2026新高二数学暑假专题：空间直线、平面的垂直（解析版）

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暑假作业12空间直线、平面的垂直

【知识点1直线与平面垂直】

(1)直线和平面垂直的定义

如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.

(2)性质定理与判定定理

文字语言图形表示符号表示

性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行a∥b

�⊥�

⇒

�⊥�

如果一条直线与一个平面内的两条相交直线�⊂�

判定定理＝l⊥α

垂直，那么该直线与此平面垂直�⊂�

�⋂��⇒

�⊥�

注意：“任何一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的�实⊥质�是直线与平面

内的所有直线都垂直.

【知识点2直线和平面所成的角】

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂

直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0.

π

0，

(2)范围：2.

【知识点3二面角与面面垂直】

(1)二面角的有关概念

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射

线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．

(2)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β.

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(3)性质定理与判定定理

文字语言图形表示符号表示

两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂

＝

性质定理直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一�⊥�l⊥α

�⋂��

个平面垂直⇒

�⊥�

�⊂�

如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两

判定定理α⊥β

个平面垂直

�⊂�

⇒

�⊥�

注意：三种垂直关系的转化

线线垂直线面垂直面面垂直

常用结论：

(1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直.

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【知识点4线面角与二面角的平面角的求法】

1.线面角的求法

(1)垂线法求线面角(也称直接法)

①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足

O；

②连接斜足与垂足得斜线AB在平面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影BO与斜线AB化归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者解直角三角形).

(2)公式法求线面角(也称等体积法)

用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用直角三角形的正弦公式进行求解.

公式为：sinθ＝，其中θ是斜线与平面的夹角，h是垂线段的长，l是斜线段的长.

ℎ

2.二面角的求法�

（1）定义法：棱上一点，两面内各作棱的垂线，直接构造平面角；

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（2）三垂线法：过一面内一点向棱作垂线，再向另一面作垂线，连线构造平面角（最常用）；

（3）垂面法：作棱的垂面，垂面与两面的交线夹角即为二面角。

常用结论：

(1)三垂线定理

若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.

(2)三垂线定理的逆定理

若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.

【知识点5三种空间距离的几何法求解】

空间中的距离定义求解思路

1.过一点作垂直于已知平面的1.定义法

直线，则该点与垂足间的线利用定义，确定所求距离是

段，叫做这个点到该平面的垂哪一条线段，进而通过解三

点面

线段，垂线段的长度叫做这角形进行求解

个点到该平面的距离。2.转化思想

（1）常用：等体积法

（2）线面距离、面面距离

2.一条直线与一个平面平行时，

转化为点面距离

这条直线上任意一点到这个

（3）利用中点转化：如果

线面平面的距离，叫做这条直线到

条件中具有中点条件，一个

这个平面的距离。

点到平面的距离，可借助中

点（等分点），转化为另一

3.如果两个平面平行，那么其中

点到平面的距离

一个平面内的任意一点到另

一个平面的距离都相等，我们

面面

把它叫做这两个平行平面间的

距离。

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【题型1线面垂直判定与证明】

1．（2026·高一下·上海）已知，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到

直线l的是（）

A．，l//B．la，a//

C．l//a，aD．la，lb，a，b

【答案】C

【详解】A：直线l可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定l.

B：a平行平面，与a垂直的直线l可在面内，无法确定l.

C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，l成立.

D：缺少a,b相交的条件，若a//b，l可平行于平面或在平面内，不能推出l.

2．（2026·高一下·江西）如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，

现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在

四面体SEFG中必有（）

A．SG△EFG所在平面B．SDEFG所在平面

C．GFSEF所在平面D．GDSEF所在平面

【答案】A

【详解】对于A，在正方形SG1G2G3中，SG1G1E，SG3G3F，所以在四面体SEFG中，SG^GE，SG^GF，

又GE,GFÌ平面GEF，GEGFG，所以SG平面GEF，故选项A正确；对于B，若SD平面GEF，

结合选项A，则SDSG，显然矛盾，故选项B错误；对于C，因为SG面GEF，GF面GEF，所以SG^GF，

又GFGE，GE,GSÌ平面GES，GEGSG，所以GF平面GES，假设GF平面SEF，则平面GES//

平面SEF，显然矛盾，故选项C错误；对于D，因为SG面EFG，GD面GEF，所以SGGD，

若GD平面SEF，SD平面SEF，则GDSD，SG,GD,SD平面SDG，故SDSG，显然矛盾，故D

错误.

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3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAAD4，

AB2，PA平面ABCD，且M是PD的中点．

(1)求证：PB//平面ACM；

(2)求证：AM平面PCD；

【答案】(1)

证明：连接BD交AC于点O，连接MO；因为底面ABCD是矩形，故O为BD中点；又因为M是PD的中

点，故MO//PB；因为MO平面ACM，PB平面ACM，故PB//平面ACM；

(2)证明：因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，故PACD；因为底面ABCD是矩形，故ADCD；

因为ADPAA，且AD,PA平面ADP；故CD平面ADP，因为AM平面ADP，故CDAM；

又因为PAAD，且M是PD的中点，故AMPD；因为PDCDD，且PD,CD平面PCD，

故AM平面PCD．

4．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD2AB，点E，F分别是

棱AD，BC的中点．

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(1)求证：B1D//平面A1BE；

(2)求证：BE平面A1AF．

【答案】(1)如图，连接AB1，交A1B于点G，连接EG．

在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形A1B1BA是矩形，因为对角线A1B与AB1交于点G，所以G为AB1的中

点，又点E是棱AD的中点，所以GE//B1D，又GEÌ平面A1BE,B1D平面A1BE，所以B1D//平面A1BE．

(2)连接EF．在长方体ABCDA1B1C1D1中，四边形ABCD是矩形，所以AD//BC,ADBC,ABAD，

因为点E,F分别是棱AD,BC的中点，AD2AB，所以AE//BF,AEABBF,ABAE，所以四边形AEFB

是正方形，AF⊥BE．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1平面ABCD，又BE平面ABCD，所以AA1BE．

因为AFBE,AA1BE,AFAA1A,AF,AA1平面A1AF，所以BE平面A1AF．

【题型2线线垂直判定与证明】

1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，PA平面ABCD，ABCD为正方形，下列结论不正确的是（）．

A．PBBCB．PDCD

C．PDBDD．PABD

【答案】C

【详解】因为PA平面ABCD，BC,CD,BD平面ABCD，所以PABC，PACD，PABD，故D

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正确；因为ABCD为正方形，所以BCAB，因为PAABA,PA,AB平面PAB，所以BC平面PAB，

因为PB平面PAB，所以BCPB，故A正确；因为PACD，ADCD，ADAPA,AD,AP平面

ADP，所以CD平面ADP，因为PD平面ADP，所以PDCD，故B正确；

假设PDBD，则由PABD,PAPDP,PA,PD平面PAD，得BD平面PAD，

因为AD平面PAD，所以BDAD，显然不成立，故假设不成立，故C错误.

2．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是线段A1D上的动点（含端点），

则下列说法中正确的是（）

A．直线MB与直线AC始终异面

B．直线MB与直线A1D始终垂直

C．存在点M使得直线MB与平面A1C1D垂直

D．直线MB与平面B1D1C始终平行

【答案】D

【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线MB即为BD，而BD与直线AC相交，故A错误；

对于B：当点M与点A1重合时，A1BD是等边三角形，则直线MB与直线A1D成60，故B错误；

对于C：如图所示：

连接A1C1,A1B,C1B,B1D1,BD，因为A1C1B1D1,A1C1B1B，且B1D1B1BB1，所以A1C1平面BDD1B1，又

BD1平面BDD1B1，所以A1C1BD1，同理A1DBD1，又A1C1A1DA1，则BD1平面A1C1D，

若MB平面A1C1D，则MB//BD1，而BD1MBB，故C错误；

对于D：易知A1B//D1C，又A1B平面B1D1C，D1C平面B1D1C，所以A1B//平面B1D1C,

同理A1D//平面B1D1C，又A1DA1BA1，所以平面A1BD//平面B1D1C，

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又MB平面A1BD，所以MB//平面B1D1C，故D正确；

3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，△BCD是以BD为

斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到△PBD，在翻折的过程中

(1)求证：BD⊥PC；

(2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD．

【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析

【详解】（1）取BD的中点M，在等腰Rt△BCD中，BCCD，M为BD的中点，

∴CMBD，在等边△PBD中，BDPM，又PMCMM，PM,CM平面PCM，

∴BD平面PCM，又PC平面PCM，∴BDPC

（2）∵在Rt△BCD中，BCCD，又BCDP，又CDDPD，CD,DP平面CDP

∴BC平面PCD，又PC平面PCM，∴BCPC

又由（1）知PCBD（已证），BCBDB，BC,BD平面BCD，

∴PC平面BCD

4．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）S是矩形ABCD平面外一点，M,N分别是SA,BD的中点，

(1)求证：MN//平面SBC，

(2)若SD⊥平面ABCD，求证：AB⊥SA.

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【答案】(1)如图，连接AC，因为矩形ABCD中，N为BD的中点，故AC与BD相交于点N，且N为AC的

中点，M是SA的中点，故MN//SC，因为SC平面SBC，MN平面SBC，所以MN//平面SBC；

(2)因为SD⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以SD⊥AB，四边形ABCD为矩形，故AD⊥AB，

因为SDADD，SD,AD平面SAD，所以AB⊥平面SAD，因为SA平面SAD，所以AB⊥SA.

5．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.

(1)证明：ABA1C；

(2)若ABCB2，A1C6，求三棱锥AA1BC的体积.

【答案】(1)取AB的中点F，连接CF,A1F,A1B，因为CACB，所以CF⊥AB，又BAA160，ABAA1，

△

所以ABA1为等边三角形，故A1F⊥AB，又A1FCFF，A1F,CF平面A1CF，所以AB⊥平面A1CF，

又A1C平面A1CF，所以ABA1C；

(2)1

3

【详解】（2）因为ABCB2，故CACBAB2，即ABC为等边三角形，故CFAC3，

2

△222

由（1）知，ABA1为边长为2的等边三角形，故A1F3，又A1C6，故A1FCFA1C，所以A1FCF，

又A1F⊥AB，CFABF且都在平面ABC内，所以A1F⊥平面ABC，故A1F即为三棱锥AA1BC的高，

1111

其中SABCF233，三棱锥AABC的体积为SAF331.

ABC2213ABC13

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【题型3面面垂直的判定与证明】

1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）设l,m,n表示不同的直线，,,表示不同的平面，下列命题中正确的

是（）

A．若,，则//B．若,m//,n，则mn

C．若l//m，且m，则lD．若mn,m,n//，则

【答案】C

【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误；

对于B，若,m//,n，则m,n可能会平行、相交或异面，故B错误；

对于C，若l//m，且m，根据线面垂直的性质可知l，故C正确；

对于D，若mn,m,n//，则与可能会相交或平行，故D错误.

2．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥PABC中，若PA平面ABC，ABBC，则平面ABC、平面PAB、

平面PBC、平面PAC中相互垂直的共有（）

A．1对B．2对C．3对D．4对

【答案】C

【详解】因为PA平面ABC，PA平面PAB，平面PAB平面ABC；因为PA平面ABC，PA平面PAC，

平面PAC平面ABC；因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA，又ABBC，

ABPAA,AB,PA平面PAB，所以BC平面PAB，BC平面PBC，平面PBC平面PAB；

所以平面ABC、平面PAB、平面PBC、平面PAC中相互垂直的共有3对.

3．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PAAD4，

AB2，PA平面ABCD，且M是PD的中点．

(1)求证：PB//平面ACM

(2)求证：AM平面PCD；

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(3)求证：平面ACM平面PCD．

【答案】(1)连接BD交AC于O，连接MO，四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，

又M是PD的中点，MO//PB，又PB平面ACM，MO平面ACM，PB//平面ACM.

(2)PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD，又四边形ABCD是矩形，CDDA，

DAPAA，DA，PA平面PAD，\CD^平面PAD，AM平面PAD，CDAM，

又M是PD的中点，PAAD4，AMPD，CDPDD，CD，PD平面PCD，AM平面PCD.

(3)由（2）知：AM平面PCD，AM平面ACM，平面ACM平面PCD.

4．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，CDAD，AB∥CD，PC

底面ABCD，ADDC2，ABCP4，点E在直线PB上.

(1)求证：平面ACE平面PBC；

(2)在直线PB上找一点F，使得PD//平面ACF，并求BF的长.

246

【答案】(1)证明见解析(2)BFPB

33

【详解】（1）四边形ABCD是直角梯形，

CDAD,ADDC2,AB4ACBC22,AC2BC2AB2,ACBC，

又PC平面ABCD,ACÌ平面ABCD，PCAC，且PCBCC,PC,BC平面PBC,AC平面PBC，

又AC平面ACE,平面ACE平面PBC；

（2）连接BD交AC于O，过O作OFPD交PB于F，连接AF，CF.

OBAB

由OF平面ACF,PD平面ACF，得PD//平面可得ACF.ABCD,2，

ODDC

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OBBF246

又OFPD,2，直角PCB中，PB26，所以BFPB.

ODPF33

【题型4面面垂直的性质定理及应用】

1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么顶点D在平

面ABC内的射影H必在（）

A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．ABC内部

【答案】A

【详解】因为ABAC，BDAC，又ABBDB，所以AC平面ABD，

又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，

因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上．

2．（2026·北京丰台·一模）如图，在三棱锥ABCD中，ABC和△ABD是边长为2的等边三角形，平面ABC

平面ABD，则CD（）

A．2B．2C．6D．22

【答案】C

【详解】

设AB的中点为M，因为ABC是边长为2的等边三角形，故CMAB且CM3，同理DMAB且

DM3，故CMD为CABD的平面角，而平面ABC平面ABD，

故CMMD，故CDCM2DM26.

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3．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，G为AD的中点，

四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD．求证：

(1)BG平面PAD；

(2)ADPB．

【答案】(1)如图，连接PG，BD，∵四边形ABCD是菱形且DAB60，

ABD是正三角形，G为AD的中点，BGAD．又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面

ABCDAD，BG平面ABCD，BG平面PAD．

(2)由（1）可知BGAD，PAD为正三角形，G为AD的中点，PGAD，又PGBGG，PG，BG

平面PBG，AD平面PBG，又PB平面PBG，ADPB．

4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，

PAPD，PAPDCD，E，F分别为PA，BC的中点.

(1)证明：EF//平面PCD.

(2)证明：BDPC.

1

【答案】(1)取PD的中点M，连接EM,CM，由E是PA的中点，得EM//AD，EMAD，

2

1

由F是矩形ABCD边BC的中点，得CF//AD,CFAD，则CF∥EM,CFEM，

2

四边形EFCM为平行四边形，EF//CM，而CM平面PCD，EF平面PCD，

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所以EF//平面PCD.

(2)过P作PN^AD于点N，连接CN，由平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PN平

面PAD，得PN^平面ABCD，又BD平面ABCD，则PNBD，由PAPD，PAPDCD，得N为

ND2CD

AD的中点，且AD2CD，则tanDCNtanCBD，DCNCBD，

CD2BC

DCNBDCCBDBDC90，于是BDCN，而PNCN=N,PN,CNÌ平面PCN，

因此BD平面PCN，又PC平面PCN，所以BDPC.

【题型5直线与平面所成的角】

1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥PABCD的底面边长为2，高为2，点M为棱PC的中点，

则直线BM与底面ABCD所成角的正切值为（）

52

A．B．C．1D．2

52

【答案】A

【详解】连接AC,BD交于点O，连接PO，由正四棱锥的性质可知POAC，PO2，取OC的中点M1，

连接BM1,MM1，M是PC中点，M1是OC中点，MM1//PO，PO底面ABCD，故MM1底面ABCD，

∠

BM1是BM在底面的射影，MBM1是直线BM与底面ABCD所成角，

2

2122210

则，，，22.

OBOAAB2OP2MM1OPBM1OBOM12

22222

MM1底面ABCD，BM1底面ABCD，MM1BM1，即MM1B是直角三角形，

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2

MM125

tanMBM1．

BM1105

2

2．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB3，则直线BD1与

平面ABB1A1所成角的正弦值为（）

131011

A．B．C．D．

361011

【答案】D

【分析】找出直线BD1在平面ABB1A1上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角

的正弦值.

【详解】在长方体ABCDA1B1C1D1中，D1A1平面ABB1A1，则直线BD1与平面ABB1A1所成的角为D1BA1，

且D1A1A1B，

DA11

因为，AB3，所以222，则11．

ADAA11BD113111sinD1BA1

BD111

3．（2026高一下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥PABC中，APCBPC45，BPA是等边三角

形．

(1)求证：ABPC；

(2)若ABC为直角三角形，求直线AP与平面ABC所成角的大小.

【答案】(1)证明：如图所示，取AB中点M，连PM和CM，因为BPA是等边三角形，则PAPB，且

APCBPC45，PC为公共边，所以△APC≌△BPC，所以ACBC，且AB中点M，所以ABCM，

又因为BPA是等边三角形，所以ABPM，因为PMCMM且PM,CM平面PMC，所以AB面

PMC，又因为PC面PMC，所以ABPC．

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(2)45．

【详解】（1）略

（2）解：如图所示，设AB2，因为ABC为直角三角形，可得CACB2，

又因为BPA是等边三角形，所以PA2，且APC45，

在PAC中，由余弦定理得AC2PA2PC22PAPCcosAPC，

即24PC222PCcos45，可得PC222PC20，

即(PC2)20，解得PC2，所以PA2PC2AC2，所以PCAC，

同理可得：PB2PC2BC2，所以PCBC，

因为ACBCC，且AC,BC平面ABC，所以PC面ABC，

所以PAC即为直线AP与平面ABC所成角，

即直线AP与平面ABC所成角的大小为45．

4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，

PDAB2，E为PC中点．

(1)求证：PA//平面BDE；

(2)求证：DE平面PCB；

(3)求直线PA与平面PBD所成角的大小．

【答案】(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点，

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又E为PC中点，所以OE//PA，因为OE平面BDE，PA平面BDE，所以PA//平面BDE．

(2)证明：因为四边形ABCD是正方形，所以BCCD，又PD平面ABCD，BC,CD平面ABCD，所以

PDBC，PDCD，因为PDCDD,PD,CD平面PDC，所以BC平面PDC，又DE平面PDC，

所以BCDE，在RtPDC中，因为E为PC中点，则DEPC，因为PCBCC,PC,BC平面PCB，

所以DE平面PCB．

π

(3)

6

【详解】（3）因为PD平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC，又四边形ABCD是正方形，所

以ACBD，因为BDPDD,BD,PD平面PBD，所以AC平面PBD，连接OP，则直线PA与平面

PBD所成角的平面角为APO，又OP平面PBD，所以AOOP，在正方形ABCD中，

11

AOAC22222，因为PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD，

22

AO21π

因为PDABAD2，所以AP22，在RtAPO中，sinAPO，APO，

AP2226

π

所以直线PA与平面PBD所成角为．

6

【题型6二面角的计算】

3

1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥

2

侧面与底面的二面角的正弦值为（）

211213311313

A．B．C．D．

11131113

【答案】C

【详解】正四棱锥为PABCD，底面ABCD为正方形，侧面为等腰三角形，记O为底面中心，

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则PO底面ABCD，AC底面ABCD，故POAC，则PAO为侧棱与底面所成角，

3AC2AO

tanPAO，设AO2a,PO3a，则底边长AB22a，

222

侧棱长APAO2PO24a29a213a，取AB中点E，连接PE,OE，由APB,AOB为等腰三角形

可得PEAB,OEAB，故PEO即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角，

PEPA2AE213a22a211a，又PO底面ABCD，OE底面ABCD，

PO3a311

POOE，PEO是直角三角形，sinPEO．

PE11a11

2．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角l的大小为135，Al，Bl，C，D，ACl，

BDl，且ABBD2，AC2，则CD（）

A．23B．14C．4D．32

【答案】B

【详解】过B，C分别作AC，AB的平行线，使之交于点E，因为ACl，所以BEl，而BDl，二面

角l的大小为135，则DBE135，而BEAC2，CE2，

2

222

DEBDBE2BDBEcosDBE4222210，又ABBD,ABBE,BD,BE平面

2

BDE，所以AB平面BDE，由CE//AB，可得CE平面BDE，又DE平面BDE，则CEDE，则

CDCE2DE241014.

3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，四棱锥MABCD的底面ABCD为菱形，MA平面ABCD，

MAAB2，ABC60.

18/42

(1)证明：平面MBD平面MAC；

(2)求二面角MBDA的正切值.

【答案】(1)证明：因为四边形ABCD为菱形，所以BDAC，因为MA平面ABCD，BD平面ABCD，

所以BDMA，因为ACMAA，AC，MA平面MAC，所以BD平面MAC，因为BD平面MBD，

所以平面MBD平面MAC.

(2)2

【详解】（1）略；

（2）解：如图，设AC与BD交于点O，连接MO，

由（1）知BD平面MAC，因为MO平面MAC，AO平面MAC，所以BDMO，BDAO，因此MOA

是二面角MBDA的平面角，因为MAAB2，四边形ABCD为菱形，ABC60，所以ABC为等

1MA

边三角形，则ABAC2，所以AOAC1，所以，在Rt△MAO中，tanMOA2，

2AO

即二面角MBDA的正切值为2.

4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥PABC中，ACBC，BC2AC4，PAPB，面PAB

面ABC，（坐标法不给分）

(1)证明：PAPC；

45

(2)若V，求二面角CPBA的正切值．

PABC3

19/42

2

【答案】(1)证明见解析(2)

2

【详解】（1）作PDAB于点D，∵平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，PD平面PAB，

PD平面ABC，又DC平面ABC，所以PDDC，PAPB，D为AB中点．ACBC，

DCDA．PC2PD2DC2，PA2PD2DA2，PAPC．

1

（）45，，为三棱锥的高，，

2VSABC244PDPABCPD5

PABC32

作CEAB于点E，作EFPB于点F，连CF．

PD平面ABC，CE平面ABC，\PD^CE．CEAB，又ABPDD，AD,PD平面PAB，

CE平面PAB，PB平面PAB，所以CEPB．PBEF，CE,EF平面CEF，CEEFE，

PB平面CEF，又CF平面CEF，所以PBCF，故CFE为二面角CPBA的平面角．

45，8410，CE2．

CEEFdtanCFE

55DPB5EF2

【题型7点到平面的距离】

1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，OA2，OB3，OC4，OAOB，OBOC，

OAOC，M为BC的中点，则点B到平面OMA的距离为（）

451224

A．B．C．213D．

355

【答案】B

【详解】设点B到平面OMA的距离为d.OAOB，OAOC，OBOCO，OA平面OBC；

OM平面OBC，OAOM，即△OAM是直角三角形；OBOC，OB3，OC4，BC5；

151155

M为BC的中点，OMBC.SOAMOAOM2.OCOB，OCOA，

222222

20/42

OAOBO，OC平面OAB；M为BC的中点，O平面OAB，点M到平面OAB的距离为

111

dOC2；OAOB，OA2，OB3，SOAOB233.VBOAMVMOAB，

MOAB2