2026年中考数学真题知识点专题 尺规作图(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之尺规作图（二）一．解答题（共14小题）1．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点分别为A（﹣6，0），B（10，0），C（4，10），D（0，8）．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（1）在CD边上作一点P，使PA＝PB，此时点P的坐标为；（2）在BC边上作一点Q，使△QAD和△QOB的面积相等．2．（2026•广东）如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC．（1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．3．（2026•南京）已知△ABC，按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．（1）在AC、BC上各定一点E、F，使EF∥AB，且EF=12（2）在AC、BC上各确定一点G、P．使GP∥AB，且GP＝a．4．（2026•陕西）如图，已知△ABC，AB＝BC．请用尺规作图法，求作一点D，使得四边形ABCD为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）．5．（2026•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形．（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N为顶点的平行四边形．6．（2026•湖北）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？【模型假设】假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关．【模型建立】如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段MN，艇尾记为点M，艇首记为点N．Ⅰ．运动员的位置依次用点A1，A2，A3，A4表示，MA1＝s，A1A2＝A2A3＝A3A4＝r．Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于MN上方与下方的桨的数量相等．Ⅲ．规定：当桨的位置位于MN上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于MN下方时，对应的点所表示的数记为负数．例：在图1中，桨1的位置位于MN上方，MA1＝s，所以点A1表示的数是s；桨2的位置位于MN下方，MA2＝s+r，点A2表示的数是﹣（s+r）．（1）在图1中，MA3＝，点A3表示的数是，点A4表示的数是．【模型分析】通过研究，记点A1，A2，A3，A4所表示的数的和为W，当W＝0时，赛艇保持“稳定”；当W≠0时，赛艇失去“稳定”．（2）在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．【模型应用】（3）类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．7．（2026•广元）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=12∠（1）尺规作图：在AD边上作一点E，使∠BCE＝∠DCE；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABCE为平行四边形．8．（2026•河北）（1）尺规作图：如图1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l．（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，点D在BC边上，且DA＝DB．若AC＝6，BC＝9，求线段CD的长．9．（2026•河南）如图，在▱ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE．（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM交边AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）判断线段BE与（1）中得到的线段DF的数量关系，并给出证明．10．（2026•福建）如图，四边形ABCD是矩形，AB＜BC，点E在AD的延长线上．（1）求作点F，使点F在AD边上，且∠AFB＝2∠EBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，求AF的长．11．（2026•乐山）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数3456…正多边形的内角和180°360°540°720°…正多边形每个内角的大小60°90°108°a…表中a＝，正六边形（填“能”或“不能”）铺满地面．【探导密铺】同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．图中，②号三角形可看成①号三角形通过（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．12．（2026•江西）如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上，∠A＝90°，∠C＝30°，MN为△ABC的中位线．（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN于点P；（保留作图痕迹）（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP的长为．13．（2026•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠BAC．以AB边上的点O为圆心，OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D，BD为⊙O的切线．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；（2）若AC＝4，tan∠BAC=12，求⊙14．（2026•湖南）如图，在等腰△OAB中，OA＝OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（1）求证：AB与⊙O相切；（2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O的半径．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之尺规作图（二）参考答案与试题解析一．解答题（共14小题）1．（2026•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的顶点分别为A（﹣6，0），B（10，0），C（4，10），D（0，8）．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）（1）在CD边上作一点P，使PA＝PB，此时点P的坐标为（2，9）；（2）在BC边上作一点Q，使△QAD和△QOB的面积相等．【考点】作图—复杂作图；三角形的面积；线段垂直平分线的性质．【专题】尺规作图；几何直观；运算能力．【答案】（1）；（2，9）．（2）【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交CD于点P，则点P即为所求；由题意可知点P的横坐标为2，利用待定系数法求出直线CD的解析式，将x＝2代入求出y的值，进而可得答案．（2）根据题意可知点Q到直线AD的距离等于点Q到直线OB的距离，即点Q为∠DAB的平分线与BC的交点，由此作图即可．【解答】解：（1）如图，作线段AB的垂直平分线交CD于点P，则点P即为所求．∵A（﹣6，0），B（10，0），∴点P的横坐标为−6+102设直线CD的解析式为y＝kx+b，将C（4，10），D（0，8）代入，得4k+b=10b=8解得k=1∴直线CD的解析式为y=1令x＝2，得y＝9，∴点P的坐标为（2，9）．故答案为：（2，9）．（2）如图，作∠DAB的平分线交BC于点Q，∴点Q到直线AD的距离等于点Q到直线OB的距离．∵A（﹣6，0），B（10，0），D（0，8），∴OA＝6，OD＝8，OB＝10，∴AD=6∴AD＝OB．设点Q到直线AD的距离等于点Q到直线OB的距离等于h，∴12即△QAD和△QOB的面积相等，则点Q即为所求．【点评】本题考查作图—复杂作图、三角形的面积、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2026•广东）如图，AB＝BC，AE∥BC，连接AC．（1）尺规作图：在AE上作点D，连接BD，使得BD平分∠ABC．（保留作图痕迹，不写作法．）（2）连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．【考点】作图—复杂作图；菱形的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图，点D即为所求；（2）∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．【分析】（1）作BD平分∠ABC，BD交AE于点D即可；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【解答】（1）解：如图，点D即为所求；（2）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵AE∥BC，∴∠DBC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ABD，∴AD＝AB，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．3．（2026•南京）已知△ABC，按照以下要求用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明．（1）在AC、BC上各定一点E、F，使EF∥AB，且EF=12（2）在AC、BC上各确定一点G、P．使GP∥AB，且GP＝a．【考点】作图—复杂作图；平行线的性质．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图，线段EF即为所求；（2）如图，线段GP即为所求．【分析】（1）作出△ABC的中位线EF即可；（2）构造平行四边形BDGP（BD＝a）解决问题即可．【解答】解：（1）如图，线段EF即为所求；（2）如图，线段GP即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．4．（2026•陕西）如图，已知△ABC，AB＝BC．请用尺规作图法，求作一点D，使得四边形ABCD为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的性质；菱形的性质；菱形的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】如图，四边形ABCD即为所求．【分析】作BT平分∠ABC交AC于点O，在射线OT上截取线段OD，使得OD＝OB，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求．【解答】解：如图，四边形ABCD即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，菱形的性质，菱形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．5．（2026•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，E均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）在图①中，找一个格点M，画一个以点A，B，M为顶点的等腰三角形．（2）在图②中，找一个格点N，画一个以点C，D，E，N为顶点的平行四边形．【考点】作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）如图①中，△ABM即为所求（答案不唯一）；（2）如图②中，四边形DCEN即为所求（答案不唯一）．【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形；（2）根据平行四边形的定义画出图形．【解答】解：（1）如图①中，△ABM即为所求（答案不唯一）；（2）如图②中，四边形DCEN即为所求（答案不唯一）．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．6．（2026•湖北）探究无舵手单桨赛艇中的数学问题单桨赛艇是一项运动员背向终点划水前进的艇类运动．在第十五届全国运动会上，湖北队斩获男子四人单桨、女子四人单桨赛艇比赛两枚金牌．单桨赛艇在前进中容易左右摇摆，怎样才能使赛艇保持“稳定”？【模型假设】假定运动员的力大小相同，不考虑其他因素，赛艇的“稳定”与运动员到艇尾的距离以及桨摆放的位置有关．【模型建立】如图1，将四人单桨赛艇抽象为线段MN，艇尾记为点M，艇首记为点N．Ⅰ．运动员的位置依次用点A1，A2，A3，A4表示，MA1＝s，A1A2＝A2A3＝A3A4＝r．Ⅱ．运动员手持的桨依次记为桨1，桨2，桨3，桨4，位于MN上方与下方的桨的数量相等．Ⅲ．规定：当桨的位置位于MN上方时，对应的点所表示的数记为正数；当桨的位置位于MN下方时，对应的点所表示的数记为负数．例：在图1中，桨1的位置位于MN上方，MA1＝s，所以点A1表示的数是s；桨2的位置位于MN下方，MA2＝s+r，点A2表示的数是﹣（s+r）．（1）在图1中，MA3＝s+2r，点A3表示的数是﹣（s+2r），点A4表示的数是s+3r．【模型分析】通过研究，记点A1，A2，A3，A4所表示的数的和为W，当W＝0时，赛艇保持“稳定”；当W≠0时，赛艇失去“稳定”．（2）在四人单桨比赛中，按照图1的桨的位置摆放，赛艇能否保持“稳定”？请判断并说明理由．【模型应用】（3）类比四人单桨赛艇保持“稳定”的探究方法，设计一种八人单桨赛艇比赛的桨的摆放方案，使赛艇保持“稳定”．如图2，已经画出四支桨的位置，请在图中画出其余四支桨的位置．【考点】作图—应用与设计作图；正数和负数；数轴；两点间的距离．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）s+2r，﹣（s+2r），s+3r；（2）给出的判断是能．理由如下：由题意可知，W＝s﹣（s+r）﹣（s+2r）+（s+3r）＝s﹣s﹣r﹣s﹣2r+s+3r＝0．所以赛艇能保持“稳定”；（3）作图：A5上方，A6下方，A7下方，A8上方（上下桨数量相等，正负抵消）．【分析】（1）根据题目条件判断即可；（2）求出W的值可得结论；（3）根据题意画出图形即可．【解答】解：（1）MA3＝s+2r，点A3表示的数是﹣（s+2r），点A4表示的数s+3r．故答案为：s+2r，﹣（s+2r），s+3r；（2）给出的判断是能．理由如下：由题意可知，W＝s﹣（s+r）﹣（s+2r）+（s+3r）＝s﹣s﹣r﹣s﹣2r+s+3r＝0．所以赛艇能保持“稳定”；（3）作图：A5上方，A6下方，A7下方，A8上方（上下桨数量相等，正负抵消）．【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，正数与负数，数轴，解题的关键是掌握相关知识解决问题．7．（2026•广元）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，∠BAD=12∠（1）尺规作图：在AD边上作一点E，使∠BCE＝∠DCE；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，求证：四边形ABCE为平行四边形．【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；平行四边形的判定．【专题】作图题；几何直观．【答案】（1）图形如图所示：（2）∵∠BAD=12∠BCD，∠BCE＝∠∴∠A＝∠BCE，∵BC∥AD，∴∠BCE＝∠CED，∴∠A＝∠CED，∴AB∥CE，∴四边形ABCE为平行四边形．【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）证明AB∥CE可得结论．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵∠BAD=12∠BCD，∠BCE＝∠∴∠A＝∠BCE，∵BC∥AD，∴∠BCE＝∠CED，∴∠A＝∠CED，∴AB∥CE，∴四边形ABCE为平行四边形．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的定义，平行四边形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．8．（2026•河北）（1）尺规作图：如图1，在△ABC中，作出AB边的垂直平分线l．（保留作图痕迹，不写作法）（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，点D在BC边上，且DA＝DB．若AC＝6，BC＝9，求线段CD的长．【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．【专题】尺规作图；推理能力．【答案】（1）如图，直线l即为所求；（2）CD＝4．【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；（2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明∠BAC＝∠CDA，即可证明△CDA∽△CAB，即可求解．【解答】解：（1）如图，直线l即为所求；（2）∵DA＝DB，∴∠B＝∠BAD，∴∠CDA＝∠B+∠BAD＝2∠B，∵∠BAC＝2∠B，∴∠BAC＝∠CDA，∵∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∵AC＝6，BC＝9，∴CDCA∴CD6解得CD＝4．【点评】本题考查了尺规作图，相似三角形的性质及判定等，掌握综合知识是解题的关键．9．（2026•河南）如图，在▱ABCD中，点E为边BC上一点，连接AE．（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠DCM，使∠DCM＝∠BAE，且射线CM交边AD于点F（保留作图痕迹，不写作法）．（2）判断线段BE与（1）中得到的线段DF的数量关系，并给出证明．【考点】作图—基本作图；平行四边形的性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】（1）如图所示即为所求：（2）结论：BE＝DF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，由（1）得∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；（2）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，再由全等三角形的判定和性质即可证明．【解答】解：（1）如图所示即为所求：（2）结论：BE＝DF．理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，由（1）得∠BAE＝∠DCF，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴BE＝DF．【点评】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．10．（2026•福建）如图，四边形ABCD是矩形，AB＜BC，点E在AD的延长线上．（1）求作点F，使点F在AD边上，且∠AFB＝2∠EBC；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若AB＝4，BC＝6，DE＝2，求AF的长．【考点】作图—复杂作图；平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质．【专题】作图题；几何直观；运算能力．【答案】（1）如图，F是所求作的点；（2）AF＝3．【分析】（1）作线段BE的垂直平分线交AD于点F，连接BF即可；（2）证明BF＝EF，设AF＝x，利用勾股定理构建方程求解．【解答】解：（1）如图，F是所求作的点；（2）∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，∴AD∥BC，AD＝BC＝6．∴∠E＝∠EBC，∠AFB＝∠FBC．∵∠AFB＝2∠EBC，∴∠FBE＝∠EBC＝∠E．∴BF＝EF．∵DE＝2，∴AE＝AD+DE＝8．设AF＝x，则BF＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，∠A＝90°，AB＝4，由勾股定理得AF2+AB2＝BF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．∴AF＝3．【点评】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理、矩形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．11．（2026•乐山）在一堂平面密铺探究课上，张老师引导学生探索多边形铺满地面的条件和方法．【感知密铺】同学们通过观察发现：使用给定的某种正多边形，当围绕一点拼在一起的几个内角加在一起恰好组成一个周角时，就可以铺满地面．正多边形的边数3456…正多边形的内角和180°360°540°720°…正多边形每个内角的大小60°90°108°a…表中a＝120°，正六边形能（填“能”或“不能”）铺满地面．【探导密铺】同学们通过动手操作，探导到了实现密铺的路径．图中，②号三角形可看成①号三角形通过平移（填“平移”或“旋转”）得到；③号三角形可看成①号三角形通过旋转（填“平移”或“旋转”）得到．【创作密铺】最后，张老师给同学们布置了一项任务：用与四边形ABCD形状大小相同的四边形实现平面密铺，并在下面方格纸中画出点A位置的密铺设计图．【考点】作图—应用与设计作图；平移的性质；相似三角形的应用；多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）．【专题】作图题；三角形．【答案】【感知密铺】120°；能；【探导密铺】平移；旋转；【创作密铺】点A位置的密铺设计图如图：【分析】【感知密铺】根据正六边形的内角和求正六边形每个内角的大小即可，再根据三个正六边形内角恰好组成一个周角，得到正六边形能铺满地面；【探导密铺】根据平移与旋转的特征判断即可；【创作密铺】先画AB和AD为公共边的四边形，再画最后一个四边形即可．【解答】解：【感知密铺】正六边形的内角和720°，则正六边形每个内角的大小a=720°∵3×120°＝360°，即三个正六边形内角恰好组成一个周角，∴正六边形能铺满地面，故答案为：120°；能；【探导密铺】②号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线平行，则②号三角形可看成①号三角形通过平移得到；③号三角形与①号三角形比较发现：大小不变，位置移动，对应点组成的直线不平行，则③号三角形可看成①号三角形通过旋转得到，故答案为：平移，旋转；【创作密铺】点A位置的密铺设计图如图：【点评】本题主要考查了作图—应用与设计作图，多边形内角与外角，平面镶嵌（密铺），平移的性质，相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．12．（2026•江西）如图，在8×4的正方形网格中，△ABC的顶点B，C均在格点上，∠A＝90°，∠C＝30°，MN为△ABC的中位线．（1）请仅用无刻度直尺作∠ABC的平分线，交MN于点P；（保留作图痕迹）（2）若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP的长为23．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的定义；含30度角的直角三角形；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】作图题；几何直观；运算能力．【答案】（1）图形如图所示：（2）23【分析】（1）线段BC的垂直平分线交AC于点J，作射线BJ，BH交MN于点P，射线BJ即为所求；（2）过点M作MH⊥PB于点H．证明BM＝MP，解直角三角形求出BH即可．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）过点M作MH⊥PB于点H．在Rt△ABC中，BC＝8，∠C＝30°，∴AB=12BC＝4，∠∵MN是△ABC的中位线，∴BM＝AM=12AB＝2，MN∥∴∠MPB＝∠PBC=12∠∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠PBC，∴∠MBP＝∠MPB，∴BM＝PM，∵MH⊥BP，∴BH＝PH＝BM•cos30°=3∴PB＝2BH＝23．故答案为：23【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，角平分线的定义，含30度的直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．13．（2026•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠BAC．以AB边上的点O为圆心，OA长为半径的⊙O与AC边的另一交点为D，BD为⊙O的切线．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的⊙O（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；（2）若AC＝4，tan∠BAC=12，求⊙【考点】作图—复杂作图；解直角三角形；垂径定理；圆周角定理；切线的性质．【专题】作图题；三角形；几何直观．【答案】（1）⊙O如图所示．（2）35【分析】（1）先作∠DBC＝∠A交AC于点D，再作AD的垂直平分线，交AB于点O，以OA为半径作⊙O即可；（2）由已知条件先求BC，进一步可求DC长度，AD长度，AF，OF均可求，最后借助勾股定理可求半径OA长度．【解答】解：（1）⊙O如图所示，证明：∵∠ACB＝90°，∴∠DBC+∠BDC＝90°，∵EF为AD垂直平分线，∴OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠DBC＝∠A，∴∠ODA＝∠DBC，∴∠ODA+∠BDC＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BD，∵OD为⊙O半径，点D在圆上，∴BD为⊙O切线；（2）∵AC＝4，tan∠BAC=1∴tan∠BAC=BC∴BC＝2，∵∠DBC＝∠A，∴tan∠DBC=tan∠BAC=1∴DCBC∴DC＝1，∴AD＝3，∴AF=DF=3∵tan∠OAF=OF∴OF=3∴OA=(即⊙O半径为35【点评】本题主要考查了作图—复杂作图，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．14．（2026•湖南）如图，在等腰△OAB中，OA＝OB．在OA上取一点E，以O为圆心，OE的长为半径画弧，交OB于点F；分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，在∠AOB内两弧交于点P；作射线OP交AB于点C；以O为圆心，OC的长为半径作⊙O（1）求证：AB与⊙O相切；（2）已知OA＝10，AB＝12，求⊙O的半径．【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质；垂径定理；直线与圆的位置关系；切线的判定与性质．【专题】作图题；几何直观；推理能力．【答案】（1）证明：由作法得OP平分∠AOB，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴OC为半径，∴AB与⊙O相切；（2）8．【分析】（1）先利用基本作图得OP平分∠AOB，则根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据等腰三角形的性质得到AC＝BC=12AB＝6，然后利用勾股定理计算出【解答】（1）证明：由作法得OP平分∠AOB，∵OA＝OB，∴OC⊥AB，∴OC为半径，∴AB与⊙O相切；（2）解：∵OA＝OB，OC⊥AB，∴AC＝BC=12在Rt△OAC中，∵OA＝10，AC＝6，∴OC=1即⊙O的半径为8．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质、切线的判定与性质．

考点卡片1．正数和负数1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号．2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量．2．数轴（1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．（2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．）（3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大．3．两点间的距离（1）两点间的距离连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．4．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．5．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．6．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．7．线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．8．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．9．等腰三角形的判定与性质1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．10．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．11．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．12．三角形中位线定理（1）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（2）几何语言：如图，∵点D、E分别是AB、AC的中点∴DE∥BC，DE=1213．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．14．平面镶嵌（密铺）（1）平面图形镶嵌的定义：用形状，大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接．彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．（2）正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等；②顶点公共；③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°．判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．（3）单一正多边形的镶嵌：正三角形，正四边形，正六边形．（4）两种正多边形的镶嵌：3个正三角形和2个正方形、四个正三角形和1个正六边形、2个正三角形和2个正六边形、1个正三角形和2个正十二边形、1个正方形和2个正八边形等．（5）用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．15．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．16．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．17．菱形的性质（1）菱形的性质①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．（2）菱形的面积计算①利用平行四边形的面积公式．②菱形面积=12ab．（a、18．菱形的判定①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形19．矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．20．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．21．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化