考研高数笔记

第一章函数、极限、持续

第1节函数

a)反困数和原困数有关y=x对称。

b)只有定义域有关原点对称的函数才能讨论奇偶性。

c)多种奇函数之和为奇函数；多种偶函数之和为偶函数。

d)2k个奇函数的乘积是偶函数；2k+l个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘

积还是偶函数。(k=0,l,2……)o

e)假如f(x)是周期函数，周期为T,则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|.

f)基本初等函数包括：塞函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等

函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与更合而成的函数。

g)一切初等函数在其定义域内都是持续的。

第2节极限

a)左右极限存在且相等0极限存在。

b)假如函数在X。极限为A,则可以将函数改写为f(x)=A+o(x),其中lima(x)=0。

x-»xo

(等价无穷小)

C)极限存在=极限唯一。(极限唯一性)

d)limf(x)=A,且A>0,则在x的邻域内，f(x)>Oo(保号性)

x-»xo

e)函数f(x)在点x=x0存在极限，则存在该点的一种去心邻域U,在U内f(x)有界。(有

界性)

f)当〃小f(x);A,那么

Hf(x)+g(x))=〃i3g(x)=A+B

-g(x))=〃Mf(x)-〃Mg(x)二A-B

Iif(x)*g(x)月沁Rx)*h：3g(x)=A*B

〃M(f(x)/g(x))=/而f(x)/〃3g(x)=A/B不等于O

n

"w\(f(x))人八=(/(mf(x))^K=A

/丽(Kx)/(x))=A&

(极限的四则运算)

g)有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷个之积仍然是无穷小。无穷小和有界

量乘积仍然是无穷小。

h)limZ^=i

g(x)

i.1=0,f(x)=o(g(x)).

ii.1=8,£&)是8a)低阶.

iii.0〈k8或-8。＜0,i#i,同阶.

iv.1=1,等价无穷小，记作f(x)~g(x).

尤其的,假如lim上2=1(1#0),则称f(x)是g(x)的k阶无穷小。

[g(x)F

i）等价无穷小代换:

x-*0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanxex-l~1n（1+x）

l-cosx~yX2二》1-COSaX~yX2

日二》（l+x）a-l~ax

13

tanx-x~-x

3

x-sinx〜_L乂3

6

特殊的，x~*0时。T~xlna

j）只有因子才能进行等价无穷小的代换。

k）要重视推广形式：＞例如【x-0时，x~sinx］，假如当x-x°时，f（x）-0,那么将

原式中x换成f（x）也成立。

1）求极限的措施：

i.运用函数的持续性（极限值等于函数值）。运用极限的四则运算性质。

ii.抓头公式（处理多项式比值的极限）。

1.抓小头公式c（X-0）

ix.泰勒公式

1.泰勒公式中系数体现式：生穿（％-小产

2.当%o=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。

常用的爰克劳林公式：

exsinxcosxln（x+l）（l+x）m

x.洛必达法则

使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）

分子分母导数的比值为一种定值或为无穷。

第一层次

08

08

笫二层次

0*8：转换成,或二

08

8-8：通分化为:（常用换元的措施求解）

第三层次

1°08°0°

使用进行转化。

第3节持续与间断

a）持续

某点：极限值=函数值O函数在该点持续

开区间：在该区旬中每个点都是持续的，则在开区间持续。

闭区间：开区间持续切在端点持续

b）间断

第一类间断点（左右极限都存在）

可去间断点：左右极限相等

跳跃间断点：左右极限不相等

第二类间断点（左右极限至少有一种不存在）

无穷间断点：因趋于无穷而导致的不存在。

振荡间断点：因振荡而不存在。

c）初等函数的持续性

i.基本初等函数在对应的定义域内持续。

ii.区间I上的持续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是持续函数。

iii.持续函数通过有限次的复合仍为持续函数。

iv.原函数持续且单调，反函数必为持续且单调。

v.一切初等函数在对应定义区间内持续。

d）闭区间持续函数的性质

假如f（x）在⑶b］持续,则：

1.f(x)在［a,b］有界。

2.有最大最小值

3.介值定理

4.零点定理：f（a）*f（b）＜0,a、b之间必有零点。

第二章一元函数微分学

第1节导数与微分

1导数

a）导数定义：增量比，取极限。

b）左导数和右导数存在且相等o导数存在

c）函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。

d）导数的物理意义：对旅程函数中的t求导为瞬时速度.etc

e）导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。

f）函数的相对变化率（弹性）：j*y'Q）

g）可导与持续的关系：可导必持续，持续不一定可导。

h）偶函数的导数是奇函数。

2微分

微分定义：自变量Ax沿着切线方向的增最Ay。

3求导法则

a）导数微分表（4组16个）。

b）导数的四则运算，

c）反函数的导数：原函数导数的倒数。

d）复合函数求导法则。

e）参数方程求导：%=祟琮

f）陷函数求导：左右两侧同步求导，y当作x的函数处理。

g）对数求导法

i.耗指函数：先将等式两边同步化为In的真数，再运用隐函数求导法则。

ii.连乘函数：先将等式两边同事化为In的真数，变成连加，再运用随函数求导

法则。

4高阶导数

a）莱布尼茨公式：［U（X）V（X）］S）=2玄=0。小〃出（％）/九一"）（％）

b）反函数的二阶导数：一

夕(初3

y〃八y'”

c）参数方程的二阶导数:

(7)3

第2节微分中值定理

1罗尔中值定理

条件：在⑶］持续。在可导。

(1)f(x)b(2)f(x)(a,b)(3)f(a)=f(b)o

结论：在a和b之间必有一种值f使得F(打=0。

几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。

引申一-费马引理

y=f(x),若xo为y=f(x)的极值点,则f'(xo)=O°

2拉格朗日中值定理

条件：(1)f(x)在［a,b］持续。⑵f(x)在(a,b)可导。

结论：在a和b之间必有一种值H吏得「(打二笔侬。

〃一a

几何意义：在该条件下的函数，必可在其区间内找到一点使得切线斜率与端点连线斜率

相等。

拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。

证明：使用曲线减去两端点连线得出一种函数，再对该函数应用罗尔中值定理。

使用该定理的信号：规定证的式子中有一种端点处函数值之差。

3柯西中值定理

条件：(1)f(x)、g(x)在［a,b］持续。(2)f(x)、g(x)在(a,b)可导。且g'(x)W0

结论：在a和b之间必有一种值f使得噜=喏军。

g")gS)-g(a)

柯西中值定理是拉格朗日中值定理推广。

证明：使用参数方程，将f(x)和g(x)作为参数表达。证明过程与拉格朗日中值定理相似。

使用该定理的信号：规定证的式子中有两个端点处函数值之差。

4泰勒中值定理

泰勒中值定理即带有拉格朗日余项的泰勒公式。

(产Go)”/63(f)，”+i

fM=Z-X。)+(…。产

n=0

拉格朗日中值定理是带有拉格朗日余项的泰勒中值定理的特例。

使用该定理的信号：高阶导数。

使用措施：(1)确认n的取值，一般根据高阶导数的阶数选用。(2)确认xO的取值,

一般选用题中已知导数值的点。(3)确认x的取值，一般为题中所给已知值的点或端

点和极值点。

第3节微分学的应用

1单调性、极值

单调性：

f'(x)>0的区间，f(x)单调增的区间；f，(x)<0的区间,f(x)单调减的区间。

极值：

极值点和导数为零的点没有充要条件关系。

可导函数的极值点，对应的导数值为0。(费马引理)

驻点(导数为0的点)不一定是极值点。

第一鉴定法：若在与的邻域内，“。左右导数异号，则々是一种极值点。

第二鉴定法：出为驻点，且在而处，f(x)的二阶导数存在。通过二阶导数的符号进

行鉴定。

2最值(闭区间)

最值也许出目前(1)极值点(2)区间端点。

3凹凸、拐点

凹凸：

视觉定位：俯视

凹函数：f(空)在匈产凸函数：f(牛)2峪);5)

凹函数:r(x)>o凸函数:r(x)<o

拐点：也许出目前f〃(x)=0或f〃(x)不存在的点，但不一定是。

4渐近线

水平渐近线：当f(x)趋向于8时，极限存在，则该极限为水平渐近线。

铅直渐近线：当f(X)趋向于见时，极限趋向于8,见出为该函数的铅直渐近线。

斜渐近线：当f(x)趋向于m时，f(x)-(kx-»-b)=0,则(kx+b)为该函数的斜渐近线。其中，k=竽,

b=%liTm8[fW—kx]»

5函数图像的描绘

运用极值点、拐点、与坐标轴交点、单调性、凹凸性、渐近线进行描绘。

6曲率

弧微分：ds=Jl+[yO]2dx

曲率即：角度在单位弧长的变化。

„一,,dada/dx|y〃l

曲率：K石二砺7

Ki+(y'对

曲率半径：p4

K

曲率圆：从弧上某点出发，向凹侧沿法线方向移动P的长度，即得到曲率圆的圆心。

第三章一元函数积分学

第1节不定积分

L)定义

l.F/(x)=f(x),称F(x)为f(x)的原函数。[F(x)+C],=f(x),称F(x)+C为f(x)的原函数组。

2JfMdx=F(.v)+C为f(x)的不定积分。

（二）性质

l.JFrMdx=ff(x)dx=F(x)+C

2jf/(x)dx]/=[F(x)+C]z=/(x)

3.Jkf(x)dx=kff{x}dx

4j(/i(X)±f2M)dx=f/100dx±ff2(x)dx

(三)基本凡分公式

24个公式=13(基本导数表)+11(常用公式)

(四)积分措施

1.凑微分法(第一换无法)

f•(prMdx=FtcpM]十c

有13个常用公式。

2.换元法(第二换元法)

ffMdx=f-(p,(t)dt=F(t)+C=F[^~1(x)]+C

W(t)可导且存在反函数。(根式换元、三角换元、倒代换)

3.分部积分法

fu(x)dv(x)=u(x)v(x)-fv(x)du(x)

口诀：反对幕指三，谁先出现谁留下。

第2节定积分

(一)定义：分割，近似，求和，取极限。

几何意义：曲线与X釉所围面积的代数和。

(二)性质:

1.rfWdx=0

2.J：fWdx=-J：f[x}dx

3.kf(x)dx=k/f(x)dx

4.falfiM±f2M]=r/i(x)dx±J；f2Wdx

5.J：fMdx=J：f(x)dx+rfMdx

6.若f(x)20,x€[a,b],则「/(外血之。

7.若f(x)》g(x),x€[a,b],则「fCOax之

8.mWf(x)WM,xG[a,b],则m(b-a)W。/'(x)dxWM(b-a)

(三)基本定理

1.积分中值定理：f(x)在［a,b］持续，则在［a,b］中存在一点〜使得rf(x)dx=f(《)(b-a)

常把f(W)称为积分平均值。

2.变限积分：函数

变上限(p(x)=「fQ)康(p'0)=/W

变下限(p(x)=r/Q)dt")=-/(%)

(p(x)=J：(>)fQ)dt年'W=/[«wi-ww

年(X)=<P/W=-f[v(x)]•v'(x)

<P(x)=/点”(£)也<p'(%)=f[uW]-〃'(％)-f[vM]'v\x)

3.牛顿•莱布尼茨公式:

F'(x)=f(x)则r/a”％=?(%)区=F(b)—/(a)

第3节反常积分(广义积分)

定积分：(1)有限区间。(2)区间内有界。

(-)无穷区间上的广义积分

/「/(幻比―/北0/⑺公，若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存

在，称广义积分是发散的。

J"fMdx=limf'fWdx,若极限存在，称广义积分是收敛的。若极限不存

8QT—80

在，称广义积分是发散的。

f^fWdx=f'mfWdx+f^fWdx,若两个广义积分极限都存在，称原广义

积分是收敛的。若至少有一种广义积分极限不存在，称原广义积分是发散的。

常用公式：「8意(°>0)当p>0时收敛.值为券,当P>1时发散。

(二)无界函数的广义积分(瑕积分)

f(x)在a点无界：£：/(幻4%=匚部《+£/(%“，若极限存在，称积分收敛。若极限

不存在，称枳分发散3

f(x)在b点尢界：《/(十间》二1吗^一右“幻小，若极限存在，称积分收敛。若极

限不存在，称积分发数。

f(x)在c点无界：/f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx,若两个广义积分极限都存在,

称原广义积分是收敛的。若至少有一种广义积分极跟不存在，称原广义积分是发散的。

第4节定积分的应用

（一）微元法：u

1.确定变量x,确定x的范围[a,b]。

2.dx->Du=f（x）dx

3.U=JdU=0fWdx

（-）几何问题

1.面积：

（1）直角坐标系

（2）极坐标系：S=Jds=f^r2（<0）d0

极坐标系转化为直角坐标系：p?=/+yix-pcosB,y=psin9,0=arctan

2.体积:

（1）截面面积已知的几何体的体积：V=JdV=.『A（幻dx

（2）旋转体的体积：绕x轴转：V=J^nf2（x）dx；绕y轴转：\/=f^ng2（y）dy

V=/；2nfx{x}dx

3.曲线的弧长

（l）参数方程：丫⑴]2+[/«）]2dt

（2）直角坐标系：sdJl+[y9]2dx

（3）极坐标系：S=「J|r'（e）]2+[r（6）]2d。

（三）物理问题

运用微元法三步求解。

第四章多元函数微分学

第1节基本概念

(1)多元函数：

二元函数：z=f(x,y)D定义域

几何意义：曲面

(2)二元函数的极限：

趋向方式有无数和，若不一样趋向方式得到的极限不一样，则极限不存在(极限唯

一性)。

(3)二元函数的持续

极限值等于函数值，则函数在该点持续。

闭区域上持续函数的性质：

D为闭区域，f(x,y)在D上持续，则：

1.f(x,y)在D上有界。

2.存在最大最小值。

3.可应用介值定理。

4.可应用零点定理。

第2节偏导数与全微分

（1）偏导数：z=f（x,y）

对X的偏导数：刖噜回=某=/ay）=〃（x,y）

对y的偏导数：妈）上空产以=含=以“）=/（。）

f

二阶偏导数：若f/y，（X，y）和/y欠（%,y）持续，则fxy'（x,y）等于fy，/（%,y）。

（2）全微分：z=f（x,y）

若△znAAx+BAy+oQA/+Ay2)则z可微。

dz=Adx+Bdy+oQ"+Ay2)=*八+知

y

（3）偏导数与全微分的关系

全微分存在=函数持续

全微分存在=瞿、芸存在

dxdy

箓g持续=可微

dxdy

（4）偏导数的计算

直接计算：对不求导的变量当作常量处理（二元玲一元）。

多元复合函数求导（链式法则）

l.z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)

dzdzdudzdv

I■•+•

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv

—=—.--1—•—

dydudydvdy

画树状图找到求导途径

隐函数的偏导数

左右同步求导

多元隐函数求导公式：

dz_&dz_Fy

五一一息后―一"

第3节多元函数微分学的应用（数二只规定极值、最值问题）

（1）二元函数的极值问题（无条件）

极值点：也许是一阶偏导数为零或不存在的点。

鉴定极值点：当求出某点也许为极值点（右，yo），带入4）=痣、B0=急、co=0o

计算一一当其

不不小于零：

Ao>0为极小值点

Ao<0为极大值点

不小于零：

不是极值点

等于零：

无法判断

（2）条件极值

先构造拉格朗日函数，再求各值的偏导数.

(3)闭区域上的最值

1.先找极值。

2.边界点(条件极值)。

3.比较，选出最大最小值。

第五章重积分

第1节二重积分

(1)几何意义：f(x,y)>0,以D为底，以f(x,y)为顶的由顶柱体的体积。

(2)计算

a)直角坐标系下：ffDf(x,y)clT=^dxS^f(x,y)dy口诀：后积先定限

b)极坐标系下：先积r后积6ffDf{x,y}di=dOJ；：；；；f(rcos3,rsinB)rdi'

坐标系选择：

极坐标系：

1.D：圆(环)、扇(环)

2.t(x,y)：x2+y2.j

除此之外一般选择直角坐标系。

第六章常微分方程

第1节基本概念

1.常微分方程

含未知函数的导数的方程。

2.阶

未知函数有几阶导，就是几阶的微分方程。

3.解

通解：具有任意常数的个数与阶数相似。

特解：通解中的任意常数确定。

初始条件：y(Xo)=y。，y'(%o)=yi，…，y(n-D(%)=%-i

4.线性方程

y和y的各阶导数都是以一次式出现的。

第2节一阶微分方程

1.可分离变量的微分方程：

转化：著f(x).g(x)nf号/f(x)dx

两边同步积分

2.齐次微分方程:

假如M=g)，那么设?=u,则y=x♦u(x)

那么？=u(x)+x华

dxdx

带入原方程

得：U+X•联f(u)=——=—(可分离变量)

dxf(u)^ux

3.一阶线性微分方程

通式：y/+Plx)-y=Q(x)»若Q(x),则称之为一阶线性齐次微分方程。

一阶线性齐次微分方程通解：y=C・e-"(x)八

•阶线性北齐次微分方