2026新高二数学暑假专题：第01讲 空间向量及其线性运算（3知识点+4大题型）（解析版）

第01讲空间向量及其线性运算

内容导航

01预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向

02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理

03题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解

题型01空间向量的相关概念辨析

题型02空间向量的加减、数乘运算

题型03空间向量共线及其参数问题

题型04空间向量共面及其参数问题

04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固

关键词学习目标导航

1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽

1.空间向量的概念象的核心素养.

2.空间向量的线性运2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的

算核心素养.

3.掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养.

学习重点：理解空间向量中的基本概念

学习难点：空间向量的共线、共面问题

1/29

知｜识｜框｜架

知｜识｜精｜讲

知识点01空间向量的有关概念

1、空间向量的有关概念

（1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；

如空间中的位移速度、力等．

（2）几类特殊的空间向量

名称定义及表示

零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0

单位向量模为1的向量称为单位向量

相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a

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相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量

2、空间向量的表示

表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法：

（1）几何表示法：用有向线段AB来表示，A叫向量的起点，B叫向量的终点；

（2）字母表示法：用a,b,c表示．向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可以记作AB，其模记为a

或AB.

即时即练

1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（）

A．共线的单位向量都相等

B．不相等的两个空间向量的模必不相等

C．相反向量指方向相反的两个向量

D．任意两个空间向量一定共面

【答案】D

【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解.

【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能

是相反向量，故A不正确；

对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误；

对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误；

对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确.

故选：D

【方法总结】

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系

(1)两个要素.

判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可.

(2)两个关系.

①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的

模相等是两个向量相等的必要不充分条件.

②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量

的模是可以比较大小的.

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知识点02空间向量的加法、减法、数乘运算

1、空间向量的加减法

空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）．

2、空间向量加减法运算律

交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)

小结：空间向量加法的运算的小技巧

（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，

即：A1A2A2A3A3A4An1AnA1An

（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，

即：A1A2A2A3A3A4An1AnAnA10；

3、空间向量的数乘运算

（1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量a的乘积a仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

（2）数乘向量a与向量a的关系

的范围a的方向a的模

0a与向量a的方向相同

0a0，其方向是任意的|a||||a|

0a与向量a的方向相反

（3）对数乘向量a与向量a的关系的进一步理解：

①可以把向量a的模扩大（当||1时），也可缩小（当||1时）；可以不改变向量a的方向（当0

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时），也可以改变向量a的方向（当0时）．

②实数与向量的积的特殊情况：当0时，a0；当0时，若a0，则a0．

③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，a，a没有意义，无法运算．

即时即练

1．已知平行六面体ABCDABCD，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：

(1)ABADAA；

(2)DDABBC；

1

(3)ABADDDBC.

2

【答案】(1)AC，作图见解析

(2)BD，作图见解析

(3)AM，作图见解析

【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案.

【详解】（1）ABADAAABBCCCAC，

向量AC如图所示.

（2）DDABBCDDABADDDDBBD；

向量BD如图所示.

5/29

111

（3）ABADDDBCACCCCBACCB，

222

设M是线段CB的中点，

1

则ABADDDBCACCMAM.

2

向量AM如图所示.

【方法总结】

(1)空间向量的线性运算技巧.

①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使

向量间首尾相接.

②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的

方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.

(2)化简空间向量的常用思路.

①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简.

②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其

转化为首尾相接的向量求和.

③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).

(3)与空间向量的线性运算相关的结论.

→→→→

①在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC1=AB+AD+AA1.

→→→

②若G为△ABC的重心,则AG+BG+CG=0.

③若O为空间中任意一点,则

→1→→

a.点P是线段AB中点的充要条件是OP=(OA+OB).

2

→1→→→

b.若G为△ABC的重心,则OG=(OA+OB+OC).

3

6/29

知识点03共线向量与共面向量

一、共线向量

3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线

二、共面向量

2、共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对(x,y)，使pxayb

3、空间共面向量的表示

如图空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)，

使APxAByAC．

或者等价于：对空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内（P,A,B,C四点共面）的充要条件是存在

有序实数对(x,y)，使OPOAxAByAC，该式称为空间平面ABC的向量表示式，由此可知，空间中任

意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．

4、拓展

对于空间任意一点O，四点P,C,A,B共面（其中C,A,B不共线）的充要条件是OPxOCyOAzOB（其

中xyz1）．

即时即练

1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设e1，e2是空间两个不共线的非零向量，已知AB2e1ke2，BCe13e2，

DC2e1e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（）

A．2B．4C．6D．8

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【答案】D

【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解.

【详解】因为

BDBCCDBCDCe13e22e1e2e14e2.

因为A、B、D三点共线，所以AB//BD.

所以241k0k8.

故选：D

2．下列命题正确的是（）

A．若p2x3y，则p与x，y共面

B．若MP2MA3MB，则M,P,A,B共面

C．若OAOBOCOD0，则A,B,C,D共面

151

D．若OPOAOBOC，则P,A,B,C共面

263

【答案】ABD

【分析】根据题意，由共面向量定理即可判断ABD，举出反例即可判断C.

【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，p与x，y共面；所以选项A是正确的；

选项B，根据共面向量基本定理可知，MP,MA,MB共面，由于它们有公共点M，

所以M，P，A，B共面；

选项C，举反例说明，若OA，OB，OC是一个正方体同一个顶点O的三条棱所对应的向量，

则它们的和向量是以O为起点的对角线向量，而OD是该对角线向量的相反向量，

此时显然四个点A，B，C，D不在同一个平面上，所以C选项是错误的；

151

选项D，由OPOAOBOC可得6OP3OA5OB2OC，

263

则03OA3OP5OB5OP2OP2OC，即03PA5PB2CP，

35

则PCPAPB，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的；

22

故选：ABD．

【方法总结】

(1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化

简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a.

→→→→

(2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使AB=λBC(或AB=μAC)即可.也可用“对空间任

→→→

意一点O,有OB=tOA+(1-t)OC,t∈R”来证明三点共线.

(3)利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的

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充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量.

题型01空间向量的相关概念辨析

1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（）

A．单位向量都相等

B．若ab，则a,b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量AB，CD满足|AB||CD|，则ABCD

D．相等向量其方向必相同

【答案】D

【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误.

【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误；

对于B中，ab只能说明a,b的长度相等而方向不确定，故B错误；

对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故C错误；

对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确．

故选：D.

2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点，则

与向量EF相反的向量为（）

1111

A．CDB．BAC．DCD．BD

2212121

【答案】C

【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案.

【详解】因为E，F分别是AB，AA1的中点，

1

所以EF//AB且EFAB，A1B//D1C，AB=DC，

12111

11

所以与向量EF相反的向量为A1BD1C.

22

故选：C

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3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（）

A．零向量与任意向量不平行

B．不相等的两个空间向量的模必不相等

C．任意两个空间向量都共面

D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆

【答案】C

【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；

利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项.

【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错；

对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错；

对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此

任意两个空间向量都共面，C对；

对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错.

4．（多选题）（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（）

A．若空间向量a，b满足ab，则ab

B．在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有ACA1C1

C．若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp

D．空间中任意两个单位向量必相等

【答案】BC

【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量a与b的方向不一定相同，

假命题；

B，由正方体的结构特征知，AC与A1C1的方向相同，模也相等，故ACA1C1，真命题；

C，向量的相等满足传递性，真命题；

D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题．

5．（多选题）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（）

A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量

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B．ab是向量ab的必要不充分条件；

C．与实数类似，对于两个向量a、b，有ab、ab、ab三种大小关系

D．若两个非零向量AB与CD满足ABCD0，则AB与CD共线

【答案】AC

【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选

项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项,

【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是

假命题；

对于B，若ab，则a和b的模相等，方向不一定相同，

若ab，则a和b的模相等，方向也相同，

所以ab是向量ab的必要不充分条件，故B为真命题；

对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题；

对于D，因为ABCD0，所以ABCD，故AB与CD共线，所以D是真命题．

故选：AC.

【技巧归纳】

处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系

(1)两个要素.

判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可.

(2)两个关系.

①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的

模相等是两个向量相等的必要不充分条件.

②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量

的模是可以比较大小的.

题型02空间向量的加减、数乘运算

1．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式的运算结果不为向量AC1的是（）

A．ABBCCC1B．AA1A1D1D1C1

C．BABCCC1D．AA1A1B1B1C1

11/29

【答案】C

【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为AC1，而C中，

BABCCC1CACC1C1A．

2．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，

1

则AB(BDBC)等于（）

2

1

A．AGB．CGC．BCD．BC

2

【答案】A

1

【详解】G是CD的中点，所以AB(BDBC)ABBGAG.

2

3．点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则2OAOB2OCOD（）

A．3OMB．OMC．4OMD．2OM

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算即可求解.

【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC和BD的中点，

所以2OAOB2OCOD2OAOCOBOD22OM2OM2OM，

故选：D.

4．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若

，，则等于（）

ABa,ADbAA1cMD1

12/29

1111

A．abcB．abc

2222

1111

C．abcD．abc

2222

【答案】C

【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解.

【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：

111111

MDMDDDBDDD(ADAB)DDABADAAabc.

11212122122

故选：C.

5．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体OABC中，BG3GC，设OAa，OBb，OCc，则AG

（）

1312

A．abcB．abc

4443

1112

C．abcD．abc

4333

【答案】A

【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可.

【详解】如图，作出符合题意的图形，

3

因为BG3GC，所以BGBC，

4

由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得AGOGOAOBBGOA

33

OBBCOAOBOCOBOA

44

1313

OAOBOCabc，故A正确.

4444

故选：A

6．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知点A,B,C,D是空间中四点，点M,N分别为AB,CD的中点，则（）

A．对任意点A,B,C,D恒有ADBCMN

B．当且仅当点A,B,C,D共面时ADBCMN

13/29

C．对任意点A,B,C,D恒有ADBC2MN

D．当且仅当点A,B,C,D共面时ADBC2MN

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算列式求解判断.

【详解】由点M,N分别为AB,CD的中点，得MAMB0,CNDN0，

因此MNMAADDN，且MNMBBCCN，

两式相加得2MNMAMBADDNCNBCADBC，

所以对任意点A,B,C,D恒有ADBC2MN，C正确，ABD错误.

故选：C

【技巧归纳】

(1)空间向量的线性运算技巧.

①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使

向量间首尾相接.

②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的

方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果.

(2)化简空间向量的常用思路.

①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简.

②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其

转化为首尾相接的向量求和.

③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径).

(3)与空间向量的线性运算相关的结论.

→→→→

①在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC1=AB+AD+AA1.

→→→

②若G为△ABC的重心,则AG+BG+CG=0.

③若O为空间中任意一点,则

→1→→

a.点P是线段AB中点的充要条件是OP=(OA+OB).

2

→1→→→

b.若G为△ABC的重心,则OG=(OA+OB+OC).

3

题型03空间向量共线及其参数问题

1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（）

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A．ABBCACB．ABBCACC．AB2BCD．ABBC

【答案】C

【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可

判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D.

【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有ABBCAC，不能说明三点共线，说法A错误；

对于B，若ABBCAC，则ACBCAB，而ACCBAB，据此可知BCCB，即B，C两点重合，

选项B错误；

对于C，AB2BC，则A、B、C三点共线，选项C正确；

对于D，ABBC，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项D错

误；

故选：C.

．（高二上新疆喀什期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，

225-26··e1e2AB2e1ke2BCe13e2

DC2e1e2，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】D

【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解.

【详解】因为

BDBCCDBCDCe13e22e1e2e14e2.

因为A、B、D三点共线，所以AB//BD.

所以241k0k8.

故选：D

221

3．平行六面体ABCDABCD中，AMMC，AMABADAA，则实数的值为（）

111113331

1

A．1B．C．2D．3

2

【答案】C

2

【分析】将AM，AC都用基底AB，AD，AA表示出来，得到AM=AC，即可得到AM2MC.

1111311

221222

【详解】AMAMAAABADAAAAABADAA

11333113331

2222

（ABADAA）（ACAA）=AC（AM+MC），

31313131

所以A1M2MC，

故选：C.

15/29

4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知A,B,C三点共线，O为空间任一点，则①OA2OBOC；

②存在三个不为0的实数,m,n，使OAmOBnOC0，那么使①②成立的与mn的值分别为（）

A．1，1B．1，0C．0，1D．1，0

【答案】D

【分析】根据A,B,C三点共线得OA1kOBkOC，进而结合①得OA2OBOC，再结合②得

m2,n，最后求和即可得答案.

【详解】因为A,B,C三点共线，所以存在实数k，满足ABkBC，

因为O为空间任一点，所以OBOAkOCOB，即OA1kOBkOC，

1k2k1

因为OA2OBOC，所以，解得，

k1

因为存在三个不为0的实数,m,n，使OAmOBnOC0，

m

2

mn

所以OAOBOC，所以，即m2,n，

n

1

所以mn20.

综上，1，mn0

5．（多选题）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，P为空间一点，且满足BPBCBB1，,0,1，则

（）

A．当1时，点P在棱BB1上B．当1时，点P在棱B1C1上

C．当1时，点P在线段B1C上D．当时，点P在线段BC1上

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【答案】BCD

【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解

【详解】当1时，BPBCBB1，所以CPBB1，

则CP//BB1，即P在棱CC1上，故A错误；

同理当1时，则B1P//BC，故P在棱B1C1上，故B正确；

当1时，1，所以BPBC1BB1，即B1PB1C，

故点P在线段B1C上，故C正确；

当时，BPBCBB1BC1，故点P在线段BC1上，故D正确．

故选：BCD．

【技巧归纳】

(1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化

简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a.

→→→→

(2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使AB=λBC(或AB=μAC)即可.也可用“对空间任

→→→

意一点O,有OB=tOA+(1-t)OC,t∈R”来证明三点共线.

题型04空间向量共面及其参数问题

1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，且

11

OPOAOBOC，若P，A，B，C四点共面，则（）

43

5171

A．B．C．D．

1212123

【答案】A

【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案.

11

【详解】因为P，A，B，C四点共面，且OPOAOBOC，

43

115

所以1，解得.

4312

故选：A

2．向量a、b不平行，则存在两个非零常数、，使cab是a、b、c共面的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

17/29

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案.

【详解】充分性证明：由a,b不平行，则a,b可作为所在平面内的一组基底，

由cab，则a,b,c必定共面，所以充分性成立；

必要性证明：由a,b,c共面，且a,b不平行，当c,a共线时，0，

则不存在两个非零常数,，使得cab，所以必要性不成立.

综上，该条件是充分非必要条件.

故选：A.

3．（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点P,M,A,B共面的条件是（）

111

A．MPMAMBB．OPOAOBOM

236

C．PMABD．PM//AB

【答案】ABD

【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD.

【详解】对于A，由MPMAMB，得向量MP,MA,MB共面，而它们有公共起点，因此四点P,M,A,B共

面，A是；

111111

对于B，在OPOAOBOM中，1，因此四点P,M,A,B共面，B是；

236236

对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由PMAB不能确定四点P,M,A,B共面，

C不是；

对于D，由PM//AB，得直线PM与AB平行或重合，因此四点P,M,A,B共面，D是.

故选：ABD

4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量a，b，c不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（）

A．bc，b，bcB．ab，c，abc

C．ab，ac，cD．ab，bc，ac

【答案】C

【详解】已知a,b,c不共面，逐一判断：

A：bcbc2b，故bc，b，bc共面.

B：abcabc，故ab，c，abc共面.

C：假设abxacyc，整理得abxaxyc.

即bx1axyc，因a,b,c不共面，不存在这样的x,y，故ab，ac，c不共面.

18/29

D：abbcac，故ab，bc，ac共面.

5．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知a,b,c是空间的一组基底，其中AB2a3b，ACac，

AD2bc.若A，B，C，D四点共面，则（）

3344

A．B．C．D．

4433

【答案】D

【分析】根据题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得ABxACyAD，结合向量的数乘运算和相等向量

的概念计算，即可求解.

【详解】由题意，设存在唯一的实数对(x,y)，使得ABxACyAD，

即2a3bxacy2bc，

则2a3bxa2ybyxc，

34

则x=2，y，yx0，解得.

23

故选：D.

6．（25-26高二上·青海海东·期末）已知A，B，C，D四点共面于，且其中任意三点均不共线.设H为

空间中任意一点且H，若aHAbHBcHC2HD0，则abc（）

A．0B．1C．2D．1

【答案】C

【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案.

【详解】因为A，B，C，D四点共面，所以ADxAByAC，其中x,yR，

所以HDHAxHBHAyHCHA，

即HD1xyHAxHByHC；

abc

因为aHAbHBcHC2HD0，所以HDHAHBHC，

222

abc

而HA,HB,HC不共面，则1xyxy1，即abc2.

222

故选：C

7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外

41

一点，且OMxOAyOBOCx0,y0，若M,A,B,C四点共面，则的最小值为（）

xy

95

A．B．C．9D．4

22

【答案】A

19/29

【详解】因为M,A,B,C四点共面，则有OMxOAyOBOCx0,y0，

由共面条件可得，xy11，即xy2，

4114114yx14yx9

所以xy552，

xy2xy2xy2xy2

4yx42

当且仅当，即x2y，即x,y时，等号成立.

xy33

故选A.

8．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥PABCD中，PB2PE，PD3PF.若平面AEF与直线

PC相交于点Q，且PCPQR，则的值为（）

53

A．4B．5C．D．

25

【答案】A

【分析】连接AC,BD交于点O，连接PO，由题设易得PCPBPDPA，进而得到

231

PQPEPFPA，再根据A,E,F,Q四点共面求解即可.

【详解】连接AC,BD交于点O，连接PO，

在正四棱锥PABCD中，且O为AC,BD的中点，

则PAPC2PO，PBPD2PO，即PAPCPBPD，