初中七年级数学（人教版）上册核心知识清单：有理数的乘法法则

初中七年级数学（人教版）上册核心知识清单：有理数的乘法法则一、【核心素养与目标导航】——本课学习的终极要求（一）【课程标准要求】▲▲▲理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法法则，能熟练进行有理数的乘法运算；能运用有理数乘法解决简单的实际问题；经历探索有理数乘法法则的过程，体会有理数乘法法则的合理性，渗透分类讨论、数形结合与化归的数学思想。（二）【本课核心目标】1、【知识技能】▲▲▲掌握有理数乘法法则，能准确、熟练地进行两个有理数的乘法运算；理解倒数的概念，能求出一个有理数的倒数。2、【数学思考】▲▲经历从特殊到一般的探索过程，通过观察、归纳、猜想、验证得出法则，培养合情推理能力；体会乘法法则与加法法则的内在联系与区别。3、【问题解决】★能利用有理数乘法解决生活中具有相反意义的量的问题，如行程、水位变化、气温变化等。4、【情感态度】感受数学与现实的紧密联系，体验从算术到代数的扩展过程中蕴含的数学美。（三）【本课重难点突破】1、【教学重点】★★★有理数乘法法则的掌握与熟练运用，特别是积的符号法则。2、【教学难点】★负数与负数相乘时积的符号为正的理解（即“负负得正”的合理性）。3、【易错点】▲▲▲积的符号判断错误；0乘以任何数得0，而非仍得原数；带分数、小数参与运算时未先化为假分数或分数形式；倒数与相反数的概念混淆。二、【核心知识精讲】——有理数乘法的基石（一）有理数乘法法则的探究与归纳【非常重要】1、【情境引入】——数形结合思想的渗透通常借助“蜗牛在数轴上爬行”的模型或“水位变化”模型来探究。规定：以原点为起点，向右（或上升）为正，向左（或下降）为负；现在之后为正，现在之前为负。2、【规律探究过程】——分类讨论思想的体现通过以下六种情形，观察积的符号与绝对值的变化规律：情形一：正数×正数（例如：（+2）×（+3）=+6）情形二：正数×负数（例如：（+2）×（3）=6）情形三：负数×正数（例如：（2）×（+3）=6）情形四：负数×负数（例如：（2）×（3）=+6）情形五：零×任何数（例如：0×（3）=0）情形六：任何数×零（例如：（2）×0=0）3、【观察要点】：从符号上看：两数同号（正正、负负）时，积为____？两数异号（正负、负正）时，积为____？从绝对值上看：积的绝对值与各乘数的绝对值有什么关系？当一个因数为0时，积是多少？（二）有理数乘法法则【核心法则】▲▲▲1、【法则正文】：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2、【法则解读】：（1）两步走战略：有理数乘法本质上分为“确定符号”和“计算绝对值”两步。这与小学乘法（只有正数和0）的最大区别在于增加了符号判定。（2）符号口诀：“正正得正，负负得正，正负得负，负正得负”。也可记为“同号取正，异号取负”。（3）绝对值的计算：符号确定后，剩下的运算就是小学学过的算术乘法（绝对值都是非负数）。（三）法则的数学语言表述设a、b为正有理数，c为任意有理数，则：（+a）×（+b）=+（a×b）（a）×（b）=+（a×b）（a）×（+b）=（a×b）（+a）×（b）=（a×b）c×0=00×c=0（四）倒数【基础概念】☆1、【定义】：乘积是1的两个数互为倒数。2、【数学表示】：若a×b=1，则a与b互为倒数。反之，若a与b互为倒数，则a×b=1。3、【重要性质与求法】：（1）正数的倒数是正数，负数的倒数是负数（因为同号得正，异号得负，要得到正数1，必须同号）。（2）0没有倒数。（因为0乘以任何数都得0，不可能得1）（3）求一个数（0除外）的倒数，只需把这个数的分子分母颠倒位置。整数可以看成分母为1的分数，小数要化成分数，带分数要化成假分数。例如：2的倒数是1/2；3的倒数是1/3；2/3的倒数是3/2；0.2（即1/5）的倒数是5。（五）【知识拓展】——多个有理数相乘的符号法则（为下一课时铺垫，但本课需渗透）几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。三、【高频考点与典型例题剖析】——学会怎么考、怎么做（一）考点一：直接运用法则进行两个有理数的乘法运算【必考/基础】1、【考查方式】：通常以选择题或计算题的第一小题出现，直接给出两个数相乘，要求选出正确结果或进行计算。2、【解题步骤】★★★：第一步（判号）：看两数是同号还是异号，是否有0。第二步（定值）：把绝对值相乘。第三步（写结果）：将符号与绝对值组合。3、【典型例题】：计算：（1）（3）×9；（2）（8）×（1.25）；（3）0×（5）；（4）1/2×(4/3)解：（1）（3）×9（异号得负）=（3×9）=27（2）（8）×（1.25）（同号得正）=+（8×1.25）=10（3）0×（5）=0（4）1/2×(4/3)（异号得负）=（1/2×4/3）=2/34、【特别提示】▲▲▲：（1）当乘数是小数时，一般先化成分数再相乘，如1.25=5/4，与8相乘为10，比较简便。若小数与分数混合，可统一成小数或分数。（2）当乘数是带分数时，必须化成假分数后再相乘。例如：11/2×2/3，应化为3/2×2/3=1。（二）考点二：利用法则判断积的符号或因数符号【高频考点】▲▲1、【考查方式】：给出ab>0或ab<0的条件，结合a+b>0或a+b<0，判断a、b的正负性；或根据数轴上点的位置，判断两数乘积的正负。2、【解题关键】：牢记“同号得正，异号得负”。3、【典型例题】：例1：如果两个有理数的积是负数，和是正数，那么这两个有理数（）A.都是正数B.都是负数C.一正一负且正数的绝对值大D.一正一负且负数的绝对值大【解析】：积为负，说明两数异号（一正一负），排除A、B。和为正，说明正数的绝对值大于负数的绝对值（因为和取绝对值较大的加数的符号）。故选C。例2：有理数a、b在数轴上的位置如图所示（a<0，b>0，且|a|>|b|），则下列结论正确的是（）A.a+b>0B.ab<0C.ab>0D.ab<0【解析】：由数轴知a<0，b>0，异号，所以ab<0。故选D。（三）考点三：倒数的概念及求法【基础/必考】☆1、【考查方式】：直接求一个数的倒数，或与相反数、绝对值结合考查。2、【易错提醒】：2的相反数是2，2的倒数是1/2，2的绝对值是2。三者极易混淆。3、【典型例题】：例1：1.5的倒数是（）A.3/2B.3/2C.2/3D.2/3【解析】：1.5=3/2，分子分母颠倒位置得2/3。故选C。例2：若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，求(a+b)cd+m的值。【解析】：由题意得：a+b=0，cd=1，m=±2。当m=2时，原式=01+2=1；当m=2时，原式=01+(2)=3。所以代数式的值为1或3。（四）考点四：有理数乘法的实际应用【热点/生活情境】★1、【考查方式】：结合行程、气温变化、水位变化、销售盈亏等实际问题，考查用正负数表示相反意义的量并进行乘法运算。2、【典型例题】：例：某地某天中午12时的气温是7℃，过5小时气温下降了4℃，又过7小时气温又下降了4℃，第二天0时的气温是多少？【解析】：下降记为负。两次下降的总变化为(4)+(4)=8℃，但这里是乘法模型：每小时变化是一个量，经过若干小时后的总变化可以用乘法。更直接的理解：每次下降4℃，一共两次类似的变化？此题数据稍有不妥，改为：某登山队攀登一座山峰，每登高1km，气温变化量为6℃，攀登3km后，气温有什么变化？解：(6)×3=18（℃）。答：气温下降18℃。四、【易错点与难点深度剖析】——扫清学习障碍（一）【难点突破】：“负负得正”为什么不那么“显然”？这是本课最大的难点。很多同学会困惑：为什么“负数乘以负数”会得到正数？它不是来自生活直观（蜗牛向左爬，时间向前，位置向左，这仍是负；而蜗牛向左爬，时间倒退，位置反而到了右边，这需要一定的空间想象力），而是来自数学内部对运算规律一致性的追求。1、【从规律角度理解】：观察下面一组算式：(3)×3=9(3)×2=6(3)×1=3(3)×0=0(3)×(1)=??观察左边，乘数3、2、1、0每次减少1，右边的积9、6、3、0每次增加3。为了保持这个规律，当乘数由0再减少1变成1时，积也应该在0的基础上增加3，即0+3=3，为正数。(3)×(2)则在3的基础上再增加3，得6。这就体现了数学的和谐美与规律美。2、【结论】：法则不是凭空捏造的，而是为了在引进负数后，使得原有的运算规律（如乘法分配律）仍然成立而人为定义但又极其合理的规则。（二）【易错点1】：符号确定错误▲▲▲这是初学有理数乘法时最常见的错误。【案例】：计算(2)×(3)=6；计算(5)×3=15。【纠错策略】：每次做题前，强制自己先看符号，口中默念口诀：“同号得正，异号得负”。(2)和(3)是同号，应该得正，结果是+6；(5)和3是异号，应该得负，结果是15。（三）【易错点2】：0乘任何数处理不当【案例】：计算0×(5)=5。【纠错策略】：任何数同0相乘，都得0。这是法则的明确规定，不受另一个因数的符号影响。0既不是正数也不是负数，它的乘法结果就是0。（四）【易错点3】：带分数、小数参与运算时处理不当【案例】：计算11/2×2/3=1×(1/2×2/3)=1×1/3=1/3。【分析】：这种做法错误地将带分数11/2拆成了1和1/2，但带分数是一个整体，表示11/2=3/2。【正确做法】：先将带分数化为假分数：11/2=3/2，然后计算(3/2)×2/3=1。【小数处理】：计算(0.25)×(4)=?可将0.25化为1/4，则(1/4)×(4)=+1。也可直接计算0.25×4=1，再判号同号得正，得1。（五）【易错点4】：倒数与相反数混淆【案例】：2的倒数是2。【分析】：倒数是乘积为1的两个数，2与2的乘积是4，不是1。2的倒数应该是1/2，因为(2)×(1/2)=1。五、【思想方法与解题技巧】——提升数学素养（一）【分类讨论思想】★★★贯穿有理数乘法法则探究的始终。将两个因数按符号特征分为：正正、正负、负正、负负、与0相乘等几种情况，分别研究其规律，最后归纳出统一的法则。这种“化整为零，各个击破”的思想是解决复杂问题的利器。（二）【数形结合思想】★★利用数轴上的“蜗牛爬行”模型，将抽象的数的运算与直观的图形（点的位置、方向、距离）结合起来，帮助我们理解“负负得正”这一看似抽象的规则，使法则变得更加具体、可信。（三）【化归（转化）思想】▲▲▲有理数乘法运算的核心就是化归。无论多么复杂的有理数乘法（只要不是0），第一步通过符号法则将其符号确定下来，第二步就将问题转化为小学的算术乘法（绝对值相乘）。这种“把新知识转化为旧知识”的策略，是数学学习中最基本、最重要的方法。（四）【解题通法】——“一判二定三写”进行两个有理数乘法运算的标准流程：一判：判断两个因数的符号关系（同号？异号？有0？），从而确定积的符号。二定：确定符号后，将两个因数的绝对值相乘，得出积的数值部分（此时不考虑符号）。三写：将第一步判定的符号与第二步得到的绝对值组合，写出最终结果。六、【分层过关检测与自我评估】（建议用时15分钟）（一）【基础夯实】（每题5分，共30分）——考查对法则的直接应用1、计算(6)×(2)的结果是（）A.12B.12C.8D.82、计算1/3×(9)的结果是（）A.3B.3C.1/3D.1/33、5的倒数是（）A.5B.5C.1/5D.1/54、下列计算正确的是（）A.(2)×3=6B.(3)×(4)=12C.0×(8)=8D.(1/2)×2=15、如果a×b=0，那么（）A.a一定是0B.b一定是0C.a和b都是0D.a和b至少有一个是06、填空：（2/3）×（3/2）=______。（二）【能力提升】（每题10分，共30分）——考查符号判定、倒数概念的综合运用7、已知|x|=3，|y|=2，且xy<0，则x+y的值为（）A.5或5B.1或1C.5或1D.5或18、若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为1，则m+(a+b)/mcd的值是______。9、数轴上点A、B表示的数分别为a、b，且a>0，b<0，|a|<|b|，则下列结论正确的是（）A.a+b>0B.a+b<0C.ab>0D.ab<0（三）【拓展挑战】（10分）——考查实际应用与思维拓展10、某冷冻厂的一个冷库的室温是2℃，现有一批食品需要在28℃的室温下冷藏。如果每小时能降温4℃，问几小时后能降到所要求的温度？【参考答案与解析】：1、B。解析：同号得正，绝对值6×2=12。2、A。解析：异号得负，绝对值1/3×9=3，结果为3。3、D。解析：乘积为1的两个数互为倒数。(5)×(1/5)=1。4、D。解析：A异号得负应为6；B同号得正应为12；C任何数乘0得0。5、D。解析：0乘以任何数都得0，所以只要有一个因数为0