初中数学九年级中考一轮复习：相似三角形（含位似）教学设计

初中数学九年级中考一轮复习：相似三角形（含位似）教学设计

一、课标解读与考情分析

【基础】依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本专题属于“图形与几何”领域中“图形的变化”和“图形的相似”主题。核心要求包括：理解相似图形的概念，掌握相似三角形的判定定理与性质定理；理解位似变换，能利用位似将一个图形放大或缩小；能利用相似三角形的性质与判定解决实际生活中的测量问题；在平面直角坐标系中，探索并了解位似变换后坐标的变化规律。【重要】中考对本专题的考查呈现出“基础与能力并重”的态势，既要求熟练掌握相似三角形的判定与性质这一核心主干知识，又强调在复杂几何图形或函数综合题中，作为工具性知识进行线段计算、角度推导和数量关系证明的能力。【高频考点】相似三角形的判定与性质、相似三角形的“A字型”“8字型”等基本模型、与四边形和圆的综合、与函数结合的存在性问题、位似图形的作图与坐标变换，以及利用相似解决实际测量问题（如测高、测距），是历年中考的命题热点。

二、教学目标定位

1.知识与技能：系统梳理相似三角形的定义、判定定理及性质定理，理解位似图形的概念与性质。能够熟练运用这些知识进行几何证明与计算，准确解决位似变换下的坐标问题。

2.过程与方法：通过对基本图形的变式训练和综合题的分析，引导学生提炼相似的基本模型（如“A字型”、“一线三等角”等），体会类比、转化和数形结合的思想。

3.情感态度与价值观：在解决实际问题（如测量金字塔高度、河宽）的过程中，建立数学模型意识，感受数学的应用价值与逻辑之美。

三、教学重难点

1.教学重点：相似三角形的判定与性质的综合运用；位似图形及坐标变换规律。

2.教学难点：在复杂的几何图形中准确寻找或构造相似三角形，特别是“旋转型”相似和非典型的“一线三等角”模型；理解并应用“对应顶点连线交于一点”这一位似本质。

四、教学实施过程

（一）知识图谱建构——唤醒记忆，编织网络

本环节采用“问题串”形式，引导学生回顾核心知识点，实现知识的结构化。【基础】

教师引导学生思考：判断三角形相似有哪些基本方法？这些方法与三角形全等的判定有何联系与区别？学生通过对比“SSS、SAS、ASA、AAS、HL”与“AA、SAS、SSS、HL（直角）”，深刻领悟相似是“形状相同，大小不同”，而全等是相似的特例（相似比为1）。接着，教师通过动态几何画板演示，提问：“当DE平行于BC时，你能得到哪些比例关系？如果DE与BC不平行，但满足∠ADE=∠ABC，结论又当如何？”以此引出平行线分线段成比例的基本事实及其推论，这是连接平行线与相似三角形的桥梁。【重要】教师还需强调性质定理的“双刃剑”作用：不仅对应边成比例，对应高、中线、角平分线以及周长也等于相似比，而面积比等于相似比的平方，这是解决面积问题的关键。【高频考点】最后，通过展示两个大小不同但位置中心对称的图片，引入位似，辨析“位似是一种特殊的相似，其特殊之处在于对应顶点的连线交于一点（位似中心）”。

（二）核心模型突破——提炼基本，以静制动

本环节将中考常见的相似模型进行专题化归纳，提升学生的图形洞察力。【难点】

1.平行线型（A字型与8字型）：【高频考点】教师给出一个梯形及过腰上一点作平行于底的直线，让学生找出图中的相似三角形。引导学生总结：在复杂的平行图形中，只要有平行线，必能找到“A字型”或“8字型”相似。变式训练：将A字型中的“平行”条件改为“∠ADE=∠B”，此时虽无平行，但依然相似（旋转型A字），深化对“AA”判定的理解。

2.相交线型（反A共角型与反8型）：【重要】呈现△ABC，点D在AB上，问当∠ACD=∠B时，△ACD与△ABC有何关系？学生发现这是一种“嵌在内部”的公共角相似，其核心结论是“AC²=AD·AB”。教师强调，这是证明比例中项（射影定理的一部分）的几何基础。

3.一线三等角型（K型图）：【热点】从一个等腰直角三角形顶点在直线上的情景出发，引出同侧一线三等角模型。教师通过改变直线上角的度数（如60°或任意角），引导学生发现当三个角相等时，左右两个三角形必然相似。接着将图形演变至矩形折叠问题或坐标系中，展示其在解决点的坐标和函数解析式中的妙用。

4.旋转型相似：【难点】教师展示两个相似三角形绕一个顶点旋转的动画，引导学生发现：旋转后，虽然位置改变，但对应角相等，对应边成比例的性质不变，且往往伴随着另一对三角形（由对应边构成的三角形）相似，这是手拉手模型的基础。

（三）综合应用提升——聚焦中考，思维进阶

本环节设计两个综合性例题，训练学生的逻辑推理和数学建模能力。【高频考点】

例题1（生活应用·测量问题）：【重要】教师提出问题：“如何用相似三角形的知识测量操场上旗杆的高度？”引导学生分组讨论不同的方案（如利用阳光下的影子、利用标杆、利用镜面反射）。每组派代表阐述原理，画出对应的几何图形（分别对应平行投影型、中心投影型、反射型相似），并说明需要测量的数据。教师点评不同方案的优缺点，重点强调反射型中入射角等于反射角所导致的等角关系，强化“AA”判定的应用。

例题2（几何综合·与四边形结合）：【难点】在矩形ABCD中，点E是AD边上的一动点，连接BE，作CF⊥BE于F，交CD于G。求证：△ABE∽△FCB；当AB=4，BC=8时，设AE=x，请用含x的代数式表示BG的长度，并求BG的最小值。教师引导学生分析：第一问通过同角的余角相等找等角；第二问先用第一问的相似建立比例关系表示出BF，再观察BCG与何三角形相似，或者利用勾股定理构建函数关系，最终转化为二次函数求最值问题。此题巧妙融合了相似与函数，体现了数形结合思想。

（四）位似与坐标变换——数形结合，拓展视野

本环节重点处理位似这一特殊变换，特别是与平面直角坐标系的结合。【基础】

教师通过几何画板展示，以原点O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍。提问：“对应顶点的坐标发生了什么变化？”引导学生发现规律：若位似中心为原点，相似比为k，则原图形上的点（x,y）对应点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky），即对应点在位似中心同侧时坐标符号相同，异侧时坐标符号相反。【重要】针对中考典型例题：给出一个三角形和位似中心O，要求画出以O为位似中心、相似比为1：2的位似图形。教师强调作图的规范性：连接位似中心与关键点，根据相似比在射线（或反向延长线）上取点，最后顺次连接。同时，通过网格作图题，训练学生在网格中根据坐标变化找位似中心或求相似比。

（五）微专题：相似三角形与存在性问题——挑战满分，培养素养

针对优生，本环节设计一道动点存在性问题，培养高阶思维。【热点】

问题情境：在平面直角坐标系中，已知A、B两点坐标，在坐标轴上找一点P，使得△ABP与以某线段为边的三角形相似。教师引导学生进行分类讨论：首先确定已知三角形的形状（求三边长，判断是否为特殊三角形如等腰、直角）；然后确定对应关系的不确定性，即哪个角与哪个角对应。通常按照“定角分类”的思路：先找出两个三角形中必然相等的角作为对应角（定对应关系），然后分两种情况讨论另外两边对应成比例。或者当无法确定相等角时，按“三边对应成比例”或“两边夹角”分多种情况讨论，培养学生思维的缜密性。

五、教学设计反思

本教学设计立足于“以学生为主体”，通过“知识图谱建构”实现复习内容的系统化；通过“核心模型突破”实现解题思路的模式化；通过“综合应用提升”实现思维训练的层次化；最后通过“微专题拓展”实现优生培养的个性化。整个教学过程注重数学思想方法（类比、转化、数形结合、分类讨论）的渗透，力求让学生在掌握知识的同时，提升几何直观和逻辑推理的数学核心素养，从而在中考中应对自如。

板书设计

初中数学九年级中考一轮复习：相似三角形（含位似）

一、知识框架