2026年中考数学真题知识点专题 不等式与不等式组(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之不等式与不等式组（二）一．解答题（共21小题）1．（2026•河北）（1）解方程：3x＝12+x；（2）解不等式：x−3＞x−12．（2026•黑龙江）“节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2台A型汽车和1台B型汽车总售价为21万元，销售3台A型汽车和2台B型汽车总售价为34万元．已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元．（1）求A型汽车和B型汽车每台售价分别为多少万元？（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50台，售出A型汽车的数量不超过30台，并且投入的总成本不低于295万元，求有哪几种销售方案？（3）在（2）的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？3．（2026•深圳）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台甲型机器人比每台乙型机器人少5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：学生设未知量所列方程小丽设甲型机器人的数量为x台200x小亮设每台甲型机器人的价格为y万元（请补充）（1）请写出小亮所列的方程；（2）若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？4．（2026•广西）（1）计算：9+（﹣4）×2；（2）解不等式：2x﹣1＜5．5．（2026•河南）（1）计算：（3﹣π）0﹣2﹣1+1（2）解不等式组：3x−1≤2①2x+5≥x+3②完成以下解答过程．ⅰ）解不等式①，得．ⅱ）解不等式②，得．ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．ⅳ）所以，原不等式组的解集是．6．（2026•福建）解不等式组：x−2＞1①7．（2026•天津）解不等式组2x≥x−3①3x−4≤x②（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．8．（2026•攀枝花）解不等式2x−339．（2026•甘肃）解不等式组：7x−4＞5x3x−510．（2026•苏州）解不等式组2x−1＞3x−5x+111．（2026•扬州）解不等式组2x−1＜x+1x−512．（2026•湖南）解不等式组：x−2＞1①13．（2026•江西）“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20场比赛，南区共30场比赛．赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分．以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据．积分表北区胜/平/负积分南区胜/平/负积分九江队4/3/115宜春队*/*/**上饶队*/*/**赣州队6/2/220南昌队3/*/2m抚州队*/*/**景德镇队*/*/**新余队*/*/**鹰潭队*/*/**萍乡队*/*/**///吉安队*/*/**根据以上信息解答下列问题：（1）x＝，y＝，m＝；（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；（3）现收集了7名球员每个人的进球个数（最多的进7个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4．试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由．14．（2026•江西）（1）计算：2﹣1+（﹣1）2﹣|−1（2）解不等式：3x−12＜15．（2026•苏州）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间t（秒）的变化情况如图②所示，例如当t＝10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计）请根据上述信息，解决下列问题：（1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t＝0）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由；（2）乙驾驶汽车在道路上以速度v（米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t＝10）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度v的取值范围；（3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v（米/秒），使得该车在0～20秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由．（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）16．（2026•山东）（1）计算：22−16（2）解不等式组：x+1≤2x−1x−117．（2026•云南）问题提出云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸．该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低．问题解决在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为：甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费；乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费．根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？18．（2026•自贡）解不等式组：2x＜x+2①3(x+1)≥6②19．（2026•重庆）解不等式组：3x+4≥x①20．（2026•成都）（1）计算：(13)（2）解不等式组：3(x+2)≥2x+5①x−121．（2026•台湾）阿川想要挑战一场马拉松赛事，并在赛前训练自己的体能．他决定利用每圈400公尺的跑道训练，并订定了训练计划如下：每周星期一、四训练，第一周的星期一跑5圈，每周星期四的训练圈数比当周星期一多2圈，之后每周星期一的训练圈数与前一周的星期四相同，直到某日的训练距离超过15公里，就维持该圈数不再增加．请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）依照训练计划，阿川第2周的星期四的训练圈数为几圈？（2）承（1），最早从第几周的星期几开始，当日的训练距离会超过15公里？

2026年中考数学真题知识点分类汇编之不等式与不等式组（二）参考答案与试题解析一．解答题（共21小题）1．（2026•河北）（1）解方程：3x＝12+x；（2）解不等式：x−3＞x−1【考点】解一元一次不等式；解一元一次方程．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）x＝6；（2）x＞5．【分析】（1）利用移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；（2）利用去分母，移项，合并同类项的步骤解不等式即可．【解答】解：（1）3x＝12+x，移项，合并同类项得：2x＝12，系数化为1得：x＝6；（2）x−3＞x−1去分母得：2x﹣6＞x﹣1，移项，合并同类项得：x＞5．【点评】本题考查解一元一次不等式，解一元一次方程，熟练掌握解不等式及方程的方法是解题的关键．2．（2026•黑龙江）“节能减排，倡导绿色出行”．某新能源汽车生产厂家推出特惠A，B两种型号的新能源汽车，已知销售2台A型汽车和1台B型汽车总售价为21万元，销售3台A型汽车和2台B型汽车总售价为34万元．已知A型汽车的成本为每台7万元，B型汽车的成本为每台4.5万元．（1）求A型汽车和B型汽车每台售价分别为多少万元？（2）若汽车厂家售出A，B两种型号的汽车共50台，售出A型汽车的数量不超过30台，并且投入的总成本不低于295万元，求有哪几种销售方案？（3）在（2）的条件下，全部售出，哪种销售方案获得的利润最大？最大利润为多少万元？【考点】一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）A型汽车每台售价8万元，B型汽车每台售价5万元；（2）共有3种销售方案，方案1：售出A型汽车28台，B型汽车22台；方案2：售出A型汽车29台，B型汽车21台；方案3：售出A型汽车30台，B型汽车20台；（3）售出A型汽车30台，B型汽车20台时利润最大，最大利润为40万元．【分析】（1）根据总售价条件列二元一次方程组求解两种汽车的售价；（2）根据数量限制和总成本要求列不等式组得到整数解，确定所有销售方案；（3）根据一次函数的增减性求出最大利润及对应方案，即可求解．【解答】解：（1）设A型汽车每台售价为x万元，B型汽车每台售价为y万元，根据题意列二元一次方程组得，2x+y=213x+2y=34解得x=8y=5答：A型汽车每台售价8万元，B型汽车每台售价5万元；（2）设售出A型汽车a台，a为整数，根据题意列一元一次不等式组得，a≤307a+4.5(50−a)≥295解不等式7a+225﹣4.5a≥295，得2.5a≥70，即a≥28，因此28≤a≤30，∵a为整数，可得a的取值为28，29，30，当a＝28时，50﹣a＝50﹣28＝22；当a＝29时，50﹣a＝50﹣29＝21；当a＝30时，50﹣a＝50﹣30＝20，答：共有3种销售方案，方案1：售出A型汽车28台，B型汽车22台；方案2：售出A型汽车29台，B型汽车21台；方案3：售出A型汽车30台，B型汽车20台；（3）设总利润为W万元，每台A型汽车利润为8﹣7＝1（万元），每台B型汽车利润为5﹣4.5＝0.5（万元），因此W＝a+0.5（50﹣a）＝0.5a+25，因为0.5＞0，所以W随a的增大而增大，所以当a取最大值30时，W取得最大值，W最大＝0.5×30+25＝15+25＝40（万元），此时50﹣a＝20，答：售出A型汽车30台，B型汽车20台时获得的利润最大，最大利润为40万元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．3．（2026•深圳）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科技节展示．已知用200万元购买甲型机器人的数量，是用120万元购买乙型机器人数量的2倍，且每台甲型机器人比每台乙型机器人少5万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：学生设未知量所列方程小丽设甲型机器人的数量为x台200x小亮设每台甲型机器人的价格为y万元（请补充）（1）请写出小亮所列的方程；（2）若购买甲、乙两种型号的机器人共16台，且总费用不超过420万元，则最多可购买乙型机器人多少台？【考点】一元一次不等式的应用；由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）200y（2）最多可购买乙型机器人4台．【分析】（1）根据“总价÷单价＝数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方程；（2）先求解第一问的方程得到甲乙两种机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用不超过420万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数即可得到结果．【解答】解：（1）由题意可得，200y即小亮列出的方程为200y即200y（2）由（1）可知，200y解得y＝25，经检验y＝25是原分式方程的解，∴每台甲型机器人25万元，每台乙型机器人25+5＝30（万元），设购买乙型机器人m台，则购买甲型机器人（16﹣m）台，由题意可得，30m+25（16﹣m）≤420，解得m≤4，∵m是整数，∴m的最大值为4，答：最多可购买乙型机器人4台．【点评】本题考查由实际问题问题抽象出分式方程，一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．4．（2026•广西）（1）计算：9+（﹣4）×2；（2）解不等式：2x﹣1＜5．【考点】解一元一次不等式；有理数的混合运算．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）1；（2）x＜3．【分析】（1）先算乘法，再算加减即可；（2）先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．【解答】解：（1）9+（﹣4）×2＝9﹣8＝1；（2）2x﹣1＜5，2x＜5+1，2x＜6，x＜3．【点评】本题考查的是解一元一次不等式，有理数的混合运算，熟知以上知识是解题的关键．5．（2026•河南）（1）计算：（3﹣π）0﹣2﹣1+1（2）解不等式组：3x−1≤2①2x+5≥x+3②完成以下解答过程．ⅰ）解不等式①，得x≤1．ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2．ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．ⅳ）所以，原不等式组的解集是﹣2≤x≤1．【考点】解一元一次不等式组；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；在数轴上表示不等式的解集．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）1；（2）ⅰ）x≤1；ⅱ）x≥﹣2；ⅲ）；ⅳ）﹣2≤x≤1．【分析】（1）利用零指数幂，负整数指数幂，算术平方根的定义计算后再算加减即可；（2）ⅰ）利用移项，合并同类项的步骤解不等式即可；ⅱ）利用移项，合并同类项的步骤解不等式即可；ⅲ）在数轴上表示出两个不等式的解集即可；ⅳ）求得两个不等式解集的公共部分即可．【解答】解：（1）原式＝1−＝1；（2）ⅰ）解不等式①，得x≤1，故答案为：x≤1；ⅱ）解不等式②，得x≥﹣2，故答案为：x≥﹣2；ⅲ）在数轴上表示该解集如下图所示：；ⅳ）原不等式组的解集是﹣2≤x≤1，故答案为：﹣2≤x≤1．【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则及解不等式的方法是解题的关键．6．（2026•福建）解不等式组：x−2＞1①【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】3＜x＜7．【分析】解各不等式组得出对应的解集，然后求得它们解集的公共部分即可．【解答】解：将不等式①移项，合并同类项得：x＞3，将不等式②去括号得：3x﹣5＜2x+2，移项，合并同类项得：x＜7，故原不等式组的解集为3＜x＜7．【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．7．（2026•天津）解不等式组2x≥x−3①3x−4≤x②（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣3；（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤2．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（Ⅰ）x≥﹣3；（Ⅱ）x≤2；（Ⅲ）；（Ⅳ）﹣3≤x≤2．【分析】（Ⅰ）利用移项，合并同类项的步骤解不等式即可；（Ⅱ）利用移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可；（Ⅲ）在数轴上表示出两不等式的解集即可；（Ⅳ）求得两个解集的公共部分即可．【解答】解：（Ⅰ）将不等式①移项，合并同类项得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3；（Ⅱ）将不等式②移项，合并同类项得：2x≤4，系数化为1得：x≤2，故答案为：x≤2；（Ⅲ）在数轴上表示其解集如下图所示：；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣3≤x≤2，故答案为：﹣3≤x≤2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键．8．（2026•攀枝花）解不等式2x−33【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＜0，把解集在数轴上表示为：．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣3）＞3（3x﹣2），去括号得：4x﹣6＞9x﹣6，移项合并同类项得：﹣5x＞0，∴x＜0，把解集在数轴上表示为：【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能求出不等式的解集是解此题的关键．9．（2026•甘肃）解不等式组：7x−4＞5x3x−5【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】2＜x＜5．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．【解答】解：解不等式7x﹣4＞5x得，x＞2，解不等式3x−52＜x得，所以不等式组的解集为2＜x＜5．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．10．（2026•苏州）解不等式组2x−1＞3x−5x+1【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣2＜x＜4．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．【解答】解：解不等式2x﹣1＞3x﹣5得，x＜4，解不等式x+12−x所以不等式组的解集为﹣2＜x＜4．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．11．（2026•扬州）解不等式组2x−1＜x+1x−5【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】﹣1≤x＜2，不等式组的所有整数解的和为0．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．【解答】解：解不等式2x﹣1＜x+1得，x＜2，解不等式x−53≤2x得，所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜2，则该不等式组的所有整数解的和为：﹣1+0+1＝0．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．12．（2026•湖南）解不等式组：x−2＞1①【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＞3．【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即可．【解答】解：x−2＞1①解不等式①，得x＞3，解不等式②，得x＞1，所以不等式组的解集是x＞3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．13．（2026•江西）“以球之名，为城而战”，2025年江西省城市足球超级联赛于7月12日在南昌八一体育场拉开帷幕．赛事的成功举办极大激发了参赛球员和群众的城市归属感，推动了文旅等相关产业的发展．在常规赛阶段，分南北两个赛区，采取赛区内主客场双循环积分制（每两队之间进行两场比赛），北区共20场比赛，南区共30场比赛．赛制规定：每队胜一场得x分，平一场得y分，负一场得0分．以下是常规赛结束时积分及进/失球个数部分数据．积分表北区胜/平/负积分南区胜/平/负积分九江队4/3/115宜春队*/*/**上饶队*/*/**赣州队6/2/220南昌队3/*/2m抚州队*/*/**景德镇队*/*/**新余队*/*/**鹰潭队*/*/**萍乡队*/*/**///吉安队*/*/**根据以上信息解答下列问题：（1）x＝3，y＝1，m＝12；（2）分别求两个赛区平均每场比赛进球个数；（3）现收集了7名球员每个人的进球个数（最多的进7个球），甲乙两位同学对这组数据进行分析，得到如下结果：甲：平均数为3，极差为4；乙：众数为2，平均数为4．试分别判断甲乙两人的分析是否有一定的可信度，并说明理由．【考点】一元一次不等式的应用；算术平均数；众数；极差．【专题】一元一次不等式（组）及应用；统计的应用．【答案】（1）3；1；12；（2）x南＝2.5；x北＝2.15；（3）甲的数据分析不可信，理由如下：∵至少有1个7，极差为4，∴最小数为3，则平均数大于3，与平均数为3相矛盾．乙的数据分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7．（只要列举其中一组数据说明即可）【分析】（1）根据九江队和赣州队的比赛胜负情况和积分情况列出二元一次方程组，求得x，y的值，进而根据北区每队比赛的场次为8场，以及积分规则求得m的值，即可求解；（2）根据各赛区总进球数与失球数相等，得出总进球数，进而根据平均数的定义，即可求解；（3）根据平均数，极差，众数的定义分析，即可求解．【解答】解：（1）由题意得4x+3y=15，解得：x=3，∵常规赛中，北区每队比赛的场次为8场，∴南昌队3胜3平2负，∴m＝3×3+3×1+2×0＝12．故x＝3，y＝1，m＝12，故答案为：3，1，12；（2）∵各赛区总进球数与失球数相等，∴北区总进球数为7+4+7+10+15＝43，∴北区平均每场比赛进球个数为x―∵南区总进球数为16+17+8+8+15+11＝75，∴南区平均每场比赛进球个数为x―（3）甲的数据分析不可信，理由如下：∵至少有1个7，极差为4，∴最小数为3，则平均数大于3，与平均数为3相矛盾．乙的数据分析有一定的可信度，如①2，2，2，3，5，7，7；②2，2，2，3，6，6，7；③2，2，2，4，5，6，7；④2，2，2，2，6，7，7；⑤2，2，2，4，4，7，7．（只要列举其中一组数据说明即可）【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，算术平均数，众数，极差，掌握其相关知识点是解题的关键．14．（2026•江西）（1）计算：2﹣1+（﹣1）2﹣|−1（2）解不等式：3x−12＜【考点】解一元一次不等式；实数的运算；负整数指数幂．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）1；（2）x＜1【分析】（1）根据实数的运算法则进行计算即可；（2）根据解一元一次不等式的步骤进行求解即可．【解答】解：（1）原式=＝1．（2）3x−123x﹣1＜2x，3x﹣2x＜1，x＜1．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式、实数的运算及负整数指数幂，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式的步骤是解题的关键．15．（2026•苏州）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，C的绿灯持续时间为40秒，红灯持续时间为40秒；路口B的绿灯持续时间为30秒，红灯持续时间为30秒．各路口红绿灯随时间t（秒）的变化情况如图②所示，例如当t＝10时，路口A为绿灯，路口B为红灯，路口C为绿灯．已知路口A到路口B，C的距离分别为600米和1000米．（为了研究方便，黄灯时间和路口宽度忽略不计）请根据上述信息，解决下列问题：（1）甲驾驶汽车在道路上以15米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即t＝0）通过A路口，请判断其是否能不停车通过B路口，并说明理由；（2）乙驾驶汽车在道路上以速度v（米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10秒时（即t＝10）通过A路口，若其能在100秒前（含100秒，即t≤100）不停车连续通过B，C两个路口，求其行驶速度v的取值范围；（3）对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v（米/秒），使得该车在0～20秒内（含0秒和20秒）任意时刻通过A路口后，都能在180秒前（含180秒，即t≤180）不停车连续通过B，C两个路口．若存在，请直接写出v的取值范围；若不存在，请说明理由．（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）【考点】一元一次不等式组的应用；函数的图象．【专题】一元一次不等式（组）及应用．【答案】（1）能不停车通过B路口，理由如下：甲到达B路口的时间是600÷15＝40（秒），由图②可知，路口B处于绿灯状态，∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口；（2）12≤v≤20；（3）15≤v≤50【分析】（1）求出甲到达B路口的时间，根据图②判断即可；（2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，要使其在100秒前能不停车连续通过B，C两个路口，则要求汽车在30秒到60秒之间通过B路口，60秒到100秒之间通过C路口，据此列出不等式组，求解即可；（3）分汽车在B路口第1个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口；和在B路口第2个绿灯时经过B路口，且不停车连续通过B，C两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）能不停车通过B路口，理由如下：甲到达B路口的时间是600÷15＝40（秒），由图②可知，路口B处于绿灯状态，∴甲驾驶汽车能不停车通过B路口；（2）设乙驾驶汽车离开A路口的路程为s，sA0=10k+b1000=60k+bAC1：s＝20t﹣200，sB＝600时，t＝40，B路口是绿灯，v＝20，AC2：s＝mt+n过（10，0）（100，1000），0=10m+n1000=100m+nAC2：s=1009tsB＝600，t＝64，B是红灯舍，AB2：s＝ct+d过A（10，0）B（60，600），0=10c+d600=60c+ds＝12t﹣200，sc＝1000，t＝100正好C口是绿灯，v＝12，∴12≤v≤20．（3）当汽车在0～20秒时经过A路口，过B第一个绿灯，60060−20如当汽车在0～20秒时经过A路口，过B第二个绿灯，1000180−20综上15≤v≤50【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，函数的图象，掌握其相关知识点是解题的关键．16．（2026•山东）（1）计算：22−16（2）解不等式组：x+1≤2x−1x−1【考点】解一元一次不等式组；实数的运算．【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）3；（2）2≤x＜3．【分析】（1）先计算有理数的乘方、化简二次根式，再计算加减即可；（2）分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可．【解答】解：（1）原式＝4﹣4+3＝3；（2）x+1≤2x−1①x−1解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＜3，不等式组的解集是2≤x＜3．【点评】本题考查的是实数的运算、解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．17．（2026•云南）问题提出云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸．该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低．问题解决在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为：甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费；乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费．根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？【考点】一元一次不等式的应用．【专题】一次方程（组）及应用．【答案】当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司．【分析】设印制x张专用介绍贴纸，根据收费方案，列出代数式，分3种情况，列出方程或不等式进行求解即可．【解答】解：设印制x张专用介绍贴纸，由题意，甲印制公司所需费用为（1350+0.2x）元，乙印制公司所需费用为0.35x元，当1350+0.2x＝0.35x时，解得x＝9000；当1350+0.2x＞0.35x时，解得x＜9000；当1350+0.2x＜0.35x时，解得x＞9000；综上：当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司．【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．18．（2026•自贡）解不等式组：2x＜x+2①3(x+1)≥6②【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】1≤x＜2．【分析】解各不等式求得对应的解集，然后求得它们的公共部分即可．【解答】解：2x＜x+2①3(x+1)≥6②将①移项，合并同类项得：x＜2，将②去括号得：3x+3≥6，移项，合并同类项得：3x≥3，系数化为1得：x≥1，故原不等式的解集为1≤x＜2．【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．19．（2026•重庆）解不等式组：3x+4≥x①【考点】解一元一次不等式组．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】x＞1．【分析】解各不等式求得对应的解集后求得它们的公共部分即可．【解答】解：将①移项，合并同类项得：2x≥﹣4，系数化为1得：x≥﹣2，将②去分母得：3x+5＜4x+4，移项，合并同类项得：﹣x＜﹣1，系数化为1得：x＞1，故原不等式组的解集为x＞1．【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．20．（2026•成都）（1）计算：(13)（2）解不等式组：3(x+2)≥2x+5①x−1【考点】解一元一次不等式组；特殊角的三角函数值；实数的运算；负整数指数幂．【专题】实数；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）3；（2）﹣1≤x＜3．【分析】（1）先根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值的意义计算，然后把8化简后合并即可；（2）先分别解不等式得到x≥﹣1和x＜3，然后利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集．【解答】解：（1）原式＝3﹣22+2×12＝3﹣22+1+22＝3；（2）解不等式①得x≥﹣1，解不等式②得x＜3，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．也考查了实数的运算．21．（2026•台湾）阿川想要挑战一场马拉松赛事，并在赛前训练自己的体能．他决定利用每圈400公尺的跑道训练，并订定了训练计划如下：每周星期一、四训练，第一周的星期一跑5圈，每周星期四的训练圈数比当周星期一多2圈，之后每周星期一的训练圈数与前一周的星期四相同，直到某日的训练距离超过15公里，就维持该圈数不再增加．请根据上述资讯回答下列问题，完整写出你的解题过程并详细解释：（1）依照训练计划，阿川第2周的星期四的训练圈数为几圈？（2）承（1），最早从第几周的星期几开始，当日的训练距离会超过15公里？【考点】一元一次不等式的应用．【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．【答案】（1）第2周星期四训练9圈；（2）最早从第17周的星期四开始，训练距离超过15公里．【分析】（1）根据规则依次算出第一周周四、第二周周一的圈数，再利用当周周四比周一多2圈，求出结果；（2）先换算求出临界圈数，结合递推规律列算式求解，对比周一、周四达标时间，确定最早日期．【解答】解：（1）单位换算：15公里＝15000公尺，单日需超过圈数：15000÷400＝37.5，即单日圈数至少38圈，第1周星期一：5圈，第1周星期四：5+2＝7圈，第2周星期一圈数＝第1周星期四圈数，即7圈，第2周星期四：7+2＝9圈，答：第2周星期四训练9圈；（2）由规则得：每周周一圈数、周四圈数都依次增加2圈，设第n周周一为an＝5+2（n﹣1），第n周周四为bn＝5+2n，令周四圈数5+2n≥38，解得n≥16.5，取整数n＝17，第16周周四为37圈，未超过；第17周周四为39圈，超过37.5圈，令周一圈数5+2（n﹣1）≥38，解得n≥17.5，即第18周周一才达标，对比可知，第17周星期四时间更早，答：最早从第17周的星期四开始，训练距离超过15公里．【点评】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意正确列式．

考点卡片1．有理数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．4．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p=1ap（a注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．5．解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx＝c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x＝c．使方程逐渐转化为ax＝b的最简形式体现化归思想．将ax＝b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．6．一元一次方程的应用（一）一元一次方程解应用题的类型有：（1）探索规律型问题；（2）数字问题；（3）销售问题（利润＝售价﹣进价，利润率=利润进价×100%）；（4）工程问题（①（5）行程问题（路程＝速度×时间）；（6）等值变换问题；（7）和，差，倍，分问题；（8）分配问题；（9）比赛积分问题；（10）水流航行问题（顺水速度＝静水速度+水流速度；逆水速度＝静水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．列一元一次方程解应用题的五个步骤1．审：仔细审题，确定已知量和未知量，找出它们之间的等量关系．2．设：设未知数（x），根据实际情况，可设直接未知数（问什么设什么），也可设间接未知数．3．列：根据等量关系列出方程．4．解：解方程，求得未知数的值．5．答：检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句．7．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．8．由实际问题抽象出分式方程由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．9．在数轴上表示不等式的解集用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．【规律方法】不等式解集的验证方法某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．10．解一元一次不等式根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能