2026年中考数学真题知识点专题 反比例函数(三)

年中考数学真题知识点分类汇编之反比例函数（三）一．解答题（共19小题）1．（2026•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与函数y=4x（x＞0）的图象交于点（1）求a，b的值；（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°到AD，连接BD，将△ABD沿直线AB平移，当点D的对应点E恰好落在函数y=4x（x＞0）的图象上时，求点2．（2026•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=4x的图象交于A（﹣2，n），（1）求正比例函数的解析式；（2）点C是y轴正半轴上的一点，若△ABC的面积为8，求点C的坐标．3．（2026•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8与双曲线y=kx（k≠0）交于A（1，a）、B两点，与x轴交于点（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标．（2）直接写出不等式kx＜（3）若点P为x轴上的动点，当△ADP为直角三角形时，求点P的坐标．4．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于点A（2，6）和点B（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b≥k（3）已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为15，求点C的坐标．5．（2026•宜宾）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与反比例函数y=mx的图象交于横坐标为1的点P，过点P作PA⊥x轴于点A．已知S△（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值．6．（2026•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0）的图象交于A（﹣3，2）、B（a，﹣6）两点，与y轴交于点（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）将一次函数y1＝kx+b的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数y2=mx图象交于点P，求△7．（2026•扬州）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．【数据收集】如表是测试所得的数据：行车速度v（km/h）4045557080100视野角度f（度）1008973575040【直观呈现】（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．【数学表达】（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式．【问题解决】（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？8．（2026•甘肃）如图，一次函数y＝3x+b的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（2，3），与x轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，（1）求一次函数y＝3x+b与反比例函数y=kx（（2）求四边形BDAC的面积．9．（2026•乐山）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）两点，连结OP（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；（2）求△POQ的面积．10．（2026•眉山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=8x的图象交于A（m，8），B（﹣4，（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b≥8（3）将直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C，D两点，交y轴于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积．11．（2026•江西）如图，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），点D在x轴上，反比例函数y=kx(k＜0)（1）求反比例函数的表达式；（2）P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q，当△ABP的面积等于▱ABCD的面积的14时，求点Q12．（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象于M，N（1）求a，b的值；（2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．13．（2026•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（m，2），在射线OA上取一点B，使得OB：OA＝3：2，过点B作BC⊥（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标；（3）在x轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，求点P坐标．14．（2026•自贡）如图，反比例函数y1=mx与一次函数y2＝x+n的图象相交于A，B两点，点（1）求反比例函数的解析式及n的值；（2）请直接写出当y1＞y2时x的取值范围；（3）点P是直线y2＝x+n上的一个动点，当OP⊥AB时，求点P的坐标．15．（2026•广安）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D两点，点D（3，b），OB＝2（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P在坐标轴上，以点O，D，P为顶点的等腰三角形有个，当点P在x轴负半轴时，求等腰三角形ODP的面积；（3）如图2，已知函数y＝kx−m16．（2026•南充）如图，一次函数图象与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于点B（6，0），与反比例函数图象交于点C（m，1）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P的坐标．17．（2026•泸州）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A（1）求反比例函数的解析式；（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．18．（2026•达州）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”．【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1与y=1x的关系时，由函数表达式得2x﹣1=1x，去分母得2x【问题解决】（1）对于函数①y=−2x，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“函数”，①与③是“（2）若y1=mx（m≠0）与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x的取值范围是；若y=nx（n≠0）与y＝2x﹣6是“相连函数”，则（3）如图3，过点C（0，6）的直线l1，l2对应的函数分别与y=k1x(k1≠0，x＜0)，y=k2x(k2≠0，x＞0)是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2与x19．（2026•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与反比例函数y=2x的图象相交于A（1，a），B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，（1）求线段AB的长；（2）已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，将线段DA，AC组成的折线段“D﹣A﹣C”沿x轴正方向平移得到折线段“D′﹣A′﹣C′”，点D，A，C的对应点分别为D′，A′，C′．A′C′与反比例函数的图象交于点E，直线BD′与反比例函数的图象在第一象限交于点F，OE与C′F交于点G．试探究：在平移过程中，FGGC'

2026年中考数学真题知识点分类汇编之反比例函数（三）参考答案与试题解析一．解答题（共19小题）1．（2026•广元）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=12x+b的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与函数y=4x（x＞0）的图象交于点（1）求a，b的值；（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°到AD，连接BD，将△ABD沿直线AB平移，当点D的对应点E恰好落在函数y=4x（x＞0）的图象上时，求点【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的性质．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）a＝2，b＝1；（2）E（1，4）．【分析】（1）依据题意，由C（a，2）在反比例函数y=4x上，可得a＝2，故C为（2，2），结合C在一次函数y=12x+b的图象上，从而12（2）依据题意，结合（1）一次函数为y=12x+1，故令x＝0，则y＝1，故B（0，1）；令y＝0，则x＝﹣2，故A（﹣2，0），又过D作DF⊥x轴于F，由AB旋转90°至AD，可证明△DAF≌△ABO（AAS），从而DF＝AO＝2，FA＝OB＝1，进而D（﹣3，2），又△ABD沿直线AB平移，可得DE∥直线y=12x+1，则可设直线DE为y=12【解答】解：（1）由题意，∵C（a，2）在反比例函数y=4∴2a＝4，则a＝2．∴C为（2，2），又∵C在一次函数y=12x+∴12×2+b＝2，则（2）由题意，结合（1）一次函数为y=12∴令x＝0，则y＝1，故B（0，1）；令y＝0，则x＝﹣2，故A（﹣2，0）．过D作DF⊥x轴于F，又由AB旋转90°至AD，∴AD＝BA．可得∠DFA＝∠AOB＝90°，∠DAF＝∠ABO，∴△DAF≌△ABO（AAS）．∴DF＝AO＝2，FA＝OB＝1，∴D（﹣3，2）．∵△ABD沿直线AB平移，∴DE∥直线y=12∴可设直线DE为y=12x+∴−12×3+m＝2，则∴一次函数y=12x联立方程组y=1∴x＝1或x＝﹣8（x＞0，负值不合题意，舍去）．∴E（1，4）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．2．（2026•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数y＝kx（k≠0）与反比例函数y=4x的图象交于A（﹣2，n），（1）求正比例函数的解析式；（2）点C是y轴正半轴上的一点，若△ABC的面积为8，求点C的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝x；（2）（0，4）．【分析】（1）先求出点A坐标，在利用待定系数法进行求解即可；（2）根据题意，建立关于点C纵坐标得方程即可解决问题．【解答】解：（1）将点A坐标代入y=4n=4所以点A坐标为（﹣2，﹣2）．将点A坐标代入y＝kx得，﹣2k＝﹣2，k＝1，所以正比例函数的解析式为y＝x；（2）设点C坐标为（0，m），则OC＝m．因为点A坐标为（﹣2，﹣2）且点A和点B关于原点对称，所以点B坐标为（2，2）．因为△ABC的面积为8，所以12解得m＝4，所以点C坐标为（0，4）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．3．（2026•巴中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+8与双曲线y=kx（k≠0）交于A（1，a）、B两点，与x轴交于点（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标．（2）直接写出不等式kx＜（3）若点P为x轴上的动点，当△ADP为直角三角形时，求点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数综合题；应用意识．【答案】（1）反比例函数的表达式为y=9x，（2）不等式y=kx＜x+8的解集为﹣9＜x（3）点P的坐标为（1，0）或（10，0）．【分析】（1）先求出点A（1，9），再用待定系数法求出反比例函数的表达式，联立来个表达式求出点B坐标；（2）由点A、B坐标和图象，直接得出答案；（3）分两种情况：利用直角三角形的特征即可得出答案．【解答】解：（1）∵点A（1，a）在直线y＝x+8①上，∴a＝1+8＝9，∴A（1，9），∵点A在双曲线y=k∴k＝1×9＝9，∴反比例函数的表达式为y=9x联立①②解得，x=1y=9或x=−9∴点B（﹣9，﹣1），即反比例函数的表达式为y=9x，（2）∵A（1，9），B（﹣9，﹣1），∴不等式y=kx＜x+8的解集为﹣9＜x（3）∵点D，P在x轴上，∴只有两种情况：如图，①当∠APD是直角，即AP⊥x轴，∴点P的坐标为（1，0），②当∠DAP'是直角，∵点D在直线y＝x+8上，∴D（﹣8，0），∴DP＝9，∵A（1，9），∴AP＝9，∴AP＝DP，∴∠DAP＝45°，∵∠DAP'＝90°，∴∠PAP'＝45°，∴∠DP'A＝45°＝∠PAP'，∴PP'＝AP＝9，∴P（10，0），即点P的坐标为（1，0）或（10，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．4．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象相交于点A（2，6）和点B（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b≥k（3）已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为15，求点C的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）一次函数的表达式为y=32x+3，反比例函数的表达式为（2）﹣4≤x＜0或x≥2；（3）（−163，0【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可；（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题；（3）根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）将点A坐标代入y=kk2＝2×6＝12，所以反比例函数的表达式为y=12将点B坐标代入y=12x得，所以点B坐标为（﹣4，﹣3）．将点A和点B坐标代入一次函数解析式得，2k解得k1所以一次函数的表达式为y=3（2）由函数图象可知，当﹣4≤x＜0或x≥2时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即k1x+b≥k所以不等式k1x+b≥k2x的解集为﹣4≤x（3）如图所示，由32x+3=0得，所以点M坐标为（﹣2，0）．因为△ABC的面积为15，所以12解得CM=10则﹣2−103=−所以点C的坐标为（−163，0【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．5．（2026•宜宾）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象与x轴、y轴分别交于B、C两点，并与反比例函数y=mx的图象交于横坐标为1的点P，过点P作PA⊥x轴于点A．已知S△（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）若Q是A点关于y轴的对称点，M、N分别是y轴和线段BC上的动点，求△MNQ周长的最小值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）一次函数的解析式为y＝x+3，反比例函数的解析式为y=4（2）25【分析】（1）根据S△PAB＝8先求出b的值，再利用待定系数法进行计算即可；（2）先求出点Q的坐标，再根据轴对称的性质求出△MNQ周长的最小值即可．【解答】解：（1）将x＝1代入y＝x+b得，y＝1+b，所以点P坐标为（1，1+b）．由x+b＝0得，x＝﹣b，所以点B坐标为（﹣b，0），则AB＝1﹣（﹣b）＝1+b．因为S△PAB＝8，所以12解得b＝3（舍负），所以点P坐标为（1，4），一次函数的解析式为y＝x+3．将点P坐标代入反比例函数解析式得，m＝1×4＝4，所以反比例函数的解析式为y=4（2）将x＝0代入y＝x+3得，y＝3，所以点C坐标为（0，3），则OB＝OC，所以△BOC是等腰直角三角形，所以∠CBO＝45°．因为点A坐标为（1，0）且点Q是A点关于y轴的对称点，所以点Q坐标为（﹣1，0）．过点Q作直线BC得对称点E，连接AE，则当点M和点N分别在AE与y轴和BC的交点处时，△MNQ的周长取得最小值，即为AE的长．由对称可知，∠EBC＝∠CBO＝45°，BE＝BQ＝﹣1﹣（﹣3）＝2，所以∠EBO＝90°，所以点E坐标为（﹣3，2）．又因为点A坐标为（1，0），则AE=(−3−1所以△MNQ周长的最小值为25【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键．6．（2026•遂宁）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2=mx（m≠0）的图象交于A（﹣3，2）、B（a，﹣6）两点，与y轴交于点（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）根据图象，直接写出y1＞y2时x的取值范围；（3）将一次函数y1＝kx+b的图象向上平移5个单位长度后，与x轴下方的反比例函数y2=mx图象交于点P，求△【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）一次函数的表达式为y1＝﹣2x﹣4，反比例函数的表达式为y2（2）x＜﹣3或0＜x＜1；（3）152【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）利用数形结合的数学思想即可解决问题；（3）根据三角形的面积公式进行计算即可．【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得，m＝﹣3×2＝﹣6，所以反比例函数的表达式为y2将点B坐标代入反比例函数解析式得，a＝1，所以点B坐标为（1，﹣6）．将点A和点B坐标代入一次函数解析式得，−3k+b=2k+b=−6解得k=−2b=−4所以一次函数的表达式为y1＝﹣2x﹣4；（2）由函数图象可知，当x＜﹣3或0＜x＜1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2，所以当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1；（3）由题知，将一次函数y1＝kx+b的图象向上平移5个单位长度后，所得直线的函数表达式为y＝﹣2x+1．令直线y＝﹣2x+1与y轴的交点为M，则点M的坐标为（0，1）．由平移可知，AB∥PM，所以△ACP的面积与△ACM的面积相等．将x＝0代入y1＝﹣2x﹣4得，y1＝﹣4，所以点C坐标为（0，﹣4），则CM＝1﹣（﹣4）＝5，所以△ACM的面积为：12所以△ACP的面积是152【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．7．（2026•扬州）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．【数据收集】如表是测试所得的数据：行车速度v（km/h）4045557080100视野角度f（度）1008973575040【直观呈现】（1）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．【数学表达】（2）请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度f（度）与行车速度v（km/h）之间关系的函数表达式．【问题解决】（3）在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？【考点】反比例函数的应用．【专题】一次函数及其应用．【答案】（1）（2）f=4000（3）车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h．【分析】（1）根据表格数据在坐标系中描出对应点，按自变量从小到大的顺序用平滑曲线顺次连接各点即可；（2）观察数据得行车速度与视野角度的乘积近似为定值4000，判断为反比例函数，写出近似函数表达式并标注自变量取值范围即可；（3）根据视野角度的要求列不等式，代入反比例函数解析式，结合实际意义求解，即可得到行驶速度的控制范围．【解答】解：（1）如图，（2）观察表格数据，每组行车速度v与视野角度f的乘积近似等于4000，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：f=4000（3）由题意，要求视野角度不小于80度，即f≥80，代入函数表达式得：4000v因为行车速度v＞0，不等式两边同时乘v，不等号方向不变：4000≥80v，解得v≤50，结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过50km/h，即0＜v≤50km/h．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．8．（2026•甘肃）如图，一次函数y＝3x+b的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于点A（2，3），与x轴交于点C．在反比例函数图象上有一点B（﹣3，m），过点B作BD⊥x轴于点D，连接AD，（1）求一次函数y＝3x+b与反比例函数y=kx（（2）求四边形BDAC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝3x﹣3；y=6（2）10．【分析】（1）依据题意，由点A（2，3）在一次函数y＝3x+b的图象上，则3×2+b＝3，求出b后可得一次函数的表达式为y＝3x﹣3，又点A（2，3）在反比例函数y=kx的图象上，则（2）依据题意，由点B（﹣3，m）在反比例函数y=6x的图象上，则m＝﹣2，可得点B（﹣3，﹣2），又BD⊥x轴于点D，故DO＝3，BD＝2，又一次函数y＝3x﹣3与x轴交于点C，则点C（1，0），故OC＝1，DC＝3+1＝4，进而S△BCD=12DC⋅BD=12×4×2=4，又过点A作AE⊥x轴于点E，则EA＝3，故S△ACD=1【解答】解：（1）由题意，∵点A（2，3）在一次函数y＝3x+b的图象上，∴3×2+b＝3，∴b＝﹣3，∴一次函数的表达式为y＝3x﹣3，∵点A（2，3）在反比例函数y=k∴k＝2×3＝6，∴反比例函数的表达式为y=6（2）由题意，∵点B（﹣3，m）在反比例函数y=6∴m＝﹣2，∴点B（﹣3，﹣2）．∵BD⊥x轴于点D，∴DO＝3，BD＝2．∵一次函数y＝3x﹣3与x轴交于点C，∴点C（1，0），∴OC＝1，∴DC＝3+1＝4，∴S△BCD过点A作AE⊥x轴于点E，则EA＝3，∴S△ACD∴S四边形BDAC＝S△BCD+S△ACD＝4+6＝10．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．9．（2026•乐山）如图，一次函数y＝﹣x+1的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）两点，连结OP（1）求a、b的值和反比例函数的表达式；（2）求△POQ的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）a＝2，b＝2；y=−2（2）32【分析】（1）将P（﹣1，a）、Q（b，﹣1）代入一次函数解析式即可求出a、b的值，再将点P的坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；（2）设一次函数y＝﹣x+1与x轴相交于点A，先求出A点坐标，再根据S△POQ＝S△AOP+S△AOQ计算求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝﹣x+1的图象经过点P（﹣1，a）、Q（b，﹣1），∴﹣（﹣1）+1＝a，﹣b+1＝﹣1，解得a＝2，b＝2，∴P（﹣1，2）、Q（2，﹣1），∵反比例函数y=kx的图象经过点∴k＝﹣2，∵反比例函数的表达式为y=−2（2）如图，设一次函数y＝﹣x+1与x轴相交于点A，与y轴交于点B，令y＝0，则x＝1，∴A（1，0），∴OA＝1，又∵P（﹣1，2），Q（2，﹣1），∴S△POQ【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．10．（2026•眉山）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=8x的图象交于A（m，8），B（﹣4，（1）求一次函数的表达式；（2）观察图象，直接写出不等式kx+b≥8（3）将直线AB向下平移12个单位后交反比例函数的图象于C，D两点，交y轴于点E，连接AC，AE，求△ACE的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y＝2x+6；（2）﹣4≤x＜0或x≥1；（3）24．【分析】（1）依据题意，将A（m，8），B（﹣4，n）代入y=8x，求出A（1，8）、B（﹣4，﹣2），再将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx﹣b得，求出k，（2）依据题意得，不等式kx+b≥8x的解集为y＝kx+b的图象在y（3）依据题意，由直线AB：y＝2x+6向下平移12个单位为y＝2x﹣6，则令x＝0，y＝﹣6，可得点E（0，﹣6），又联立方程组y=2x−6y=8x得x＝4或﹣1，从而C（4，2），设直线AB与y轴交于点F，连结CF，可得F【解答】解：（1）将A（m，8），B（﹣4，n）两点代入y=8∴m＝1，n＝﹣2．∴A（1，8）、B（﹣4，﹣2）．将A（1，8）、B（﹣4，﹣2）代入y＝kx﹣b得，∴k+b=8−4k+b=−2∴k=2b=6∴一次函数的表达式为y＝2x+6；（2）由题意得，不等式kx+b≥8x的解集为y＝kx+b的图象在y∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=8x的图象交于A（1，8），∴结合函数的图象可得，﹣4≤x＜0或x≥1；（3）由题意，∵直线AB：y＝2x+6向下平移12个单位为y＝2x﹣6，∴令x＝0，y＝﹣6，∴点E（0，﹣6），联立方程组y=2x−6y=8x∴C（4，2）．设直线AB与y轴交于点F，连结CF，则F（0，6），∴EF＝12，∴S△ACE【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．11．（2026•江西）如图，四边形ABCD是平行四边形，A（﹣2，m），B（2，0），C（0，﹣1），点D在x轴上，反比例函数y=kx(k＜0)（1）求反比例函数的表达式；（2）P为边BC上的一点，直线AP交双曲线另一支于点Q，当△ABP的面积等于▱ABCD的面积的14时，求点Q【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；应用意识．【答案】（1）y=−2（2）Q（2，﹣1）．【分析】（1）构造出△ADM≌△CBO，得出AM＝CO＝1，进而得出A（﹣2，1），即可求出答案；（2）先判断出S△ABC=12S▱ABCD，进而判断出S△ABP=12S△ABC，得出P为BC的中点，进而求出P的坐标为【解答】解：（1）∵C（0，﹣1），∴OC＝1，如图1，过点A作AM⊥x轴于点M，∴∠AMD＝∠COB＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADM＝∠CBO，∴△ADM≌△CBO（AAS），∴AM＝CO＝1，∴A（﹣2，1），∴k＝（﹣2）×1＝﹣2，∴反比例函数的表达式为y=−2（2）如图2，连接AC，∵AC为平行四边形ABCD的对角线，∴S△ABC=12S▱∵△ABP的面积等于▱ABCD的面积的14∴S△ABP=12S△∴P为BC的中点，∵B（2，0），C（0，﹣1），∴P的坐标为(1，−1设直线AP的表达式为y＝ax+b，则−2a+b=1a+b=−解得，a=−1∴直线AP的表达式为y=−1即直线AP经过坐标原点，∵点A（﹣2，1），Q是过原点的直线与双曲线的交点，∴点A，Q关于原点对称，∴Q（2，﹣1）．【点评】此题主要考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，对称性，判断出点P是BC的中点是解本题的关键．12．（2026•苏州）如图，一次函数y＝ax+b的图象经过点A（﹣4，0），B（0，2），点P在一次函数的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线交反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象于M，N（1）求a，b的值；（2）若△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，求点P的坐标和k的值．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】（1）a=12，（2）点P的坐标为（4，4），k＝4．【分析】（1）将点A（﹣4，0），B（0，2）代入一次函数y＝ax+b，即可求解；（2）解：设点P的坐标为(t，12t+2)，根据△PMN是腰长为3的等腰直角三角形得到点M的坐标为(t−3，12t+2)，点N的坐标为(t，1【解答】解：（1）∵一次函数y＝ax+b的图像经过点A（﹣4，0），B（0，2），∴−4a+b=0，b=2.解得a=1（2）由（1）有a=12，∴一次函数为y=1∵点P在一次函数y=1∴设点P的坐标为(t，1∵△PMN是腰长为3的等腰直角三角形，∴PM＝PN＝3，∴点M的坐标为(t−3，12t+2)，点N∵点M，N在反比例函数y=k∴k=(t−3)(1解得t＝4，∴点P的坐标为（4，4），点M的坐标为（1，4）．∴k＝4．【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，等腰直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．13．（2026•凉山州）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=12x的图象与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A（m，2），在射线OA上取一点B，使得OB：OA＝3：2，过点B作BC⊥（1）求反比例函数的解析式；（2）直接写出点B的坐标（6，3）；（3）在x轴上存在一点P，使PA+PC的值最小，求点P坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=8（2）（6，3）；（3）P（125【分析】（1）把点A（m，2）代入解方程得到A（4，2），把A（4，2）代入y=kx（（2）过A作AH⊥y轴于H，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于P，则此时PA+PC的值最小，设直线A′C的解析式为y＝mx+n，解方程组求得直线A′C的解析式为y=−54【解答】解：（1）把点A（m，2）代入y=12x得2=∴m＝4，∴A（4，2），把A（4，2）代入y=kx（x＞0）得∴反比例函数的解析式为y=8（2）过A作AH⊥y轴于H，∵A（4，2），∴AH＝4，OH＝2，∵BC⊥y轴于点C，∴BC∥AH，∴△AOH∽△BOC，∴AHBC∴4BC∴BC＝6，OC＝3，∴B的坐标为（6，3），故答案为：（6，3）；（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′C交x轴于P，则此时PA+PC的值最小，设直线A′C的解析式为y＝mx+n，∵A（4，2），∴A′（4，﹣2），∵C（0，3），∴4m+n=−2n=3∴m=−5∴直线A′C的解析式为y=−54x+3，当y＝0时，x∴P（125【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握各知识点是解题的关键．14．（2026•自贡）如图，反比例函数y1=mx与一次函数y2＝x+n的图象相交于A，B两点，点（1）求反比例函数的解析式及n的值；（2）请直接写出当y1＞y2时x的取值范围；（3）点P是直线y2＝x+n上的一个动点，当OP⊥AB时，求点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=18x，（2）当y1＞y2时x的取值范围为x＜﹣6或0＜x＜3；（3）点P的坐标为（−32，【分析】（1）把点A（﹣6，﹣3）分别代入y1=mx与一次函数y2＝x+n得﹣3=m（2）解方程组得到B（3，6），根据函数图象即可得到结论；（3）设直线AB与y轴交于D，与x轴交于E，解方程得到E（﹣3，0），D（0，3），推出△DOE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到DP＝EP，根据中点坐标公式即可得到结论．【解答】解：（1）把点A（﹣6，﹣3）分别代入y1=mx与一次函数y2＝x+n得﹣3=m∴m＝18，n＝3，∴反比例函数的解析式为y=18x，（2）解y=18xy=x+3得x=−6∴B（3，6），∴当y1＞y2时x的取值范围为x＜﹣6或0＜x＜3；（3）设直线AB与y轴交于D，与x轴交于E，在y＝x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝﹣3，∴E（﹣3，0），D（0，3），∴OD＝OE，∴△DOE是等腰直角三角形，∵OP⊥AB，∴DP＝EP，∴点P是DE的中点，∴点P的坐标为（−32，【点评】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，直角三角形的判定和性质，中点坐标公式，熟练掌握各知识点是解题的关键．15．（2026•广安）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+4（k为常数，k≠0）的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y=mx（m为常数，m≠0）在第二，四象限分别交于C，D两点，点D（3，b），OB＝2（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点P在坐标轴上，以点O，D，P为顶点的等腰三角形有8个，当点P在x轴负半轴时，求等腰三角形ODP的面积；（3）如图2，已知函数y＝kx−m【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y=−6（2）8，13；（3）①当x＞0时，y随着x增大而减小；②当x＜0时y随着x增大而减小；【分析】（1）先由一次函数解析式求出OB长度，结合OB＝2OA得A点坐标，求出k；再将D（3，b）代入一次函数得b，最后代入反比例求m即可；（2）分P在x轴，y轴两类，按OD＝OP、DO＝DP，PO＝PD三种等腰情况计数，再单独找出x轴负半轴的P，用底乘高算三角形面积；（3）结合k、m符号，观察函数y＝kx−m【解答】解：（1）将x＝0代入y＝kx+4，得y＝4∴B（0，4），∴OB＝4，∵OB＝2OA，∴OA＝2，∴A（2，0）将A（2，0）代入y＝kx+4，得k＝﹣2，∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+4，将D（3，b）代入y＝﹣2x+4，得b＝﹣2，∴D（3，﹣2），将D（3，﹣2）代入y=m得m＝﹣6，∴反比例函数的解析式为y=−6（2）∵D（3，﹣2）∴OD=3P在x轴上时：①OP＝OD=13时，则P1（13，0）、P2（−②DO＝DP时，则P3（6，0），③PO＝PD：P4（136共4个点，P在y轴上时：①OP＝OD=13时，P5（0，13）、P6（0，−②DO＝DP时，P7（0，﹣4），③PO＝PD时，P8（0，−13共4个点，∴8个等腰三角形．P在x轴负半轴只有P（−13由题OP=OD=∴S△ODP故答案为：8，13．（3）图象的性质：①当x＞0时，y随着x增大而减小；②当x＜0时y随着x增大而减小；③函数的图象关于原点对称；④函数的图象是轴对称图形．【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数解析式求解、等腰三角形分类讨论、分式函数图象性质．熟练掌握待定系数法、等腰三角形三边分类标准、函数图象特征分析是解题关键．16．（2026•南充）如图，一次函数图象与y轴交于点A（0，﹣3），与x轴交于点B（6，0），与反比例函数图象交于点C（m，1）．（1）求一次函数与反比例函数的解析式．（2）点P在反比例函数第一象限图象上，∠BOP＝∠OAB，求点P的坐标．【考点】反比例函数综合题．【专题】代数几何综合题；运算能力；推理能力；科学文化情境．【答案】（1）一次函数解析式为y=12x−3（2）P（2，4）．【分析】（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），解方程组得到一次函数解析式为y=12x−3；解方程得到C（8，1），设反比例函数为y=nx（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，得到OA＝3，OB＝6，根据相似三角形的性质得到PQ＝2OQ，设点P（a，2a）（a＞0），又点P在反比例函数y=8【解答】解：（1）设一次函数为y＝kx+b（k≠0），∵点A（0，﹣3），B（6，0）在一次函数图象上，∴b=−36k+b=0解得k=1∴一次函数解析式为y=1∵点C（m，1）在直线y=1∴C（8，1），设反比例函数的解析式为y=nx（∴n8解得n＝8，∴反比例函数为y=8（2）过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵点A（0，﹣3），B（6，0），∴OA＝3，OB＝6，∵∠AOB＝∠PQO＝90°，∠BOP＝∠OAB，∴△AOB∽△OQP，∴AOOQ∴PQ＝2OQ，设点P（a，2a）（a＞0），又点P在反比例函数y=8∴2a=8取正数解得a＝2．经检验a＝2是原方程的解．∴P（2，4）．【点评】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．17．（2026•泸州）如图，一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A（1）求反比例函数的解析式；（2）将点A向上平移4个单位长度得到点B，点D在y轴上，BD与反比例函数的图象交于点C，若CD＝3BC，求点D的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）y=24（2）D（0，2）．【分析】（1）依据题意，由一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A到y轴的距离为4，则当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6，从而A（4，6），将A（2）依据题意，过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，从而BE∥CF，可得△DCF∽△DBE，故DFDE=DCDB=CFBE=DCDC+BC=3BC4BC=34，由点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，可得BE＝4，故CF＝3，则C（3，8），设【解答】解：（1）由题意，∵一次函数y＝3x﹣6的图象与反比例函数y=mx(m＞0)的图象交于第一象限的点A，且点A∴当x＝4时，y＝3×4﹣6＝6．∴A（4，6）．将A代入反比例函数解析式可得，m＝4×6＝24，∴反比例函数的解析式为y=24（2）过B作BE⊥y轴于E，过C作CF⊥y轴于F，∴BE∥CF，∴△DCF∽△DBE，∴DFDE∵点A（4，6）向上平移4个单位长度得到点B，∴B（4，10），则BE＝4，∴CF＝3，∴C（3，8）．设OD＝x，∴DF＝8﹣x，DE＝10﹣x，∴3（10﹣x）＝4（8﹣x）．∴x＝2．∴D（0，2）．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．18．（2026•达州）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”；当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1，因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”．【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定．如判定y＝2x﹣1与y=1x的关系时，由函数表达式得2x﹣1=1x，去分母得2x【问题解决】（1）对于函数①y=−2x，②y＝2x，③y＝﹣3x+1．其中①与②是“陌生函数”，①与③是“（2）若y1=mx（m≠0）与y2＝kx+b（k≠0）是“友好函数”，如图2，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1；若y=nx（n≠0）与y＝2x﹣6是“相连函数”，则n的值为（3）如图3，过点C（0，6）的直线l1，l2对应的函数分别与y=k1x(k1≠0，x＜0)，y=k2x(k2≠0，x＞0)是“相连函数”，相连点分别为P，Q，l1，l2与x【考点】反比例函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】（1）陌生；友好；（2）x＜﹣3或0＜x＜1，−9（3）45．【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；（2）根据图象判断y1＞y2时，x的取值范围；联立y=nx(n≠0)与y＝2x（3）设直线l1的函数解析式为y＝k3x+6，直线l2的函数解析式为y＝k4x+6，将y＝k3x+6与y=k1x联立，并结合Δ＝0，可得k3=−9k1，进而计算出点A的坐标为(23k1，0)，同理，点B【解答】解：（1）对于①与②，联立得−2整理得，x2+1＝0，∵x2+1≥1，∴该方程无实数解，即y=−2x与y＝2∴①与②是“陌生函数”，对于①与③，联立得−2整理得，3x2﹣x﹣2＝0，解得x=−23或∴y=−2x与y＝﹣3∴①与③是“友好函数”，故答案为：陌生；友好；（2）由图可知，两个函数的交点的横坐标为﹣3和1，且在x＜﹣3和0＜x＜1部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，∴当y1＞y2时，x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜1；联立y=nx(n≠0)与y＝2x整理得，2x2﹣6x﹣n＝0，当x＝0时，n＝0，与n≠0矛盾，∴x≠0，∵y=nx(n≠0)与y∴Δ＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣n）＝0，解得n=−9故答案为：x＜﹣3或0＜x＜1，−9（3）设直线l1的函数解析式为y＝k3x+6，直线l2的函数解析式为y＝k4x+6，联立y＝k3x+6与y=k1x整理，得k3当x＝0时，k1＝0与题意矛盾，∴x≠0，∵y＝k3x+6与y=k∴Δ＝62﹣4k3（﹣k1）＝0，∴k1k3＝﹣9，即k3∴直线l1的函数解析式为y=−9将y＝O代入y=−9k1∴点A的坐标为(2同理，点B的坐标为(2∴AB=23k2−23∴k1【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象及性质，准确理解题意求出相关函数及作出图象是解题关键．19．（2026•成都）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx与反比例函数y=2x的图象相交于A（1，a），B两点，过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为C，（1）求线段AB的长；（2）已知P为y轴正半轴上一点，若△ABP为直角三角形，求点P的坐标；（3）如图2，将线段DA，AC组成的折线段“D﹣A﹣C”沿x轴正方向平移得到折线段“D′﹣A′﹣C′”，点D，A，C的对应点分别为D′，A′，C′．A′C′与反比例函数的图象交于点E，直线BD′与反比例函数的图象在第一象限交于点F，OE与C′F交于点G．试探究：在平移过程中，FGGC'【考点】反比例函数综合题．【专题】代数综合题．【答案】