2026新高二数学暑假专题：复数（原卷版）

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暑假作业08复数

【知识点1复数的有关概念】

形如z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a为实部，记作Rez；b为虚部，记作Imz，

复数定义

i叫作虚数单位.

实数b＝0，

复数z＝a＋bi

纯虚数a＝0，

虚数≠

a，b∈Rb0

非纯虚数a≠0.

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

复数分类

复数相等a＋bi＝c＋di

共轭复数a＋bi与c＋d⇔i共轭

―→⇔

向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝

复数的模

a2＋b2(r≥0，a，bR)

∈

【知识点2复数的几何意义】

复平面

建立来表示复数的平面叫做复平面

的概念

1/8

实轴、在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示；除原

虚轴点以外，虚轴上的点都表示

复数的

复数z＝a＋bi复平面内的点平面向量

几何表示

【知识点3复数的运算法则】

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，dR)，则

加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝∈；

①减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝;

②乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝；

③除法：＝＝＝

z1a+bia+bic−di

(2)运④算律z2c+dic+dic−di

复数的加法运算律：

①

结合律：＋＋z3＝z1＋＋；

�1�2�2�3

交换律：z1＋z2＝z2＋z1.

复数的乘法运算律：

②

结合律：··z3＝z1··；

�1�2�2�3

交换律：z1·z2＝z2·z1；

乘法对加法的分配律：z1·＋＝z1·z2＋z1·z3.

�2�3

(3)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行运算．如图给出的平行四边形

OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝，＝．

12

【知识点4复数运算的几个重要结论】OZZZ

(1)i的乘方具有周期性

2/8

4n4n＋14n＋24n＋34n4n＋14n＋24n＋3

i＝1，i＝i，i＝－1，i＝－i，i＋i＋i＋i＝0，nN＋.

∈

｜｜

＝｜｜2＝｜｜2；＝；＝；＝；

(2)z·z··｜｜

11

����

���1�2�1�2�2�2��

22

＋＋－＝2(｜z1｜＋｜z2｜).

22

�1�2�1�2

(3)复数z的方程或不等式在复平面上表示的图形

①|zz0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．

②|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．

③a≤≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.

�

（4）涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手

进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．

【题型1复数的概念与分类】

1．（25-26高一下·陕西宝鸡·期中）i是虚数单位，a,bR，则b0是abi为实数的（）条件．

A．充分不必要B．必要不充分

C．充要D．既非充分也非必要

ai

2．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知复数z的实部与虚部相等，则实数a的值为（）

12i

A．3B．3C．1D．1

3．（2025·全国一卷·高考真题）(15i)i的虚部为（）

A．1B．0C．1D．6

4．（25-26高一下·山西忻州·期中）已知复数z满足zz2，zz5，且z的虚部为正，则z2的虚部为（）

A．4B．2C．4D．5

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5．（25-26高三上·北京海淀·期末）复数2ai的共轭复数为bbia,bR，则a（）

A．1B．1C．2D．2

【题型2复数的几何意义】

2i

1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）已知复数z满足z，则z在复平面内对应的点所在的象限为

1i

（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2.（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（多选题）下列使得复数m1mi对应的点在第三象限的m的值为

（）

A．2B．1C．0D．1

3．（25-26高三下·云南昆明·期中）在复平面内，向量AB对应的复数为14i，向量AC对应的复数为3i，

则向量BC对应的复数为（）

A．45iB．45iC．23iD．23i

4（.25-26高一下·广东广州·期末）已知向量OZ对应的复数为3i，将OZ绕点O按顺时针方向旋转90，

得到OZ，则向量OZ对应的复数是（）．

A．13iB．3iC．13iD．3i

【题型3复数的四则运算综合】

z

1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若1i，则z（）

z1

A．1iB．1iC．1iD．1i

2．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知复数z123i,z212i，则z1z2（）

A．35iB．1iC．15iD．1i

3．（2024·全国甲卷·高考真题）若z5i，则izz（）

A．10iB．2iC．10D．2

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4．（2026·湖北·三模）已知复数z满足zz2i1z，则z（）

A．iB．iC．1iD．1i

5．（2026·上海·模拟预测）若复数z1与z2在复平面上分别对应点Z1与Z2，则“z1z20”是“OZ1OZ20”的

（）条件

A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要

【题型4复数的高次方运算】

1．（25-26高一下·安徽蚌埠·阶段检测）复数zi2i23i3在复平面内对应点的坐标为（）

A．2，0B．0，2C．2，2D．2，2

2i2026

2．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）复数z（其中i为虚数单位），则z（）

1i

A．1iB．1iC．1iD．1i

3．（25-26高三下·辽宁·阶段检测）复数z(1i)10的虚部为（）

A．32B．32iC．32D．32i

2027

1i

4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）已知i为虚数单位，复数z，则复数z的共轭复数的虚部

1i

为（）

A．iB．1C．iD．1

5．（25-26高一下·上海·期中）计算：ii2i2026__________.

【题型5复数范围内解方程】

1．（25-26高三下·云南昆明·阶段检测）已知1i是关于x的方程x2pxq0p,qR的一个根，则pq

（）

A．2B．0C．2D．4

2．（2026·湖南·三模）在复数范围内，方程x220的解集为（）

A．B．2i,2iC．2iD．2i,2i

3．（2026·重庆北碚·模拟预测）复数1i是关于x的方程x2axb0(a,bR)的根，则a（）

A．2B．0C．2D．2

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【题型6复数的模长及应用】

1．（25-26高一下·四川乐山·阶段检测）|34i|（）

A．13B．5C．5D．25

2．（2026·山东烟台·模拟预测）若复数z满足z222z30，则z（）

A．2B．2C．3D．3

3．（25-26高一下·贵州·期中）如图，在复平面内，已知复数z1，z2，z3，对应的向量分别是OA，OB，OC，

z1z211

(i是虚数单位)，已知z,则zi（）

z32

3

A．3B．1011C．611D．

2

4．（25-26高一下·江苏·期中）（多选题）已知复数z1和z2，下列说法正确的有（）

A．若z1z2，则z1z2

2

B．z1z1z1

C．z1z2z1z2z1z2

22

D．z1|z1|

【题型7与复数模有关的轨迹最值问题】

1．（25-26高一下·陕西榆林·期中）若复数z满足|z|2，则|z4|的最大值为（）

A．2B．4C．6D．8

2

2．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知复数z满足z2z，且z3，则z42i的最小值是（）

A．2B．3C．5D．13

3．（2026·安徽·模拟预测）已知z11，z234i，则z1z2的最小值为（）

6/8

A．3B．4C．5D．6

4．（25-26高一下·河北唐山·期中）复数z在复平面内对应的点为Z，若1z3，则点Z的集合对应的图

形的面积为（）

A．8B．4C．8πD．4π

5．（25-26高二下·上海·期中）已知i为虚数单位，若复数z1和复数z2满足z11i1，z2z1i，z1z2的

最大值为______．

6．（25-26高三下·上海·期中）已知复数z12i，复数z2满足z21，则z2z1的最大值为____________．

1．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知复数z12i，i为虚数单位，z为z的共轭复数，则zz（）

A．62iB．62iC．512iD．512i

2．（25-26高二下·安徽·期中）若复数z1，z2满足z1z2z1z21，则z1z2z1z2（）

A．-1B．1C．iD．i

3．（25-26高一下·重庆·期中）已知复数zmi（m为实数），且z2，则复数m3i4i在复平面

内对应的点位于（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4．（25-26高一下·河北石家庄·期中）（多选题）已知复数z0在复平面内对应的向量OZ04,3，则下列关

于复数z0的说法正确的是（）

A．z043iB．z0的虚部为3i

C．z05D．复数z满足zz01，则z的最大值为6

5．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）已知复数z3a22a1(2a)i，aR在复平面内对应的点位于

第一象限，则a的取值范围为________．

1ai1i

6．（25-26高一下·上海奉贤·期中）已知z，aR