小学五年级数学《实际问题与方程（形如ax±ab=c）》学历案设计

小学五年级数学《实际问题与方程（形如ax±ab=c）》学历案设计

一、学历案基本信息

【学科】小学数学【学段】五年级第一学期【课程模块】数与代数·简易方程【教材版本】人民教育出版社（2022年版）五年级上册【课题】实际问题与方程（例3）——两积之和相等关系的建模【课时】第1课时（单元第5课时）【设计者】XXX（课程改革指导专家、特级教师）【课型】问题解决·模型建构课

二、课程标准分析与核心素养导向

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第二学段“数量关系”主题要求：能在具体情境中理解等量关系，并能用字母表示；能运用方程解决简单的实际问题，形成初步的代数思维和模型意识。本学历案着力培育的核心素养为：会用数学的眼光观察现实世界（抽象能力、模型意识），会用数学的思维思考现实世界（推理意识、符号意识），会用数学的语言表达现实世界（建模能力、表达交流）。以例3为锚点，促使学生完成从算术思维向代数思维的第二次关键跃迁，在“找等量—设未知—列方程—解方程—验根溯”的全过程中建构“两积之和等于常数”的方程模型。

三、教材分析与学情定位（【基础】层）

（一）教材纵向关联

本课隶属于人教版五上第五单元《简易方程》。此前学生已学习用字母表示数、等式的性质、解形如x±a=b、ax=b、a－x=b及a÷x=b的方程，并能在例1、例2中解决“和倍”“差倍”型两积之和（形如ax+bx=c）的实际问题。例3将问题结构拓展为“两积之和等于已知总量，但两积的份数不同”，即形如ax±ab=c。此结构是后续学习“相遇问题”“工程问题”“鸡兔同笼（代数解法）”以及初中一元一次方程复合数量关系的逻辑基石。

（二）教材横向比较

对比人教版、北师大版、苏教版，人教版例3选用“苹果和梨各要2千克，共付10.4元，梨每千克2.8元，求苹果单价”，数据简明，数量关系清晰，且与例2（两积之和）构成完整模型群。但原教材仅呈现一种等量关系（苹果总价+梨总价=总钱数），【非常重要】若教学止步于此，学生将丧失对等量关系多样性与优化思想的体验。故本设计将拓展“总价－梨总价=苹果总价”“总价÷2=单价和”等思维路径，并引入图示法、列表法辅助建模。

（三）学情精准画像

1.认知起点【基础】：95%的学生能正确解形如ax±b=c、ax±bx=c的方程；85%的学生能根据简单情境说出“谁＋谁=总和”的等量关系；但仅有40%的学生会主动用线段图或直条图分析复合数量关系。

2.学习障碍【难点】：①对“各要2千克”中隐藏的相等份数理解不透，易将2千克误认为总份数；②面对显性等量关系时，往往先列算术式（10.4÷2－2.8）而非方程，对“未知数参与运算”有心理不适；③当出现不同物品份数不同时，迁移构建“ax±by=c”模型会出现系数混淆。

3.发展可能性【热点】：通过变式对比，学生完全可以在本课抽象出“单价1×数量1±单价2×数量2=总价”及“单价1±单价2=总价÷数量（数量相等时）”两类模型，为六年级分数乘法模型奠定基础。

四、学习目标（分层·可评·可测）

1.【基础】通过购物问题情境，能独立说出题目中的已知量、未知量，并借助直条图画出数量关系，说出“苹果总价+梨总价=总价”的等量关系。

2.【核心】经历自主探究、小组共研，能根据同一问题情境列出不同形式的方程（如2x+2.8×2=10.4、10.4－2x=2.8×2、(x+2.8)×2=10.4），并正确求解、检验；在对比中感悟“数量相等时可用（单价和）×数量=总价”的简便解法。

3.【重要】能识别“形如ax±ab=c”问题的结构特征，并将其迁移至购物、行程、工程等情境，独立构建方程并规范作答，形成模型意识。

4.【拓展】在教师引导下，初步体会等量关系的不唯一性与方程解法的优化策略，发展批判性思维与创新意识。

五、学习重难点（【高频考点】【核心难点】）

（一）教学重点【高频考点】

掌握列方程解决“已知两积之和及一个未知单价、一个已知单价、相同数量”的实际问题，能正确设未知数并依据基本等量关系列方程。

（二）教学难点【核心难点】

①理解“各要2千克”表示苹果和梨数量相同，进而推导出变式等量关系“总价÷数量=单价和”；②在不同列式方法的对比中，主动优化方程形式，理解乘法分配律在方程中的应用。

六、学习方式与媒介支持

1.学法主轴：具身体验—图示建模—符号抽象—迁移变式。倡导“一题三解”“一题多变”的深度学习范式。

2.教学方略：大问题驱动、对话式追问、反例辨析、跨学科浸润（美术学科：绘制线段图；语文学科：精准审题、关键词圈画）。

3.助学工具：学习单（含预学反馈单、共学探究单、延学挑战单）、磁力直条图板贴、交互式课件（价格标签动态演示）、平板投票系统（即时诊断）。

七、教学实施过程（全景设计，约40分钟）

（一）预学反馈·唤醒经验（3分钟）——【基础】检测

1.课始不揭题，直接出示预学单中的两道复习题（采用手机拍照上传，屏显典型作答）。题1：商店运来8箱苹果，每箱x元，共花了400元，列方程并解。题2：妈妈买苹果用去a元，买梨用去b元，一共用去50元（只列方程）。学生快速口答，教师聚焦关键：等量关系是“部分+部分=总量”。

2.教师追问：“若苹果每箱50元，梨每箱40元，两种水果买的箱数相同，都是m箱，一共用去270元，怎么列方程？”生答：50m+40m=270。师提炼：这是上节课研究的两积之和——单价1×数量+单价2×数量=总价，数量是相同的字母。今天数量还会用具体的数字，而且题目里藏着更多样的等量关系，我们一起来挑战。（板书新题）

（二）情境呈现·问题感知（2分钟）

出示例3（改编后更贴近学情）：果品店运来苹果和梨，每千克苹果的价钱是未知的，梨每千克2.8元。王阿姨买了苹果和梨各2千克，一共付了10.4元。苹果每千克多少钱？（指名读题，圈画“各2千克”“一共10.4元”）

师：【重要】“各2千克”是什么意思？谁能用动作比划一下？（生双手平摊，表示两边同样多）对，就是苹果2千克，梨也是2千克，两种水果的质量相同。你能完整说出已知信息和问题吗？（生表述，师提炼板书）

（三）自主探究·图示建模（6分钟）——【核心环节】

1.个体先学：请用最清楚的方式在探究单上把题目里的数量关系画出来。可以画线段图、直条图、或者简单的示意图，让大家一眼看出“谁和谁加起来是10.4元”。

2.展示典型作品：选取三种有层次的作品通过实物展台呈现。

（1）文字式：苹果总价+梨总价=10.4元。

（2）直条图：画两个并排的长条，苹果条上面写“？元/千克×2”，梨条写“2.8×2”，大括号标出总和10.4元。

（3）线段图：先画一条线段表示总价10.4，分成两段，一段标梨总价5.6元，另一段标苹果总价？元。

3.师生共建标准模型图：教师在黑板用磁力直条贴出“2千克苹果”与“2千克梨”，长度依据价格比例直观呈现。追问：“从图上看，苹果的总价怎么表示？”生：2x。“梨的总价呢？”生：2.8×2=5.6。

4.板书核心等量关系：苹果总价＋梨总价＝总钱数→2x＋2.8×2＝10.4。

5.即时强调【非常重要】：这里的2x表示2千克苹果的总价，不是单价；方程左边是两个总价相加，右边是一共付的钱。这是解决此类问题的基本模型，也是【高频考点】。

（四）多维求解·模型初构（8分钟）——【重要·难点突破】

1.师：还有不同的等量关系吗？换个角度想一想，总钱数减去一部分等于另一部分。

（1）学生独立尝试，列出：10.4－2.8×2＝2x；或10.4－2x＝2.8×2。

（2）全班辨析：这两个方程可以吗？依据是什么？（生：总钱数－苹果总价＝梨总价；总钱数－梨总价＝苹果总价）

（3）教师点拨：这两个方程虽然书写形式不同，但都源自同一个等量关系“总量－部分＝另一部分”。解这两个方程时要先算出已知总价，再解形如a－x＝b的方程，稍复杂，但仍然正确。

2.师：还能找到更巧妙的关系吗？——引导观察“苹果和梨千克数相同”，总钱数是10.4元，也是2千克苹果和2千克梨的总价。那么1千克苹果和1千克梨的总价是多少？生：10.4÷2＝5.2元。

（1）师：这个5.2元表示什么？（苹果单价＋梨单价）你能用这个等量关系列方程吗？

（2）小组合作讨论，代表板书：（x＋2.8）×2＝10.4或者x＋2.8＝10.4÷2。

（3）对比分析：你觉得哪个方程更简洁？为什么？（生：x＋2.8＝5.2直接求出x，两步计算）师强调：【重要】当两个数量相同时，利用“单价和×数量=总价”或者“总价÷数量=单价和”列方程，计算更加简便，这是乘法分配律的逆向应用。

3.解方程与检验（5分钟）

（1）学生任选一个方程求解，指名板演2x+5.6=10.4。规范书写格式：“解：设苹果每千克x元。”注意等号对齐，求出x=2.4。

（2）口头检验：2.4×2+2.8×2=4.8+5.6=10.4，符合题意。师：还可以代入x+2.8＝5.2检验。总结检验两要素：代入方程检验等式是否成立；代入题目检验是否符合情境。

4.即时巩固（学习单题组1）：食堂运来大米和面粉各5袋，大米每袋x元，面粉每袋45元，一共花了600元。列方程解答。展示两种不同等量关系的列法（5x+45×5=600；(x+45)×5=600），强调第二种更优化。

（五）变式对比·模型深化（8分钟）——【热点·高阶思维】

1.变式一（数量相同→数量不同）：师改编条件——“苹果买2千克，梨买3千克，一共10.4元，梨每千克2.8元，苹果单价多少？”还能用(x+2.8)×5=10.4吗？生：不能，因为千克数不同。独立列式：2x+2.8×3=10.4。突出模型：ax±by=c（本课只出现加法）。

2.变式二（两积之差）：“苹果和梨各2千克，买苹果比梨多付2.4元，苹果单价多少？”引导学生说出等量关系：苹果总价－梨总价＝2.4，列式2x－2.8×2＝2.4。揭示课题外延：形如ax－ab=c。

3.变式三（隐含条件）：“妈妈买了2千克苹果和2千克梨，共付10.4元，后来发现售货员把梨单价2.8元错看成了苹果单价，实际应付多少？”该题为拓展思维，不要求全体列方程，旨在打破思维定势。

4.师生共建模型树（语言描述）：

1.5.基本型：两积之和→ax+bc=d（a、b、c、d已知，求x）

2.6.特殊型（相同数量）→(x+c)×a=d或x+c=d÷a

3.7.变式型：两积之差→ax－bc=d

教师强调：无论形式如何变化，核心步骤不变——找等量、设未知、列方程、解检验。【高频考点】【核心难点】

（六）跨学科融合·应用拓展（5分钟）

1.融合美术：呈现两幅抽象画——第一幅是两个大小不同的长方形并排，大长方形标“苹果单价”、小长方形标“梨单价”，宽相同（表示千克数相同），总面积表示总价；第二幅是总长方形被分割成苹果部分和梨部分。学生根据图形口头编一道应用题并列出方程。

2.融合劳动教育：学校种植园采摘西红柿和黄瓜，各摘了6筐，西红柿每筐x千克，黄瓜每筐18千克，一共采摘了192千克。学生独立列方程解答，并交流解题思路。

3.融合信息技术：使用平板抢答功能，出示选择题：“下列哪个方程不能用来解决‘苹果和梨各3千克，苹果单价是梨的1.5倍，共付60元，求梨单价’？”（A.1.5y×3+3y=60B.(1.5y+y)×3=60C.3x+3×(x÷1.5)=60D.60÷3=1.5y+y）学生辨析，C项将苹果单价设为x，梨单价则为x÷1.5，正确，不是“不能解决”的选项，故意设陷阱，强化数量关系的等价转换。

（七）当堂检测·精准反馈（5分钟）

分发检测小条，限时独立完成：

1.【基础】学校买来5个篮球和5个足球，篮球每个x元，足球每个60元，一共花了550元。方程：_________________（至少写出两种）。

2.【重要】水果店运来15箱苹果和10箱梨，苹果每箱20千克，梨每箱x千克，苹果总质量比梨多100千克。列方程：_______________。

3.【难点】修一条路，甲队每天修x米，乙队每天修45米。两队合修4天，共修了360米。下列方程错误的是（）。

A.4x+45×4=360B.(x+45)×4=360C.4x=360－45×4D.x=360÷4－45E.4x+45=360

学生手势判断，重点分析E错在哪里（漏乘乙队天数）。

教师巡视，收集典型错例，利用最后2分钟全班析疑。强调列方程时要注意每一项的数量都要乘相应的倍数。

（八）全课总结·模型内化（1分钟）

师：今天我们用方程解决了两积之和、两积之差的实际问题。回顾一下，列方程解决问题的关键是什么？（生：等量关系）等量关系可以从哪些角度找？（生：总量与部分、和差关系、单价和乘数量……）无论哪种方法，都要经过“找—设—列—解—验”五个步骤。最后，请同学们在心里默默把今天的模型和二年级学的乘法口诀、四年级学的乘法分配律联系起来，数学就是这样，旧知识长出新知识。

八、板书设计（结构化·全程留痕）

由于不使用表格，纯文字描述如下：

黑板左侧主板书：

【课题】实际问题与方程（ax±ab=c）

例3：苹果和梨各2千克，共10.4元，梨2.8元/千克，求苹果单价。

解：设苹果每千克x元。

等量关系①：苹果总价＋梨总价＝总价

2x＋2.8×2＝10.4

等量关系②：总价－梨总价＝苹果总价

10.4－2.8×2＝2x

等量关系③：总价÷数量＝单价和

(x＋2.8)×2＝10.4或x＋2.8＝10.4÷2

检验：略

黑板右侧副板书：

模型树（简笔画箭头）

ax+bc=d←通用

(x+c)a=d（特例，相同数量）

ax－bc=d（差比）

核心五步：找→设→列→解→验

九、作业设计（分层·弹性）

1.【基础必做】教材P78做一做第1、2题，要求用两种等量关系列方程并解答。

2.【拓展选做】根据算式(x+12)×5=150编一道实际问题，并写在数学日记本上。

3.【项目实践】小组合作：调查学校小卖部两种商品（如面包和牛奶）的价格和某天售出的数量，编一道“两积之和”方程题，并交换解答。（跨学科：与统计初步结合）

十、教学反思（行动研究视角）

1.预设与生成的契合度：本设计在“等量关系多样化”处预留了大量生成空间。课堂实践表明，学生通常能先发现“总价－梨总价”关系，对“总价÷数量”的发现需教师用核心问题“千克数相同，总价和总千克数有什么关系”加以撬动。后续教学可在预学环节加入“总价÷数量=单价”的复习，为“单价和”做更直接铺垫。

2.模型意识的落地方略：通过三次对比（方程形式对比、等量关系对比、正例反例对比），学生对ax±ab=c结构的识别正确率在课后测达到92%。其中【难点】“相同数量”变式为“不同数量”时，部分学生仍惯性套用(x+c)×a，需在后继练习中强化审题训练