再给该球员传球；传球无论成功与否均计为1次传球，直到第号球员接球后传回机器人DM游戏终止．(1)当时，（i）求DM第3次恰好成功完成给2号球员传球的概率；（ii）设为完成全部传球所需总次数，求的分布列及数学期望；(2)设为完成全部传球所需总次数，若，证明：．参考答案1．B【详解】，，，即中的元素个数为.2．D【详解】因为向量共线，所以存在实数，使得，所以，解得，则.故选：D.3．B【详解】因为等差数列满足，时，，时，.所以当时，取得最大值.故选：B.4．C【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件，由，得，解得，故“”是“”的必要条件，故“”是“”的充要条件.故选：C.5．B【详解】函数是开口向上的二次函数，其对称轴为；因为函数在区间上单调递增，所以内层函数在区间上单调递增且在区间上恒成立即，即实数的取值范围是.故选：B.6．A【详解】6张卡片平均分成3组且1，2的卡片同组有种方法，再将3组卡片放入3个不同的信封中有种方法，所以将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有种方法.7．A【详解】设，因为直线的斜率与直线的斜率的差是2，所以，化简得到点M的轨迹方程，，由，将代入得到，令得到且，所以，（且）为开口朝上的二次函数，对称轴当时，，所以.故选：A.8．D【详解】当时，，当时，，当时，，，所以，当时，，，所以，当时，，，所以，当时，，，所以，作出函数的大致图象，若函数有4个零点，即与有4个交点，当直线过点时，；当直线过点时，；由图可知，与有4个交点时，有，故选：D9．ABC【详解】对于A，，，A正确；对于B，，则，B正确；对于C，，则，C正确；对于D，，，，D错误.故选：ABC10．BD【详解】因为圆：的圆心为，半径为，当点在圆外时，才可以作条切线，所以，即，故A错误；为直角三角形，则四边形为正方形，所以，解得，故B正确；外接圆的圆心为的中点，即为，半径为，又，，，四点共圆，所以外接圆的方程为，故C错误；将和相减即得直线的方程，所以直线的方程为，故D正确．故选:BD．11．ACD【详解】对于A，若为上一点，由、平面、平面，得平面，则点到平面的距离为定值，又的面积为定值，因此三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，动点在正方形、正方形、正方形内，其轨迹是以点为圆心，2为半径的圆弧，因此动点的轨迹长度是，B错误；对于C，若为的中心，即的中点，取的中点，连接，则，由平面得，则，又平面，于是平面，，取中点，连接，同理，因此平面，过与垂直的平面截正方体所得截面为，，则的面积为，C正确；对于D，在正方体中，平面平面，由点满足平面，则点在平面上，又点在正方体的内切球表面上，则点的轨迹为正三角形的内切圆，记圆心为，半径为，因此的最小值为，D正确.故选：ACD12．【详解】因为随机变量，所以其正态曲线关于对称，因此：，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.13．或【详解】因为，所以，所以当时，，即切线的斜率为2，所以由点斜式得即，联立整理得，因为切线与曲线只有一个公共点，所以方程只有一个根，当时，方程为只有一个根，满足题意；当时，，即，解得，综上或，故答案为:或.14．169【详解】题目要求数满足两个条件：被4除余3、被6除余3，即该数减去3之后，既能被4整除，也能被6整除.即为4和6的最小公倍数12的倍数，因此所有符合要求的数都可以表示为，显然数列为等差数列，且首项为3，公差为12.由，则，解得.由于是正整数，的取值为，总共有169项.15．(1)(2).【详解】（1）由正弦定理得，即，由余弦定理可得，因为，所以.（2）由已知，所以.因为，所以，可得，所以，又，当且仅当，时取等号，所以的最小值为.16．（1）证明见解析；（2）.【详解】证明：（1）取中点，连结，在中，，，∴，在菱形中，由可知为等边三角形，∴，又∵，A1⊂平面A1OC，OC⊂平面A1OC，∴AB⊥平面A1OC，A1C⊂平面A1OC，∴.（2）∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC=AB，由（1）可知，∴，，两两垂直，如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，不妨设，则，，，，，.由，得，则的中点，从而，.设平面的法向量为，则，即，不妨取，得，即.则，所以直线与平面所成角的正弦值为．17．(1)(2)（i）（ii）【详解】（1），则不动点满足，即，整理得，因为，所以，当时，，解得，满足；当时，，无解，所以的不动点为.（2）（i），当时，有唯一的不动点，则方程只有一个解，即函数在上只有一个零点，当时，，，满足要求；当，即时，，解得或，时，，在上只有一个零点1，时，，在上只有一个零点1，所以的取值范围为.（ii）令，整理得，则，解得，，令，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.18．(1)；(2)，恒为定值；面积的最大值为【详解】（1）当时，椭圆方程为，故且，由椭圆定义可得，的周长为；（2）由题意得，解得，椭圆方程，联立，消元得，，可得，设，，则，，又因为、在椭圆上，则，，则，当为定值时，即与无关，故，得，此时，又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立，因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为．19．(1)（i）；（ii）的分布列为56789数学期望.(2)记为第号球员接球的次数，则，时，将抽取球员的编号理解为一个数列：，表示第一次选错了2，第二次选对了1，第三次由于此时目标为2，直接给2，不难发现，若，将各元素第一次出现的相对次序记为一个数列，如，则必在出现之后再出现，相当于计算在最后一位的情况占排列的比例，则，，,.对任意，有，下面证明该不等式成立，设，，则在上恒成立，则在上单调递减，则，即在恒成立，令，则：，则，则.【详解】（1）（i）设事件A为＂第3次恰好成功完成给2号球员传球＂，情况一：第1次传球成功（传给1号），第2次失败，第3次成功（传给2号）