考研数学（数学三）模拟试卷420

考研数学(数学三)模拟试卷420

一、选择题(本题共8题，每题7.0分，共8分。)

1、设X—•()时，e*—(ax2+bx+c)是比X2高阶的无穷小，其中a,b,c为常数，则

().

A、a=c=1,b=0

B、a=l,b=2,c=0

C>a=c=2,b=0

D、a=b=1>c=0

标准答案：A

知识点解析：利用等价无穷小代换一x2—1〜(X?)2/2简便求之.也可使用洛比

达法则或泰勒展开式求之.由题设有

(D

』一(a/+6z+c)

(1-a)x2—c)

=lim已冷

LOX

=°+呵------p----=0*

故1一,a=0,h=0,I_,c=0,即3=c=I,h=0.仅(A)入选.

(x+Darctan-；-7，z#±l,

工JI

2、设'0，N=±L则().

A、f(x)在点x=l处连续，在点x=-1处间断

B、f(x)点x=l处间断，在点x=—1处连续

C、f(x)在点x=l,x=-l处都连续

D、f(x)在点x=l,x=—l处都间断

标准答案：B

知识点解析：依间断点定义和连续点定义判别。

lim(x+1)arctan—1-=2•5K=冗，

-1+了-12

lim(x+1)arctan“J-；=2(一£)=一n，

■-X-1',故f(x)在点X=1处间

-

而lim(x+1)arctan2^-=0,f-5*1=0,

一,+xz—1\2/

lim(x4-1)arctan——r=O•[=0.

断..L-厂.R一1Z故

f(x)在点x二一1处连续，仅(B)入选.

扑(—jx<0,

0,x=0,

—fsin/2dr»

x>0,

3、xJo则f(x)在点x=0处().

A、极限不存在

B、极限存在，但不连续

C、连续，但不可导

D、可导

标准答案：C

知识点解析：讨论分段函数在分段点的极限、连续及可导性问题，从分段点左、右

两侧分别考虑，即：先求左、右极限，若二者存在且相等，则在该分段点极限存

在；先求左、右极限，若二者存在且相等，并等于分段点的函数值，则在该点处

连续；先求左、右导数，若二者存在且相等，则在该分段点可导，否则函数在该

点处不可

sin?市.,

/(04-0)=lim-------(7T)=limS1!?^-=0=/(O),

/(O—O)=lim/(x)=lim-yln(1+x3)sin-

x-*0-*-*0-NN

1.1

=lrim-r•x3•sin-

x-^TN%

=limxsin-=0=/(O)»

jr-0"7

故limf(z)存在，且limf(z)=/(O)=0.因而/(x)在点z=0处连续.

x-*0x-*0

因f-(0)=lim.圮.°)=lim-=limsin—

i一1一°i-1x-o-z

不存在，故f(x)在点x=0处不可导.仅(C)入选.

4、设函数f(x,y)连续，且f(x,y)=xylxl-kryl<,f(x,y)dxdy+15x2y2,则f(x,

y)=O.

工

A、3xy+l5x?y2

B、7xy+15

C>15x2y2

D、xy+15xy/

标准答案：A

知识点解析：显然被积函数待求，但由于积分区域确定，所给等式中出现的积分,

A=jT/(x,j)dLrd>>

其值为一常数.设mWwv在所给等式两端在区域|x|+|y|Sl

上计算二重积分即可求得结

J/(x»y)dzd>=AITxydxdy+15fj*/y2dxdy

blSygHl兄)w为41

=。(Ary+15x2y2)dzdy»

果..闺比IG因积分

A、当1=2时,r(A)=l

B、当t=2时,r(A)=2

C>当t，2时，r(A)=l

D、当tW2时，r(A)=2

标准答案：C

知识点解析：将向量关系式Aa尸[0,0,l]T(i=l,2,3)合并成矩阵等式AB=C^U

能求出I使B为满秩矩阵，则r(AB)=r(A)=r(C),而r(C)可观察求出.先将一组向

量关系式Aai=[0,0,l|T(i=l,2,3)合并成一个矩阵等式AB=C(矩阵关系式)，即

A[aj,其中B=[a)，a?，03],

c=[p,P，p],P=[O,0,1]T.当t=2时,B中的第2,3列成比例，故|B|二0,

r(B)=2.当厚2时，r(B)=3,即可逆，故r(AB)=r(A)=r(C)=l.仅(C)入选.

7、连续抛掷一枚硬币，第k(k5)次正面向上在第n次抛掷时出现的概率为

().

(A)C：信厂(B)C(打(C)CL(打“(D)

A、

B、

C、

D、

标准答案：D

知识点解析：设事件A=｛n次抛掷中有k次正面向上｝,Ai=｛第k次正面向上｝,

A2=｛前。一1次抛掷中有k-l次正面向上｝,则事件A发生等价于Ai，A2同时

发生,故A-AM又Ai,A2相互独立,所以P(A)=P(AI)P(A2).总共抛掷n

次，其中有k次出现正面向上，设此事件为A,设在第n次抛掷时第k次正面出现

的事件为A],前n-I次抛掷中有k—1次正面向上的事件为A2.则复合事件A

等价于AI与A2的乘积，又因A],A2独立,故P(A)=P(A|A2)=P(AI)P(A2),

1/1/1/-I—

即P(A)=P(A])P(A2)=*.Ci：｝(y)(I)

4-^(1)-(1)-*,

故所求概率为P(A尸CnJ」(2)•仅(D)入选.

0X<-It

1/8,N=-1,

F(x)=X

ax+b9-IVnVI,

8、设随机变量X的分布函数为1'又已知

P(X=1尸1/4,则().

A、a=5/16,b=7/16

B、a=7/16,b=9/16

C、a=l/2,b=l/2

D、a=3/8,b=3/8

标准答案：A

知识点解析：利用分布函数的定义及右连续性求之。由分布函数F(x)为右连续函

数,得到F(—1+O)=F(—1),即

limF(x)=lim=-。+占=1/8①

.4-.4-

l7x-*-1

又F(D=P(X&1)=P(XVD+P(X=D,

而F(l)=l,P(XV1)=F(1—0)=limF(1)=lim(az+6)=a+b,

p(x=l)=1/4,故a+b+l/4=l②解①与②得到a=5/l6,b=7/16.仅(A)入选。

二、填空题(本题共6题，每题上。分，共6分。)

「，l+ta后-Jl+sinx_

9、J^Ox(l~cosar)-------------,

标准答案：目

知识点解析：先将分子有理化，再利用无穷小等价代换或直接用洛必达法则求

..\Z14-tanx-5/l+sinx

原式二㈣-------P72------------

_________tanx-sinx_________

黑(\/T+tanx+VT+smx)(x,/2)

•Z•

.tanx-sinx,・tanx(l-cosx)r2_1

=thm-------；------=hm----------5-----------h1m------)-------v

7x-»0Xr-0XL°x乙

10、由曲线x2+(y-2a)2<a2所围成平面图形绕x轴旋转得到的旋转体体积等于

标准答案：4兀2a3.

知识点解析：按x轴上的曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体体积公式计算即nL

Vx=2Jo'兀(yj一y22)dx=2兀J0a8a"?—fdx=16兀a.7ra?=47i2a3.其中yi=2a+

，滔一d,y2=2a-'・

11、已知r(x)=arctan(x—1)2,f(0)=0,则J(?f(x)dx二

-In2

标准答案：稣f7)-

知识点解析：利用题设将f(x)化为变限积分，从而将所求定积分化为二重积分求

之.因为被积函数的导数已知，也可直接用分部积分法求之.f(x)=f(x)一

J

f(O)=foxf(t)dt=foxarctan(t一l)~dt,则Jo'f(x)dx=Jo1o'arctan(t—1)2dt]dx=Darctan(t

-l)2dtdx,其中积分区域(见右图)为口={(3x)|0<t<x,

0<x<l}.

f(.x)dx=(i-l)2dtdx=drarctan(z—l)2dr

JJoJi

1]—£=3,0

(1-£)arctan(£-iTd2・一.■-Isarctanj2ds

sarctans2ds~Karctanudu

4J0

=yfuarctanu卜J：击?如卜丸£一如(1+7)

T叫

12、设z=z(u),且u=(p(u)+JyXp⑴dt,其中z(u)为可微函数，且(p'(u)连续，

P(y)生+P(工)生=_____•

倘(听1,p⑴连续，则dx分

标准答案：0

知识点解析：给出隐函数u及其自变量x,y所满足的等式，为求有关偏导数，常

利用此式设出辅助函数F(x,y,u)=0,再利用有关公式求出相关的偏导数

dudu

x

2”2,设F(x,y,u)=u—*(p(u)—*fyp(t)dt,则Fu=l—(p'(u),Fx=-p(x),Fy=-

Lp(y)]=p(y)»

13、A,B均是n阶矩阵，且A?一2AB二E,则秩r[AB—BA+A尸.

标准答案：n.

知识点解析：利用可逆知阵性质：由A(A—2B尸E,得到(A—2B)A=E,从而

AB=BAo由于A(A—2B)=E,且A,A—2B均是n阶矩阵知，A可逆，且A一

2B是A的逆矩阵。故A(A—2B)=(A—2B)A=E,即A?—2AB=A?—2BA,可

见AB=BA,从而r(AB-BA+A)=r(A)=n.

14、设X,Y为相互独立的随机变量，且X〜N(l,2),Y服从参数入=3的泊松分

布，贝IJD(XY尸.

标准答案：27

知识点解析：利用公式D(XY尸E(XY)2—[E(XY)『或D(XY户D(X)D(Y)+|E(X)F

D(Y)+[E(Y)fD(X)求之,由题设易知E(X)=1,D(X)=2,E(Y)=D(y)=3.因

D(XY)=R(XY)2—[E(XY)]2=F(X2Y2)—[E(XY]2,又X,Y独立.故有

E(X2Y2)=E(X2)E(Y2),E(XY)=E(X)E(Y)=1x3=3.于是

E(X2Y2)=E(X2)E(P)=[D(X)+(E(X))2][D(Y)+(E(Y))2]=3X12=36,故D(XY)=E(X2Y2)

-[E(XY)]2=36-9=27.

三、解答题（本题共9题，每题1.0分，共9分。）

_丁+3

15、讨论函数，一二一1的渐近线、升降区间、极值、凹凸性，并画出它的大致图

形.

limv

标准答案：（1）因-i=以故直线x=l是函数的铅直渐近线.又

l8tx-x

且6=lim[/(x)-ax]=lim仔土『一、)=1,

\X-1/X-*OOJC-1故

/=（n-3）Cr+l）"=8

直线y=x+l是斜渐近线,（2）由y（ITT.-Gr-得其驻点为

xi=3,x2=-1.虽然在x=l处附近一阶、二阶导数存在，且二阶导数变号，但f（x）

在x=l处没有定义，因而不连续，故了没有拐点.以y的不连续点x=l,驻点x二

一1及x=3将其定义区间分为部分区间，函数在这些部分区间的变化列成下表：

X(-OO.-1)一】(-1.1)1(1.3)3(3,-f-oo)

f+0一—0+

f———+++

y单增下凹极大值一2单减下凹单减上凹极小值6单增上凹

z—3x2+3

当x=-1时，y=x+l=O,而z—1二一2,且x=0时，y=x+l=l,y=”-1-3.因

此在（一8,1）内函数图形在渐近线y=x+l的下面.又当x=3时，y=x+l=4,而

上+3_12一

2因而在（1,十⑼内渐近线在函数图形的下面.因此描绘函数y

的大致图形如上图所示.

知识点解析：确定函数的定义域、曲线的渐近线，然后利用导数讨论函数的单调性

和极值、凹向与拐点，由曲线的方程求出曲线与坐标轴交点的坐标，最后画出函数

的图形.

16、求曲线y=G的一条切线1,使该曲线与切线1及直线x=0,x=2所围成的图形

的面积最小.

标准答案：设切点为C”后），则过此点切线1的方程为

­p(z-D,即y=/_1

y-a=y=T~p-

2〃其中切线1的斜率为2"，将x=2,

x=0代入切线1的方程，即得

8(2,券+4),D(O,4).6(2,»手)

(|AB|+|OD|)|OA|

则S..38D2

或Sw=J：+用也=>布

s.边£77cL1：=宗+・2T-yV2,

故所围面积S=S.图CMBD—S11ttl.1KM8/I'M.

令S'GXO,即一与T+%T=0,得到c=l.

又S(t)I=:>0,故£=1时S取最小值，此时l的方程为y=高+).

I-144L

注意求曲线、直线等所围图形的面积时，对规则图形的面积应使用有关公式简化

计算.

知识点解析：先绘出有关图形如右图所示，由图可看出所求平面图形的面积S二S梯

形OABD一s曲边梯形OAEC.下面分别求出这两个面积的值及s的最小值。

17、设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，其中OVaVb,试证至少存在一点

1-1一

使得alnb—*blna=(ab2一ba2)?

：£(a,b),

In6Ina

b____a_1-1%Inx

2

标准答案:等式可改写成Laf'作辅助函数f(x)=i则f(x)在［a,

b］上连续,在(a,b)内可导，由拉格朗Fl中值定理知，存在&£(a,b),使得

ln6Ino

ba_1—Inf

即b二a1，

1-In?

亦即a\nb'~~b\na=(.ab2-ba2)

知识点解析：待证的中值等式中含有af(b)—bf(a)这样的项，为找出辅助函数，常

先用ab去除等式两端，从而找出两函数值的差.该函数就是要找的辅助函数.本

普—瓦=(6-)＜里

例用ab去除等式两端即得"°’于是辅助函数

F(z)=八戏

1就出现了，

、..pcscf一一、.

18、试求心形线x=acosO,y=asin30'与两坐标轴所围成的平面图形绕y

轴旋转一周所得旋转体的体积.

标准答案：求坐标轴上的曲边梯形绕坐标轴旋转生成的旋转体体积，计算公式为

d2

Vy=fc7txdy,或

r-frf

=3na3cos7^(l—cos20)d^=3na3(cos?。一cos9^)d^

JoJo

o3F6428642I163

Vy4b2兀xydx.L7539753J105

知识点解析：暂无解析

19、设f(x,y)连续，且

7(x,y)=J+J+xy^xyf(.x.y}dxdy^

①

其中

D={(x,y)|0<x<l,0<y<l}.求统办.

标准答案：设％xyf(x,y)dxdy=A(常数).在等式①两端乘以xy,然后在区域D上

二重积分得到

xyfCxtyydxdy=+192+”(H,y)dxdy]dxdy,

即A=jprye"\'drdy+0z：2y2•Adxdyx2y2dzdy

Jxex，dxJyeyZdy4-A[x2dx[y2dy

oo

于是A=%e-1>,从而

/(1,»)=/+『

因此ff=2/+J

知识点解析：因D为一固定区域，故Fxyf(x,y)dxdy为一常数，利用这一点可先

求出f(x,y)的表示式，再求偏导，

20、设A是n阶方阵，且E+A可逆，证明：(1)E—A和(E+A).】相乘可交换；

⑵若A为反对称矩阵，则(E-A)(E-A)1是正交矩阵.

标准答案：(1)因化一A)(E+A尸七一A2=(E+A)也一A),两边分别左乘、右乘

(E+A)1得至lj(E+A)1(E—A)(E+A)(E+A),=(E+A)'(E+A)(E—A)(E+A)1,故

(E+A)IE—A)=(E一A)(E+A)1,即E—A与[E+A)1相乘可交换.(2)为证

(E一A)(E+A)1为正交矩阵，只需证.[(E—A)(E+A)']T=[(E—A)(E+A)']

事实上，由(1)的结果得到[(E—A)(E+A)1]T=[(E+A)】(E—A)p=(E—

A)T[(E+A)'1T=(E—AT)f(E+A)T]'=(E—AT)(E+AT)1=(E+A)(E-A)1(A为反

对称矩阵，AT=­A),而[(E一A)(E+A)丁匕[(E+A)[1(E—A)=(E+A)(E

一A)”,故[(E—A)(E+A)[T=[(E—A)(E+A)I।,所以(E—A)(E+A)]

为正交矩阵.

知识点解析：⑴利用(E—A)(E+A)=(E+A)(E—A)及矩阵乘法运算证之；(2)利用正

交矩阵的定义(AAT=E,即ALA、证之，

21已知a=[l,1,是二次型2x/+x22+ax32+2x|X2+2bx]X3+2x2X3矩阵的特征向

一仔为不〜；+'3%)”+44=石厂齐次方程组的通解：

bxi+x2+3xj+2x4+x5=0,

2xt+3X2+3+374+5石=0,

4xi+4X2+7X3+9工4+cxi=0.

21bl

A=111.

标准答案：二次型矩阵是"10」设a是属于特征值X的特征向量，

[2+1+6=—,

<1+1+1=久。，

即Aia=Xoa,或IG+I+Q—AO,易解出XO=3,b=0,a=2.对于A]=

2io-

iii

-°12」，由于|A]|=0,所以f不是正定二次型.将a=2,b=0代入方程组，对

TT

ai=[-9,19,一7,1,0],a2=[2,一7,2,0,1],其通解为

X=k1ai+k2a2,kj,k2为任意常数。当W6即c—6#0时，矩阵B用初等行变换

进一步可化为含最高阶单位矩阵的矩阵：

riooo(3c-10)/14-

0100(23—2c)/7

A2fBf*

00100

.0001(c-8)/7J这时方程组A2X=0的基础解系只含一

个解向量:[—(3c-10)/14,-(23-2c)/7,0,一(c一8)/7,7]T.为方便计，取

。3=[一(3。-10)/2,一(23—2c),0,一(c—8),49]T=[5—*3c/2»2c—23,0,(8

-c),49也故当c找时，方程组A2X=0的通解为k3a3，其中k3为任意常数.

知识点解析：写出二次型矩阵A,由题设条件列出方程易求得a、b和a的特征值

M,然后再将所给齐次方程组的系数矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的

矩阵，用基础解系的简便求法即可写出其基础解系及通解.

■A

22、设仇(X]，xj...»Xn）和仇（X1，Xj…，Xn)是参数。的两个独立的无偏估计

A4■A

量，且仇方差是仇方差的4倍.试求出常数k1与k2,使得名仇+月仇是0的无偏

估计量，且在所有这样的线性估计中方差最小.

标准答案：由无偏估计量的定义，斗使M加+A店也是0的无偏估计量，必有

EQ2]+A用)=&】E(&)+4E(02)=(鬲T品)8=夕，即得ki+lo=l.为求k],

k2之值，使无偏估计量kiOi+lQ。？的方差D(k]0i+k202)最小，

因D(4>ft+*2ft)=«D(ft)+kiD(ft)=4kjD(ff2)+k[D(ft)

=(4后+唐)D(仇)，故归结为求

函数f(k],k2)=4k』+k22在条件k|+k2=l下的最小值.可用拉格朗日乘数法求

22

之.为此，令F(ki，k2,1)—4ki