小学数学五年级上册“一个数除以小数（1）”知识清单

小学数学五年级上册“一个数除以小数（1）”知识清单一、核心概念体系（一）除数是小数的除法【核心概念】【基础】在除法运算中，当除数由整数扩展到小数时，我们面临着新的计算挑战。一个数除以小数的核心，在于理解和运用“转化”思想，将未知的、复杂的问题转化为已知的、简单的问题。具体而言，就是利用商不变的性质，将除数是小数的除法转化为我们已经学过的除数是整数的除法进行计算。这不仅是本课时的核心，也是整个小学数学计算教学中的重要转折点，它打通了整数除法、小数除法乃至分数除法之间的内在联系。（二）商不变的性质【基石】【★】商不变的性质是贯穿整个除法运算，特别是小数除法学习的灵魂。其完整的表述是：在除法里，被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。用字母可以表示为：a÷b=(a×c)÷(b×c)（c≠0），或a÷b=(a÷c)÷(b÷c)（c≠0）。在本课时“一个数除以小数”中，我们主要运用的是“同时乘一个相同的数”这一规则，目的是将除数变成整数。深刻理解并熟练运用这一性质，是掌握本课算法的基础。（三）转化思想【核心素养】【热点】转化思想是数学学习中最重要的思想方法之一。在本课时，它体现为将“除数是小数的除法”转化为“除数是整数的除法”。这种转化不是随意的，而是有理论依据的（商不变的性质），并且有明确的操作路径（移动小数点）。学生需要意识到，转化的目的是为了“降维”，将新知识纳入到已有的认知结构中去，从而用旧知识解决新问题。这不仅是知识的习得，更是思维能力的提升。二、基本算理与算法（一）算理深度解析【理解关键】【★】为什么一个数除以小数，可以通过移动小数点来计算？其根本原因在于计数单位的变化。例如，计算0.8÷0.4。我们可以从两个角度理解：1.包含除的角度：0.8里面包含多少个0.4？也就是问0.8是0.4的几倍。将0.8和0.4同时扩大到原来的10倍，变成8÷4，即看8里面包含多少个4，结果仍是2。在这个过程中，被除数和除数的计数单位都从十分之一变成了个位（或者说从0.1变成了1），单位的统一使得除法得以进行。2.等分除的角度：将0.8平均分成0.4份，求每份是多少？这个角度比较抽象。更普遍的理解是，我们利用商不变性质，将除数是小数的除法，转化成了我们熟悉的除数是整数的除法，从而计算出结果。转化后的计算，其计数单位已经统一为整数单位，因此商不变。（二）算法规范化步骤【操作指南】【高频考点】计算一个数除以小数，如12.6÷0.28，应遵循以下规范化步骤：1.观察与定位：首先观察除数是几位小数。本例中，除数是0.28，是两位小数。2.移动除数小数点【关键操作】：根据商不变的性质，为了将除数变成整数，需要将除数的小数点向右移动两位（即乘100）。0.28→28。3.移动被除数小数点【同步操作】：除数的小数点向右移动了几位，被除数的小数点也必须同步向右移动相同的位数。如果被除数位数不够，要在末尾用“0”补足。本例中，12.6是两位小数吗？12.6只有一位小数，小数点向右移动两位，需要补一个0，变成1260。4.按照除数是整数的除法计算：转化后，原式变为1260÷28。现在，按照除数是整数的小数除法（或整数除法）进行计算。5.确定商的小数点：由于被除数在移动小数点后变成了整数（1260），因此商是整数。但在更一般的情况下，如果转化后的被除数仍是小数，商的小数点应与转化后新的被除数的小数点对齐。6.验算：用商乘原来的除数，看是否等于原来的被除数。即45×0.28=？通过计算，验证结果是12.6，证明计算正确。（三）竖式书写规范【必须掌握】【基础】规范的竖式书写是正确计算的重要保证。以12.6÷0.28为例：1.写出竖式除号，将被除数12.6写在除号里面，除数0.28写在除号外面。2.【划、移、点】在除数的小数部分（0.28），用斜线划掉小数点，表示它的小数点向右移动了两位，使它变成了整数28。同时，观察除数移动的位数（两位）。3.在被除数12.6上，根据除数移动的位数，移动小数点。由于除数移动了两位，被除数12.6的小数点也需要向右移动两位。12.6只有一位小数，所以先在它后面添上一个0，变成12.60。然后用斜线划掉原来的小数点，并在新的位置（即1260的末尾）点上新的小数点（因为1260可以看作是1260.，小数点实际上在个位后面，但通常省略不写）。竖式中，这个过程常常简化为直接在被除数上划掉原小数点，并在移动后的新位置点出小数点，位数不足时先补0再点。4.然后计算1260÷28，按照整数除法计算，商45写在除号上面。5.检查商的小数点位置。因为转化后的被除数是整数，所以商是整数，不需要再点小数点。三、标准计算范式与示例（一）基本类型：被除数与除数小数位数相同【题型示例】计算7.2÷0.8。【思维路径】除数是0.8，是一位小数。将除数和被除数的小数点同时向右移动一位，转化为72÷8。【计算过程】72÷8=9。【结果】所以，7.2÷0.8=9。【考点】直接应用算法，步骤简单，重在理解算理。（二）进阶类型：被除数小数位数少于除数【难点】【题型示例】计算4.5÷0.25。【思维路径】除数是0.25，是两位小数。要将它变成整数25，小数点需向右移动两位。被除数4.5是一位小数，小数点向右移动两位时，位数不够，必须在末尾补一个“0”来占位，变成450。（注意：4.5的小数点向右移动一位是45，移动两位是450，即4.5扩大100倍）【计算过程】转化后算式为450÷25=18。【结果】所以，4.5÷0.25=18。【重要提醒】补“0”是此类型的关键步骤，也是最容易出错的地方。（三）高级类型：被除数是整数【题型示例】计算12÷0.8。【思维路径】除数是0.8，是一位小数。将其转化为整数8，小数点向右移动一位。被除数12是整数，可以看作12.0，小数点就在个位后面（通常不写）。小数点向右移动一位，得到120。（即12扩大10倍）【计算过程】转化后算式为120÷8=15。【结果】所以，12÷0.8=15。【思维拓展】理解整数的小数点位置（隐性的小数点）是解决此类问题的前提。（四）混合类型：被除数小数位数多于除数【题型示例】计算2.376÷0.12。【思维路径】除数是0.12，是两位小数。将其转化为整数12，小数点向右移动两位。被除数2.376是三位小数，小数点向右移动两位，变成237.6。（注意：小数点移动后，被除数变成了237.6，仍然是小数）【计算过程】转化后算式为237.6÷12。这是一个除数是整数的小数除法，按照其计算法则进行计算。237.6÷12=19.8。（计算过程：12×19=228，=9，落下6，96÷12=8，商的小数点与被除数237.6的小数点对齐）【结果】所以，2.376÷0.12=19.8。【重要考点】此类题型综合考查了“一个数除以小数”和“除数是整数的除法”两个知识点。四、深度思维拓展（一）逆向思维与填空题型【高频考点】【典型例题】在括号里填上合适的数。3.6÷0.4=()÷40.25÷0.5=()÷54.8÷1.2=()÷12【解题思路】这类题目是计算法则的逆向应用。等号两边结果相等，右边的除数已经变成了整数，问被除数应是多少。这实际上就是要求我们思考，左边的除数是怎样变成右边的整数的（乘了几），然后左边的被除数也必须乘相同的数。例如第一题，0.4变成4是乘10，所以3.6也乘10得36。【易错点】部分学生可能会误以为只是简单地去掉小数点，而忽略了“同时扩大相同倍数”的核心原则。（二）估算与试商【应用场景】在进行精确计算前，先进行估算，可以快速判断结果的合理性，并帮助确定商的大致范围。【示例】估算8.2÷0.95。【方法】因为0.95接近1，所以8.2÷0.95的结果应该接近8.2。又因为除数0.95小于1，所以商应该比被除数8.2略大。估算可以锁定结果在8.6左右。精确计算后，如果得到86或0.86，显然是错误的。【培养目标】估算能力的培养有助于学生建立数感，提高计算的准确性和效率。（三）规律的探索与发现【深度思考】【探究活动】计算并观察下面各组算式，你发现了什么？第一组：4÷0.5=8，4÷1=4，4÷2=2第二组：7.2÷0.8=9，7.2÷1=7.2，7.2÷1.2=6【规律总结】当被除数不变时：1.除数大于1（如2，1.2），商小于被除数。2.除数等于1，商等于被除数。3.除数小于1（如0.5，0.8），商大于被除数。【重要结论】这个规律是判断商与被除数大小关系的重要依据，也是检验计算是否合理的有效方法。五、常见题型与考点分析（一）直接写出得数【基础】【考点】考查对计算法则的熟练程度。【示例】0.5÷0.5=4.2÷0.6=0.16÷0.08=【解答要点】快速移动小数点，转化为整数除法计算。（二）列竖式计算【核心考题】【★】【考点】全面考查计算步骤、小数点处理、补“0”法则以及竖式书写的规范性。【示例】1.2.8÷0.42.7.65÷0.853.1.2÷0.254.6÷0.15【解答要点】严格按照“一看（除数位数）、二移（移动小数点）、三算（按整数除法算）”的步骤进行，确保竖式清晰、规范。（三）改错题【易错点聚焦】【难点】【考点】诊断学生对算理和算法的理解深度，识别常见错误。【示例】下面的计算对吗？如果不对，错在哪里？请改正。15————0.9丿1359———4545———0【错误分析】此题中，除数是0.9，是一位小数，应该将除数和被除数的小数点同时向右移动一位，变成135÷9。竖式中虽然计算结果15是正确的，但书写不规范，没有体现出小数点移动的过程，容易导致后续学习更复杂题目时出错。正确的竖式应体现划掉0.9的小数点，并将13.5的小数点向右移动一位变成135的过程。【常见错误类型】1.直接去除小数点：如4.8÷1.2看作48÷12。2.移动位数不一致：如6.25÷0.5，只移动除数的小数点（0.5→5），而不移动被除数的小数点（仍用6.25计算）。3.补“0”错误：如2.4÷0.06，除数移动两位，被除数是一位小数，忘记补一个0，变成24÷6。4.商的小数点位置错误：如2.376÷0.12转化后为237.6÷12，计算时忘记商的小数点要与新的被除数的小数点对齐。（四）在○里填上“＞”“＜”或“＝”【高频考点】【考点】考查商与被除数的大小关系规律。【示例】3.6÷0.9○3.64.2÷1.2○4.25.5÷1○5.57.8÷0.1○7.8【解答要点】应用规律：除数大于1，商小于被除数；除数小于1，商大于被除数；除数等于1，商等于被除数。（五）列式计算【文字题】【考点】将文字语言转化为数学算式的能力。【示例】1.两个因数的积是8.4，其中一个因数是0.6，另一个因数是多少？2.一个数的1.2倍是9.6，这个数是多少？【解答要点】理解乘除法的互逆关系。第1题：积÷一个因数=另一个因数，即8.4÷0.6。第2题：一个数×1.2=9.6，所以这个数=9.6÷1.2。（六）解决问题【综合应用】【热点】【考点】将小数除法应用于实际生活情境，考查分析问题和解决问题的能力。【题型1：归一问题】小明用4.5元买了0.5千克苹果，每千克苹果多少元？【数量关系】总价÷数量=单价，即4.5÷0.5。【计算】4.5÷0.5=9（元）。【题型2：包含除问题】一根绳子长7.2米，要截成每段长0.8米的小段，可以截成多少段？【数量关系】总长÷每段长=段数，即7.2÷0.8。【计算】7.2÷0.8=9（段）。【题型3：比较复杂的实际问题】王阿姨用一根25米长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5米丝带，这些红丝带最多可以包装多少个礼盒？【数量关系】丝带总长÷每个礼盒用量=礼盒数量，即25÷1.5。16.666...25÷1.5=16.666...。这是一个“去尾法”的问题，因为包装礼盒必须是完整的，所以最多可以包装16个。虽然本课时重点是计算，但也为后续学习“进一法”和“去尾法”埋下伏笔。【易错点】在解决实际问题时，学生往往能列出正确算式，但在计算过程中可能出错，或者忽略了结果的单位以及结果的合理性（如礼盒数量必须是整数）。六、易错点深度剖析与避坑指南（一）小数点移动的“不同步”【现象描述】学生在移动小数点时，只关注除数，而忘记了被除数也要同步移动。【错误示例】计算3.6÷1.2，写成36÷1.2或3.6÷12。【避坑指南】牢记商不变性质的核心是“同时”。可以引导学生这样想：除数是“1.2”，它想变成“12”，必须“×10”。为了保证商不变，被除数“3.6”也必须“×10”，变成“36”。这是一个恒等变形的过程。（二）位数不足时“补0”意识薄弱【现象描述】当被除数的小数位数少于除数时，学生不知道或忘记用“0”来补足位数。【错误示例】计算2.4÷0.06，错误地写成24÷6或2.4÷6。【避坑指南】明确小数点移动的位数是由除数决定的。除数0.06是两位小数，要变成整数6，必须向右移动两位。被除数2.4只有一位小数，向右移动一位变成24，移动第二位时，24后面没有数字了，这时就需要用“0”来占位，表示24.0的小数点向右移动一位？不对，24可以看作是24.0，小数点向右移动一位是240。关键是理解：移动的是小数点，数字的每一位都要跟着移动。2.4小数点向右移动一位是24，此时24的个位是4，小数点移动到4的后面？24如果写成24.0，小数点向右移动两位，就是240。所以，当移动的位数超过原数字的数位时，就必须在末尾补0。（三）竖式书写不规范导致后续计算错误【现象描述】学生在竖式中，不体现小数点移动的过程，或者随意点、划，导致对运算对象的认知混乱。【错误示例】在竖式1.28÷0.32中，直接在原竖式上计算128÷32，而不展示1.28和0.32的小数点是如何移动的。【避坑指南】严格的竖式书写过程是思维过程的体现。必须要求学生在竖式中用斜线划掉原来的小数点，并在新的位置点上小数点，对于补的“0”也要清晰地写出来。这有助于学生将抽象的“转化”过程具象化，减少错误。（四）商中间或末尾有0的处理【现象描述】当转化后的被除数某一位不够除时，忘记商0占位。【错误示例】计算1.26÷0.28。转化后为126÷28。28×4=112，=14，此时应该在商的个位4的后面点上小数点，然后落下被除数的下一位（0？）这里1.26转化后是126，没有小数部分了？不对，1.26÷0.28，被除数是两位小数1.26，除数是两位小数0.28，小数点同时向右移动两位，得到126÷28。但126÷28，个位商4，余14，此时应该继续除，在14后面补0，变成140个十分之一，再在商的十分位上商5，得到4.5。这个过程涉及到整数除法中除不尽时补0继续除，以及商的小数点的处理。【避坑指南】这是一个综合难点。学生需要明确，转化后的除法，如果除不尽，可以按照除数是整数的小数除法法则，在被除数末尾添0继续除。商的整数部分结束后，要点上小数点，再继续除十分位、百分位……（五）商与被除数的大小关系混淆【现象描述】受整数除法“商总是小于被除数”的思维定势影响，学生对于除数小于1时商大于被除数的情况感到困惑。【避坑指南】通过大量实例计算和对比，引导学生发现并归纳规律。可以结合生活实例，比如“用0.5米长的尺子去量1米长的绳子，需要量几次？”（2次，商大于被除数）来加深理解。七、知识纵横与跨学科联结（一）与计量单位的换算在解决涉及单位换算的实际问题时，常常用到小数除法。例如，将低级单位的名数聚成高级单位的名数，就需要用除法。【示例】45厘米=()米。【分析】因为1米=100厘米，所以45厘米=45÷100=0.45米。这里就包含了除数是整数的除法。【拓展】如果将4.5分米=()米，则是4.5÷10=0.45米。更复杂的如：将4元5角平均分给3个人，每人分得多少元？需要先将复名数转化为单名数（4.5元），再计算4.5÷3，或4.5÷0.3（如果平均分给0.3个人，这不符合实际，但能体现除法）。这体现了数学与生活的紧密联系。（二）与几何图形的联系【示例】已知一个长方形的面积是7.2平方米，长是2.4米，宽是多少米？【分析】根据长方形面积公式：长×宽=面积，所以宽=面积÷长，即7.2÷2.4。【计算】7.2÷2.4=3（米）。【拓展】已知三角形的面积是12.6平方厘米，底是4.2厘米，高是多少厘米？【分析】三角形面积公式：S=(底×高)÷2，所以底×高=2S，高=2S÷底=(12.6×2)÷4.2=25.2÷4.2。【计算】25.2÷4.2=6（厘米）。这需要两步运算，综合了乘法和小数除法。（三）与统计初步的联系【示例】某小组5名同学的身高分别是1.38米、1.42米、1.50米、1.48米、1.52米，他们的平均身高是多少米？【分析】平均数=总数÷份数。总数=1.38+1.42+1.50+1.48+1.52=7.3米，份数=5。所以平均身高=7.3÷5。这是一个除数是整数的小数除法。【拓展】如果题目改为知道平均身高和人数，求总身高，则用乘法。这里除法是作为逆运算出现的。（四）与科学常识的联系【示例】光在真空中的传播速度约为每秒30万千米，太阳光照射到地球上大约需要500秒。地球到太阳的距离大约是多少万千米？【分析】距离=速度×时间=30×500=15000万千米。【逆向问题】地球到太阳的距离约为1.5亿千米（即15000万千米），光速约为每秒30万千米，太阳光照射到地球上大约需要多少秒？【分析】时间=距离÷速度=15000÷30=500（秒）。这是一个整万数除以整十数的除法。【深化】如果距离以千米为单位，光速以千米/秒为单位，涉