2026年中考数学真题知识点专题 概率(二)

年中考数学真题知识点分类汇编之概率（二）一．填空题（共14小题）1．（2026•广西）四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同．将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是．2．（2026•河南）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为．3．（2026•上海）在1，﹣2，﹣3，4，5这5个数中选一个数，选出一个正数的概率是．4．（2026•天津）不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为．5．（2026•山西）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是．6．（2026•攀枝花）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为．7．（2026•扬州）工厂对某批零件进行质检，结果如下：抽取的零件数100200300500100020003000优等品的频数9118927746692918622789优等品的频率0.91000.94500.92330.93200.92900.93100.9297从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为（结果精确到0.01）．8．（2026•苏州）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是．（填写一个符合要求的正整数即可）9．（2026•云南）某市举办主题为“繁花伴书香•阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为．10．（2026•南充）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为．11．（2026•安徽）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为．12．（2026•达州）6把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是．13．（2026•泸州）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是．14．（2026•重庆）某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为．二．解答题（共6小题）15．（2026•南京）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P1，若一个袋子中装有红球10个，白球20个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P2．（1）求P1的值；（2）比较P1与P2的大小．16．（2026•广元）某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：成绩频数分布表等级成绩x（分）频数A90≤x≤100nB80≤x＜9018C70≤x＜80mD60≤x＜704Ex＜602统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题：（1）参赛学生总人数为人，成绩频数分布表中m＝，n＝；（2）参赛学生此次成绩的中位数是；（3）若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率．17．（2026•陕西）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书．（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为；（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率．18．（2026•绥化）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题：类别参与创新实践活动的时间x（单位：小时）A0≤x＜0.5B0.5≤x＜1C1≤x＜1.5D1.5≤x＜2Ex≥2（1）本次随机调查的学生共有人，补全条形统计图．（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数．（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．19．（2026•吉林）第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率．20．（2026•巴中）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A非常喜欢，B喜欢，C一般，D不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了名学生，并补全条形统计图．（2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数．（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之概率（二）参考答案与试题解析一．填空题（共14小题）1．（2026•广西）四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同．将风景面朝下洗匀，随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是14【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】14【分析】直接由概率公式求解即可．【解答】解：∵四张分别印有明仕田园、象鼻山、涠洲岛、黄姚古镇的风景明信片，除风景面外完全相同，∴随机抽取一张，抽到涠洲岛明信片的概率是14故答案为：14【点评】本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键．2．（2026•河南）在钢琴上弹奏不同的琴键，能够发出高低不同的声音，当同时弹奏两个相邻的白色琴键时，发出的声音构成二度音程．如图是钢琴键盘的一部分，从F，G，A，B四个白色琴键中随机选两个琴键同时弹奏，发出的声音构成二度音程的概率为12【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识；生活情境．【答案】12【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出概率．【解答】解：画树状图如下：等可能出现的情况共12种，符合题意的情况有6种，∴发出的声音构成二度音程的概率为612故答案为：12【点评】本题考查了列表法与树状图法，正确地画出树状图是解题的关键．3．（2026•上海）在1，﹣2，﹣3，4，5这5个数中选一个数，选出一个正数的概率是35【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；运算能力；科学文化情境．【答案】35【分析】先根据正数的定义判断出正数的个数，再根据概率公式进行求解即可．【解答】解：在1，﹣2，﹣3，4，5这5个数中选一个数，正数有1，4，5三个，∴五个数中选一个数，选出的这个数是正数的概率为35故答案为：35【点评】本题考查了有理数的定义，概率公式，准确理解题意是解题的关键．4．（2026•天津）不透明袋子中装有15个球，其中有2个红球、6个黄球、7个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率为215【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】215【分析】由题意知，共有15种等可能的结果，其中它是红球的结果有2种，利用概率公式可得答案．【解答】解：由题意知，共有15种等可能的结果，其中它是红球的结果有2种，∴它是红球的概率为215故答案为：215【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．5．（2026•山西）小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同．小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上．小伟从中随机抽取一张，不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是13【考点】列表法与树状图法；七巧板．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】13【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：将三张书签分别记为A，B，C，列表如下：ABCA（A，B）（A，C）B（B，A）（B，C）C（C，A）（C，B）共有6种等可能的结果，其中他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的结果有：（B，C），（C，B），共2种，∴他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率为26故答案为：13【点评】本题考查列表法与树状图法、七巧板，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．6．（2026•攀枝花）如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为23【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；应用意识；生活情境．【答案】23【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的结果有8种，∴小灯泡发光的概率为812故答案为：23【点评】此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．（2026•扬州）工厂对某批零件进行质检，结果如下：抽取的零件数100200300500100020003000优等品的频数9118927746692918622789优等品的频率0.91000.94500.92330.93200.92900.93100.9297从这批零件中，任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93（结果精确到0.01）．【考点】利用频率估计概率．【专题】概率及其应用．【答案】0.93．【分析】根据表格的数据即可求解．【解答】解：由表格中的数据可知，随着抽取零件数增大，优等品的频率逐渐稳定在0.93附近，因此任意抽取一个零件是优等品的概率的估计值为0.93，故答案为：0.93．【点评】本题主要考查了利用频率估计概率，掌握其相关知识点是解题的关键．8．（2026•苏州）一只不透明的袋子中装有4个白球、3个黄球和n个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的可能性最小，n的值可以是1．（填写一个符合要求的正整数即可）【考点】可能性的大小．【专题】概率及其应用；推理能力．【答案】1．【分析】使得不透明的袋子中红球的个数少于白球和黄球的个数，并且使红球是最小的正整数，即可求解．【解答】解：∵要使摸出红球的可能性最小，∴红球的个数小于3，又∵红球的个数是正整数，∴红球是1个．故答案为：1．【点评】本题考查了可能性的大小，解题的关键是通过比较白球、黄球和红球的个数求解．9．（2026•云南）某市举办主题为“繁花伴书香•阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为14【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】14【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出参与者甲抽到劳技类赠书的概率．【解答】解：由题意可得，随机抽一种类型的赠书，参与者甲抽到劳技类赠书的概率为14故答案为：14【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．10．（2026•南充）现有3张无差别的卡片，上面分别写有化学式CO2，H2O，Fe．随机抽取2张，那么这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为13【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】13【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果有2种，再由概率公式求解即可．【解答】解：把写有化学式CO2，H2O，Fe的3张的卡片分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的结果有2种，即AB、BA，∴这2张卡片上化学式对应的物质都是化合物的概率为26故答案为：13【点评】此题考查的是用列表法与树状图法求概率．列表法与树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（2026•安徽）中国古代数学著作《九章算术》中有关于“开平方”和“开立方”算法的记载．数学兴趣小组从《九章算术》中挑选出4个问题作为数学活动材料，其中“开平方”问题和“开立方”问题各2个．在某次活动中，从这4个问题中随机抽出一个进行算法推演，则抽到的是“开平方”问题的概率为12【考点】概率公式；平方根；立方根．【专题】概率及其应用．【答案】12【分析】只需确定所有等可能结果的个数与符合题意的结果个数，再利用概率公式计算即可．【解答】解：所有可能出现的结果共4种，且每种结果发生的可能性相等，其中抽取到“开平方”问题的结果有2种．根据概率公式，抽到的是“开平方”问题的概率为24故答案为：12【点评】本题考查简单随机事件的概率计算，掌握其相关知识点是解题的关键．12．（2026•达州）6把钥匙中只有一把能打开门锁，从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率是16【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】16【分析】直接利用概率公式求解．【解答】解：从中随机选择一把钥匙，能打开门锁的概率=1故答案为：16【点评】本题考查了概率公式，某事件的概率＝该事件所占的结果数与总的结果数之比．13．（2026•泸州）4张形状、大小完全相同的卡片上分别写着数字1，2，3，4．从中随机抽取2张，抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率是13【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】13【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的结果数为4，所以抽取的两张卡片上的数字之和是3的整数倍的概率=4故答案为：13【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．14．（2026•重庆）某学校决定从九年级的五个备选节目A，B，C，D，E中随机抽取一个参加展演，则抽到节目A的概率为15【考点】概率公式．【专题】概率及其应用；运算能力．【答案】15【分析】根据概率公式求解即可．【解答】解：∵总共五个备选节目A，B，C，D，E，∴随机抽取一个参加展演，抽到节目A的概率为15故答案为：15【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．二．解答题（共6小题）15．（2026•南京）一个袋子里装有红球，白球各一个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P1，若一个袋子中装有红球10个，白球20个，摸出其中一个球之后再次放回，然后再摸一次，若两次摸出的球的颜色不同，我们将其对应的概率记为P2．（1）求P1的值；（2）比较P1与P2的大小．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】（1）12（2）P1＞P2．【分析】（1）先画树状图展示所有4种等可能的结果，再找出两次摸出的球的颜色不同得结果数，然后根据概率公式得到P1=1（2）利用概率公式计算出P2=10×20+20×1030×30=49，从而可比较P【解答】解：（1）画树状图为：共有4种等可能的结果，其中两次摸出的球的颜色不同得结果数为2，所以P1=2（2）根据题意得P2=10×20+20×10而12∴P1＞P2．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了概率公式．16．（2026•广元）某校“人工智能”社团开展“AI模型设计”大赛，统计参赛学生成绩，并分成A、B、C、D、E五个等级，现对数据进行整理和分析，部分信息如下：成绩频数分布表等级成绩x（分）频数A90≤x≤100nB80≤x＜9018C70≤x＜80mD60≤x＜704Ex＜602统计B等级测试成绩（单位：分）如下：80，81，83，83，83，83，85，85，86，86，87，88，88，88，88，89，89，89，请根据以上信息，解答下列问题：（1）参赛学生总人数为40人，成绩频数分布表中m＝12，n＝4；（2）参赛学生此次成绩的中位数是82；（3）若从A等级中抽取两名学生作经验分享，小佳和小亮恰好在其中，请用画树状图或列表的方法计算同时抽到小佳和小亮的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；中位数．【专题】统计与概率；数据观念．【答案】（1）40，12，4；（2）82；（3）16【分析】（1）利用B等级的人数以及所占的百分比求出总人数，然后利用C等级所占的百分比求出C等级人数m，再用总人数减去其他组人数求出n即可；（2）根据中位数的定义解答即可；（3）列树状图得出所有等可能的结果以及同时抽到小佳和小亮的结果数，再利用概率公式解答即可．【解答】解：（1）参赛学生总人数为：18÷45%＝40（人），m＝40×30%＝12，n＝40﹣18﹣12﹣4﹣2＝4．故答案为：40，12，4；（2）数据排序后第20、21个数据为81、83，∴参赛学生此次成绩的中位数是：81+832故答案为：82；（3）A等级中共有4名学生，分别记为甲、乙、丙（小佳）、丁（小亮），画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小佳和小亮两人同时被选中的结果有2种，∴同时抽到小佳和小亮的概率为212【点评】本题考查了列表法或树状图法求概率、扇形统计图、频数分布表等知识．列表法与树状图法可以不重不漏的表示出所有可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．17．（2026•陕西）某班拟召开读书分享会，老师让每位同学从阅读过的书籍《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》中随机选取一本进行分享．学习委员在四个小球上分别写上A，B，C，D（字母A，B，C，D分别对应《红岩》《西游记》《骆驼祥子》《红星照耀中国》），这四个小球除所写字母外都相同，并将它们装入一个不透明的盒子中．每位同学需从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所写的字母就对应自己将要分享的那本书．（1）将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为14（2）将盒中这四个小球摇匀，小智先从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回，摇匀，小慧再从盒中随机摸出一个小球，记下结果后放回．请用列表或画树状图的方法，求小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率．【考点】列表法与树状图法；概率公式．【专题】概率及其应用；数据观念．【答案】（1）14（2）716【分析】（1）根据题意可知，盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为14（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率．【解答】解：（1）由题意可得，将盒中这四个小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸出的小球上写有“A”的概率为14故答案为：14（2）树状图如下所示，，由上可得，一共有16种等可能性，其中小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的可能性有7种，∴小智和小慧两位同学中至少有一位同学分享《红星照耀中国》的概率为716【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．18．（2026•绥化）为深入实施科教兴国战略，加快提升广大青少年科技素养，培养学生动手实践能力，某校开展“科技小发明”创新实践活动，随机调查了八年级部分同学平均每周参与“科技小发明”创新实践活动的时间（单位：小时），按照时长分成五个不同类别，并绘制如下不完整的统计图．根据图表中信息回答下列问题：类别参与创新实践活动的时间x（单位：小时）A0≤x＜0.5B0.5≤x＜1C1≤x＜1.5D1.5≤x＜2Ex≥2（1）本次随机调查的学生共有40人，补全条形统计图．（2）若该校八年级学生共有320人，请估计该校八年级平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生人数．（3）已知E类学生中恰好有2名女生和1名男生，现从中抽取两名同学做“科技小发明”展示交流，请用列表法或画树状图法，求出所抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；条形统计图；加权平均数．【专题】统计与概率；数据观念．【答案】（1）40，补全统计图如下：；（2）120人；（3）23【分析】（1）将B类的人数除以其百分比，即可求出本次调查的学生人数，将本次调查的学生人数减去已知的A，B，D，E类的人数，求出C类的人数，即可补全条形统计图；（2）将该校八年级学生320人乘以本次调查中平均每周参与创新实践活动的时间在1.5小时及以上的学生比例即可解答；（3）通过画树状图或者列表，找出所有等可能的情况数，和满足要求的情况数，再利用概率公式计算即可．【解答】解：（1）本次调查的学生共有10÷25%＝40（人），C类的学生有40﹣5﹣10﹣12﹣3＝10（人），补全统计图如下：．故答案为：40；（2）320×12+3∵共有6种等可能的结果，选取的两名同学恰好是一男一女的有4种情况．∴选取的两名同学恰好是一男一女的概率为46【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是从图中获取有用的信息和列树状图求求概率．19．（2026•吉林）第33届世界大学生冬季运动会将在吉林省举办．组委会将志愿者小冰和小雪随机分配到短道速滑、冰壶、冰球三个项目组中的一组．请用画树状图或列表的方法，求小冰和小雪被分配到同一项目组的概率．【考点】列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；应用意识．【答案】13【分析】用A、B、C分别表示短道速滑、冰壶、冰球三个项目，画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：用A、B、C分别表示短道速滑、冰壶、冰球三个项目画树状图为：共有9种等可能的结果，其中小冰和小雪被分配到同一项目组的结果数为3，所以小冰和小雪被分配到同一项目组的概率=3【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．20．（2026•巴中）学校为了解七年级学生对校园艺术节活动的喜欢程度（喜欢程度分为四类：A非常喜欢，B喜欢，C一般，D不喜欢），对该年级学生进行抽样调查，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据上述信息，解答下列问题：（1）本次抽样调查中，学校一共抽取了25名学生，并补全条形统计图．（2）该年级共有学生400人，请估计对活动“非常喜欢”的学生人数．（3）学校决定对学生进一步访谈，先从C类学生中抽取1名学生，再从D类学生中抽取1名学生，请用列表格或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．【专题】统计的应用；概率及其应用；数据观念；运算能力．【答案】（1）25，补全条形统计图如下：（2）估计对活动“非常喜欢”的学生人数为112人；（3）12【分析】（1）由D类的人数乘以所占百分比得出本次抽样调查抽取的学生人数，即可解决问题；（2）由该年级共有学生人数乘以对活动“非常喜欢”的学生人数所占的比例即可；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）本次抽样调查中，学校一共抽取的学生人数为（2+1）÷12%＝25（名），∴B类的学生人数为25×44%＝11（名），A类的学生人数为25﹣11﹣（2+2）﹣（2+1）＝7（名），∴A类男生应为3人、女生4人，B类男生应为5人、女生6人，故答案为：25，补全条形统计图如下：（2）400×7答：估计对活动“非常喜欢”的学生人数为112人；（3）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的结果有6种，∴抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率为612【点评】此题考查的是用列表法或树状图法以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“−a正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：3a（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号3a【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．七巧板（1）七巧板是由下面七块板组成的，完整图案为一正方形：五块等腰直角三角形（两块小形三角形、一块中形三角形和两块大形三角形）、一块正方形和一块平行四边形．（2）用这七块板可以拼搭成几何图形，如三角形、平行四边形、不规则的多角形等；也可以拼成各种具体的人物形象，或者动物或者是一些中、英文字符号．（3）制作七巧板的方法：①首先，在纸上画一个正方形，把它分为十六个小方格．②再从左上角到右下角画一条线．③在上面的中间连一条线到右面的中间．④再在左下角到右上角画一条线，碰到第二条线就可以停了．⑤从刚才的那条线的尾端开始一条线，画到最下面四份之三的位置，从左边开始数，碰到线就可停．⑥最后，把它们涂上不同的颜色并跟著黑线条剪开，你就有一副全新的七巧板了．4．用样本估计总体用样本估计总体是统计的基本思想．1、用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差）．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．5．频数（率）分布表1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．2、列频率分布表的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．（3）将数据分组．（4）列频率分布表．6．扇形统计图（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．（3）制作扇形图的步骤①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．7．条形统计图（1）定义：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条