2026新高二数学暑假专题：概率与统计综合解答题专练(解析版)

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暑假作业20概率与统计综合的解答题专练

【知识点1随机抽样】

1．简单随机抽样

(1)抽取方式：逐个不放回地抽取．

(2)特点：每个个体被抽到的概率相等．

(3)常用方法：抽签法和随机数法．

2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，

将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

【知识点2常用统计图表】

1.常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、频率折线图、频率分布直方图、频率分布表等.

2．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图．

【知识点3用样本估计总体】

1.总体集中趋势的估计

名称概念

x＋x＋…＋xx＋x＋…＋x

平均数如果有n个数x1，x2，…，xn，那么12n就是这组数据的平均数，用x表示，即x＝12n

nn

将一组数据按从小到大的顺序排列后，处在“中间”的那个数据为这组数据的中位数(“中间”指最中

中位数

间一个(数据奇数个)或最中间两个数据的平均数(数据偶数个))

1/31

众数一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数

【注意】平均数反映了数据取值的平均水平.

2.总体离散程度的估计

假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的

22

(x－x)2＋x－x＋…＋x－x

(1)标准差s＝12n.

n

222

x－x＋x－x＋…＋x－x

(2)方差s2＝12n.

n

【注意】方差和标准差反映了数据波动程度的大小.

3.总体百分位数的估计

(1)百分位数

一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的

任意一个数小于或等于它的可能性是p.

(2)百分位数的意义

反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点.

(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤：

第1步，按照从小到大排列原始数据；

第2步，计算i＝np；

第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i

项与第(i＋1)项数据的平均数.

【注意】常用的百分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数.这三个百分位数把

一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.

4.分层随机抽样的均值与方差

分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2.

2

以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s1；第二层

mm2n

21211

有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为s2.则(1)x＝∑xi，s1＝∑xi－x，y＝∑yi，

mi=1mi=1ni=1

n2

21

s2＝∑yi－y.

ni=1

mn

2w＝x＋y.

m＋nm＋n

122

(3)s2＝{m[s2＋x－w]＋n[s2＋y－w]}.

m＋n12

【知识点4互斥事件与对立事件】

1．事件的分类

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必然事

在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件

确定件

事件不可能

在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件

事件

随机

在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

事件

2．事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

包含关系称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B⊇A(或A⊆B)

B)

相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或A∪B(或A＋B)

(和事件)

和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B

交事件

发生，则称此事件为事件A与事件B的交事A∩B(或AB)

(积事件)

件(或积事件)

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B

互斥事件A∩B＝∅

互斥

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，A∩B＝∅，P(A∪B)＝

对立事件

那么称事件A与事件B互为对立事件P(A)＋P(B)＝1

【知识点5频率与概率】

1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为

nA

事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

n

2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这

个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

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(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－

P(B)．

【知识点6古典概型】

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数

P(A)＝.

基本事件的总数

【题型1统计图表与样本数字特征的综合应用】

1．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，

AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.

从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组50,60，第2组60,70，第3组

70,80，第4组80,90，第5组90,100，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)填空：a______；

(2)求样本数据的中位数与第35百分位数；

(3)已知直方图中成绩在80,90内的平均数为85；成绩在90,100内的平均数为95.求成绩在80,100内的平

均数.

4/31

【答案】(1)0.005(2)中位数为80；75(3)89.

【详解】（1）(a0.01520.030.02)101，故a0.005.

（2）前三组频率之和为0.050.150.30.5，所以样本数据的中位数为80；

前两组频率之和为0.050.150.2，则样本数据的第35百分位数落在第三组.

设第35百分位数为m，则m700.030.350.2，解得m75，

（3）由题意，成绩在80,90，90,100内的人数分别为30，20，

85309520

所以成绩在80,100内的平均数为：x89，

50

所以，成绩在80,100内的平均数为89.

2．（25-26高一下·河南·阶段检测）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：μg/m3）数据

进行统计分析，将数据分成20,30，30,40，40,50，50,60，60,70五组，得到如图所示的频率分布

直方图．

(1)求图中a的值；

(2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于50μg/m3的天数；

(3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）．

【答案】(1)0.0225(2)27天(3)46μg/m3

【详解】（1）由0.005a0.04a0.01101可得：2a0.045，

故a0.0225；

（2）低于50μg/m3的组为20,30，30,40，40,50，

对应的频率和为：0.0050.02250.04100.675，

天数为：400.67527（天）；

（3）各组中间值分别为：25，35，45，55，65，

250.00510350.022510450.0410550.022510650.0110

250.05350.225450.4550.225650.1

1.257.8751812.3756.5

46μg/m3．

3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校

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高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百

分制）作为样本，并按40,50,50,60,,90,100分组，作出频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；

(2)估计样本中成绩的上四分位数；

(3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在80,90内的平均数为88，方差为7，成绩在

90,100内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．

【答案】(1)m0.025，90(2)86(3)平均数为91，方差为22．

【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为1，

则0.0050.0050.0200.030m0.015101，解得m0.025，

估计样本中成绩不低于60分的人数为1000.0050.0051010090．

（2）前四个小矩形的面积之和为0.0050.0050.0200.030100.6，

前五个小矩形的面积之和为0.60.025100.85，

所以成绩的上四分位数落在80,90内，设其为a，

则0.60a800.0250.75，解得a86，

即估计样本中成绩的上四分位数为86．

0.255

（3）样本中成绩在80,90内占成绩在80,100内的比例为，

0.250.158

0.153

样本中成绩在90,100内占成绩在80,100内的比例为．

0.250.158

设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为x，s2，

53

由分层随机抽样的平均数公式可得x889691，

88

5232

由分层随机抽样的方差公式可得s2788917969122，

88

故样本中“良好”等级的成绩的平均数为91，方差为22．

【题型2古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合】

1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学

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生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数

据在各区间内的频数记录如下表（x、s、t、m、n均为自然数）：

使用时间0,11,22,33,44,5

高一5x1232

高二616534

高三st4mn

(1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求x的值；

(2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间；

(3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件A为“抽到的数据是高二学生的”，记事件B为“抽到的数据在2,3”，

判断事件A和事件B是否独立，并说明理由．

【答案】(1)8

(2)2小时

(3)事件A与事件B不独立，理由如下：

3412545

由题意PA0.34，PB0.21，且PAB0.05，

100100100

因PAPB0.340.210.0714，则PABPAPB，

所以事件A与事件B不独立.

150

【详解】（1）由题意，所抽取的100名学生中高一学生人数为10030人，

500

所以5x123230，可得x8；

0.561.5162.553.534.5468

（2）由题意，高二年级学生一周使用图书馆的平均时间为2小

61653434

时；

（3）略

2．（25-26高二下·上海·期中）第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会

展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的200名参会者进行

调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为15,25，25,35，35,45，45,55，55,65，65,75.

把年龄落在区间15,35内的人称为“青年人”，把年龄落在区间35,65内的人称为“中年人”，把年龄落在

65,75内的人称为“老年人”.

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(1)求所抽取的“青年人”的人数；

(2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中男性共6人，

这6人中有2人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.

设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.

【答案】(1)80

(2)不独立，理由见详解

【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有组的频率和为1，组距为10，

因此：0.015aa0.0100.0150.010101，解得a0.025，

“青年人”年龄落在15,35，对应的频率为：

0.015a100.0150.025100.4，

总人数为200，因此“青年人”的人数为2000.480.

（2）中年人（35,65）总人数：2000.0250.0100.01510100，

老年人（65,75）总人数：2000.0101020，

101

分层抽样抽取10人，抽样比为，

20020

2

因此抽取得到：青年人4人，中年人5人，老年人1人，总选法：C1045，

2102

事件A为“2人均为中年人”，nAC10，因此PA，

5459

事件B为“2人中至少1人为男性”，对立事件为“2人均为女性”，

2613

nBC46，因此PB1，

4515

AB为“2人均为中年人，且至少1人为男性”，

7

nABC2C1C17，因此PAB，

22345

2132626721

PAPB，PAB，

91513513545135

显然PABPAPB，因此事件A与事件B不独立.

3．（25-26高二下·北京海淀·期中）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行

在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成

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0,2、2,4、4,6、6,8、8,10、10,12、12,14、14,16、16,18九组，绘制成频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从6,8、14,16、16,18三组的学生中，采用分层抽样的方

法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在14,16内的学生人数恰有2人的概率；

(3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在8,12内为事件M，所抽取学生的

日平均阅读时间在10,18内为事件N，判断事件M和N是否互相独立，并说明理由．

【答案】(1)a0.10

3

(2)

10

(3)M与N互相独立

【详解】（1）频率分布直方图中，每个小矩形的面积=组距×频率密度=该组的频率，

所有小矩形面积之和等于1.

各组组距均为2，则：20.020.030.050.050.15a0.050.040.011，

化简得：20.40a1，解得：a0.10.

（2）由题可知，样本总数为500人，组距为2，

则可计算得6,8组频率为20.050.10，人数为5000.1050；

14,16组频率为20.040.08，人数为5000.0840；

16,18组频率为2´0.01=0.02，人数为5000.0210.

三组总人数为50+40+10=100，

101

从中抽取10人，所以抽样比例为.

10010

1

计算可得6,8组抽505人；

10

11

14,16组抽404人；16,18组抽101人.

1010

1098

从这10人中随机抽取3人，总基本事件数为：C3120，

10321

9/31

43

14,16组有4人，从中选2人：C26，

42

1

其余1人从另外两组共516人中选：C66.

则从10人中随机抽取3人，其中14,16内的学生人数恰有2人的概率为：

C2C1363

46

P3.

C1012010

（3）已知频率密度，计算可得出各组频率为：

0,2组频率为20.020.04，2,4组频率为2´0.03=0.06，

4,6组频率为20.050.10，6,8组频率为20.050.10，

8,10组频率为20.150.30，10,12组频率为20.100.20，

12,14组频率为20.050.10，14,16组频率为20.040.08，

16,18组频率为2´0.01=0.02.

事件M：阅读时间在8,12内，包括8,10和10,12两组，PM0.300.200.50.

事件N：阅读时间在10,18内，包括10,12、12,14、14,16、16,18四组，

PN0.200.100.080.020.40.

事件MN：阅读时间同时满足8,12和10,18，即10,12区间，PMN0.20.

若M与N独立，则PMNPMPN.

计算可得PMPN0.500.400.20，

因为PMN0.20，所以PMNPMPN，

因此M与N互相独立.

【题型3频率与概率的综合】

1．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：

寿命/h100,200200,300300,400400,500500,600

个数2030804030

(1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一

个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？

(2)估计元件的寿命在400h及以上的概率．

【答案】(1)耐用型抽取6个，合格型抽取2个

10/31

7

(2)

20

【详解】（1）因为耐用型总共有804030150个，合格型总共有203050个，

81

抽取一个容量为8的样本，每个电子元件被抽到的可能性相同为.

20025

11

所以耐用型抽取1506个，合格型抽取502个．

2525

40307

（2）因表中200个电子元件的寿命在400h及以上的频率为，

203080403020

7

故由此估计元件的寿命在400h及以上的概率为．

20

2．（25-26高二上·湖北·期中）国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景

区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表：

不满意一般满意

男性1520x

女性520y

(1)请据此表数据，估计游客对W景区的满意率；

(2)若80x130，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率.

【答案】(1)80%

41

(2)

51

【详解】（1）根据题意，N300，nxy3001552020240，

n240

所以游客对W景区的满意率P80%.

1N300

（2）因为xy240，80x130，xN*，

所以满意的顾客中，男性和女性的人数对x,y所有可能为：80,160，81,159，82,158，，129,111，

130,110，共51个数对，

其中yx的有：80,160,81,159,82,158,,119,121,120,120，共41个数对，

41

所以满意的顾客中，女性顾客不少于男性顾客的概率P.

251

3．（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级

500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图．

11/31

(1)求a的值：

(2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；

(3)现拟在区间50,70，130,150用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求

选取的2人均位于区间130,150的概率．

【答案】(1)a0.0125

(2)中位数为100，平均数101

2

(3)

5

【详解】（1）由200.0025a0.020.010.0051，

解得a0.0125.

（2）由图可知，成绩在区间50,70,70,90,90,110,110,130,130,150的频率分别为0.05,0.25,0.4,0.2,0.1，

因为0.050.250.30.5,0.050.250.40.70.5，

所以中位数位于区间90,110内，设中位数为x，

则有0.050.250.02x900.5，解得中位数x100分，

这500名同学数学成绩的平均数为：

x600.05800.251000.41200.21400.1101分；

（3）由区间50,70的人数为：0.00252050025人

区间130,150的人数为：0.0052050050人

人数比为1:2，所以在区间50,70应抽取2人，设为A1,A2，

在区间130,150应抽取4人，设为B1,B2,B3,B4，

设事件A“这6人中选取2人，选取的2人均位于区间130,150”，

由样本空间ΩA1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A1B4,A2B1,A2B2,A2B3,A2B4,B1B2,B1B3，

B1B4,B2B3,B2B4,B3B4，得nΩ15，

由事件AB1B2,B1B3,B1B4,B2B3,B2B4,B3B4，得nA6，

12/31

nA62

所以PA．

nΩ155

【题型4样本数字特征与概率的综合】

1．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重

量（单位：克），按照27.5,32.5，32.5,37.5，37.5,42.5，42.5,47.5，47.5,52.5分为5组，其频率分

布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)估计这种植物果实重量的平均数x和中位数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量n40，从该样本分布在

27.5,32.5和47.5,52.5的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．

【答案】(1)a0.050

241

(2)平均数为40，中位数为

6

1

(3)

7

【详解】（1）由图知，组距d5，由50.0200.0400.075a0.0151，得a0.050．

（2）各组中点值和相应的频率依次为：

中点值3035404550

频率0.10.20.3750.250.075

所以x300.1350.2400.375450.25500.07540，

果实重量在27.5,32.5的频率为0.0250.1，

果实重量在27.5,37.5的频率为0.10.0450.3，

果实重量在27.5,42.5的频率为0.30.07550.675，

所以中位数m满足关系37.5m42.5，

m37.5241

由0.30.3750.5，解得m．

56

（3）由已知，果实重量在27.5,32.5和47.5,52.5内的分别有4个和3个，

13/31

分别记为A1,A2,A3,A4和B1,B2,B3，

从中任取2个的取法有：

A1A2,A1A3,A1A4,A1B1,A1B2,A1B3,A2A3，

A2A4,A2B1,A2B2,A2B3,A3A4,A3B1,A3B2，

A3B3,A4B1,A4B2,A4B3,B1B2,B1B3,B2B3，共21种取法，

其中都是优质果实的取法有B1B2,B1B3,B2B3，共3种取法，

31

所以抽到的都是优质果实的概率P．

217

2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就

该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照

50,60,60,70,,90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数与方差；

(3)已知满意度评分值在50,60内的男性人数与女性人数的比为3:2.若在满意度评分值为50,60的人中随

机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率.

【答案】(1)x0.02

(2)77；106

3

(3)

5

【详解】（1）由频率分布直方图可知各组频率依次为0.05,10x,0.35,0.3,0.1，

由0.0510x0.350.30.11，解得x0.02.

（2）用每组区间的中点值为代表，

则平均数x550.05650.2750.35850.3950.177，

22222

方差s255770.0565770.275770.3585770.395770.1106.

（3）在50,60的人数有1000.055人，其中男生3人，女生2人，

记三个男生分别为A1,A2,A3，两个女生分别为B1,B2，

则从5人中随机抽取2人进行座谈所有样本点：

14/31

A1,A2,A1,A3,A1,B1,A1,B2，A2,A3,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2,B1,B2，共10个；

恰有1名女生的样本点：A1,B1,A1,B2,A2,B1,A2,B2,A3,B1,A3,B2，共6个；

63

所以从5人中随机抽取2人进行座谈恰有1名女生的概率为P.

105

3．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识

竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成75，85），85，95），95，105），1051，15），

115，125这五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75,85）的答卷有2份，成绩115,125的答

卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有[75,85）的答卷也

有115,125的答卷的概率．

【答案】(1)平均数为100，方差为104

3

(2)

5

【详解】（1）由频率分布直方图得，

平均数x10(800.006900.0261000.0381100.0221200.008)100，

方差s2(80100)20.00610(90100)20.026100

(110100)20.02210(120100)20.00810104.

（2）记115,125这组三份答卷的编号为A,B,C,[75,85）这组两份答卷的编号为a,b，

故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为：

A,B,A,C,C,B,A,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C,b,a,b

设事件M“既有[75,85）的答卷也有115,125的答卷”

则MA,a,A,b,B,a,B,b,C,a,C,b，共6种情况．

63

故PM,

105

15/31

【题型5统计图表与古典概型的综合】

1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随

机抽取100名学生，将分数按照30,50，50,70，70,90，90,110，110,130，130,150分成6组，

绘制成如下图所示的频率分布直方图：

(1)求频率分布直方图中a的值：

(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：

(3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于50,90的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名

学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概

率．

【答案】(1)a0.01

(2)93分

3

(3)

5

【详解】（1）由题0.005200.005200.0075200.022020a0.0025201，

解得：a0.01．

（2）由（1）可知，数学成绩在：

30,50频率0.0050200.1，

50,70频率0.0050200.1，

70,90频率0.0075200.15，

90,110频率0.0200200.4，

110,130频率0.0100200.2，

130,150频率0.0025200.05，

样本平均值为：400.1600.1800.151000.41200.21400.0593，

可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，

据此可以估计该校高一上学期期中数学考试成绩的平均分是93分；

（3）由题意可知，50,70分数段的人数为1000.110（人），

16/31

70,90分数段的人数为1000.1515（人）．

用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在［50，70）分数段内抽2人，分别记为A1,A2，

需在70,90分数段内抽3人，分别记为B1，B2，B3，

设“从样本中任取2人，抽取的这2名学生的分数不在同一组内”为事件A，

则样本空间ΩA1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3共包含10个样本点，

所以事件A的对立事件为AA1A2,B1B2,B1B3,B2B3包含4个样本点

42

所以PA，

105

3

所以PA1PA，

5

3

即抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率为．

5

2．（25-26高一下·吉林长春·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了

200名年龄在20,45内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区

间分别为20,25，25,30，30,35，35,40，40,45）．

(1)求a的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）；

(2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；

①第3，4组分别抽取多少人；

②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在35,40内

的概率．

【答案】(1)a0.06，中位数：31.67

7

(2)应从第3，4组中分别抽取3人，2人；

10

【详解】（1）由图可得：0.010.020.040.07a51，解得a0.06；

年龄在20,25内的频率为0.0150.05，年龄在25,30内的频率为0.0750.35

0.195

中位数为：30531.67.

0.33

17/31

（2）第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2，

所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈，

所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人.

记第3组的3名分别为A1，A2，A3，第4组的2名分别为B1，B2，

则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为A1,A2，A1,A3，A1,B1，A1,B2，A2,A3，

A2,B1，A2,B2，A3,B1，A3,B2，B1,B2，共有10种.

其中第4组的2名B1，B2至少有一名被选中的有：A1,B1，A1,B2，A2,B1，A2,B2，

A3,B1，A3,B2，B1,B2，共有7种，

7

所以至少有一人的年龄在35,40内的概率为.

10

3．（25-26高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已

知参加此次测试的学生的分数xi(i1,2,,50)全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试

分数分成5组：[45,55)，[55,65)，，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数

据的中间值作为代表）．

(1)求m的值．

(2)估计此次数学测试分数的平均数x与中位数．（保留一位小数）

(3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取

2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率．

【答案】(1)0.024

(2)x75；76.7

9

(3)

10

【详解】（1）由频率分布直方图，得(0.0060.014m0.0360.020)101，

所以m0.024.

（2）由（1）得m0.024，该次考试测试分数的平均数的估计值为：

x10(500.006600.014700.024800.036900.020)75分；

测试分数在[45,75)的频率：0.006100.014100.024100.44，

测试分数在[45,85)的频率：0.006100.014100.024100.036100.8，

18/31

则测试分数中位数为a(75,85)，0.44(a75)0.0360.5，解得a76.7，

所以此次数学测试分数的中位数约为76.7.

（3）记分数在[65,75)的人数为x500.0241012（人），

分数在[75,85)的人数为y500.0361018（人），

由x:y12:182:3，得采用分层随机抽样的方法，抽取的5人中，

分数在[65,75)的有2人，编号分别为a1,a2，分数在[75,85)有3人，编号为b1,b2,b3，

样本空间Ω(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3)，

9

则n()10，记事件A“至少一人分数在[75,85)”，则n(A)9，则P(A)，

10

9

所以这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率为.

10

【题型6统计图表与互斥事件的综合】

1．（25-26高一下·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加

本次测试（测试成绩均在50,100内），将所得数据分成5组：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，

得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

32

(2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测

45

试成绩为满分的概率.

【答案】(1)a0.032，平均数为73

17

(2)

20

【详解】（1）因为组距为10，所以0.0160.024a0.0200.008101，

解得a0.032.

平均数为550.016650.024750.032850.020950.0081073.

323

（2）没人满分的概率为P111