数学试卷重庆南开中学2027届高一（下）期末考试(7.3-7.4)

重庆南开中学高2027届高一(下)期末考试本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线x-√3y+1=0的一个方向向量是().B.(1,√3)D.(12.设a∈R,若复数(1+ai)²是纯虚数，则a=(3.下列方程一定表示圆的是().A.x²+y²=0B.x²+y²C.x²+y²+2ax-b²=0(a,b∈R)D.x²+2xy+y²-9=0A.√5B.2A.1B.√3C.2最大值为().满足QC₁·QM=1,则点Q的轨迹长度为().使得点A到达点P的位置，且二面角P-BD-C的平面角等于45°,则直线PD与平面BCD所成的角为().A.30°B.45°C.60°二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知m,n是空间中两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列说法正确的是().确的是().A.B.AB·AC'≤411.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆0:x²+y²=r²上恰有3个点到直线√3x+y+3=0的距离为.设点A(-2,0),B(2,0),N(0,4),点Q是圆O上的任意一点，过点B作BM⊥AQ于M,则下列说法正确的是().B.点M的轨迹方程为x²+y²=4D.圆O上存在唯一点Q,使得取到最小值三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果，不写过程).12.直线l:2x+(m+1)y+2=0与直线l₂:mx+3y-4=0平行，则实数m=·13.已知圆C:(x-1)²+y²=1,过直线1:x+y-3=0上一点P作圆C的切线，切点为A、B,则PA·PC的14.已知四面体ABCD的外接球半径为2,且AB=2,,则平面ADB与平面ACB所成角的正弦值为四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).15.在直三棱柱ABC-AB₁C中，AB⊥BC,AB=2,AC=6,M为BC中点，BB₁=6.(1)证明：A₁B//平面AC₁M;(2)求四面体AMC₁A的体积.16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(1)求角A;(1)求圆C关于直线3x-2y+7=0的对称圆C₁的标准方程；(2)若经过点P(5,6)的直线1将圆C分成两段圆弧，其弧长的比为1:2,求直线1的方程.18.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD=2√2,AD//BC,AB=DC=2√5,AC与BD(1)证明：PO⊥平面ABCD;(2)求平面PAB与平面ABCD所成角的余弦值；(3)设BC的中点为M,在棱PM上是否存在点Q,使得直线AQ与平面PAB所成角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.在空间直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点分别为A(0,0,0)、B(1,0,0)、C(1,1,0)、D(0,1,0),将正方形ABCD绕直线AD旋转角度AB.C₁D,使得B的z坐标为正.再将正方形AB₁C₁D(1)若,求异面直线AC₁与BD所成的角的余弦值；(