2026新高二数学暑假专题：复数（ 解析版）

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暑假作业08复数

【知识点1复数的有关概念】

形如z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a为实部，记作Rez；b为虚部，记作Imz，

复数定义

i叫作虚数单位.

实数b＝0，

复数z＝a＋bi

纯虚数a＝0，

虚数≠

a，b∈Rb0

非纯虚数a≠0.

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

复数分类

复数相等a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d(a，b，c，dR)

共轭复数a＋bi与c＋d⇔i共轭a＝c且b＝－d(a，∈b，c，dR)

向量OZ―→的模叫⇔做复数z＝a＋bi的模，记作|z∈|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝

复数的模

a2＋b2(r≥0，a，bR)

∈

【知识点2复数的几何意义】

复平面

建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面

的概念

实轴、在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以

虚轴外，虚轴上的点都表示纯虚数

1/19

复数的

―→

复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量OZ

几何表示

【知识点3复数的运算法则】

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，dR)，则

加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(∈b＋d)i；

①减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i;

2

②乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

③除法：＝＝＝(c＋di≠0)．

z1a+bia+bic−di𝑎+𝑏𝑎−𝑏i𝑎+𝑏𝑎−𝑏

222222

(2)运④算律z2c+dic+dic−di�+�=�+�+�+�i

复数的加法运算律：

①

结合律：＋＋z3＝z1＋＋；

�1�2�2�3

交换律：z1＋z2＝z2＋z1.

复数的乘法运算律：

②

结合律：··z3＝z1··；

�1�2�2�3

交换律：z1·z2＝z2·z1；

乘法对加法的分配律：z1·＋＝z1·z2＋z1·z3.

�2�3

(3)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算．如图给出的平行四边形

OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.．

OZ��1��2Z1Z2��2��1

【知识点4复数运算的几个重要结论】

(1)i的乘方具有周期性

4n4n＋14n＋24n＋34n4n＋14n＋24n＋3

i＝1，i＝i，i＝－1，i＝－i，i＋i＋i＋i＝0，nN＋.

∈

｜｜

＝｜｜2＝｜｜2；＝；＝；＝；

(2)z·z··｜｜

11

����

���1�2�1�2�2�22/19��

22

＋＋－＝2(｜z1｜＋｜z2｜).

22

�1�2�1�2

(3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形

①|zz0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

②|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

③a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.

�

（4）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手

进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．

【题型1复数的概念与分类】

1．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）i是虚数单位，a,bR，则b0是abi为实数的（）条件．

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既非充分也非必要

【答案】C

【解析】由实数和复数的关系可知，b0是abi为实数的充要条件.

故选：C．

ai

2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数z的实部与虚部相等，则实数a的值为（）

12i

A．3B．3C．1D．1

【答案】A

aiai12ia22a1ia22a1

【解析】zi，

12i12i12i555

aia22a1

因为复数z的实部与虚部相等，所以，得a3.

12i55

故选：A．

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3．（2025·全国一卷·高考真题）(15i)i的虚部为（）

A．1B．0C．1D．6

【答案】C

【解析】因为15iii5i25i，所以其虚部为1.

故选：C.

4．（25-26高一下·山西忻州·期中）已知复数z满足zz2，zz5，且z的虚部为正，则z2的虚部为（）

A．4B．2C．4D．5

【答案】C

【解析】设zabib0，则zz2a2，

解得a1，zza2b25，计算得b2，所以z12i，

22

所以z12i34i，所以z2虚部为4.

故选：C．

5．（25-26高三上·北京海淀·期末）复数2ai的共轭复数为bbia,bR，则a（）

A．1B．1C．2D．2

【答案】C

【分析】根据共轭复数的概念求解.

【解析】因为2ai的共轭复数为bbia,bR，

所以b2,ab，所以a2，

故选：C.

【题型2复数的几何意义】

2i

1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）已知复数z满足z，则z在复平面内对应的点所在的象限为

1i

（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】A

4/19

2i2i1i13i13

【解析】由题意得复数zi，

1i1i1i222

13

复数z在复平面内对应的点为,，该点位于第一象限.

22

故选：A．

2.（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选题）下列使得复数m1mi对应的点在第三象限的m的值为

（）

A．2B．1C．0D．1

【答案】AB

m10

【解析】若复数m1mi对应的点在第三象限，则，解得m0，对比选项可知，只有AB

m0

符合题意.

故选：AB.

3．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量AB对应的复数为14i，向量AC对应的复数为3i，

则向量BC对应的复数为（）

A．45iB．45iC．23iD．23i

【答案】C

【解析】因为向量AB对应的复数为14i，向量AC对应的复数为3i，

所以BCACAB，

又3i14i23i，

所以向量BC对应的复数为23i．

故选：C．

4（.25-26高一下·广东广州·期末）已知向量OZ对应的复数为3i，将OZ绕点O按顺时针方向旋转90，

得到OZ，则向量OZ对应的复数是（）．

A．13iB．3iC．13iD．3i

【答案】A

5/19

【解析】

利用数形结合，可知：将OZ绕点O按顺时针方向旋转90，得到OZ对应的复数是13i.

故选：A.

【题型3复数的四则运算综合】

z

1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若1i，则z（）

z1

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】C

zz1111

【解析】因为11i，所以z11i.

z1z1z1i

故选：C.

2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数z123i,z212i，则z1z2（）

A．35iB．1iC．15iD．1i

【答案】B

【解析】因为复数z123i,z212i，则.z1z223i12i1i.

故选：B．

3．（2024·全国甲卷·高考真题）若z5i，则izz（）

A．10iB．2iC．10D．2

【答案】A

6/19

【解析】由z5iz5i,zz10，则izz10i.

故选：A.

4．（2026·湖北·三模）已知复数z满足zz2i1z，则z（）

A．iB．iC．1iD．1i

【答案】C

【解析】因为zz2i1z，即zz2iz2i，

设zabi，a,bR，则zabi，

可得zzabiabia2b2，2iz2iabi2b2ai，

则zz2iza2b22b2ai2i，

a2b22b0a1

可得，解得，所以z1i.

2a2b1

故选：C．

5．（2026·上海·模拟预测）若复数z1与z2在复平面上分别对应点Z1与Z2，则“z1z20”是“OZ1OZ20”的

（）条件

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要

【答案】A

【解析】复数z1abi与z2cdi在复平面上分别对应点Z1a,b与Z2c,d，

OZ1a,b,OZ2c,d，

由z1z2abicdiacbdadbci0，

acbd022

可得，所以acbdadbc0，

adbc0

所以2222，所以或，所以，

abcd0z10z20OZ1·OZ2acbd0

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当OZ11,1,OZ21,1，满足OZ1OZ2110，

2

所以z11i,z21i，z1z21i1i1i20，

所以“z1z20”是“OZ1OZ20”的充分不必要条件.

故选：A．

【题型4复数的高次方运算】

1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）复数zi2i23i3在复平面内对应点的坐标为（）

A．2，0B．0，2C．2，2D．2，2

【答案】C

【解析】因为zi2i23i3i23i22i，所以z在复平面内对应点的坐标为2,2．

故选：C.

2i2026

2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）复数z（其中i为虚数单位），则z（）

1i

A．1iB．1iC．1iD．1i

【答案】D

【解析】因为i21,i3i,i41,i5i，即i的幂次具有周期性，周期为4，

所以i2026i45062i21.

221i21i21i21i

所以z1i.

1i1i1i1i2112

故选：D

3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）复数z(1i)10的虚部为（）

A．32B．32iC．32D．32i

【答案】C

5

【解析】1025，所以虚部为

z1i1i2i32i32.

故选：C.

2027

1i

4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知i为虚数单位，复数z，则复数z的共轭复数的虚部

1i

为（）

8/19

A．iB．1C．iD．1

【答案】B

2

1i1i12ii2

【解析】由题意，i，

1i1i1i1i2

2027

1i202745063450633

所以ziiiiii，

1i

所以复数z的共轭复数zi，其虚部为1.

故选：B.

5．（25-26高一下·上海·期中）计算：ii2i2026__________.

【答案】1i

【解析】由虚数单位i的幂次周期性，得i1i，i21，i3i，i41，

因此i4k1i4k2i4k3i4k4i1i10kN.

则ii2i2026(ii2i2024)i2025i20260i2025i2026

代入化简得i2025i45061i，i2026i450621，

故原式0i11i.

【题型5复数范围内解方程】

1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知1i是关于x的方程x2pxq0p,qR的一个根，则pq

（）

A．2B．0C．2D．4

【答案】B

2

【解析】因为1i是方程xpxq0p,qR的根，

2

所以1ip1iq0，化简得：12i1ppiq0，

整理得：pq2pi0，

pq0q2

所以，解得，

2p0p2

因此pq220.

故选：B

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2．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程x220的解集为（）

A．B．2i,2iC．2iD．2i,2i

【答案】B

【解析】所以在复数范围内，x220即为x22i2即x2i，

故方程x220的解集为2i,2i.

故选：B.

3．（2026·重庆北碚·模拟预测）复数1i是关于x的方程x2axb0(a,bR)的根，则a（）

A．2B．0C．2D．2

【答案】A

【解析】因为复数1i是关于x的方程x2axb0(a,bR)的根，

2

所以1ia1ib0，所以12i+i2aaib0，即ab2ai0，所以

ab0a2

，所以，所以a2.

2a0b2

故选：A.

【题型6复数的模长及应用】

1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）|34i|（）

A．13B．5C．5D．25

【答案】C

【解析】对于任意复数zabi（其中a,bR），

其模的定义为：za2b2，

2

则34i3245.

故选：C.

2．（2026·山东烟台·模拟预测）若复数z满足z222z30，则z（）

A．2B．2C．3D．3

【答案】C

【解析】方法一：

10/19

22

由Δ=(-22)-4创13=8-12=-4，又因为i1，

224i222i22

可得z2i，所以z=2+(±1)=3.

22()

方法二：

设方程的两根为z,z，由z222z30，可知zz3，

2

因为z×z=z=3，所以z3.

故选：C.

3．（25-26高一下·贵州·期中）如图，在复平面内，已知复数z1，z2，z3，对应的向量分别是OA，OB，OC，

z1z211

(i是虚数单位)，已知z,则zi（）

z32

3

A．3B．1011C．611D．

2

【答案】A

【解答】由图可得z13i，z212i，z322i，

zz(3i)(12i)51i55

则z12，则z，

z322i21i22

2

2

所以11511511．

zii3

22222

故选：A.

4．（25-26高一下·江苏·期中）（多选题）已知复数z1和z2，下列说法正确的有（）

A．若z1z2，则z1z2

2

B．z1z1z1

11/19

C．z1z2z1z2z1z2

22

D．z1|z1|

【答案】BC

【解析】虚数不能比大小，故A错误；

222

设z1abia,bR，则z1z1abiabiabz1，故B正确；

由复数加减法的几何意义可知，C正确；

22

若z11i，则z12i,z12，故D错误.

故选：BC.

【题型7与复数模有关的轨迹最值问题】

1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数z满足|z|2，则|z4|的最大值为（）

A．2B．4C．6D．8

【答案】C

【解析】因为|z|2，所以复数z对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，

|z4|表示圆上的点z与定点(4,0)的距离，

而圆心到定点的距离为4，

则z4的最大值为426．

故选：C.

2

2．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知复数z满足z2z，且z3，则z42i的最小值是（）

A．2B．3C．5D．13

【答案】C

【解析】设zabia,bR，zabi，

由题意可知z2a22abib2z2a22abib2，则ab0，

又za2b23，由复数的几何意义知z在复平面内对应的点Za,b在半径为3的圆内部（含边界）的

坐标轴上运动，

如图所示即在线段AB，CD上运动，

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2

设E4,2，则z42iZE，由图象可知ZEBE43225，

所以

ZEmin5.

故选：C.

3．（2026·安徽·模拟预测）已知z11，z234i，则z1z2的最小值为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解析】由z11可知z1在复平面内所对应的点Z1在以原点O(0,0)为圆心，1为半径的圆上，

在复平面内所对应的点为，又22，所以点在圆外，

z2Z2(3,4)OZ23451Z2O

所以z1z2的最小值为OZ21514.

故选：B.

4．（25-26高一下·河北唐山·期中）复数z在复平面内对应的点为Z，若1z3，则点Z的集合对应的图

形的面积为（）

A．8B．4C．8πD．4π

【答案】C

【解析】不妨设点Z的集合对应的图形是一个以原点为圆心，外环半径为3，内环半径为1的圆环，

则其面积为32π12π8π.

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故选：C

5．（25-26高二下·上海·期中）已知i为虚数单位，若复数z1和复数z2满足z11i1，z2z1i，z1z2的

最大值为______．

【答案】22/22

【解析】22，

z1z2z1z1iz11iz11iz1112z1

22

设z1abia,bR，则a1b1i1，整理得a1b11，

所以复数z1对应的点在复平面上是以A1,1为圆心，半径r1的圆及内部，

22

z1的最大值为OAr1010121，

所以z1z2的最大值为22122．

6．（25-26高三下·上海·期中）已知复数z12i，复数z2满足z21，则z2z1的最大值为____________．

【答案】51

【解析】已知复数z2满足z21，表示复平面上以原点0,0为圆心，半径r1的圆，

复数z12i表示复平面上点P2,1，

z2z1表示圆上动点到点P2,1的距离，

定点P2,1到圆心的距离为22，

z1215

则圆上点到圆外定点的距离51z2z151，

故．

z2z1max51

1．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知复数z12i，i为虚数单位，z为z的共轭复数，则zz（）

A．62iB．62iC．512iD．512i

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【答案】D

【解析】由z12i可知z的共轭复数z12i，所以，zz12212i512i.

故选：D.

2．（25-26高二下·安徽·期中）若复数z1，z2满足z1z2z1z21，则z1z2z1z2（）

A．-1B．1C．iD．i

【答案】A

2

【解析】由z1z21和z1z21，得z1,z2是方程xx10的两个根，

13i

解得z，它们互为共轭复数，设z2z1，

1,22

2222

所以z1z2z1z2z1z2(z1z2)2z1z21211.

故选：A.

3．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数zmi（m为实数），且z2，则复数m3i4i在复平面

内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

【答案】C

【解析】由mi2，则m2122，得1m1，

复数m3i4i化简得3m4m1i，

由1m1可得3m40，m10，

则复数m3i4i对应的点在第三象限.

故选：C.

4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知复数z0在复平面内对应的向量OZ04,3，则下列关

于复数z0的说法正确的是（）

A．z043iB．z0的虚部为3i

C．z05D．复数z满足zz01，则z的最大值为6

【答案】ACD

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【解析】复数z0在复平面内对应的向量OZ0(4,3)，则z043i．

22

z0的虚部为3,|z0|4(3)5，故A，C正确，B错误；

由复数z满足|zz0|1，所以点Z的集合是以点4,3为圆心，以1为半径的圆，

所以|z|z016，故D正确．

故选：ACD.

5．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知复数z3a22a1(2a)i，aR在复平面内对应的点位于

第一象限，则a的取值范围为________．

1

【答案】,1,2

3

【解析】复数z3a22a12ai在复平面内对应的点为3a22a1,2a，

1

所以3a22a10且2a0，解得a,1,2，

3

1

则a的取值范围为,1,2.

3

1ai1i

6．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知z，aR，且z5，则a________．

1i

【答案】2

2

1ai1i1ai1i1ai2i

【解析】由题意得zai，

1i1i1i2

2

结合z5，得a125，解得a2.

1．（25-26高一下·山东青岛·期末）在复平面中，O为坐标原点，Z1，Z2，Z所对应的复数分别为z1，

△△

z2，z，且z3z14z2，Z1Z2Z的面积为S，则Z1Z2O的面积为（）

11

A．SB．SC．6SD．8S

86

【答案】B

【解析】设OAOZ1,OBOZ2,OCOZ，OC与AB相交于点D，

16/19

又z3z14z2，所以OC3OA4OB，

则ODOC3OA4OB，又A,B,D三点共线，

11

所以341，