量子力学典型例题分析解答

量子力学例题

第4cf*r一-堂-7**^

一.求解一位定态薛定将方程

1.试求在不对称势井中的粒子能级和波函数（总〈匕）

［解］薛定谬方程：

/乎2^(r-£)

------=--------------Tm

我方2

-^2T=0...X<0

京

—5-+好田=0…0<x<a

-上:乎=0...X>a

当X—如0,970故有

4exp化x)…x<0

▽(1)=<4而(玄+3)・・・0<x<a

4exp(-^2x)...x>a

利用波函数在x=0，x=a处的连续条件

由x=0处连续条件：k、=kctgS

由x=a处连续条件:k2=-kctg[ka+5)

sin[ka4-5)=—

ka-nn-arcsinI---arcsinI一

帆也片=12,3

给定一个n值,可解一个纥，纥为分离能级.

2.粒子在一维5势井中的运动，（X）二」泊㈤□>o）

求粒了•的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数

［解］体系的定态薛定骋方程为

a3（x）T=5T

2mdx2

当xw0时

22

LW”二£9

2mdx2

联+沪=°

对束缚态?（一8）=3（8）=0E<0

解为

叫=,Ar^...x>o

R卢…x<0*。

在x=0处连续性要求

T（O+）=T（O-）

将3（x）代入得工二B

Tr（0*）-T,（0"）=1加x）.皿…爷卯⑹

又叫+）-呻）=必+夕）

：.-k（A+B）=

相应归•化波函数为：

909

j乎%五=1=>Jd/h加+j⑷厂/x=1

-CO-co0

^=k

归一化波函数为:

立3K…了>0

h

甲（X）〜IMA

包kl.x<o

h

3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为

8...X<0

...0<x<a

，（外=

一匕…々<x<b

0...X>

求束缚态的能级所满足的方程

［解］束缚态下粒子能量的取值范围为一匕</<°

当彳＜0时，卜）38^iU）=o

当0<x<a时，W=%

薛定谤方程为

W十,回乙）%=。

婷=却/)>0

令

.乎；+岛?乎？=0

解为

^2[X)=A^+4r制

当a£x<b时/3=一匕

%•E+匕冲3=0

4号⑶心0

令ft

解为

5?(x)=4sink)x+B)cosi2x

当x<0时7(x)=0

薛定得方程为

%"+昌包4=0

-妙号＜0

令h2

薛定谓方程为

瑞“一短卯4=。

解为

于4卜)=&5+4£-独

由q(x)」t^0

/.4=0

%3=即-3

波函数满足的连埃性要求,有

乎Jx«o=%LA+3]=0

4sink2a+52cosk2a=+8便如

X-Q.

4用sink、a%k,cos八0=4月I3内e5"

【【

£3/"，=A2sink2b+Bcoskb

X3X5

-B3k3e~^=4上2sink由-B2k2cosk2b

要使乎（x）有非零解4,81，42，§2,33不能同时为零

则其系数组成的行列式必须为零

11000

00sink2bcos砧

00k23sk?b-k2sink2bk3r^

一户

*2-sink^a一cosha0

_k&3-k2cosk2ak2sink2a0

计算行列式,得方程

tan玲（3-力”次％+k六3S%a

k2shkxa-k^chk-^a

例题

主要类型：1.算符运算；2.力学量的平均值；3.力学量儿率分布.

一.有关算符的运算

1.证明如下对易关系

比,/（初二-访3

⑴ox

⑵口£]=七就&二4±心）

⑶E，尹】=0

（4）五,以为十梦G"力（白尸十血

人

皆，4]=o

⑸

[证]

(1)

[AJW1=一刑孥+/⑶当=-访y

oxoxdxox

⑵以£上]二区£士幻二工工出工

=ihLy±i(-ihLx)=切4r+洗

=±A[Lj,±iLy]=±hL±

⑶14>1=[4.V+V+V

=x_Z_,x+II.,x

aY,aaLaa

=°+°+访%¥为%+注7分％与+汾勺出句与+访%£与布

=0

一般地，若算符/是任一标量算符，有,z，j]=0(a=1,2,3)

(4)[。，加力+妨力=口直/力+4工,/民

=aikEa0rxr+励£咻必

二访/历卜力+第J

一般地,若算符/是任一矢量算符,可证明有

£.，%］=；3介，

(a,£,y=1,2,3)

I〜人AAII、人人c人

⑸庐,力=归，4+辽小区工小心⑷

忸幻=号+%+£,”」

人.AfA

=与工J+U"

AIAAIIAAIAIAAAAAA

=T%4r*B+戒工+ihLxLy

=0

同理：［£'£.=°。

2.证明哈密顿算符为厄密算符

［解］考虑一维情况

自=一上当+/。)=于+0(力

2jnax

\?♦⑶=［乎《小⑼以

axaxax

=^|+«(_fd%*♦

-Jdx

=-［乜5=-［在”小-］乜。

Jdx'dxdx」dx

==J武£%o)r以

Q?=_QQ

d/为厄密算符，2mdx2为厄密算符，/(')为实数

j旷(x"(x)0Q)dx=j3『讷=j(呷)冒、

人

,(x)为厄密算符:•食=1+。为厄密算符

3已知轨道用动量的两个算符不和上2共同的正交归一化本征函数完备集为乙,

八人AA八

取：4=41Hz1试证明：£±4也是不和人共同本征函数，对

应本征值

分别为:W+训2,(幽±1邑

［证］—=。

月&4)=4

•••4。是科的对应本征值为，（'+1）的本征函数

人AA

LXfL±=±hL±

4（4。）=±城±卜加=（加士a&。）

••4七是工的对应本征值为（用±i冲的本征函数

又：

£』向=何±m4心

£士丫融=C；）匕,廊士1

可求出：

cju匹丽硒

1九⑼二引（"加）（/士冽+M"⑼

二.有关力学量平均值与几率分布方面

2j2

T（x）=^4exp（---）A=---7+/

1.⑴证明2是dx2的一个本征函数并求出相应的

本征值；（2）求x在卯（X）态中的平均值

+/)［4尸］

［解］

,2//

=-A—22

加

=•••=Ae2=T

即的=空

•1-¥"）是用的本征函数,本征值4=1

]=「y（力・工7（力以=^A*e~xAeFx

■HO广

1尸dx=0

=NJ■8

2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数

求粒子能量的可能值相应的概率及平均值

5（x）=—=sincos—x=—=[sin—-4-sin-----]

aaa

宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数

|2nnx

外:=J汕

V。a

“m⑴/、二正1/（《历曲.亦丁十小（2皿.女丁X卜、1/、1/、

五/⑶+*乃

注意:是否归一化波函数

小

能量本征值22

4=^4

2向

出现当的几率R.5,出现鼻的几率以=5

豆二ZkJ纥

能量平均值X2

1h\219方,芯2y

=-----r+-----Z-=5&

22.22pa2

另一做法

£=(T>(x)/?T(x)

22

FT,2.2Knx.hd.2.2nx

=Kax-=sin---cos—(-------x-)-=sin---cos

与《aaa2pdxy)aa7

2方°r,1..女x.nx,d21..3o.?

------1ax—[sin---+sm—J—y-[sin---+sin-当

“aJ2aadx'2a।a

__5力2/_

2'“I

29pa

(x)+J)%(x)+C3的㈤

材(x,0)=

3.一维谐振子在t=0时的归一化波函数为

所描写的态中式中，式中材式幻是谐振子的能量本征函数，求（1）,3的

数值：2）在歹（冗°）态中能量的可能值，相应的概率及平均值：（3）t>0时系统的波函数：

（4）%>0时能量的可能值相应的概率及平均值

W(x,0)=XWxSx0)ZIC』=1

［解］⑴»,材⑸U)归一化.X.

；+；+CP=l。3=倡

E=ho)(n+—)

(2)2,

稣/=!E/三而跖二!

E->=—hcD

2

11312

E=2C/&?+源+数吟.

—-当，

（3）£>0时，口式冗。二%。"'

所以:

歹(x/)=Z，％(x)®ft"=

L>0时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。

4.设氢原子处于状态

1J3

▽(rd©=-A21(r)4⑹W)-+0)

乙乙

求氢原子的能量,角动量平方以及角动量Z分量的可能值,这些可能值出现的几率和这些力学量

的平均值。

E=一旦

［解］能量本征值*2AV

能量本征

态卬6。卬)=凡«)2(。0)

当n=2

2卯=/(/+l)M

!不%=1(1+1)方2=2方2

［为=2M

瓯=2A纯Z?本征值

为的2A2

4几=崔/丫妹

纥，Z2=2/2出现的几率为wo%

13

L

z可能值为0厂方出现的几率分别为：4,4。

…=唠

5.在轨道角动量以和工r共同的本征态加(/0)下，试求下列期望值

(1).工士；⑵k'Ly

［解］:4=卜Z(0)4/(c“Q

=j%♦(Q)加他加+i陷LQ

=o=LxaLV

=4=O，Ly=0

三测不准关系

I.粒子处于状态)式中J为常数，求粒子的动量的平均值,并计算

测不准关系3)'.(△「)’=?

［解］先归一化

］乎.(工)乎k)公=iJ至dx=-^=A

L'2喈2L标&

(1)动量平均值

⑵

9/

x=——\xt甲0

?=1-L-L2Z-^X=.4由京公

A2若2X

二康2P场：岑=1Rj用jzrix邛）

：2（即）2=/-万2=今

22

：.(Ax?=X-X=Z-G

••研・研4

附：(")2=忸-尸了二尸2-2尸尸十尸二尸2—尸

常用积分式：

9

JxZ—dx=、回

⑴4

f2,_八'阮

XV*dx=—

⑵L2

i....（2w-l）口

X"Fdx=2.——2"山

(3)L

第四章例题

i.力学量的矩阵表示

由坐标算符的归一化木征矢I乃及动量算符后构造成算符方和k

p=\r\（r\'==料昨）।份1加）1

IJQ।乙"&

试分别：1）.求6和宠在态忸）下的期望值；2）.给出方和足的物理意义

【解】（1）.设态矢I巧已归一化H网=1

。二促同巧二促|广病9）=内巧网巧.

=叫尸冲（7）=1期「”（尸）（粒子位置几率密度）

小—（哨巧=上收呕咽呼+〈蝴利八旬

（利用陟1尸例=1化到坐标表象）

=E[f犷俚刖E巧“/例尸叱即润时

又：&同尸”访▽同尸-尸），（尸同V*（尸-7）

上式=（[[而巧广小"（尸一尸脾伊）+J犷叫/卜法”（尸-广胜同

=微_[[#呼.（广；（4游-尸胜（尸）+.不叫叫-7涉伊-尸脾（尸）

=+5⑺心联什也j[f）

2.试证明：由任意一对以归一化的共规右矢和左矢构成的投影算符方叫3

（1）.是厄密算符，（2）.有铲=力,（3）.万的本征值为0和1

【证】（1）.厄密算符的定义

F=F+=%：=尺；M网»=（｛”忸厢）

■期）=伽悭）俚3）=伞醇俚帆y二（（砸阀必=（〈明掰）y

:,方二悝乂叼为厄密算符

⑵阴已归—化俚忸”1

/二悝乂乎的任同巧任|=力

（3）.由/的本征值方程

又：/〃”解4=附小

即.4.）-4]4=0[A-）|=o

A-A2=04=0,1

（本题主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄:立克符号的应用）

3.分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井中（宽度。）基

态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象中的表示）

【解】所描述的状杰，基态波函数悝1）

（1）.在X表象:

〈烟〉二冬（x）小小了”日

Ofx<Ofx>a

（2）.动量表象:

区）=]吻⑼3%）

叼⑴=]%（/”】（P物-=陟〈巾）例必）

G（p）=J办小;⑴当㈤办（小加体但成网

2J2成

（3）.能量表象

n黑

%二j我卜阳卜以二%a忸1）=体（烟团与）

%=1,町=…%=0

⑴

0

0

■

⑼

同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述

的.

4.取不和心的共同表象，在？=i角动量空间中写出尸，乙，乙上££的矩

阵（本题主要考查算符矩阵的求法官松=｛掰冏»）

【解】2,均的共同本征函数为朗附

(1应⑵%⑶①3

在/=1空间八+1八0八-1

(1).2,£*

・・・£羽=3+1用4

4L=浴我丫金

(l-ll^ll-1)=(1,0|L2|l,0)=(l,4-l|Z2|l,+l)

=2方2

rl00、

BnW010

：,&01.

同样

(l-l|Zz|l-l)=-A(l,0|£z|l,0)=0(1,+1|Z2|1,+1)=A

00、

&naooo

<00f

A人人

(2)£±=4士辽>

利用：£±|加)=-J(/干》)(/士掰+i)|/，工士。

利用正交归一条件：々,也「‘加’)=认限演

『，加'"方的'-/#+W+1）除『M+i）

=方J（r一用'）（「+改'+］）幅5求就+1

。,0|£+|1,—1)=<①21」①3)二方反=2方

(1,1|2+|1,0)=(①］区I①，=方位=扬

'。贬0

£+=>hooV2

000

同样

，000、

L_=方7200

<0420,

A人

(3)

人1，人人、AI，人人\

4=5匕+工)£,=-(i+-i.)

利用：£士=4土也，a

(00、ro00、(01o1

L72fe

----h001+----ft100凡---n0

222

工矩阵:(001(01

101L/0

'②岳

0011

~2T2J

00)(0

4矩阵:<0

2E0£、

H=02s0

5.已知体系的哈密顿量02s),试求出

(1).体系能量本征值及相应的在育所在的表象的正交归一化的本征矢组.

(2).将自对角化，并给出对角化的么正变换矩阵

【解】

(1).久期方程

解之E=&2邑3E

C2

设正交归一的本征矢

对应于El=E

2(7]+C]+C3=0

<2c2=C2—<Cj―0

c1+2C3=c3+c3=0

c?=0

C1=~C3

01

本征矢归一化

0

与对应归一本征矢-1

虬=1

同样S2：

1色

由=0

纥:J

①】，①2,①3即为6的本征函数集

（2）.力对角化后，对角元素即为能量本

0£、G00、

H=02s002E0

2JS小+)[o

LE003与

转换矩阵为

1

-O

-也L

7O2

S1。

11

一O

72正

6.证明：将算符矩阵F对角化的转换矩阵的每一列对应于算符的一个本征函

数矢量。

【证】用算符的本征矢：㈤,⑹=4⑹

则F算符在自身表象口为一对角矩阵：＜=（附闭

对另一表象力学量的本征矢W

%=白忸网Q=SFS+

%=（掰庐l#=Z刨。乂&忸网（MH

=£S3凡

$+原=〈£%）

传憎

RW

件〉

■

育的本征矢

7.九£为厄密算符。矛=广=]AB+BA=O①求算

符九公的本征值，②在A表象下求算符A,B的矩阵表

不0

［解］:①加二印=1设a的本征值为3本征函数为

T,

则的=疝

J42T=X4T=12T

又少=1不▽=▽

"=1A=±l同埋算

符九月的本征值也为±1.

②在A表象，算符衾的矩阵为一对角矩阵，对角元素

为本征值，即

U0、'瓦1瓦2、

A=B=

<0f设@21%/

AAAA

利用AB-^-BA=O

「101姐3]+俏]忖(10、/2%0

如人。-■=0

<0-状如姐/1^21，、°一2%2

4】=%二0

「0%、

B=oj

闻B为厄密算符B，=B

「0厢、r0

口(J

即@12oj%=

r0

B=

也1

叫。明

。人如oj=1

又阴=1

Nlf=1

取：=1=i21

01

b=

U0)

第五章例题

重点：微扰论

i.一根长为？，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的冽质点,，在重力作用

下，质点在竖直平面内摆动。i）在小角近似下，求系统能级；打）求由于小角近似的误差产生

的基态能量的一级修正。

V\B)=mgh=-cos6)，70—mglO2

解：i)势能：r2

系统的哈密顿量

自。=枭7⑻

11+—wg/i92

2ml2{de)2

在小角近似下：x=18

122

+X

2mdx2J9

ii）若不考虑小角近似

(”丫

1

H=

2^rae)

年分。="唱C038）工"®夕

2

12!4!J2

=一33M=-隹

4!24I3

又

防二%（幻="，父/（㈤

.碎）=科町0〉=〈0］弓常㈣

••乙rj

《詈的。）

利用公式

1

小)=阈力-1)£[〃)=J%+1[»+1)'a+a

,方、力、

3+於|0

4°〉=10

\2muj）2m3)

1

.邺)‘汕=白,+力》白料+、期））

同样

_L则+a2|)

〈。*=、2用绚

*|0)=(0根2

机高詈的。尸袅

32^7

2.-维谐振子的哈密顿量为肥=一2也苏+；小

,假设它处于基态，若在加上一个弹力

力，——■1>X^

作用2，使用微扰论计算直'对能量的一级修正，并与严格解比较。

解小八一

I2)

町）=乂屋铲”/⑻a-CD-

碎乂峭四阳。〉也蛾卜1蜡〉

又

■

的“〉+

/

（町乍愀。卜3

1幼+1方fc

-5-------=------2«+1

a222ma)

邸；也⑵+1）磴=也

4mCD4也©

ii）严格解

屋喂.卡+M=4为+的b*

3发生了变化

f

n.411占1/

以=«+—ho1H-+・・・

2-)2k8/7

稣=1届+」也一—1—hb2+...

24mo)16m2ar

人A人

其中上,工为轨道的角动

3.已知体系的能埴算符为月=$+辿+%©>>4>0,

量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视4项为微扰项，求能级至二级近似值。

［解］:i）精确解

-=tge一

令CD，并在丁一Z平面上取方向〃：

_Q）._2

cos8sin8=•/

方与z轴的夹角为6,则下J©、》

•渥工+也=7a?2+A2（4cos8+sin①=，

>=$+心+一工

,・"

人

以与相互对易，它们的本征值分别为

以=«/+加/=0,1,2,-

Ln=wAm=0±1±2,…

体系能级为

%=，（7+昉气+加/+"

?2

=«/+附？+用询1+—+…）

2©

ii）微扰法

皂=那+宣,自"=由+滥工力=江）

弟的精确解为本征函数

本征能量%=%+加

球）=伽\H|加｝=九Qm=0

按微扰论

利用了公式

透________________滴________________

勾励）=——J（/+.）”0+1州,掰―1）—和一⑼（/+加+1），僧+1）

22

能量二级修正为

砥一七，|《加阿f

4-C

22fc1t

2

.S^=—（）2口+加）（＞w+1）_（"MR+w+1）］=W2-

..昉22CD

：,在二级近似下%w碟）+理+碟'

=/（/+昉*加旷+1加1这

20）

自。=£_+1/（，+/+，）

4.三维谐振子，能量算符为2加2,试写出能级和能量本征函

A，=L?lw1

数。如这振子又受到微扰2,四的作用，求最低的两个能级的微扰修正。

并和精确值比较。

［解］:

（1设方。的能量本征函数为于阮乂力=如评即）

代入方程4°T(K,%Z)_EP(KJ,Z)

—[T"WT(»T(z)Iq，5)'P"0)'PQ)IT(x)T(y)T"(z)]

2〃

+4w©2(#+/+z3)T(x)TCr)T(z)=EW*NS)%(z)

2

2

ArT"U)乎"O)T"(z)n12/222\r

----...-4-——+——+-WQ?2(X2+y2+z?)=£

2〃2(x)Tty)T(z)J2

r铲U(X)1221r方2田"3)1221,川乎"⑵122]「

[----------—+-WQJ2X2]+[------+-wa?>+[-------—+-^G?2Z2=£

2〃T(x)22〃T(y)22"乎⑵2

E】

X1

--T"(x)+-wfl)VT(x)=/乎。)

2/2

2

一%B3)+：活。勺a乎。)=&乎⑵

2〃2

上21

-L联⑶+±也乎⑵二旦小⑵

2〃2

E=E[+E)+%

E=力必1+%)&二方次［+勺）

Ei=h%+心2

乙2乙

3

£=3(]+阴况=乙+%+勺

K°，(xj,z)=%㈤%&)%⑵

AytA>c

(2).基态的微绕修正

对基态波函数用案二%㈤/8)&⑵

E，)=2力©

基态能级的零级2,无简并

x扁(右诟皿，+后不-3

=；活/即*〉•勺二°

心=w用/对4"储)乙NWX")”

能量的二级修正:

唯一不等于零的矩阵元为

(喀网喀然夕。到拘沙叫怦〉

乙

z?ri~r~r

=—/0Aj----------

212冽©12用©

4

温"=稣0)1居0)胆制I，忸给=~

32

(3).第一激发念

小窗=%a)%o)%(z)

t盘=%⑶％(>)%(>)

E=­ho)卬徽=%。)/8)与3)

2三度简

并

计算育如不为零的矩阵元为

月100,010=月0皿00=(^100IA1^010)

—wd)2(100|xy|010)

2

Z2

=5掰©%0，10

乙

4

0

0

0

0

--ho)0=0

4

0

久期方程

砂)=_:方©

可求出能量的一级修正=°

(4).精确解

r7=^=(x-y)

令'4〜)

X2+/_尸“2

乙

h2d2方2d2

R=[-------^，松2]+(_石环+；*舟+(-F+4加0%2)

2mbe212加dz22

0；=/(i+30?2(1--)

2

瓦”，=(勺+:泗七+(%+:明©2+(々

乙乙乙

12LI1I

(勺+/)方以1+/尸+(狗+万)方。(1-5>+(%+2)力山

*/1、八大乃

=ho)(n+-)(1+--—+

x2432

…)+(4]+—)AG?(1———+…)+(勺+—)AQ?

3"a

=方4?(一+第一一方〃(1+附N+%,)+一方。5*一匕1)

2324

3A2

£nnn=一方。——h0)

基态232

52A2

=一方。+一方。一一内。

第一激发态2416

「5+X,4，