2026新高二数学暑假专题：基本图形、直观图及几何体的表面积、体积（原卷版）

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暑假作业10基本立体图形、直观图及几何体的表面积、体积

【知识点1多面体的结构特征】

1.简单多面体分类

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相平行且相似

相交于一点，但不一定延长线交于一点，但不

侧棱平行且相等

相等一定相等

侧面形状

2．特殊的棱柱和棱锥

(1)的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边

形，，侧面是矩形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱长均相等

的正三棱锥叫做正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中

心．

3．几点注意

(1)棱柱的所有侧面都是平行四边形，但侧面都是平行四边形的几何体却不一定是棱柱．

(2)棱台的所有侧面都是梯形，但侧面都是梯形的几何体却不一定是棱台．

(3)注意棱台的所有侧棱相交于一点．

【知识点2旋转体的结构特征】

名称圆柱圆锥圆台球

1/14

图形

旋转

矩形直角梯形半圆形

图形

任一边所在的直任一直角边所在垂直于底边的腰

旋转轴直径所在的直线

线的直线所在的直线

，垂

母线相交于一点延长线交于一点

直于底面

轴截面全等的矩形全等的等腰梯形圆

侧面展开图矩形

【知识点3直观图】

(1)画法：常用.

(2)具体步骤：

①在已知的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.

②画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，使∠x'O'y'＝(或135°)，∠x'O'z'

＝.x'O'y'所确定的平面表示水平平面.

③已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成于x'轴、y'轴或z'轴的线段.

④已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度；平行于y轴的线段长度为原来

的.

⑤擦去辅助线，并将被遮线画成虚线.

（3）水平放置平面多边形直观图与原平面图形面积间的关系：

S直观图＝S原图形，S原图形＝2S

2

【知识点44圆柱、圆锥、2圆台的侧面展开图及侧面积公式】

名称圆柱圆锥圆台

侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝S圆锥侧＝S圆台侧＝

【知识点5柱、锥、台、球的表面积和体积】

1.柱、锥、台、球的表面积和体积

名称表面积体积

2/14

几何体

柱体S表＝S侧＋2S底V＝

锥体S表＝S侧＋S底V＝Sh

1

3·

台体S表＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋上下)h

1

3��

球S表＝V＝

2.求空间几何体的体积的常用方法

公式法规则几何体的体积，直接利用公式

割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体

等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积

【题型1空间几何体的结构特征】

1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法中，正确的为（）

A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥

C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台

D．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥不可能是正六棱锥

2．（25-26高一下·广东肇庆·期中）下列说法中，正确的是（）

A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

3．（25-26高一下·宁夏·期中）下列说法正确的是（）

A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥

B．用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面

C．有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

D．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

4．（25-26高一下·江苏盐城·期中）下列关于空间几何体的论述，正确的是（）

A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

3/14

C．连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线

D．圆台的轴截面不可能为直角梯形

【题型2直观图】

1．（25-26高一下·贵州贵阳·期中）如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等

腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）

A．2B．22C．32D．42

2．（25-26高一下·山东临沂·期中）如图，水平放置的四边形ABCD的斜二测画法的直观图为矩形ABCD，

已知AB2，O是AB的中点，则四边形ABCD的周长为（）

A．10B．12C．14D．18

3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，ABC是利用斜二测画法画出的ABC的直观图，其中AC//y轴，

AB//x轴，且ABBC1，则ABC的边BC（）

A．1B．2C．3D．3

4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）如图，已知用斜二测画法画出的ABC的直观图是边长为2的正三角

形，则原图中边BC在x轴上的射影长度为（）

51

A．B．3C．31D．3

22

4/14

【题型3圆锥与圆台的相关计算】

2

1．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为2的扇形，则该圆

3

锥轴截面的面积S（）

A．5B．25C．2D．22

2．（25-26高一下·浙江·期中）已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥顶点的平面截此圆

锥所得截面面积的最大值为（）

A．48B．50C．96D．100

3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知圆台O1O2的高为2，下底面圆的半径是上底面圆的半径的2倍，体积

14π

为，则该圆台的母线长为（）

3

A．3B．2C．5D．22

4．（25-26高三·北京·二轮复习）已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且母线与下底面所成的角的正

切值为2，则该圆台的表面积为（）

A．125B．24C．44D．20125

【题型4展开图中的最短路径问题】

1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）现有一民宿为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋．现

测量其中一个屋顶，得到圆锥SO的底面直径AB长为6m，母线SA长为12m．若C是母线SA的一个三等

分点（靠近点S），从点A到点C绕屋顶侧面一周安装灯光带，则灯光带的最小长度为（）

A．67mB．410mC．16mD．10m

2．（2025高三上·广东深圳·专题练习）圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，母线长为16．已知P为

该圆台某条母线的中点，若一质点从点P出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的

最短路径长为（）

5/14

A．16B．162C．8πD．16π

3．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，正三棱锥PABC的底边长为2，APB30.一只小虫从点A出

发，沿三个侧面爬行一周，回到点A.则爬行的路径最短为________.

4．（2026·云南·三模）正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB3,AA12.一只蚂蚁从底面顶点A出发，沿正四

棱柱表面爬到顶点C1，则蚂蚁爬行的最短路程为_________.

【题型5空间几何体的表面积计算】

1．（2026·山东菏泽·二模）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，ABBC，BCCD2，AB4，

以直线CD为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（）

A．20πB．24πC．16π42πD．20π42π

2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台ABCA1B1C1的高为3，AB3A1B133，则该棱台的侧面

积为（）

A．243B．123C．63D．43

3．（2026·安徽合肥·模拟预测）设圆锥的表面积为S1，体积为V1，球O的表面积为S2，体积为V2.已知圆锥

VS

的轴截面是等边三角形，且其体积之比123，则圆锥与球O的表面积之比1（）

V2S2

33

A．B．C．2D．3．

162

4．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）（多选题）已知圆台的上底面半径r2，下底面半径R4，圆台

6/14

有内切球，则（）

A．圆台的母线长为6B．圆台的高为42

C．圆台内切球的半径为2D．圆台的侧面积为72π

【题型6空间几何体的体积计算】

方法一：直接法求几何体的体积

1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为60的菱形，且上下底面的边长分别为

2和3，若该棱台的高为3，则该棱台的体积为（）

19191919

A．B．C．D．

12642

2．（2026·河北邯郸·三模）已知正三棱台ABCA1B1C1，AB3A1B19，侧棱A1A4，则正三棱台的体积

为（）

133393

A．B．133C．D．393

22

3．（2026·广西河池·模拟预测）如图，已知正四棱台ABCDA1B1C1D1的上下底面边长分别为2和4，且

BB1DD1，则该棱台的体积为__________．

方法二：等价转化法求几何体的体积

1．（2020·海南·高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三

棱锥A-NMD1的体积为____________

2．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在三棱锥PABC中，D,E分别为PB,PC的中点，记三棱锥EABD

的体积为V1，三棱锥PABC的体积为V2，则V1:V2______．

3．（25-26高一下·湖南长沙·期中）如图，已知三棱台ABCA1B1C1的体积为V，上、下底面边长之比为1:3，

7/14

若截去三棱锥C1A1B1B，则剩余部分的体积为__________．（用V表示）

方法三：割补法求几何体的体积

1．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点中，A，B1，C，D1

四个顶点恰好是正三棱锥AB1CD1的顶点，则正三棱锥AB1CD1的体积与正方体ABCDA1B1C1D1的体积

之比为（）

A．1:2B．1:3C．1:2D．1:3

2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，圆柱O1O2的表面积为(424)，AB，CD分别是圆柱上、下底面

圆的直径，且四面体ABCD为正四面体，则该正四面体的体积为（）

4282643

A．B．C．D．

3333

uuuuruuur

3．（2026·福建·三模）在正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别满足A1D2DA，BEEB1，点F在棱CC1

CF

上，若平面DEF将该三棱柱分割成体积相等的两部分，则（）

FC1

A．1B．2C．3D．4

4．（2026·陕西西安·三模）在四面体ABCD中，ABCDADBC3，且ACBD23，则四面体

ABCD的体积为（）

8/14

929

A．23B．C．D．3

42

1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则该圆锥内切球的表面积为（）

164

A．16πB．4πC．πD．π

33

2．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对

的圆心角为180°，则圆台的体积为()

7000π70003π

A．B．C．7000πD．70003π

33

3．（2026·湖南邵阳·模拟预测）已知圆柱的高为6，底面直径为8，若圆柱的底面圆周恰好在球O的球面上，

则球O的表面积为（）

A．36πB．100πC．144πD．256π

4．（2026·天津滨海新区·三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在

容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，则球的体积为（）

500π866π1372π2048π

A．B．C．D．

3333

5．（23-24高三上·湖南长沙·阶段检测）已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表

面积为（）

A．6B．63C．9D．12

6．（22-23高二上·浙江·期中）已知圆锥底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的表面积为（）

816

A．πB．πC．8πD．16π

33

7．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知某圆台的轴截面为等腰梯形ABCD，其中AD1，CDAB2，

BC2．则沿该圆台表面从点A到达点C，最短路径的长度为（）

A．45B．2522C．25D．522

8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面的面积分别为3和43，侧棱

9/14

与底面所成角的余弦值为3，则该正三棱台的体积为（）

3

142162163162

A．B．C．D．

3337

9．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）（多选题）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB3，BC4，AA13，

E为棱DD1上一点，则（）

A．该长方体是一个正四棱柱

B．长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的表面积为34π

C．四棱锥DACC1A1的体积为24

D．EA1EC的最小值为58

10．（25-26高一下·福建南平·期中）（多选题）已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB4,A1B12,AA122，

则下述正确的是（）

246

A．该四棱台的高为6B．该四棱台的体积为

3

C．该四棱台的表面积为20127D．该四棱台外接球的表面积为32π

2π

11．圆锥PO的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过PO的中点O作平行于底面

31

的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱OO1，则剩下几何体的体积为______________．

1

12．（25-26高一下·广东·期中）在正方体ABCDABCD中，M是棱AB上的点，且AMAB，平面MCD

111141

V

1

将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为V1和V2V1V2，则______.

V2

13．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图是一个正四棱台ABCDA1B1C1D1的铁料，上､下底面的边长分别

为10cm和20cm，高15cm.

10/14

(1)求四棱台ABCDA1B1C1D1的表面积；

(2)若要将这块铁料最大限度打磨为一个圆台，求削去部分与圆台的体积之比.

，

14．（25-26高一下·福建三明·期中）现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥．PA1B1C1D1下

部是正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，且正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．

，，

(1)若AB6PO12求该几何体的体积．

，

(2)若正四棱锥的侧棱长为6，PO12

①求正四棱锥PA1B1C1D1的侧面积．②若Q是线段BB1上的动点，求AQQC1的最小值．

1．（25-26高一下·海南·阶段检测）（多选题）如图，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，E、F、G分别

为棱AD，AB，BB1的中点，P是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）

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A．B1D1//平面EFG

B．若P为线段B1D1上一点，则三棱锥