2026新高二数学暑假专题：概率（解析版）

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暑假作业19概率

【知识点1随机事件与概率】

1．事件的分类

必然事

在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件

确定件

事件不可能

在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件

事件

随机

在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

事件

2．事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

包含关系称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B⊇A(或A⊆B)

B)

相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或A∪B(或A＋B)

(和事件)

和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B

交事件

发生，则称此事件为事件A与事件B的交事A∩B(或AB)

(积事件)

件(或积事件)

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B

互斥事件A∩B＝∅

互斥

对立事件若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，A∩B＝∅，P(A∪B)＝

1/24

那么称事件A与事件B互为对立事件P(A)＋P(B)＝1

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－

P(B)．

【知识点2古典概型】

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数

P(A)＝.

基本事件的总数

【知识点3相互独立事件的概率】

1．相互独立事件的定义

设A，B是两个事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．

2．相互独立事件的性质

若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．

【知识点4频率与概率】

1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为

nA

事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

n

2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这

个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．

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【题型1随机现象与随机事件】

1．（25-26高一下·全国·单元测试）下列事件中，随机事件的个数是（）

①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若xR，则x20．

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【详解】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件．

故选：B

2．（2025高一上·全国·专题练习）下列现象是必然现象的是（）

A．走到十字路口遇到红灯B．冰水混合物的温度是1C

C．三角形的内角和为180D．一个射击运动员每次射击都命中7环

【答案】C

【详解】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象；

选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是0C，事件冰水混合物的温度是1C不是必然现象；

选项C，三角形的内角和为180，这个事件为必然现象；

选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象．

故选：C.

3．（25-26高一下·全国·课堂例题）在1，2，3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么下列事件是

不可能事件的是（）

A．3个数字相邻B．3个数字全是偶数C．3个数字的和小于5D．3个数字两两互质

【答案】C

【详解】从10个数字中任取3个数字，

这3个数字的和大于或等于6，

小于5的情况不可能发生，

故“这3个数字的和小于5”这一事件是不可能事件．

故选：C

4．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）（多选）给出下列四个命题，其中正确的命题有（）

A．“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件

B．“当x为某一实数时可使x20”是不可能事件

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C．“明天竹山要下雨”是必然事件

D．“从含有5个次品的100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件.

【答案】ABD

【详解】A，根据抽屉原理，将三个球放入两个盒子，至少有一个盒子里的球数大于等于2，即必然有一个

盒子有一个以上的球，所以是必然事件，正确，

B，对任意实数x，有x20，正确，

C，下雨是随机事件，错误，

D，从100个灯泡中取出5个次品是随机事件，正确.

故选：ABD

【题型2随机事件的频率和概率】

1．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列关于事件的概率的说法不正确的是（）

A．从全是黑球的袋中取出红球的概率是0B．从全是黑球的袋中取出黑球的概率是1

C．太阳从西方升起的概率是0D．明天是晴天的概率是1

【答案】D

【详解】选项A，C是不可能事件，它们的概率都是0，正确．

选项B是必然事件，概率是1，正确．

选项D不是必然事件，概率不是1，D错误．

故选：D.

2．（25-26高二下·安徽淮北·开学考试）下列说法正确的个数是（）

①随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值;

②在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生;

③任意事件A发生的概率PA总满足0PA1;

④若事件A发生的概率趋近于0，而PA0，则A是不可能发生的事件．

A．0B．1C．2D．3

【答案】C

【详解】随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故①正确；

一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故②正确；

必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率大于0且小于1，

任意事件A发生的概率PA满足0PA1，故③错误；

若事件A的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，故④错误．

故说法正确的有2个．

3．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲

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分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（）

A．AB是不可能事件B．A，B是互斥事件

C．ABC是必然事件D．B，C是对立事件

【答案】D

【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此AB是不可能事件，

A正确.

B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确.

C选项：ABC表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确.

D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得1号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情

况（事件A），两者的并集不是必然事件，故D错误.

故选：D

4．（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任

选6人去参加某项活动：①至少有一名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为

必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以是（）

A．5B．6C．3D．4

【答案】CD

【详解】依题意知②为不可能事件，所以10名同学中，男生人数少于5人，

③为随机事件，所以男生人数不少于3人，

男生有x名，故x3或x4．

故选：CD

【题型3事件的关系】

1．（2026·上海·高考真题）事件A和事件B相互独立，“A和B至少一个发生”的对立事件是（）．

A．ABB．ABC．ABD．AB

【答案】C

【详解】根据已知A,B至少有一个发生，

则对立事件为A,B都不发生，所以AB的对立事件为AB.

2．（25-26高二上·云南·开学考试）某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中

靶”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没

中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”.

5/24

事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D，

所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3．（2026·湖南株洲·模拟预测）从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”

相等的事件是（）

A．全是红球B．至多有1个红球

C．全是白球D．1个红球，1个白球

【答案】B

【详解】由题意知：从有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，

其中事件“至少有1个白球”即“取出2个白球或1个白球和一个红球”，

事件“取出2个白球或1个白球和一个红球”即为“至多有1个红球”.

4．（25-26高二上·福建泉州·期中）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：D1“点数不小于2”，D2“点

数大于2”，D3“点数大于4”，下列结论错误的是（）

A．D3D2B．D2D3D2C．D2D3D3D．D1D2

【答案】D

【详解】用集合的形式表示事件，它们分别是D12,3,4,5,6，D23,4,5,6，D35,6.

显然D3D2，故A正确；D2D3D2，故B正确；

D2D3D3，故C正确；D1D2，故D错误.

故选：D

【题型4事件的运算】

1．（2026·江西·二模）设M,N,P是三个事件，则事件“M、N至少有一个发生且P不发生”可表示为（）

A．MNPB．MNPC．MNPD．MNP

【答案】B

【详解】事件“M、N至少有一个发生”可表示为MN，事件“P不发生”可表示为P.

选项A中MNP表示M,N同时发生且P不发生，不符合题意

选项B中MNP表示M,N至少一个发生且P不发生，与题意一致

选项C中(MN)P表示M,N至少一个发生或P不发生，不符合题意

选项D中MNP表示M,N同时发生或P不发生，不符合题意.

2．（2026高一·全国·专题练习）打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一

事件用事件的交、并运算应表示为________．

【答案】A1A2A3(或A1＋A2＋A3)

【详解】因A0,A1,A2,A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中两次A2，击中三次A3，

6/24

这三个事件的并事件，应表示为A1A2A3(或A1＋A2＋A3).

3．（2026高一·全国·专题练习）盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A{3个球中

有1个红球2个白球}，事件B{3个球中有2个红球1个白球}，事件C{3个球中至少有1个红球}，事

件D={3个球中既有红球又有白球}．问：

(1)事件D与A,B是什么样的关系？

(2)事件C与A的交事件是什么事件？

(3)设事件E{3个红球}，事件F{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B,E是什么关系？C与F的

交事件是什么？

【答案】(1)DAB.(2)CAA.(3)BC,EC,CFD.

【详解】（1）对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故DAB.

（2）对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故

CAA.

（3）由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故

BC,EC.

事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球.

所以CF{1个红球2个白球，2个红球1个白球}D.

【题型5互斥事件、对立事件的辨析】

1．（25-26高一下·天津·期末）分别抛掷质地均匀的两枚硬币．设事件M“第一枚硬币正面朝上”，N

“第二枚硬币反面朝上”．则事件M与N关系描述正确的为（）

A．互斥B．相互独立C．互为对立D．相等

【答案】B

【详解】对于A，因为事件M和事件N可以同时发生，所以不是互斥事件，所以A错误；

111

对于B，P(M)，P(N)，PMNPMPN，所以事件M和事件N相互独立，所以B正确；

224

对于C，事件M和事件N可以同时发生，所以不是对立事件，所以C错误；

对于D，分别抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）四种情况，

事件M包括（正正）（正反）两个基本事件，事件N包括（正反）（反反）两种情况，所以不相等，所以

D错误．

2．（多选）抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下事件：Ω“所有样本空间”，Ci“点数为i”，其中i1，2，

3，4，5，6，D1“点数不大于2”，D2“点数大于2”，D3“点数大于4”，则（）

A．C1与C2互斥B．D1D2Ω，D1D2

C．D3D2D．C2，C3为对立事件

7/24

【答案】ABC

【详解】由题知C1与C2不可能同时发生，所以C1与C2互斥，A正确；

事件D1包含基本事件C1,C2，事件D2包含基本事件C3,C4,C5,C6，

因此D1D2Ω，D1D2，B正确；

事件D3包含基本事件C5,C6，故D3D2，C正确；

C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，不互为对立事件，D错误．

故选：ABC

3．（多选）柜子里有2双不同的鞋，从中随机地取出2只，记事件A“取出的鞋不成双”，事件B“取出

的鞋都是左脚的”，事件C“取出的鞋都是一只脚的”，事件D=“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，但不是

一双鞋”，则下列结论成立的是（）

A．DAB．ACDC．B与D互斥D．C与D对立

【答案】ABC

【详解】选项A：事件A是“取出的鞋不成双”，事件D是“取出的鞋是一只左脚一只右脚的，

但不是一双鞋”，D发生时A一定发生，所以DA，A正确。

选项B：事件C是“取出的鞋都是一只脚的”，包含“都是左脚”和“都是右脚”；

事件D是“一只左脚一只右脚但不成双”，

A（不成双）就是“都是一只脚（C）”或“一只左脚一只右脚但不成双（D）”，

即ACD，B正确。

选项C：事件B（都是左脚）与事件D（一只左脚一只右脚但不成双）不可能同时发生，

所以B与D互斥，C正确。

选项D：事件C（都是一只脚）与事件D（一只左脚一只右脚但不成双），除了C和D的情况，

还有“取出的鞋是一双”的情况，所以C与D不对立，D错误。

故选：ABC

4．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互

斥且对立的两个事件的是（）

A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球

C．至少一个红球；都是白球D．至多一个红球；都是红球

【答案】CD

【详解】从2红2白中取2个球，所有基本事件共三种：{两个红球，一红一白，两个白球}，

对于A：“至少一个红球”包含{一红一白、两个红球}，“至少一个白球”包含{一红一白、两个白球}，

二者可同时发生（取到一红一白时），不互斥，A错误；

对于B：“恰有一个红球”即{一红一白}，“都是白球”即{两个白球}，二者互斥，但存在“两个红球”的情况，

二者不是必有一个发生，不对立，B错误；

对于C：“至少一个红球”包含{一红一白、两个红球}，“都是白球”即{两个白球}，

8/24

二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，C正确；

对于D：“至多一个红球”包含{两个白球、一红一白}，“都是红球”即{两个红球}，

二者不能同时发生，且并集是全部样本空间，是互斥且对立，D正确.

【题型6互斥事件、对立事件的概率】

13

1．（2026·四川绵阳·三模）已知随机事件A和B，其中P(A)P(B),P(AB)．则P(AB)__________．

24

1

【答案】/0.25

4

【详解】由概率的加法公式：PABPAPBPAB,

311

代入已知条件得：PAB1PAB，

422

31

解得：PAB1.

44

2．（25-26高二下·上海·期中）设事件A,B是互斥事件，PA0.3，PB0.5，则下列说法错误的是（）

A．PA0.7B．PBPB

C．PAB0.15D．PAB0.8

【答案】C

【详解】事件A,B互斥，则A,B不能同时发生．

A选项：PA1PA10.30.7，所以A正确；

B选项：PB1PB10.50.5，所以B正确；

C选项：互斥事件AB，所以PAB0，所以C错误；

D选项：A,B互斥，PABPAPB0.30.50.8，所以D正确.

3．（25-26高一下·宁夏银川·阶段检测）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A“第一枚硬币正面朝上”，事

件B“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（）

A．A与B互为对立事件B．PAPB

C．A与B相等D．A与B互斥

【答案】B

11

【详解】由题意得，PA，PB.

22

选项A，因为事件A,B可能同时发生，即AB，所以不是对立事件，故A错误；

1

选项B，PAPB，即B正确.

2

选项C，第一枚硬币正面朝上并不能得到第二枚硬币反面朝上，二者相互独立，所以并不相等，故C错误.

9/24

选项D，由A项知AB，即两者并不互斥，故D错误.

1

4．（25-26高一下·北京·期末）已知随机事件A,B满足PABPAB,PAB1，则下列结论：

4

311

①PAPB；②PA；③PA；④PAB．其中所有正确结论的序号是______．

442

【答案】①②④

【详解】对于①，PAPABPAB,PABPAPAB，

PBPABPAB,PABPBPAB，

又PABPAB，所以PAPABPBPAB，

故PAPB，①正确；

对于②③④，PABPAPBPAB1，结合PAPB，

1

可得PAB2PA1，而PABPAPAB，

4

31

所以PA,PAB，②正确，③错误，④正确．

42

【题型7相互独立事件及概率】

1

1．（25-26高二上·上海·期末）相互独立事件A，B满足PAB，PA2PA，则PB________．

6

1

【答案】/0.5

2

【详解】由对立事件的性质得PA1PA，

1

则1PA2PA，解得PA，

3

已知事件A，B相互独立，则

111

PABPAPBPB，解得PB．

362

2．（2026·上海·模拟预测）已知事件A与事件B相互独立，如果PA0.3，PB0.6，PAB________．

3

【答案】0.12/

25

【详解】由PB0.6，得PB1PB10.60.4，

因为事件A与事件B相互独立，则事件A与事件B也相互独立，

所以PABPAPB0.30.40.12.

3．（25-26高二下·重庆·期中）有4个分别标有数字1，2，3，4的相同小球，从中不放回地随机取两次，

每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是3”，丙表示

10/24

事件“两次取出的球的数字之和是4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，则下列选项正确的是（）

A．甲与乙互斥B．丙与丁对立C．甲与丙相互独立D．乙与丁相互独立

【答案】D

【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为

Ω1,2，1,3，1,4，2,1，2,3，2,4，3,1，3,2，3,4，4,1，4,2，4,3，共12种情况；

令事件A表示：第一次取出的球的数字是1，则A1,2,1,3,1,4，

令事件B表示：第二次取出的球的数字是3，则B1,3，2,3，4,3，

显然AB1,3，所以甲与乙不互斥，故A错误；

令事件C表示：两次取出的球的数字之和是4，则C1,3，3,1，

令事件D表示：两次取出的球的数字之和是5，则D1,4，4,1，2,3，3,2，

显然CDΩ，所以丙与丁不对立，故B错误；

31211

由PA，PC，PAC，所以PACPAPC，

12412612

所以甲与丙不独立，故C错误；

31411

又PB,PD，PBDPBPD，

12412312

所以乙与丁相互独立，故D正确.

4．（2023·吉林·一模）口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，

事件A“取出的两球同色”，事件B“第一次取出的是白球”，事件C“第二次取出的是白球”，事件D=“取

出的两球不同色”，则（）

1

A．PBB．B与C互斥

2

C．A与B相互独立D．A与D互为对立

【答案】ACD

【详解】设2个白球为a1，a2，2个黑球为b1，b2

，，，，，，，

则样本空间为：Ωa1,a2a1,b1a1,b2a2,a1a2,b1a2,b2b1,a1

，，，，

b1,a2b1,b2b2,a1b2,a2b2,b1，共12个基本事件.

，，，

事件Aa1,a2a2,a1b1,b2b2,b1，共4个基本事件；

，，，，，

事件Ba1,a2a1,b1a1,b2a2,a1a2,b1a2,b2，共6个基本事件；

，，，，，

事件Ca1,a2a2,a1b1,a1b1,a2b2,a1b2,a2，共6个基本事件；

事件Da1,b1,a1,b2,a2,b1,a2,b2,b1,a1,b1,a2,b2,a1,b2,a2，共8个基本事件，

11/24

61

对于A，由PB，故A正确；

122

对于B，因为BC，

所以事件B与C不互斥，故B错误；

416121

对于C，因为PA，PB，PAB，

123122126

则PABPAPB，

故事件A与B相互独立，故C正确；

对于D，因为AD，AD，

所以事件A与D互为对立，故D正确.

【题型8简单的古典概型】

1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为

_________．

1

【答案】/0.5

2

【详解】抛掷1枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数的所有可能结果为1,2,3,4,5,6，共6种，

且每种结果出现的可能性相等，其中点数为偶数的结果为2,4,6，共3种，

31

所以抛掷1枚质地均匀的正方体形状的骰子，得到的点数是偶数的概率为P.

62

2．（26-27高二·全国·暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10

的样本，则某个个体被抽到的概率为（）

3211

A．B．C．D．

551025

【答案】B

102

【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是.

255

3．（25-26高一下·湖南·阶段检测）从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数，则这三个数之积为偶数且它们之

和大于等于10的概率为（）

1324

A．B．C．D．

51059

【答案】C

【详解】从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数

有1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,5，2,3,4，2,3,5，2,4,5，3,4,5，共10种情

况，

12/24

其中三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的有1,4,5，2,3,5，2,4,5，3,4,5，共4种情况，

42

所以这三个数之积为偶数且它们之和大于等于10的概率为，故C正确.

105

4．（25-26高一下·云南·期末）（多选）多项选择题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选

对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．小乐同学在面对一道多项选择题时，仅能明确的排除一个

错误选项A，于是她选择在B、C、D三个选项中随机填涂答案提交，若该题在B、C、D中只有两个选项

正确，则（）

1

A．若小乐填涂三个选项，则该题得2分的概率为

3

1

B．若小乐随机填涂一个选项，则该题得0分的概率为

3

1

C．若小乐随机填涂两个选项，则该题得5分的概率为

3

1

D．若小乐随机填涂两个选项，则该题得0分的概率为

3

【答案】BC

【详解】对于A，若小乐填涂三个选项，则为BCD，因该题在B、C、D中只有两个选项正确，

故涂三个选项必定得0分，即该题得2分的概率为0，故A错误；

对于B，若小乐随机填涂一个选项，共有3种方法，因该题在B、C、D中只有两个选项正确，

1

故错选的方法只有1种，所以该题得0分的概率为，故B正确；

3

1

对于C，若小乐随机填涂两个选项，共有3种方法，正确的选法只有1种，故该题得5分的概率为，故C

3

正确；

对于D，若小乐随机填涂两个选项，共有3种方法，其中1种正确选法，另外2种选法均有错选，故该题得

2

0分的概率为，故D错误.

3

【题型9游戏中的概率】

1．（23-24高二上·上海·阶段检测）如果将一枚质地均匀的硬币连续抛掷99次，那么第98次出现反面朝上

的概率是（）

19811

A．B．C．D．

9999982

【答案】D

1

【详解】因为每次试验出现正反面的概率是相等的，均为.

2

故选：D.

2．（23-24高一下·河南许昌·期末）小明与小华两人玩游戏，则下列游戏不公平的是（）

13/24

A．抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数，小明获胜，向上的点数为偶数，小华获胜

B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上，小明获胜，两枚都正面向上，小华获胜

C．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色，小明获胜，扑克牌是黑色，小华获胜

D．小明、小华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同，小明获胜，否则小华获胜

【答案】B

1

【详解】对于A，抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为奇数的概率为，向上的点数为偶数的概

2

率为1，所以游戏公平；

2

对于B，同时抛掷两枚硬币，一共4种情况：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

恰有一枚正面向上的概率为1，两枚都正面向上的概率为1，所以游戏不公平；

24

11

对于C，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红的概率为，扑克牌是黑色的概率为，所以游

22

戏公平；

对于D，小明､小华两人各写一个数字6或8，共6,6,6,8,8,6,8,8四种情况，

两人写的数字相同的概率为1，两人写的数字不同的概率为1，所以游戏公平．

22

故选：B．

3．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）某比赛为两运动员制定下列发球规则：

规则一：投掷一枚硬币，出现正面向上，甲发球，反面向上，乙发球；

规则二：从装有2个红球与2个黑球的布袋中随机地取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球；

规则三：从装有3个红球与1个黑球的布袋中随机取出2个球，如果同色，甲发球，否则乙发球.上述规则

对甲、乙公平的有（）

A．规则一，规则二B．规则一，规则三C．规则二，规则三D．规则一，规

则二，规则三

【答案】B

【详解】对于规则一，每人发球的概率都是1，是公平的；

2

对于规则二，记2个红球分别为红1，红2，2个黑球分别为黑1、黑2，

则随机取出2个球的所有可能的情况有

（红1，红2），（红1，黑1），（红1，黑2），（红2，黑1），（红2，黑2），（黑1，黑2），共6种，

1

其中同色的情况有2种，所以甲发球的可能性为，不公平；

3

对于规则三，记3个红球分别为红1、红2、红3，则随机取出2个球所有可能的情况有

（红1，红2），（红1，红3），（红1，黑），（红2，红3），（红2，黑），（红3，黑），共6种，

1

其中同色的情况有3种，所以两人发球的可能性均为，是公平的.

2

因此，对甲、乙公平的规则是规则一和规则三.

14/24

故选：B.

4．（2026高三·全国·专题练习）有一个转盘游戏，转盘被平均分成10等份（如图所示），转动转盘，当转

盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：两个人参加，先确定猜数方案，甲转动转盘，

乙猜，若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符，则乙获胜，否则甲获胜．则正确的猜数方案是

（）

A．猜“是奇数”或“是偶数”能保证游戏的公平性

B．猜“是4的整数倍的数”甲获胜的希望较大

C．猜“是大于4的数”乙获胜的希望较大

D．猜“是大于5的数”或“小于6的数”也能保证游戏的公平性

【答案】ABCD

【详解】1，2，3，4，5，6，7，8，9，10中，“奇数”有5个，“偶数”有5个，“是4的整数倍的数”有2个，

“是大于4的数”有6个，“是大于5的数”有5个或“小于6的数”有5个.

对于A：“是奇数”和“是偶数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，A正确.

对于B：“是4的整数倍的数”有2个，则乙获胜的概率为0.2，故甲获胜的希望较大，B正确.

对于C：“是大于4的数”有6个，则乙获胜的概率为0.6，故乙获胜的希望较大，C正确.

对于D：“是大于5的数”或“小于6的数”的概率均为0.5，故能保证游戏的公平性，D正确.

【题型10频率与概率】

1．（2026·北京朝阳·模拟预测）地铁某换乘站设有编号为1，2，3，4，5的五个安全出口.若同时开放其中

的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下：

安全出口编

1，22，33，44，51，5

号

疏散乘客时

120220160140200

间（s）

则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【详解】同时开放1、2两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，

15/24

同时开放2、3两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，

所以1疏散乘客比3快；

同理可得4疏散乘客比2快，5疏散乘客比3快，4疏散乘客比1快，

2疏散乘客比5快，所以疏散乘客最快的一个安全出口的编号是4．

2．（25-26高二上·贵州·阶段检测）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，

发现正面朝上出现了300次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（）

A．0.6,0.6B．0.6,0.5C．0.5,0.5D．0.5,0.6

【答案】B

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了500次试验，发现正面朝上出现了300次，

300

出现正面朝上的频率为：0.6，

500

1

又每次抛质地均匀的硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，

2

1

出现正面朝上的概率为：0.5，

2

出现正面朝上的频率为0.6，概率为0.5．

故选：B．

3．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列说法正确的是（）

①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性的大小；

m

②做n次随机试验，事件A发生了m次，则事件A发生的概率PA；

n

③含百分比的数是频率，但不是概率；

④频率是不能脱离n次随机试验的试验值，而概率是脱离随机试验的客观值；

⑤概率是频率的稳定值．

A．①④⑤B．①②C．②③D．②③⑤

【答案】A

【详解】根据频率与概率的定义，可知①正确；

概率不是频率，而②中所给的是事件