2026新高二数学暑假专题：概率与统计综合解答题专练(原卷版)

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暑假作业20概率与统计综合的解答题专练

【知识点1随机抽样】

1．简单随机抽样

(1)抽取方式：逐个不放回地抽取．

(2)特点：每个个体被抽到的概率相等．

(3)常用方法：抽签法和随机数法．

2．分层抽样

(1)在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，

将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．

(2)分层抽样的应用范围

当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．

【知识点2常用统计图表】

1.常见的统计图表有条形统计图、扇形统计图、频率折线图、频率分布直方图、频率分布表等.

2．作频率分布直方图的步骤

(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；

(2)决定组距与组数；

(3)将数据分组；

(4)列频率分布表；

(5)画频率分布直方图．

【知识点3用样本估计总体】

1.总体集中趋势的估计

名称概念

x＋x＋…＋xx＋x＋…＋x

平均数如果有n个数x1，x2，…，xn，那么12n就是这组数据的平均数，用x表示，即x＝12n

nn

将一组数据按从小到大的顺序排列后，处在“中间”的那个数据为这组数据的中位数(“中间”指最中

中位数

间一个(数据奇数个)或最中间两个数据的平均数(数据偶数个))

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众数一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数

【注意】平均数反映了数据取值的平均水平.

2.总体离散程度的估计

假设一组数据是x1，x2，…，xn，用x表示这组数据的平均数，那么这n个数的

22

(x－x)2＋x－x＋…＋x－x

(1)标准差s＝12n.

n

222

x－x＋x－x＋…＋x－x

(2)方差s2＝12n.

n

【注意】方差和标准差反映了数据波动程度的大小.

3.总体百分位数的估计

(1)百分位数

一般地，当总体是连续变量时，给定一个百分数p∈(0，1)，总体的p分位数有这样的特点：总体数据中的

任意一个数小于或等于它的可能性是p.

(2)百分位数的意义

反映该组数中小于或等于该百分位数的分布特点.

(3)计算一组n个数据的p分位数的一般步骤：

第1步，按照从小到大排列原始数据；

第2步，计算i＝np；

第3步，若i不是整数，大于i的最小整数为j，则p分位数为第j项数据；若i是整数，则p分位数为第i

项与第(i＋1)项数据的平均数.

【注意】常用的百分位数有第25百分位数，第50百分位数(即中位数)，第75百分位数.这三个百分位数把

一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.

4.分层随机抽样的均值与方差

分层随机抽样中，如果样本量是按比例分配，记总的样本平均数为w，样本方差为s2.

2

以分两层抽样的情况为例.假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为x，方差为s1；第二层

mm2n

21211

有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为y，方差为s2.则(1)x＝∑xi，s1＝∑xi－x，y＝∑yi，

mi=1mi=1ni=1

n2

21

s2＝∑yi－y.

ni=1

mn

2w＝x＋y.

m＋nm＋n

122

(3)s2＝{m[s2＋x－w]＋n[s2＋y－w]}.

m＋n12

【知识点4互斥事件与对立事件】

1．事件的分类

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必然事

在条件S下，一定会发生的事件叫相对于条件S的必然事件

确定件

事件不可能

在条件S下，一定不会发生的事件叫相对于条件S的不可能事件

事件

随机

在条件S下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件

事件

2．事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，这时

包含关系称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B⊇A(或A⊆B)

B)

相等关系若B⊇A且A⊇BA＝B

若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件A与事件B的并事件(或A∪B(或A＋B)

(和事件)

和事件)

若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B

交事件

发生，则称此事件为事件A与事件B的交事A∩B(或AB)

(积事件)

件(或积事件)

若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B

互斥事件A∩B＝∅

互斥

若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，A∩B＝∅，P(A∪B)＝

对立事件

那么称事件A与事件B互为对立事件P(A)＋P(B)＝1

【知识点5频率与概率】

1.在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为

nA

事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

n

2.对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这

个常数记作P(A)，称为事件A发生的概率，简称为A的概率．

3．概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)必然事件的概率为1.

(3)不可能事件的概率为0.

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(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1，P(A)＝1－

P(B)．

【知识点6古典概型】

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

(1)古典概型的特点

①有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

(2)古典概型的概率公式

A包含的基本事件的个数

P(A)＝.

基本事件的总数

【题型1统计图表与样本数字特征的综合应用】

1．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.截至2026年3月，

AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景.某网站组织经常使用豆包的人进行了AI知识竞赛.

从参赛者中随机选出100人作为样本，并将这100人按成绩分组：第1组50,60，第2组60,70，第3组

70,80，第4组80,90，第5组90,100，得到的频率分布直方图如图所示.

(1)填空：a______；

(2)求样本数据的中位数与第35百分位数；

(3)已知直方图中成绩在80,90内的平均数为85；成绩在90,100内的平均数为95.求成绩在80,100内的平

均数.

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2．（25-26高一下·河南·阶段检测）某环保小组对某市连续40天的PM2.5日均浓度（单位：μg/m3）数据

进行统计分析，将数据分成20,30，30,40，40,50，50,60，60,70五组，得到如图所示的频率分布

直方图．

(1)求图中a的值；

(2)求该市这40天中PM2.5日均浓度低于50μg/m3的天数；

(3)估计该市PM2.5日均浓度的平均数（各组数据以该组中间值作代表）．

3．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校

高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取100人的成绩（百

分制）作为样本，并按40,50,50,60,,90,100分组，作出频率分布直方图如图所示．

(1)求m的值，并估计样本中成绩不低于60分的人数；

(2)估计样本中成绩的上四分位数；

(3)若规定成绩不低于80分为“良好”等级，已知样本中成绩在80,90内的平均数为88，方差为7，成绩在

90,100内的平均数为96，方差为7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．

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【题型2古典概型、互斥事件、相互独立事件的概率的综合】

1．（25-26高二下·上海杨浦·期末）为了解学生使用图书馆情况，某高中按年级进行分层抽样抽取100名学

生，以他们一周使用图书馆的时间（单位：小时）作为样本，调查发现样本中的数据均小于5，这100个数

据在各区间内的频数记录如下表（x、s、t、m、n均为自然数）：

使用时间0,11,22,33,44,5

高一5x1232

高二616534

高三st4mn

(1)已知该高中三个年级一共有500名学生，其中高一年级有150名学生，求x的值；

(2)用区间的中点值给区间内每个数据赋值，估计高二年级学生一周使用图书馆的平均时间；

(3)现从样本中任意抽取1个数据，记事件A为“抽到的数据是高二学生的”，记事件B为“抽到的数据在2,3”，

判断事件A和事件B是否独立，并说明理由．

2．（25-26高二下·上海·期中）第七届中国国际进口博览会（简称进博会）于11月5日至10日在上海国家会

展中心举行.为了解进博会参会者的年龄结构，某机构随机抽取了年龄在1575岁之间的200名参会者进行

调查，并按年龄绘制了频率分布直方图，分组区间为15,25，25,35，35,45，45,55，55,65，65,75.

把年龄落在区间15,35内的人称为“青年人”，把年龄落在区间35,65内的人称为“中年人”，把年龄落在

65,75内的人称为“老年人”.

(1)求所抽取的“青年人”的人数；

(2)以分层抽样的方式从“青年人”“中年人”“老年人”中抽取10名参会者做进一步访谈，发现其中男性共6人，

这6人中有2人是“中年人”.再用抽签法从所抽取的10名参会者中任选2人.

设事件A：2人均为“中年人”，事件B：2人中至少有1人为男性，判断事件A与事件B是否独立，并说明理由.

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3．（25-26高二下·北京海淀·期中）为了解高二学生阅读时间的分配情况，随机抽取了500名高二学生进行

在线调查，得到了日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成

0,2、2,4、4,6、6,8、8,10、10,12、12,14、14,16、16,18九组，绘制成频率分布直方图．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)为进一步了解这500名学生的时间分配情况，从6,8、14,16、16,18三组的学生中，采用分层抽样的方

法抽取了10人．现从这10人中随机抽取3人，求在14,16内的学生人数恰有2人的概率；

(3)从这500名学生中随机抽取1人，记所抽取学生的日平均阅读时间在8,12内为事件M，所抽取学生的

日平均阅读时间在10,18内为事件N，判断事件M和N是否互相独立，并说明理由．

【题型3频率与概率的综合】

1．（25-26高二上·云南昭通·期末）对200个电子元件的寿命（单位：h）进行追踪调查，情况如下：

寿命/h100,200200,300300,400400,500500,600

个数2030804030

(1)如果按照使用寿命大于或等于300h的记为耐用型，小于300h的记为合格型，现按分层抽样，要抽取一

个容量为8的样本，那么耐用型、合格型各应抽取多少个？

(2)估计元件的寿命在400h及以上的概率．

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2．（25-26高二上·湖北·期中）国庆长假市民旅游观光非常活跃.为提高服务质量，A市文旅部门对属地W景

区的游客进行满意度调研，通过微信小程序共随机收集到300名游客的反馈数据如下表：

不满意一般满意

男性1520x

女性520y

(1)请据此表数据，估计游客对W景区的满意率；

(2)若80x130，求满意的顾客中女性顾客不少于男性顾客的概率.

3．（25-26高二上·四川成都·期末）为了解高二年级学生在期末考试中的数学成绩情况，某校调查了该年级

500名同学的数学成绩并绘制成频率分布直方图．

(1)求a的值：

(2)求这500名同学数学成绩的中位数与平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值表示）；

(3)现拟在区间50,70，130,150用分层抽样的方法抽取6人，然后在这6人中随机选取2人举行座谈，求

选取的2人均位于区间130,150的概率．

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【题型4样本数字特征与概率的综合】

1．（25-26高一下·北京东城·阶段检测）为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重

量（单位：克），按照27.5,32.5，32.5,37.5，37.5,42.5，42.5,47.5，47.5,52.5分为5组，其频率分

布直方图如图所示．

(1)求图中a的值；

(2)估计这种植物果实重量的平均数x和中位数m（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实．若所取样本容量n40，从该样本分布在

27.5,32.5和47.5,52.5的果实中，随机抽取2个，求抽到的都是优质果实的概率．

2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就

该城市共享单车的运行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照

50,60,60,70,,90,100分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中x的值；

(2)求这组数据的平均数与方差；

(3)已知满意度评分值在50,60内的男性人数与女性人数的比为3:2.若在满意度评分值为50,60的人中随

机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率.

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3．（25-26高一下·重庆·期中）市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识

竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成75，85），85，95），95，105），1051，15），

115，125这五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)

(2)某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75,85）的答卷有2份，成绩115,125的答

卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有[75,85）的答卷也

有115,125的答卷的概率．

【题型5统计图表与古典概型的综合】

1．（25-26高二下·陕西汉中·期中）某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随

机抽取100名学生，将分数按照30,50，50,70，70,90，90,110，110,130，130,150分成6组，

绘制成如下图所示的频率分布直方图：

(1)求频率分布直方图中a的值：

(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数：

(3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于50,90的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名

学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概

率．

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2．（25-26高一下·吉林长春·期中）某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了

200名年龄在20,45内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区

间分别为20,25，25,30，30,35，35,40，40,45）．

(1)求a的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）；

(2)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈；

①第3，4组分别抽取多少人；

②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在35,40内

的概率．

3．（25-26高一下·重庆·期末）学校在组织选拔数学弘毅班的过程中，对报名的50名学生进行了一次测试．已

知参加此次测试的学生的分数xi(i1,2,,50)全部介于45分到95分之间（满分100分），学校将所有测试

分数分成5组：[45,55)，[55,65)，，[85,95]，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数

据的中间值作为代表）．

(1)求m的值．

(2)估计此次数学测试分数的平均数x与中位数．（保留一位小数）

(3)若采用分层随机抽样的方法，从分数在[65,85)内的学生中抽出5人，查看他们的答题情况，再从中选取

2个人进行面试，求这2人中至少有一人分数在[75,85)内的概率．

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【题型6统计图表与互斥事件的综合】

1．（25-26高一下·江西九江·期中）某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共1000人参加

本次测试（测试成绩均在50,100内），将所得数据分成5组：50,60，60,70，70,80，80,90，90,100，

得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求a的值，并估计这次体能测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

32

(2)在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测

45

试成绩为满分的概率.

2．（25-26高一下·全国·单元测试）由经验得知，在书店购买某出版社编写的高中数学新课标必修3教辅书

时，等候付款的人数及概率如下表：

排队人数012345人及以上

概率0.100.160.300.300.10

求：

(1)5人及以上排队等候付款的概率是多少？

(2)至多有1人排队等候付款的概率是多少？

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【题型7统计图表与相互独立事件的综合】

1．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项

成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．

(1)从得分在70,90中，按70,80，80,90分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽

取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率；

(2)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A,B,C三个等级．若在两项考核中，至少一项为A级，

且另一项不低于B级，则获得参赛资格．已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得A,B,C

111115

等级的概率分别是,,；乙在每项考核中取得A,B,C等级的概率分别是，，．求甲、乙能同时获得参

2364312

赛资格的概率．

2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，

记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：

(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：

(2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数：

4

(3)若学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的

5

3

概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.

4

13/17

3．（25-26高二上·广东江门·期末）为选拔运动员参加第十五届全运会，某省对40名青年选手进行专项成绩

考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示.

(1)求t的值；

(2)从得分在70,90中，按70,80，80,90分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人，再从5人中随机抽

取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率；

(3)现通过两项考核选拔参赛运动员，每项的结果分为A、B、C三个等级.若在两项考核中，至少一项为A级，

且另一项不低于B级，则获得参赛资格.已知甲、乙的考核结果互相不受影响，且甲在每项考核中取得A、B、

111151

C等级的概率分别是、、；乙在每项考核中取得A、B、C等级的概率分别是、、.求甲、乙

2364123

能同时获得参赛资格的概率.

1．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行

数据统计，绘制频率分布直方图如下，

(1)求a的值和该组数据的中位数：

(2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的

数学平均分和方差．

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2

2．（2026·上海·一模）从4，3，1，1，3，4中任意选取一个实数作为a，构造函数fxxax1，

xR，记事件A为“所选取的实数a使得函数yfx有两个不等零点”．

(1)写出样本空间与事件A对应的集合，并求事件A发生的概率；

1

(2)记事件B为“所选取的实数a使得函数yfx在,上是严格增函数”，试判断事件A，和事件B是

3

否为相互独立事件并说明理由．

3．（25-26高三上·上海·阶段检测）为了了解某校高二年级学生的体育成绩（满分100分）选取40名学生参

加考核，考核成绩的频率分布直方图如图所示：

(1)为了提升同学们的体育成绩，校方准备招聘高水平的教练进行授课.现采用分层抽样的方法，从得分在

70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求至少有一人分数不低于80的概率；

(2)现有体育成绩在90分以上的甲、乙两名同学要参加文旅部门组织的国庆营考试，已知考试分为两轮，第

一轮为笔试，需要考两门学科，每科笔试成绩从高到低依次有A、B、C、D、E共五个等级，若两科笔

试成绩均为A，则直接参加国庆营；若一科成绩为A，另一科成绩不低于C，则要参加第二轮面试，面试

通过参加国庆营，否则不能参加.若两人考试互不影响，且甲在每科笔试中取得A、B、C、D、E五个等

1111131

级的概率分别是，，，，；乙在每科笔试中取得A、B、C、D、E五个等级的概率分别是，

96493612

11131

，，，，甲、乙面试通过的概率都为，求甲、乙能同时参加国庆营的概率.

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