线性方程组的求解问题1

目录

1引言.....................................................................2

1.1概念..............................................................3

1.2解的情况及其通解..................................................3

2线性方程组的常见解法.....................................................4

2.1高斯消元法.........................................................4

2.2矩阵初等变换法...................................................6

2.2.1LU分解......................................................6

2.2.2追赶法......................................................7

2.3平方根法...........................................................10

3线性方程组解法探讨......................................................12

3.1线性方程组的直接方法.........................................12

3.2线性方程组的多项式矩阵的初等变换法..........................16

4结束语..................................................................19参考

文献.................................................................20

线性方程组的解法

摘要：线性方程组是线性代数中一个最根底的内容，广泛应用于现代科学的许多分支。其核心问题之

一就是线性方程组的求解问题。本文先简要介绍了线性方程组的概念，然后给出线性方程组解的结构，

重点介绍了解线性方程组的几种方法:高斯消元法，追赶法，方根法，直接法，初等变换法等求解线

性方程组的方法。说明研究线性方程组求解问题的探讨及本文的写作意义。

关键词：线性方程组：高斯消元法：平方根法；追赶法；直接法；初等变换法

1引言

线性方程组即各个方程关于未知量均为一次的方程组。对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早

1500年，记载在公元初《九章算术》方程章中。

线性方程组是线性代数的主要内容，它主要包括线性方程组有解性的判定、线性方程组的求解和线

性方程组解的结构等。线性方程组的核心问题是研究它何时有解，以及解是什么。本节主要对线性方程

组解的情况进行讨论，给出当解不唯一时通解的表示形式.另外还介绍了几种特殊的线性方程组的求解

方法。线性方程组可以分成两类，一类是未知量个数与方程的个数相等，另一类是未知量个数与方程的

个数不等。对于前一类特殊的线性方程组，我们可以采用克拉默法则，对于后一种线性方程组我们可

以采用高斯消元法。而且随着现代工业的开展，线性方程组的应用出现在各个领域，伴随着大量方程和

多未知数的出现，而追赶法是数，直计算中解线性方程组的•种直接法，它能在无舍入误差存在的情况下,

经过有限步运算即可求得方程组的精确解的算法。用矩阵初等变化的方法求解线性方程组，是线性方程

组矩阵解法的一种延伸。利用这种方法，只需通过对线性方程组的系数矩阵（或增广矩阵）进行初等变

换，便可直接求得根底解系或者一般解。寻找简便而且准确的求解方法就显得十分重要而且具有现实意

义。因此对线性方程组解法的研究就显得十分必要。

本文主要内容是介绍了线性方程组的工作，探讨了线性方程组的直接方法和多项式的初等变换法,

总结了线性方程组的解题方法以及更多的广泛应用。

1.1概念

线性方程组的一般形式如下：

弓西+/泡+…+胃高=。

a2lx^a22x2+-+a2nxn=b2。口

.4内+为2/+…+%”'二粼

其中再,々,…，玉是〃个未知量，阳是加个一次方程的系数，4称为方程组的常数项。常数项一般写在

笔式的右边，一个方程完全由常数项与系数确定的。如果所有的常数项都等于0,那么方程组称为齐

次线性方程组,否则称为非齐次线性方程组。

线性方程组（11）的解是数域K的一个有序数组

当未知量看,々，小〃分别用q12,…，。〃代入时，（LD中的每个方程都成立.

我们将方程组（1.1）记为矩阵形式Ar=8,称为此线性方程组的系数矩阵，如果再把常数项8也添加

达去，使它成为矩阵的最后一列：

4%…"

a2\a22…a2nb?

・•・••

••・・•・••

a

_„A品2…%1nb,“

称它为此线性方程组的增广矩阵，记为

1.2解的情况及其通解

一般求解线性方程组前，我们要先讨论该线性方程组解的情况。它可能无解，可能只存在唯一解或

者可能有无穷多组解。本小节，我们主要讨论线性方程组解的情况，以及它的通解表示形式。

对于一般情况下的线性方程组（1.1）,将它的增广矩阵入化为行阶梯矩阵。其中R比A少了最后一

列，，•二加戒及为斤的主元所在列的个数，即％,Gj“，”,全不等于零。

①假设〃〃MRw2成无(即c/r“=0),那么原方程组(2.1)无解。

②假设阳欣R=/zz成左(即4讨=0),且加欣R=〃，那么原方程组(2.1)有唯一解。

③假设%〃MR=加成R(即〃,+]=0),jlrankR<n,那么原方程组(2.1)有无穷多组解。这无穷多

组解可以用一般解来表示，其中自由变量有〃一一个，主变量有一个。

如果对于一般情况下的齐次线性方程组(2.2),它显然有一组零解[(),(),•••,0丫。我们将方程组(2.2)

的系数矩阵A化为行阶梯矩阵R(比(2.3)少最后一列)o

①假设rankR=n,那么齐次线性方程组(2.2)只有零解

②假设忆射火<〃，那么齐次线性方程组⑵2)有无穷多个解。

③假设m，那么齐次线性方程组(2.2)必有非零解。

一般线性方程组的求解步骤大致为：1.写出它的增广矩阵：2.将增广矩阵变化为行阶梯矩阵，判断

方程组是否有解；3.如果有解，写出行阶梯矩阵所对应的与原方程同解的方程组；4.写出原方程组的通

解。

2线性方程组的解法

我们在高等代数上学习了线性力程组的解法有克莱姆法则，高斯消元法,矩阵分解法，平力根法，

2.1高斯消元法

高斯(Gauss)消元法解线性方程组最早出现在在我们古代的数学著作《九章算术》中。《九章算术》

第八章“方程”主要研究线性方程组的解法，其根本思想是消元。在解方程组时，将方程组的系数(包

括常数)别离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的

方法消元，此方法在西方被称为“高斯消元法二

高斯消元法的根本思想是：通过一系列的加减进行消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程

组化为上三角矩阵，然后，再逐一回代，解出方程组。本节将笥单介绍而斯消元法的根本思想，并且运

用它来解决形如(2.1),并且存在唯一-解的线性方程组。

下面我们通过具体的例子来了解高斯消元法的主要解题过程。

例2.1.1解线性方程组

2人］+4A2-2人3=6,

X+5占=0，(2.1)

4*+x2-2占=2.

解：首先，我们将⑵1)中第二个方程减去第一个方程的!倍，再将第三个方程减去第一个方程的

2

2倍，那么得到等价方程组

2XA+4X2-2X3=6,

--3电+6,q--3,(2.2)

—=

7X2+2W~10.

其中(2.1)中的第二，第三个方程中的斗已经消去了。类似的，我们将(2.2)中的第三个方程减去第二个

7

方程的一倍，又可以消去第三个方程中的变量心，最后得到与(2.1)等价的方程组

3~

2X1+4X2-2xy=6,

，一3%+6当=-3,(2.3)

—12刍=-3.

13

这个方程很容易求解.由第三个方程解出，占=；，将其带入第二个方程解出占=：，再将々，13代

入笫一个方程解出不二;.

其中，将原方程组(2.1)化成方程组(2.3)的过程叫做消元过程，求解方程组(2.7)的过程称为回代过

程。

下面，我们用矩阵变化来描绘消元的过程.

线性方程组(2.1)可以写成矩阵的形式

其增广矩阵为

~24-26-'24-26~24-26

A=1-150一0-36-30-36-3

_41-22_0-72-1000-12-3

\_

100

4

12-13

3

T01-2100

2

11

00\_

400

4

把增广矩阵变成阶梯形矩阵后,再写出它代表的方程组

X

4,

+4X2-2X3=6,

3

—=

<3x,+6七—3»<y了

-12X=-3.

3]_

Z

4'

用代入消元法解上述第一个阶梯形方程组，或者直接由第二个方程组就能求得原方程组的全部解。

2.2矩阵初等变换法

求解线性方程组除了上述几种常规的方法外，还常用到追赶法。将线性方程组的系数矩阵分解为

一个下三角阵和一个上三角阵的乘积，再利用追赶法来求解线性方程组。而如何将系数矩阵分解为一个

下三角阵和一个上三角阵的乘积，那么需要用到〃,分解法，也称三角形分解法。〃/分解法的优点是当

方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变时，能够方便地求解方程组。木小节将讨论

分解的方法以及用如何用追赶注解线性方程组。

2.2.1LU分解

设A的前止】个顺序主子矩阵非奇异，那么存在单位下三角阵及上三角阵U,使

A=LU,

而且这样的分解是唯一的。

设矩阵A有分解，即

4““12

0“22

0

'儿〃一|1U„n

比拟两端的第一行元素得

=%，攵=1,2,・・,〃;

比拟两端的第列元素得

&二&，攵=2,3,…

WH

比拟两端的第二行的其余元素得

%=%1-/2必《，％=2,3「・・,〃；

比拟两端的第二列其余元素得

11

lk2=——红k=2,3,.,n

那么对于一-般的i=2,3,•/用递推关系得出

'r-1

产ji，k=i，i+T，…，小

；=|

«「i-l(2.4)

aki~Z%Uji

§=~----------,^=zj+2,•••,«,

即可求出U和L,从而实现A的三角分解。这一过程就是矩阵A的£〃分解网。

2.2.2追赶法

将线性方程组的系数矩阵4,通过公式(2.8)进行分解后，再通过追赶法解出该线性方程组，是

最有效快捷的方法.追赶法的关键在于它的追过程和赶过程。

记

2/一、

%e2fl6fi

•・

A=•.•・••

九fn-\

、虑rn>

a)LU分解

4=4

对i=2.，〃,计算

4=4/*,

o=­T

b）追过程

y=4

对于i=2,…，几计算

y=%一八为

C）赶过程

对于i=〃一1,…,1,计算

而对于线性方程组（2.1）中，可得该线性方程组的Jacobi迭代公式如下:

简记成：

I,一1

X"）=_e-£。冲）一X%号）,（，=1,2,…）

Gii\>>j=i+1,

下面我们通过具体的例了•来了解用追赶法解线性方程组的解题过程.

例2.2』用追赶法解线性方程组

2%+々=3,

X+2%2———3,

3X27巧t4%=10,

2X3+5X4=2.

~210O-

12-30

解：系数矩阵人二,利用公式（2.8）对A进行分解,

03-74

0025

21002100

2100

113

12-302-30-30

A=222

03-74

03-7402-74

0025

00250025

21002100

--3012-30

2222

02-1402-14

00-2500-213

10000

-10-30

所以2

021-14

00-2013

追过程：解〃，=3,即

10003

y3y

1-9

-100>2-3

2==>)'==2

-10

0210%%-1

2

00-21儿儿0

赶过程：解即

~210O--3-

不2

a-9

0--30工2工2-1

2=2=>x==1・

XX1

00-143-13

0

00013丸0丸

即得线性方程组的解。

2.3平方根法

在求解线性方程组时，直接解法有顺序高斯消元法、列主元高斯消元法、全主元高斯消元法、高斯

约当消元法、消元形式的追赶法、LU分解法、矩阵形式的追赶法，当我们遇到对称正定线性方程组时•，

我们就要用到平方根法（对称LLT分解法）来求解，为『熟悉和熟练运用平方根法求解线性方程组，下面

对运用平方根法求解线性方程组进行解析。

我们在运用平方根法求解线性方程组时，要判定线性方程组4=〃的系数矩阵A是否是时称正定

矩阵，那么我们就要了解正定矩阵的性质和如下定理及定义：

h由线性代数知，正定矩阵具有如下性质：

1）正定矩阵4是非奇异的

2）正定矩阵A的任一主子矩阵也必为正定矩阵

3）正定矩阵A的主对角元素均为正数

4）正定矩阵A的特征值均大于零

5）正定矩阵A的行列式必为正数

定理1线性方程组Ar=%的系数矩阵A是对称正定矩阵，那么=b是对称正定线性方程组。

定理2如果方阵A满足A=那么A是对称阵。

2、平方根法和改良的平方根法

如果A是n阶对称矩阵，由定理2还可得如下分解定理：

定理2假设A为n阶对称矩阵，且A的各阶顺序主子式都不为零，那么A可惟一分解为：A=LDL：,

其中L为单位下三角阵，。为对角阵。

证明因为A的各阶顺序主子式都不为零，所以A可惟一分解为：A=LU因为，所以可将U分解为:

其中D为对角矩阵，U1为单位上三角阵.于是：A=LDU}=L（DU.）

因为A为对称矩阵，所以，A=AT=U；DrL!=U1（Dll）,由A的LU分解的惟一性即得:

乙二^7"，即q=z/■，故A=L

工程技术中的许多实际问题所归结出的线性方程组，其系数矩阵常有对称正定性，对于具有比类特殊性

质的系数矩阵，利用矩阵的三角分解法求解是一种较好的有效方法，这就是对称正定矩阵方程组的平方

根法及改良的平方根法，这种方法目前在计算机上已被广泛应用。

定理3对称矩阵A为正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式大于零。

用平方根法求解对称正定方线性程组Ax=b的步骤如下:

例用平方根法求解方程组

解设

右端矩阵相乘并比拟等式两端。由第一列有1=/；,1=/H/21,2=1小

可得/“=1,%=],/“=2

比拟第二列有2=£♦I+左4>«■，°=^•<2I1taI+/J，4*22

求得匕=(2-/；«=I/32=(0-/3I/21)//22=-2

由第三列得11=总+笈+£故4二⑴一片一③、石

-100-

L=110

_2-26

由Ly=b解得y=5,%=3,%=由Z/x=>解得七=-2,电=5,与=1。

一般情形，设

根据矩阵乘法有

=£/：+优,女=1,2,…,〃

5-15-1

及i>A

5=15=1

于是有

X-11

/处<=(。灶-2国2

«2

4A<—(ajk-£lislh)、i=k+',k+2、…、〃

在上式中取k=l,2,…川便可求出L的全部元素。

除了.卜.面几种线性方程组解法以外，还有其他的方法，在这就不一一讲解了。

3.线性方程组解法探讨

3.1求解方程组的直接方法

求齐次线性方程组的根底解系及求非齐次线性方程组的通解,教材给出的方法,过程多而烦杂，下面给出

一种只用矩阵的初等行变换求方程组通解的简便方法。

1齐次线性方程组根底解系的一种简便求法

设有齐次线性方程组

4内+劭尼二()

生/+出2々+…+生/〃=()

lo.1)

〃川玉+《“2工2+..+4”“乙=0

矩阵形式为XV=0,其中X=(4天，…，天)，

《Ia2\…a\n

心生2…生“

求方程组XAT=0的一个根底解系的方法如下：

［4小纭］初等行变换『:7、］〃，

L」O(n-r)xm

其中〃=乂A),R=R(D»“)=rBPDrxm为一个行满秩，E”为〃阶可逆矩阵。那么矩阵p的后(«-r)行

即为方程组(1)的为一个行满秩矩阵，E”为n阶单位矩阵，p为n阶可逆矩阵。

「E0

证明对于〃xm矩阵必存在n阶和m阶可逆矩阵P,Q,使PA『二r,

00

所以=彳:Q-'=%:因为〃为可逆矩阵，”的行向量组线性无关，所以〃的后(〃-0

%

行行向量线性无关,而矩阵〃的后(〃—r)行为((),纭_，)P,因为(O,Z—JpfXO,Ei)”=0

0〃

所以X=(O,E〃r)P为方程组XArO一个解，即P的后s-r)行为方程组⑴的

D*m

一个根底解系。P〃[A口小卜打人丁/卜rp，也就是对矩阵[施行初等行变

换,将其转变为贝UP的后行即为方程组(1)的一个基础解系。

例3.11求其次线性方程组

X]+12+工3+4%-3X5=0

X)-x+3X-2X-x=0

<2345

2x}+x2+3X3+5X4-5X5=0

3历+x2+5X3+6X4-7X5=0

■11231000o-

1-111()1000

133500100

4-25600010

-3-1-5-700001

一—

112310000--112310000

0-2-1-2-110000-2-1-2-11000

->021-2-10100->0000-21100

0-6-3-6-400100000-1-3010

0-12123001000021001

因为

r(A)=2,所以或后3行，即羡二(-2,1,l,0,0)d，=(T,-3,0,l,0),J3=(2，LOQl)为方程组

的一个基础解系。

2非齐次线性方程组通解的一种简便方法

设有非齐次线性方程组

卬内+42占+・.+卬”七二°

%内+々22々+…+〃2”七二°s

<lo.2J

•♦・♦・♦・••••♦♦♦•・•・・・♦・・・♦•・•・••••

4”自+%2/++。〃"占二°

4

b

其矩阵方程为乂47=从,其中b二2

bm

求方程组"丁=〃7的通解的方法如下:

A，P.0

Ell+]初等行变换一,其中P"为〃阶可逆矩阵,

bT0(”+1-，卜”，F1

,•二「(4),贝I]

(l)矩阵P”的后(n-r)行即为方程组斜丁二。的一个基布解系；

(2)X=〃.为方程组XV=5/一个特解。

结论(1)的正确性在前面已得到证明，下面证明结论(3.2)。

N

当“4丁)=厂时,方程组有解，对此情况进行证明。

bT

AT

对于(n+l)xm矩阵时,必存在(n+1)阶和m阶可逆矩阵P,Q,

br

ATEr0A『Er0

使RQ=，所以RQ'l=，设P为〃阶可逆矩阵,

bT00bT000(7_小,”

P.

则(n+l)阶矩阵R=。冈仍是可逆矩阵，矩阵的勺最后一行为

F1

D»mB/ixm

(0句1)R,即(0„xl,1)=(().，1)=0,

0(”+l-r)xm0.x,„

A7

而(-7*,1)二丁“+//二0二工"=/，即Xp*是方程组丛,

br

的一个特解。

P”o*

因为RE同=RR，亦即对矩阵目用施行初等行变换,

bTbT^(n+l-r)xm-nibT

将其转变为

rr-:,则矩阵勺的后（n-r）行即为方程组必/=/一个特解。

I(n+l-r)x；,f

作两点说明:

（1）对矩阵耳-年初等行变换后，若最后行的前〃，个元素不能全部变为零,

bT

A7

即RN）»

bT_

此时方程组无解；

「「A'l1

（2）对矩阵丁月山作行初等行变换时，最后一行不能与其他各行交换位置。

bT

例3.12解线性方程组

X1+5X2-X3-X4=0

-2X+X+3X=0

V234

3%1+8X2-x3+x4=0

%一9X2+3X3+7X4=0

113I10000113110000

5-28-9010000-7-7-14-51000

-11-1300100T022410100

-131700010044810010

-131700001044810001

113110000

0-7-7-14-51000

32

0000100

-77

_134

0000010

7

_234

0000001

77

所以方程组X4'=//的通解

g=〃♦+G。+G与其中G，。2为任意常数。

用这种求齐次线性方程组的基础解系，或求齐次线性方程组的通解只需施行初

等行变换，省掉了写矩阵对应方程组，设自由未知量等复杂过程，简单而使用，且’

易于掌握。

3.2多项式矩阵的初等变换法

设AwCRPwL,4=/(尸)=%£+囚尸+,一+。1尸2,矩阵P的特征多项式为

g(x).f(x)=称为A的表征多项式.木节利用多项式矩阵的初等行变换，给出了线性

i=0

方程组Ar=Z?的解的判定条件与求解的方法.

引理1⑺多项式矩阵尸)1经过行初等变换一定可化为『⑴心)叼，其

[g(x)01JL0s(x)心)」

中(f(x)9g(x))=d(x),且u(x)f(x)+v(%)g(x)=d(x).

引理2⑻设B为〃?x〃矩阵4的一个{1}.逆，假设线性方程组=〃有解，那么其通解

为x=B〃+(/—B4)Z,Z为任意的〃维列向量.

定理1线性方程组4犬二人有唯一解的充要条件为(/*),以幻)=1.当线性方程组

=〃有唯一解时，存在唯一的矩阵7,使得7的第一列为4x二人的唯一解.

证明必要性：因为=〃有唯一解.，所以4非奇异，从而A的行列式什

/=0

其中4(i=0,l,2,…，〃-1)是g(x)的几个根,因此/(幻与g(x)无公共根，故(f(x),g(x))

=1.

设b=SoM，…也J,以〃为第一列构造一矩阵6,使得8=%(P).多项式矩阵

7*)10h(x)

_g(x)010

经过一系列初等行变换可化为

1w(x)v(x)c(x)

0s(x)r(x)C](x)

于是,u(x)f(x)+v(x)g(x)=1,u(x)h(x)=c(x),u(P)A=I,u(P)B=c(P).假设取

T=c(P)=A^Bf那么T的第一列为A”,且A所以7的第一列为线性方程组

/U=〃的唯解.

充分性：因为(/(x),g(x))=1,所以多项式矩阵

fM10

g(x)01

经过行初等变换一定可化为

1u(x)v(x)

0s(x)t(x)

于是，Lf(x)f(x)+v(x)g(x)=I,u(P)A=I,故A可逆，从而线性方程组Ax=〃有唯一解.

定理2设g(x)无重根.线性方程组=〃有无穷多解的充要条件为(f(x),g(x))

Hl,且44叱%="当线性方程组=〃有无穷多解时，存在矩阵”及c,使得C的第一

列XI为=〃的一个特解，X=XI+(/-/7)Z为=〃的通解，Z为任意的〃维列向量.

证明必要性：因为Ar=/?有无穷多解，所以A奇异，从而4的行列式寸/(例)=0,

；=0

其中0(i=O,l,2,…，〃-1)是g(%)的几个不同的根,因此/(%)与g(x)有公共根,故(f(x),

g3)wl.

设(f(x).g(x))=d(x)¥1,日.设/(x)=dCr)/(x).g(x)=d(x)g|(x),那么

(/i5),g](x))=1，由于g⑴无重根，所以3(。g](x))=l,从而(/(x),g](x))=1,

(f(x)d(x),g](x))=1.

设b=SoM，…也J,以〃为第一列构造一矩阵6,使得8=%(P).多项式矩阵

'fMd(x)10d(x)hMeKx)f(x)

giM0100

经过一系列初等行变换可化为

1u(x)v(x)c(x)r(x)

0s(x)t(x)G(X)(x)

于是,

f(x)d(x)u(x)+gi(x)v(x)=1,

d(x)u(x)h(x)=c(x),

d(x)〃(x)/(x)=r(x).

由f(x)d(x)u(x)+g](x)v(x)=1得

f(x)d(x)u(x)f(x)+g](x)v(x)/(x)=f(x)，

d(x)u(x)f(x)d(x)u(x)+d(x)u(x)gl(x)v(x)=d(x)u(x).

假设令T=d(P)〃(P),C=c(P),H=r(P),那么Am=A,TAT=T,C=TB,

H=TA,由ATA=A,TAT=T可知/=A(,'2).因为C的第一列为Th,且

ATb=AAfL2)b=b,所以C的第一列T〃为Ax=b的一个特解.又

A[Tb-}-(I-H)Z]=b+AZ-AHZ=b+AZ-ATAZ=bt故X=X1+(/—”)Z为Ax=6的通

解，Z为任意的〃维列向量.

充分性:因为(/(x),g3)=d(x)wl,所以g(x)的〃个不同的根助(i=0,l,2,…，〃-1)中

,一!

至少有一个为一。)的根，从而A的行列式(9)=0，A奇异，又因为A所

i=O

以=〃有无穷多解.

1-1-11

2-1-11

例3.21A=b=(-3,422)7,解线性方程组Ax=4

20-11

2001

■()100

0010

解取。=那么冢幻二一2+2尤-2/+/,A=/(P)，B=h(P),,

0001

2-202_

f(x)=1-x-x2+/,h(x)=-3-x-3x2+2x3.

因为

1-x一1+/—3—x—3广+