2027届高中数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第四节导数与函数的极值、最值教学课件

第四节导数与函数的极值、最值新课标要求1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件．2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在研究单调性、极大(小)值、最大(小)值中的作用．真题分布2025年全国Ⅰ卷T19(1)，全国Ⅱ卷T10，T132024年新高考Ⅰ卷T10，新高考Ⅱ卷T11，T162023年新高考Ⅱ卷，T2201.必备知识·回归教材

知识导图【重要结论】1．在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)．2．给出函数极大(小)值的条件，一定既要考虑f′(x0)＝0，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！回归教材1．(人教A版选修二P137练习T1改编)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(

)A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点答案：C解析：由题图可知极大值点有两个，极小值点有两个．故选C.

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3．(人教A版选修二P95例7(1)改编)函数f(x)＝(x＋1)ex的极小值为________．

4．(人教A版选修二P98习题T8改编)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．若要使方盒的容积V最大，则边长x为________．

02.多元视角·拓展教材

学霸笔记：利用导数求函数极值的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出导函数的定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值．跟踪训练已知函数f(x)＝e2x＋ex－ax，讨论f(x)极值点的个数．

即ex＝t2，则x＝ln

t2，所以当x>ln

t2时，f′(x)>0，即f(x)在(ln

t2，＋∞)上单调递增，当x<ln

t2时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，ln

t2)上单调递减，即f(x)极值点的个数为1.综上，当a≤0时，f(x)极值点的个数为0；当a>0时，f(x)极值点的个数为1.

答案：BCD

(2)(2025·全国Ⅱ卷)若x＝2是函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)＝________.－4

学霸笔记：(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件，而是必要不充分条件．所以用待定系数法求解后必须检验．跟踪训练

(1)(2026·广元模拟)已知函数f(x)＝x(x－a)2在x＝1处取得极大值，则a的值是(

)A．1 B．1或3C．3 D．4答案：C

(2)(2026·保定模拟)已知函数f(x)＝e－2x＋ax2恰有两个极值点，则实数a的取值范围是___________.(－∞，－2e)

学霸笔记：求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．

题型2含参函数的最值例4已知a∈R，函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a>0时，求函数f(x)在区间[0，1]上的最小值．解析：(1)由题意可得f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(2ex＋1)(aex－1)，注意到ex>0，2ex＋1>0，①若a≤0，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，②若a>0，令f′(x)＝0时，解得x＝－ln

a，当x>－ln

a，f′(x)>0；当x<－ln

a，f′(x)<0；所以f(x)在(－ln

a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln

a)上单调递减．综上，a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；a>0时，f(x)在(－ln

a，＋∞)上单调递增，在(－∞，－ln

a)上单调递减．

学霸笔记：(1)由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致函数最值的变化，故函数含参数时，需注意是否需要分类讨论．(2)已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，再结合已知求出参数，进而使问题得以解决．

03.课时作业18

答案：C

答案：C

3．(2026·临沂模拟)已知函数f(x)＝ex＋ax恰有一个极值点，则a的取值范围是(

)A．(－∞，0]∪{－e} B．[0，＋∞)∪{－e}C．(－∞，0) D．[0，＋∞)答案：C解析：由题意可得f′(x)＝ex＋a，当a≥0时，f′(x)>0在R上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去；所以必有a<0，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)，当x<ln(－a)时，f′(x)<0；当x>ln(－a)时，f′(x)>0，即恰好有一个极小值点x＝ln(－a)，符合题意，故a的取值范围是(－∞，0)．故选C.4．(2026·芜湖模拟)若函数f(x)＝(sinx－a)3的最小值为1，则f(x)的最大值为(

)A．2 B．4C．8 D．27答案：D

答案：C

答案：C

答案：B

8．(2026·深圳模拟)若函数f(x)＝a

ln

x＋(x－a)2存在极大值点，则实数a的取值范围是(

)A．∅ B．(－∞，0)C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(2，＋∞)答案：C

答案：AC

10．(2026·杭州模拟)已知a为常数，函数f(x)＝x(ex－ax)有且只有一个极值点x0，则(

)A．a≤0 B．x0∈[－1，0)C．f(x0)为极大值点 D．f(x0)<0答案：ABD解析：由题意f(x)＝x(ex－ax)，f′(x)＝(x＋1)ex－2ax，由题意函数f(x)＝x(ex－ax)有且只有一个极值点x0，可得f′(x)有且仅有一个变号零点，故曲线y＝(x＋1)ex与直线y＝2ax有且只有一个穿越型交点，令g(x)＝(x＋1)ex，则g′(x)＝(x＋2)ex，易知当x∈(－∞，－2)时，g′(x)<0，即g(x)在(－∞，－2)上单调递减，当x∈(－2，＋∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(－2，＋∞)上单调递增，因此g(x)在x＝－2处取得极小值，也是最小值，且x≤－1时g(x)≤g(－1)＝0，

[e，＋∞)

13．(13分)设函数f(x)＝2x3－3ax2＋1.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．解析：(1)f(x)的定义域为R，f′(x)＝6x2－6ax＝6x(x－a)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a，①当a>0时，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；②当a＝0时，则f′(x)＝6x2≥0，f(x)在R上单调递增；③当a<0时，当x∈(－∞，a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(a，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；综上，当a>0时，f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减；当a＝0时，f(x)在R上单调递增；当a<0时，f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减．(2)由(1)知当a>0时，f(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，所以x＝a为f(x)的极小值点，此时f(x)的极小值为f(a)＝2a3－3a3＋1<0，所以a3>1，解得a>1；当a＝0时，f(x)在R上单调递增，显然无极值点，不符合题意；当a<0时，f(x)在(－∞，a)和(0，＋∞)上单调递增，在(a，0)上单调递减，所以x＝0为f(x)的极小值点，此时f(x)的极小值为f(0)＝1>0，不符合题意．综上，a>1，即a的取值范围是(1，＋∞)．14．(15分)(2026·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln

x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有最大值且为(a＋1)ln

a－a，求a的值．

15．(5分)(2026·开封模拟)“三角换元思想”是三角函数中的基本思想．运用三角换元法