2026新高二数学暑假专题：立体几何解答题专练（原卷版）

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暑假作业13立体几何解答题专练

【知识点1空间几何体的基本公式】

1．空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何体

柱体

S表面积＝S侧＋2S底V＝_________

(棱柱和圆柱)

锥体

S表面积＝S侧＋S底V＝_________

(棱锥和圆锥)

台体

S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝_________

(棱台和圆台)

球S＝_________V＝_________

2.组合几何体求解方法

（1）分割法

体积：V总=V1+V2+…

表面积：总表面积=各部分表面积之和−2×重合面面积

（2）补形法

体积：V原=V补全图形−V多余部分

3.等体积法：单个三棱锥（四面体）

求点面距离：设三棱锥体积为V，目标面面积为S，点到平面距离为d，则：d=_________

原理：同一棱锥，更换底面与顶点，体积保持不变

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【知识点2直线、平面平行的判定与性质】

1.线面平行判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果平面外一条直线与此平面

a⊄α，b⊂α，a∥b

判定定理内的平行，那么该直线与

⇒_________

此平面平行

一条直线和一个平面平行，如果a∥α，a⊂β，

性质定理过该直线的平面与此平面相交，α∩β＝b

那么该直线与平行⇒_________

2.面面平行判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示

如果一个平面内的两

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，

条与另一个平面

判定定理a∥α，

平行，那么这两个平

b∥α⇒_________

面平行

两个平面平行，则其

α∥β，

性质中一个平面内的直线

a⊂α⇒_________

____于另一个平面

两个平面平行，如果

另一个平面与这两个α∥β，α∩γ＝a，β∩γ

性质定理

平面___，那么两条__＝b⇒_________

平行

【知识点3直线、平面垂直的判定与性质】

1.线面垂直判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面内的

判定

两条___直线都垂直，则该______________⇒l⊥α

定理

直线与此平面垂直

性质垂直于同一个平面的两条

______________⇒a∥b

定理直线__

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2.面面垂直的判定定理与性质定理

文字语言图形语言符号语言

判定一个平面过另一个平面的

______________⇒α⊥β

定理___，则这两个平面垂直

两个平面垂直，则一个平

性质

面内垂直于___直线与另______________⇒l⊥α

定理

一个平面垂直

【知识点4空间角】

1.异面直线所成的角

(1)定义：已知a，b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异

面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：______________

(3)平移法求异面直线所成角的步骤：

平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段

平移

的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移

证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角

在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，利用边角关系（如余弦定理、正弦

寻找

定理）求解角度。

因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的

取舍

补角作为异面直线所成的角

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直

于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°.

(2)范围：______________

(3)几何法求线面角：

过平面外一点B做BB平面，交平面于点B'；连接AB，则BAB即为直线AB与平面的夹角．接

BBh

下来在Rt△ABB中解三角形．即sinBAB（其中h即点B到面的距离，可以采用等体

AB斜线长

积法求h，斜线长即为线段AB的长度）；

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3.二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

(2)二面角的平面角

若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(3)二面角的平面角α的范围：_____________

(4)定义法求二面角

如果能直接过棱l上一点，找到与棱l垂直的两条线，则直接找到了二面角。

目标：找与棱l垂直的两条线

（5）射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公

S射S

式（cos=A'B'C'，如图2）求出二面角的大小；

S斜SABC

(6)三垂线法求二面角

三垂线法：当无法直接找到与棱l垂直的两条线时，我们可以考虑构造我们的二面角。首先从平面α找一点

P点，过P点作平面β的垂线PA（注意在作这个垂线的时候，通常先找与平面β垂直的平面，在平面上作垂

线），然后过A或者P作棱的垂线交于B点，连接成直角三角形PAB，即可求二面角的平面角。

(7)垂面法求二面角

垂面法:若题目条件中能找到棱l垂直的平面，则找出该平面与α，β的交线即可。若题目中有与棱l垂直的

直线，如图如果AP与棱l垂直，则可以构造出与棱l垂直的平面，即可求出二面角的平面角。

【知识点5空间距离】

1.点到平面的距离

求点面距的常用方法：

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(1)直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解．

(2)如果条件中具有中点（等分点）条件，将一个点到平面的距离，借助中点（等分点），转化为另一点到

平面的距离．

(3)等体积法：换角度、切割、补齐等，将点面距转化成求几何体的高

2.直线到平面的距离

要区分直线与平面的位置关系，当直线与平面相交或在平面内时，距离为0；只有当直线与平面平行时，线

面距才有意义.因为直线平行于平面，其上所有点到平面的距离相等,因此线面距可以转化为点面距求解.

3.两个平行平面间的距离

面面距仅在两平面平行时有定义（否则相交，距离为0）.其求解的核心思路是转化为点到平面的距离.

【知识点6立体几何解答题常用二级结论（拓展）】

1.外接球问题秒杀求法

模型适用几何体解题流程公式

长方体的顶点构先补成长方体，再找长

长方体模型(2R)²=_________

成的几何体模型方体的长宽高

对棱相等的三棱先补成长方体，再找长

对棱相等

锥(也是特殊的长方体的三对面对角线

模型

方体模型)x,y,z

圆锥、顶点在地

斗笠模型面的射影是底面找底面外接圆半径

外心的正棱锥r,找高h

圆柱，直棱柱，一

汉堡模型条侧棱垂直底面找底面外接圆半径

的棱锥r,找高h

找两个垂面的外接圆

切瓜模型存在一组邻面垂半径r1,r₂,两个面

直的几何体的交线l

找等腰三角形的高

怀表模型两个全等等腰三H,找外接圆半径r,

角形折叠式棱锥找二面角θ

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夹角问题终找两相邻面的截面外接

极公式圆，圆心到交线的距离

m,n，找二面角θ,找两个

面的交线l

2.内切球半径求法

（1）棱锥内切球半径

(1)等体积法：由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为

,所以；

(2)相似法求解正棱锥内切球半径：(以下以正三棱锥为例)

如图，由正三棱锥内切球球心O在高线上，则球与侧面的切点E在侧面的高线PD上，与底面的切点H为

高线垂足，易知△POE∽△PDH,故利用,可解出内切球半径R.

3.旋转体内切球半径：(可按照轴截面的内切圆半径计算，外接球同理)

如图，已知圆锥高为h,底面半径为r,利用两个直角三角形△ABD和△AOE相似可得

故·,所以

注：圆柱、圆台同样以轴截面的方式处理.

4.常见几何体内切球、外接球半径

棱长为α的正方体：内切球半径,外接球半径

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棱长为a的正四面体;内切球半径外接球半径

柱体侧棱长a,底面外接圆半径r:柱体可能不存在内切球，柱体中最大的球的半径

【题型1空间几何体表面积与体积计算】

1．（2026高一·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条直

径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．

(1)求该圆锥体石膏的体积；

(2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；

(3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．

2．（2026高一·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱ABCA1B1C1内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且

底面直径与母线长相等.

(1)求圆柱的底面半径；

(2)求三棱柱ABCA1B1C1的体积与表面积.

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3．（2026高一·山东济宁·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为x，y，2且xy，xy2.

(1)当底面ABCD为正方形时，

（i）求长方体ABCDA1B1C1D1的表面积；

（ii）求三棱锥A1BC1D体积和外接球体积；

(2)取DC1、BC1的中点分别为M、N，求三棱锥DAMN的体积的最大值.

4．（2026高一·吉林四平·期中）如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是边AB，AC上的中点，

EF//BC,ADBC,EHBC,FGBC，垂足分别是D，H，G，将ABC绕AD所在直线旋转180．

(1)求图中阴影部分旋转形成的几何体的体积V；

(2)求图中阴影部分旋转形成的几何体的表面积S．

5．（2026高一·新疆·阶段检测）如图，正四棱锥PABCD的底面积为3，O为正方形ABCD的中心．

3

(1)若正四棱锥PABCD的高为，求它的表面积．

2

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82

(2)若正四棱锥PABCD的外接球的体积为π，求正四棱锥PABCD的体积．

3

【题型2空间点线面位置关系、共点、共线、共面证明】

1．（25-26高二上·北京·月考）如图，空间四边形ABCD中，E,F分别是AD,AB的中点，G,H分别在BC,CD

上，且BG:GC＝DH:HC＝1:2．

(1)求证：E,F,G,H四点共面；

(2)设FG与HE交于点P，求证：P,A,C三点共线．

2．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）如图，在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，E,F,G,H分别为棱A1B1，B1C1，

AB，BC的中点．

(1)判断直线FG与EH的位置关系，并说明理由；

(2)证明GE，FH，BB1相交于一点．

3．（24-25高一下·湖北·期末）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱BB1，

BC，CD，DD1的中点.

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(1)求证：E，F，G，H四点共面.记过这四点的平面为，在图中画出平面与该正方体各面的交线（不必

说明画法和理由）；

(2)求证：A1E，DF，AB三线共点.

4．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图，观察正方体ABCDA1B1C1D1，证明直线A1B与B1C,AB与B1C为

异面直线．

【题型3空间中平行关系的证明】

1

1（.2026高一·浙江温州·期中）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，BC//AD，BCAD，

2

面PBC面PADl，E是PD的中点.

(1)求证：CE//平面PAB；

(2)求证：l//AD；

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2．（25-26高一下·浙江舟山·期中）如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，SA13，C，D为底面圆

O上的点，CD//AB，AB2CD10，E是母线SB的中点.

(1)求证：OC//AD

(2)求证：CE//平面SAD

3．（25-26高一下·海南·阶段检测）正方体ABCDABCD的棱长为2，E为棱DD的中点．

(1)求证：BD//平面ACE

(2)设平面ACE平面ABCDl，求证：BD//l；

(3)求三棱锥DACE的体积．

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4．（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，已知正方形ABCD所在平面和平行四边形DBPQ所在平面互相垂

直，平面PBA平面ABCD，M是线段PQ上的一点，且DM//平面ACP．求证：

(1)平面ADQ//平面BCP；

(2)M是线段PQ的中点．

5．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图已知四棱锥SABCD，底面ABCD为梯形，AD//BC，SAABBC2，

AD3，P、Q为侧棱SD上的点，且DP:PQ:QS3:2:4，点M为SA上的点，且3AMAS．

(1)求证：CP//平面SAB；

(2)求证：平面BMQ//平面ACP．

【题型4空间中垂直关系的证明】

1．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，G为AD的中点，

四边形ABCD是DAB60且边长为a的菱形，△PAD为正三角形，且平面PAD平面ABCD．求证：

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(1)BG平面PAD；

(2)ADPB．

2．（25-26高一下·北京·期末）如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，AB//DC，DCAC．

(1)求证：DC平面PAC；

(2)求证：平面PAB平面PAC；

PF

(3)设点E为AB的中点，过点C，E的平面与棱PB交于点F，且PA//平面CEF，求的值．

PB

3．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同

于A,B的一动点.

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(1)证明：BC平面PAC；

(2)证明：平面PAC平面PBC；

4．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，ABBC，

ABBC1，AD2，CD2，PA2，PA平面ABCD.

(1)求证：AB平面PAD；

(2)求证：平面PCD平面PAC；

5．（25-26高一下·河南新乡·阶段检测）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，N，M分别为AB，CC1的中

点，且AB2．

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(1)证明：CNAB1．

(2)证明：平面AMB1平面ABB1A1．

【题型5空间中平行、垂直综合证明】

1．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E为DD1的中点，

(1)证明：A1C1//平面AEC；

(2)证明：BD1//平面AEC；

(3)证明：AC平面BDD1.

1

2．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，在四棱锥PABCD中，AD//BC，ADDC，BCCDAD，

2

E为棱AD的中点，PA平面ABCD．

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(1)求证：AB//平面PCE；

(2)求证：平面PAB平面PBD；

1

3．（25-26高一下·天津·期末）如图，四棱锥PABCD中，AP平面PCD，AD//BC，ABBCAD，

2

E，F分别为线段AD，PC的中点．

(1)求证：AP//平面BEF；

(2)求证：BE平面PAC．

4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，

PAPD，PAPDCD，E，F分别为PA，BC的中点.

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(1)证明：EF//平面PCD.

(2)证明：BDPC.

5．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）如图，在四棱锥P－ABCD中，

PF1

AB//DC,ABAD,AB2,CD10,AD4，棱PC上的点满足．

PC5

(1)求证：BF//平面PAD；

(2)若PD平面ABCD，求证：平面PBC平面PBD．

【题型7空间中的夹角问题】

1．（25-26高一下·山西朔州·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，B'CBC'O，求：

(1)AO与A'C'所成角的度数；

(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；

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(3)平面AOB与平面AOC所成二面角的大小．

2．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）已知平面PAC平面ABC，BCAC.

(1)求证：BCPA

(2)若PAC是正三角形，AC2,BC1，求直线PB和平面ABC所成角的正切值.

3．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD2，AA14，点P

为棱DD1中点.

(1)求证：BD1//平面PAC；

(2)求异面直线BD1与CP所成角的大小；

(3)求二面角PACB的平面角的正切值.

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4．（25-26高一下·重庆·期中）在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，

BC3，2BFEDAB4，FB∥ED，ED平面ABCD，

(1)求直线EF与底面ABCD所成角的正弦值；

(2)求二面角EACF的正切值；

(3)求三棱锥FACE的体积.

【题型8空间中的距离问题】

1．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，在长方体ABCDABCD中，AB3cm，BC2cm，BB1cm，

求：

(1)点A到平面BBCC的距离；

(2)直线AD与平面ABCD的距离；

(3)平面ABBA与平面CDDC的距离．

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2．（25-26高一下·全国·课堂例题）如图所示，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB2，AC1，P

为O所在平面外一点，且PA垂直于圆O所在平面，PB与平面所成的角为45．

(1)求证：BC平面PAC；

(2)求点A到平面PBC的距离．

3．（24-25高一下·黑龙江黑河·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，

侧棱PD底面ABCD，PDCD，E是PC的中点.

(1)求证：直线PA//平面BDE；

(2)求直线AP到平面BDE的距离.

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4．（2025高三·全国·专题练习）已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABAC，PAAB3,AC4，

M为BC中点，过点M分别作平行于平面PAB的直线交AC,PC于点E，F．

(1)求直线PM与平面ABC所成角的正切值；

(2)求直线ME到平面PAB的距离．

1

5．（21-22高二下·云南曲靖·开学考试）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，ABC，ABBCADa，

23

PA平面ABCD，且PAa，点F在AD上，且CFPC．

(1)求点A到平面PCF的距离；

(2)求AD到平面PBC的距离．

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【题型9几何体的外接球、内切球综合题】

2π

1．（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）如图，圆锥CO的体积为，高OC2,D为底面圆周上的一点，

3

ODA30．

(1)求圆锥的底面半径r；

(2)若圆锥的顶点和底面圆周上的点均在同一个球面上，求该球的表面积；

(3)求直线AD与BC所成角的大小．

2．（25-26高一下·安徽安庆·期中）从一张半径为6的圆形铁皮中裁剪出一块扇形铁皮（如图1阴影部分），

2π

并卷成一个深度为h米的圆锥筒（如图2）．若所裁剪的扇形铁皮的圆心角为rad．

3

(1)若圆锥内有一个底面圆半径为x的内接圆柱（如图3），求内接圆柱侧面积的最大值以及取最大值时x的

取值.

(2)在圆锥内有一个棱长为a的正方体，若该正方体在圆锥内可任意转动，求a的最大值.

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3．（24-25高一下·广东广州·期中）已知圆锥的轴截面面积为93，侧面展开图为半圆.

(1)求其母线长；

(2)在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体E，其中正四棱柱的底面边长为2，上底面的四个顶点在

圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体E的体积；

(3)求此圆锥外接球的表面积.

4．（2026·广东广州·三模）如图1所示，ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个等腰梯形，

＝＝＝，

BE//CD,EDDCCB1，现在沿着BE把ABE折起到A1BE的位置，连接A1CA1D，使得A1C2，如

图2所示．

(1)证明：平面A1BE平面BCDE；

(2)求三棱锥A1BCE的外接球的半径；

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5．（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，已知点P在圆柱OO1的底面圆O上，AB为圆O的直径，OA2，

83

AOP120，三棱锥A1APB的体积为．

3

(1)求圆柱OO1的表面积；

(2)求三棱锥A1APB外接球的体积．

6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图1所示，ABE是边长为2的正三角形，四边形BCDE是一个等腰梯形，

BE//CD，EDDCCB1，O为BE的中点，现在沿着BE把ABE折起到A1BE的位置，连接A1C，A1D，

使得A1C2，如图2所示．

(1)证明：A1O平面BCDE；

(2)求三棱锥A1BCE的外接球的半径．

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7．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在三棱锥ABCD中，DA6，DBDC12，

ADBADCBDC60，点M，N分别是棱DB，DC上的动点（不含端点）．

(1)若DB平面AMN．

（ⅰ）求MN的长度．

（ⅱ）求直线AC与平面DBC所成角的正弦值．

(2)若M为DB的中点，且BC//平面AMN，求三棱锥ADMN的内切球的表面积．

【题型10立体几何中的动点与存在性问题】

1．（25-26高一下·天津·期末）如图，在四棱锥PABCD中，△PCD为等边三角形，CD2，平面PAC平

面PCD，PAPD，AB2，AD4，PB23，

(1)求证：PA平面PCD；

(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值；

83PM

(3)线段PC上是否存在一点M，使得二面角MABC的平面角的余弦值为．若存在，求出值；

15PC

若不存在，请说明理由．

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2.（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥SABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，

即SP3PD，Q为侧棱SD的中点，平面SAB平面SCDl.

(1)证明：BQ//平面PAC；

(2)证明：AB//l；

SE

(3)侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.

EC

3．（25-26高二下·江苏南通·阶段检测）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，其中，BC//平

面PAD，且AD2BC，点E为棱PD的中点．

(1)求证：AD//BC；

(2)求证：CE//平面PAB；

(3)若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN//平面PAB？若存在，请确定点N的位置，

若不存在，请说明理由．

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4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图三棱柱ABCDEF中，侧面ACFD底面ABC，底面三角形ABC不

是直角三角形，ABBE．

(1)求证：三棱柱ABCDEF的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积；

23

(2)若底面ABC为正三角形，ABAD2，P为线段BF上一动点，且满足四棱锥PACFD的体积为，

3

求平面PAB与平面ABC所成二面角的正切值．

1．（25-26高一下·山西·阶段检测）如图，在矩形BCEF中，A,D分别为BF,CE上的点，AD//EF，将矩形ADEF

沿AD折起，使点E落在E1的位置，F落在F1的位置，得到四边形ADE1F1，已知E1F1不在平面ABCD上．

(1)证明：B,C,E1,F1四点共面；

(2)证明：平面ABF1//平面CDE1．

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2．（25-26高一下·浙江·期中）小明设计了一款无盖鱼缸，如图，它是由两个完全一样的长方体通过一个半

径为0.1米，长度为0.3米的圆柱形玻璃管水平连通的.

(1)小明至少需要多少平方米的玻璃（不考虑损耗）？

(2)小明欲将鱼缸注水至0.3m的高度，需要多少立方米的水？

3．（2023高三·全国·专题练习）在矩形ABCD中，AB4，AD2．点E，F分别在AB，CD上，点E,F分

别在AB,CD上，且AE2，CF1．沿EF将四边形AEFD翻折至四边形AEFD，点A平面BCFE．

(1)求证：CD//平面ABE；

(2)求证：AD与BC是异面直线；

4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图给出两个几何体：

(1)画出两个几何体的平面展开图；

28/40

(2)图①是侧棱长为23的正三棱锥DABC，ADBBDCCDA40，过点A作截面AEF分别交

BD，CD于点E，F，求截面三角形AEF周长的最小值．

5．（23-24高一下·辽宁·期末）如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球

焊接而成的球的半径为R.正四棱柱的底面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，

斜高（即侧面梯形的高）为3R.

(1)求这种型号的奖杯的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；

(2)已知R3cm，若为奖杯表面镀金所用的材料每1.6g可以涂1m2，且该种型号的奖杯底面（图中正四棱台

的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质）不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯

镀金约需要多少材料？（π取3.14，精确到0.01g）

6．（2026·四川成都·三模）如图，在菱形ABCD中，BAD60，AB2，将ABC沿AC翻折至△APC，

连接PD,PB构成四棱锥PABCD．

(1)证明：AC平面PBD；

1

(2)若二面角PACB的余弦值为．

3

①求PB的长；

29/40

②设P在平面ABCD上的射影为Q，直线CQ与AD交于E点，F为PB的中点，证明：EF//平面PCD．

7．（25-26高一下·四川成都·期中）(本题若使用空间向量，相关步骤不得分)如图，已知正四面体PABC的

棱长为23，Q为底面ABC的外心，D为AB中点.

(1)连接PQ，证明：PQ平面ABC.

(2)设PC的中点为E，求DE与平面PBC夹角的正弦值.

8．（25-26高一下·陕西咸阳·期中）一个圆锥体石膏如图所示，其中S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的一条

直径，C是SA的中点，且该圆锥的轴截面是边长为8的等边三角形．

(1)求该圆锥体石膏的体积；

(2)若有一只昆虫绕着圆锥体石膏的侧面从B点爬行至C点，求昆虫爬行的最短距离；

(3)将该圆锥体石膏打磨成一个球体石膏（损耗忽略不计），求打磨的球体石膏表面积的最大值．

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9．（25-26高一下·四川广安·阶段检测）正方形ABCD中，AB2，M为CD的中点，BNBC，(0,1)．将

ADM沿AM翻折到PAM，CMN沿MN翻折到PMN，连接AN．

(1)求证：PMAN：

1

(2)当时，求二面角PANM的正弦值；

2

3

(3)设直线PM与平面AMN所成角为，问是否存在0,，使得sin能取得最大值，若存在，求出最

4

大值，若不存在，请说明理由．

10．（21-22高三·云南·阶段检测）图甲是由直角梯形ABCD和等边三角形CDE组成的一个平面图形，其中

BC∥AD，ABBC，AD2BC2AB2，将CDE沿CD折起使点E到达点P的位置（如图乙），在

四棱锥PABCD中，若AP2.

(1)证明：平面PCD平面ABCD；

(2)若平面PCD与平面PAB的交线为l，求l与平面ABCD的交点到平面PAD的距离.

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11．（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，长方体ABCDA1B1C1D1的长、宽、高分别为x，y，2且xy，

xy2.

(1)当底面ABCD为正方形时，

（i）求长方体ABCDA1B1C1D1的表面积；

（ii）求三棱锥A1BC1D体积和外接球体积；

(2)取DC1、BC1的中点分别为M、N，求三棱锥DAMN的体积的最大值.

12．（24-25高一下·山东济宁·阶段检测）球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分

（不包含截面），垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高．球冠面积等于截得它的球面上大圆（过球心

的截面圆）周长与球冠的高的乘积．和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部

分，截面是球缺的底．当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底、以球心为顶点的圆锥所

构成的体，称作“球锥”（如图（2））当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”．如

图（2），设一个“球锥”所在球的半径为R，其中球冠高为h(hR)．

(1)类比球体积公式的推导过程（可参考图（3）），写出“球锥”的体积公式；

h

(2)在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；

R

32/40

(3)已知一个棱长为a的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的a有且只有一个，

h

求的取值范围．

R

13．（25-26高二上·上海·阶段检测）图①是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，

其中AB1，BEBF2，CBF60．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图②．

(1)证明：DG//平面ABC；

(2)求直线AG与平面ABC所成角的正切值．

14．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD3,AA14，点E是

CD1的中点．

(1)求证：平面EBD平面ACC1A1；

(2)求异面直线AD1与DE所成角的余弦值；

(3)求三棱锥D1EBD的体积．

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15．（22-23高一下·北京密云·期末）如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA1

平面ABCD，AA12，M是DD1的中点．

(1)求证：BD1//平面AMC；

(2)证明：ACBD1；

(3)求三棱锥BMAC的体积．

1．（2024高三·全国·专题练习）一山坡的倾斜度（山坡面与水平面所成二面角的度数）是30，斜坡上一直

道CD，它和坡脚AB成60，为解决山腰D处居民的饮水问题，有甲、乙两种方案．

方案甲：一次性投资12万元打深水井，取用与坡脚水平的暗河中的水（经检验符合饮用水标准）；

方案乙：沿CD铺设自来水管道，第一个100m费用为1万元，以后每往上一个100m所需费用比前一个100m

的费用扩大1倍；

如果D处高出暗河1003m，那么选用哪个方案比较合理？请你说明理由．（不考虑其他因素）

2．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P分别

是棱AD，A1B1,CC1,BC,CD的中点，

34/40

(1)过点A，G，H作正方体的截面，并说明理由；

(2)求三棱锥FEPH的外接球的表面积；

(3)设点M在平面BB1C1C内，且A1M//平面AGH，求直线A1M与直线AB所成角的余弦值的最大值．

3．（2027高三·全国·专题练习）阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离

1

散曲率为1QPQQPQQPQQkPQkQkPQ，其中Q（i1，2，…，k，k3）为

212233411i

多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk1PQk和平面QkPQ1为多面体

M的所有以P为公共点的面．”已知在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1AB．（角的

运算均采用弧度制）

(1)若ACBD，求四棱柱ABCDA1B1C1D1在顶点A处的离散曲率；

1

(2)若四棱柱ABCDA1B1C1D1在顶点A处的离散曲率为，求BC1与平面ACC1所成角的正弦值．

3

4．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在四边形ABCD中，

，四边形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成新的

几何体．

(1)求该几何体的表面积和体积；

(2)若旋转过程中，点C和点B始终落在球O上，求球O的表面积．

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5．（2026高三·全国·专题练习）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，SDADa，

点E是SD上的点，且DEa01．若二面角CAED的大小为60，求的值．

6．（24-25高一下·江西赣州·期末）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AECD，ABAE1，CD3，

1

把三角形DAE沿着AE翻折，得到图2所示的四棱锥DABCE，DMMC，记二面角DAEC的平

2

面角为.

图1图2

(1)证明：AD//平面BEM；

(2)当90时，求证：CB平面BDE；

(3)当60时，求点A到平面BEM的距离.

7．（25-26高三下·山东·阶段检测）如图，在正三棱锥ABCD中，H为△BCD的重心，也为A在面BCD上

的投影．AB上一点M满足AMAB，AC上一点N满足ANAC，且1，P为AD中点．

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(1)证明：ADBC；

(2)若三棱锥ABCD各棱长均为2，求P到MN距离的最小值．

8．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图，三棱锥SABC满足SA面ABC，SAABAC4，点F为棱BC

中点，点A在直线SB，SC，SF上的投影分别