2026年中考数学真题知识点专题 三角形(三)

年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（三）一．填空题（共5小题）1．（2026•扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上．若△ADE的面积是3，则△BCF的面积是．2．（2026•凉山州）如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC∥OB交OA于点C，若OC＝2，∠POB＝15°，则点P到OB的距离PD的长是．3．（2026•南充）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为cm．4．（2026•广安）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为．5．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．二．解答题（共14小题）6．（2026•北京）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），过AC的中点D作AC的垂线l，交AB于点E．点M在DE的延长线上，∠ABM＝30°．（1）如图1，α＝30°，求证：AB＝2DM；（2）如图2，点N在ED的延长线上，∠ABN＝30°．连接AM，AN，直接写出∠MAN的大小，并证明．7．（2026•贵州）项目课题：设计无障碍坡道．项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20．如图①是小红所在学校的无障碍坡道．（坡度=坡面的铅直高度项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC＝4.8米，坡角∠BAC＝14°．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．任务一：如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由；任务二：如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在F处安装支柱DF＝0.8米，在E处留EC＝2米的通道，入口为点E，经过两个坡道ED与DB再到达点B，且EF＝16米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由；如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97）8．（2026•陕西）如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：△ABD≌△CBE．9．（2026•广元）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．在△AOB与△COD中，∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD＝30°，OA＝6，OC＝4，将△COD绕点O顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线BD与直线AC相交于点E．【初步探究】（1）如图2，∠AEB的度数为；【尝试应用】（2）如图2，若BE∥OA，求CE的长；【创新提升】（3）若C，D，E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长．10．（2026•新疆）（1）解方程：32x（2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，求BF的长．11．（2026•内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F是DC的中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E．（1）求证：△ADF≌△ECF；（2）若CE＝BC，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由．12．（2026•福建）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE．13．（2026•乐山）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．14．（2026•眉山）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F．【初步探究】（1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长．【拓展延伸】（3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当BDDC=k（k＞1）时，求MDDF15．（2026•山东）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点．（1）求证：△EDF≌△ECF；（2）判断四边形AEFG的形状，并说明理由．16．（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点．求证：△ABE≌△DCE．17．（2026•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连结BF．（1）求证：△DEC≌△AEF；（2）判断四边形ADBF的形状并说明理由．18．（2026•安徽）项目式学习【项目主题】一类勾股数有序表示的探究【预备知识】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c是勾股数，记为（a，b，c）．设m，n为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数．【规律探究】分别对m，n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：mn勾股数（m2﹣n2，2mn，m2+n2）序号21（3，4，5）131（8，6，10）22（5，12，13）341（15，8，17）42（12，16，20）53（7，24，25）6…………【规律应用】根据如表规律，请完成下列问题：（1）m＝5，n＝1对应的勾股数是（，，），序号为；（2）勾股数（35，12，37）对应的m＝，n＝；（3）序号为15的勾股数是（，，）．【项目拓展】（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．19．（2026•成都）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究．如图，△ABC≌△EAD，AB＝AC＝nBC（n＞1），点D在AC边上，延长ED交AB于点F．【初步感知】（1）求证：AF2＝FD•FE；【深入探究】（2）如图1，当n＝2，AD＝1时，求BF的长；【拓展延伸】（3）如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA′D′，若F，A′，D′三点共线，且点A的对应点A′满足A′A⊥A′B，求n的值．

2026年中考数学真题知识点分类汇编之三角形（三）参考答案与试题解析一．填空题（共5小题）1．（2026•扬州）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在DE的延长线上．若△ADE的面积是3，则△BCF的面积是6．【考点】三角形中位线定理；三角形的面积．【专题】三角形；运算能力；推理能力．【答案】6．【分析】由三角形的面积公式得到△ABE的面积＝△ADE面积的2倍＝6，△BCE的面积＝△ABE的面积＝6，由三角形中位线定理推出DE∥BC，得到△BCF的面积＝△BCE的面积＝6．【解答】解：∵D是AB的中点，∴△ABE的面积＝△ADE面积的2倍＝3×2＝6，∵E是AC的中点，∴△BCE的面积＝△ABE的面积＝6，∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△BCF的面积＝△BCE的面积＝6．故答案为：6．【点评】本题考查三角形中位线定理，三角形的面积，关键是由三角形中位线定理推出DE∥BC，掌握三角形的面积公式．2．（2026•凉山州）如图，点P是∠AOB的平分线上一点，过点P作PC∥OB交OA于点C，若OC＝2，∠POB＝15°，则点P到OB的距离PD的长是1．【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】1．【分析】过点P作PE⊥OA于点E，由平行线的性质得∠CPO＝∠POB＝15°，再证明∠COP＝∠CPO，得PC＝OC＝2，∠PCE＝∠COP+∠CPO＝30°，进而由含30°角的直角三角形的性质得PE=12PC＝1，然后由角平分线的性质得PD＝【解答】解：如图，过点P作PE⊥OA于点E，则∠PEC＝90°，∵PC∥OB，∴∠CPO＝∠POB＝15°，∵点P是∠AOB的平分线上一点，∴∠COP＝∠POB＝15°，∴∠COP＝∠CPO，∴PC＝OC＝2，∠PCE＝∠COP+∠CPO＝30°，∴PE=12∵PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．3．（2026•南充）如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为100cm．【考点】平面展开﹣最短路径问题；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】100．【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可．【解答】解：如图，将长方体的前面和右面展开，∴PQ=(40+40)2如图，将长方体的前面和上面展开，∴PQ=402如图，将长方体的下面和右面展开，∴PQ=402∵25＜29，∴5＜29∴100＜2029，∴蚂蚁爬行的最短距离为100cm，故答案为：100．【点评】本题主要考查了对平面展开﹣最短路线问题，利用勾股定理求出斜边的长是解题的关键，而两点之间线段最短是解题的依据．4．（2026•广安）已知三角形的两边长分别为2和3，第三边长为整数，则这个三角形周长的最大值为9．【考点】三角形三边关系．【专题】三角形；推理能力．【答案】9．【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长的最大值．【解答】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：3﹣2＜a＜2+3，即1＜a＜5，∵a为整数，∴a的最大整数值为4，则三角形的最大周长为2+3+4＝9．故答案为：9．【点评】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（2026•达州）如图，AB∥DE，BE＝FC．请你添加一个条件AB＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△DEF．【考点】全等三角形的判定．【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．【答案】AB＝DE（答案不唯一）．【分析】由AB∥DE得∠B＝∠DEF，再由BE＝FC得BC＝EF，①当添加AB＝DE时，可依据“SAS”判定△ABC和△DEF全等；②当添加∠A＝∠D时，可依据“AAS”判定△ABC和△DEF全等；③当添加∠ACB＝∠F时，可依据“ASA”判定△ABC和△DEF全等；据此可得出答案AB＝DE（答案不唯一）．【解答】解：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝FC，∴BE+EC＝FC+EC，∴BC＝EF，①当添加AB＝DE时，在△ABC和△DEF中，AB=DE∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（SAS）；②当添加∠A＝∠D时，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D∠B=∠DEF∴△ABC≌△DEF（AAS）；③当添加∠ACB＝∠F时，在△ABC和△DEF中，∠ACB=∠FBC=EF∴△ABC≌△DEF（ASA），故答案为：AB＝DE（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．二．解答题（共14小题）6．（2026•北京）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），过AC的中点D作AC的垂线l，交AB于点E．点M在DE的延长线上，∠ABM＝30°．（1）如图1，α＝30°，求证：AB＝2DM；（2）如图2，点N在ED的延长线上，∠ABN＝30°．连接AM，AN，直接写出∠MAN的大小，并证明．【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）∵l⊥AC，∴∠ADE＝90°，∵∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，∴∠BAC＝∠ABM，∴AC∥MB，，∴∠BME＝∠ADE＝90°，∴AE＝2DE，BE＝2EM，∴AB＝AE+BE＝2DE+2EM＝2DM；（2）∠MAN的大小为60°，证明：如图，过点A分别作BM，BN的垂线，分别交BM，BN的延长线于点P，Q，在Rt△ABP中，∠ABM＝30°，∴AP=1∵D是AC的中点，∴AD=1∵AB＝AC，∴AD＝AP，∵∠ADM＝90°＝∠P，又∵AM是Rt△ADM和Rt△APM的公共边，∴Rt△ADM≌Rt△APM（HL），∴∠DAM＝∠PAM，∵∠ABN＝∠ABM＝30°，∴AD＝AQ，∵∠ADN＝90°＝∠Q，∴Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），∴∠DAN＝∠QAN，∵∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，∴∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．【分析】（1）l⊥AC得∠ADE＝90°，通过∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，所以∠BAC＝∠ABM，则有AC∥MB，然后通过直角三角形的性质可得AE＝2DE，BE＝2EM，再由线段的和与差即可求解；（2）过点A分别作BM，BN的垂线，分别交BM，BN的延长线于点P，Q，分别证明Rt△ADM≌Rt△APM（HL），Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），所以∠DAN＝∠QAN，又因为∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，则∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，从而可得∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．【解答】（1）证明：∵l⊥AC，∴∠ADE＝90°，∵∠BAC＝α＝30°，∠ABM＝30°，∴∠BAC＝∠ABM，∴AC∥MB，，∴∠BME＝∠ADE＝90°，∴AE＝2DE，BE＝2EM，∴AB＝AE+BE＝2DE+2EM＝2DM；（2）解：∠MAN的大小为60°，证明：如图，过点A分别作BM，BN的垂线，分别交BM，BN的延长线于点P，Q，在Rt△ABP中，∠ABM＝30°，∴AP=1∵D是AC的中点，∴AD=1∵AB＝AC，∴AD＝AP，∵∠ADM＝90°＝∠P，又∵AM是Rt△ADM和Rt△APM的公共边，∴Rt△ADM≌Rt△APM（HL），∴∠DAM＝∠PAM，∵∠ABN＝∠ABM＝30°，∴AD＝AQ，∵∠ADN＝90°＝∠Q，∴Rt△ADN≌Rt△AQN（HL），∴∠DAN＝∠QAN，∵∠PAQ+∠Q+∠QBP+∠P＝360°，∴∠PAQ＝120°，即2∠DAM+2∠DAN＝120°，∴∠MAN＝∠DAM+∠DAN＝60°．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，线段的和与差，垂线的性质，全等三角形的判定与性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．7．（2026•贵州）项目课题：设计无障碍坡道．项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1：20．如图①是小红所在学校的无障碍坡道．（坡度=坡面的铅直高度项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度AC＝4.8米，坡角∠BAC＝14°．为检测该坡道是否符合国家标准，小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．任务一：如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由；任务二：如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20米．小红设计了一个“回转坡道”的方案示意图：在F处安装支柱DF＝0.8米，在E处留EC＝2米的通道，入口为点E，经过两个坡道ED与DB再到达点B，且EF＝16米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明理由；如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：tan14°≈0.25，sin14°≈0.24，cos14°≈0.97）【考点】三角形综合题．【专题】三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）该坡道不符合标准要求，理由如下：在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC∴tan14°=BC4.8≈0.25，解得BC∵1.24.8∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求；（2）小红设计的方案图符合标准，理由如下：过点D作DG⊥BC于点G，由题意得，在Rt△EDF中，DF＝0.8m，EF＝16m，∴tan∠DEF=DF∴坡道ED符合标准；由题意得，CG＝DF＝0.8m，DG＝CF＝EF+CE＝16+2＝18m．∴BG＝BC﹣CG＝1.2﹣0.8＝0.4（m），在Rt△BDG中，tan∠BDG=BG∴坡道DB符合标准，又∵CF＝18＜20，满足地面要求，∴小红设计的方案图符合标准．【分析】（1）根据坡度的定义解Rt△ABC求BC，然后比较14°的坡度与国家标准即可；（2）过点D作DG⊥BC于点G，分别在Rt△EDF、Rt△BDG中求出坡道ED、DB的坡度，再比较CF的长度与20m的大小即可．【解答】解：（1）该坡道不符合标准要求，理由如下：在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC∴tan14°=BC4.8≈0.25，解得BC∵1.24.8∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求；（2）小红设计的方案图符合标准，理由如下：过点D作DG⊥BC于点G，由题意得，在Rt△EDF中，DF＝0.8m，EF＝16m，∴tan∠DEF=DF∴坡道ED符合标准；由题意得，CG＝DF＝0.8m，DG＝CF＝EF+CE＝16+2＝18m．∴BG＝BC﹣CG＝1.2﹣0.8＝0.4（m），在Rt△BDG中，tan∠BDG=BG∴坡道DB符合标准，又∵CF＝18＜20，满足地面要求，∴小红设计的方案图符合标准．【点评】本题考查锐角三角函数，解直角三角形，正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．8．（2026•陕西）如图，△ABC为等边三角形，点D在AC的延长线上，CE∥AB，CE＝AD．求证：△ABD≌△CBE．【考点】全等三角形的判定；等边三角形的性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABC＝60°，∴∠A＝∠ECB，在△ABD与△CBE中，AB=CB∠A=∠BCE∴△ABD≌△CBE（SAS）．【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，进而利用SAS证明△ABD≌△CBE解答即可．【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝60°，∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABC＝60°，∴∠A＝∠ECB，在△ABD与△CBE中，AB=CB∠A=∠BCE∴△ABD≌△CBE（SAS）．【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用SAS证明△ABD≌△CBE解答．9．（2026•广元）在学习图形旋转时，“智慧小组”将两个三角形纸片固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的规律．在△AOB与△COD中，∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD＝30°，OA＝6，OC＝4，将△COD绕点O顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），直线BD与直线AC相交于点E．【初步探究】（1）如图2，∠AEB的度数为30°；【尝试应用】（2）如图2，若BE∥OA，求CE的长；【创新提升】（3）若C，D，E三点构成以CD为腰的等腰三角形，请直接写出AC的长．【考点】三角形综合题．【答案】（1）30°；（2）7；（3）42−23【分析】（1）先证明△OBA∽△ODC，再证明△AOC∽△BOD，则∠OAC＝∠OBD，然后根据三角形的外角性质求解即可；（2）连接OE，证明△ATB≌△OTE（SAS），则可得∠TEO＝∠TBA＝90°，然后对Rt△COE运用勾股定理求解即可；（3）连接OE，由（1）知∠OAC＝∠OBD，记直线AE与BO交于点T，证明∠OET＝∠CDO＝90°，则C，O，E，D四点共圆，可得∠CDE+∠COE＝180°，然后分CD＝DE和CD＝CE两种情况求解即可．【解答】解：（1）∵∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD＝30°，∴△OBA∽△ODC，∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，即∠AOC＝∠BOD，∴OBOD∴OAOB∵∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，如图，记AE，BO交于点T，∵∠OTE＝∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠AEB，∴∠AEB＝∠AOB＝30°，故答案为：30°；（2）∵OA＝6，∠AOB＝30°，∴AB=1如图，连接OE，∵BE∥OA，∴∠OBE＝∠AOB＝30°，∠OAE＝∠AEB＝30°，∴∠OAE＝∠AOB，∠OBE＝∠AEB，∴TA＝TO，TE＝TB，∵∠ATB＝∠OTE，∴△ATB≌△OTE（SAS），∴∠TEO＝∠TBA＝90°，OE＝AB＝3，∵OC＝4，∴CE=O（3）连接OE，由（1）知∠OAC＝∠OBD，记直线AE与BO交于点T，∵∠ATO＝∠BTE，∴△ATO∽△BTE，∴ATBT∴ATOT∵∠ATB＝∠OTE，∴△ATB∽△OTE，∴∠OET＝∠ABT＝90°，∴∠OET＝∠CDO＝90°，∴C，O，E，D四点共圆，∴∠CDE+∠COE＝180°，当CD＝DE时，∠ECD＝∠CED＝30°，∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠ECD＝120°，∴∠COE＝60°，∴CE=OC×sin∠COE=4×32=23∴AE=A∴AC=AE−CE=42在Rt△CDO中，OC＝4，∠COD＝30°，∴CD=1当CD＝CE＝2时，同理可得\angleOET＝90°，∴OE=O∴AE=O∴AC＝AE+CE=26综上：若C，D，E三点构成以CD为腰的等腰三角形，AC的长为42−23【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，四点共圆等，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（2026•新疆）（1）解方程：32x（2）被誉为“东方数学瑰宝”的赵爽弦图，是我国古代证明勾股定理的经典方法之一．如图，已知正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，求BF的长．【考点】勾股定理的证明；解分式方程．【专题】分式方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．【答案】（1）x＝9；（2）6．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）根据正方形的面积求出边长，设BF＝x，在Rt△ABF中，利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：（1）32x3（x+3）＝2×2x，3x+9＝4x，x＝9，经检验，当x＝9时，2x（x+3）≠0，∴分式方程的解为x＝9；（2）∵正方形ABCD的面积为100，正方形EFGH的面积为4，∴EF＝FG＝2，AB＝10，设BF＝x，则AF＝BG＝x+2，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+2）2+x2＝102，解得：x＝6或x＝﹣8（舍），即BF的长为6．【点评】本题考查勾股定理的证明，解分式方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．11．（2026•内江）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F是DC的中点，连接AF并延长交BC的延长线于点E．（1）求证：△ADF≌△ECF；（2）若CE＝BC，请判断四边形ABCD的形状，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】（1）∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CEF，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）由（1）可知，△ADF≌△ECF，∴AD＝CE，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【分析】（1）根据平行线的性质得∠DAF＝∠CEF，再证明DF＝CF，然后由AAS证明△ADF≌△ECF即可；（2）结合△ADF≌△ECF，得出AD＝CE，因为CE＝BC，则AD＝BC，再结合AD∥BC，即可作答．【解答】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠CEF，∵点F是CD的中点，∴DF＝CF，又∵∠DFA＝∠CFE，∴△ADF≌△ECF（AAS）；（2）解：由（1）可知，△ADF≌△ECF，∴AD＝CE，∵CE＝BC，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．12．（2026•福建）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥BC，CE⊥BC，BD＝CE．求证：AD＝AE．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】∵BD⊥BC，CE⊥BC，∴∠CBD＝∠BCE＝90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠ABD＝∠ACE＝150°．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABD=∠ACE∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE．【分析】依据题意，先证明∠ABD＝∠ACE，从而利用SAS可以证明得解．【解答】证明：∵BD⊥BC，CE⊥BC，∴∠CBD＝∠BCE＝90°．∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°．∴∠ABD＝∠ACE＝150°．在△ABD和△ACE中，AB=AC∠ABD=∠ACE∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE．【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、垂直的定义、等式的基本性质等基础知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用全等三角形的判定是关键．13．（2026•乐山）如图，已知AC＝AD，∠CAB＝∠DAB．求证：BC＝BD．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】三角形；图形的全等；几何直观；运算能力．【答案】在△ABC和△ABD中，AC=AD∠CAB=∠DAB∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC＝BD．【分析】根据已知条件及AB是△ABC和△ABD是公共边可依据“SAS”判定△ABC和△ABD全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△ABD中，AC=AD∠CAB=∠DAB∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC＝BD．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．14．（2026•眉山）【问题背景】数学活动课上，老师和学生一起探究图形的旋转性质．已知，如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝10，点D是BC边上的动点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE，CE，DE与AC交于点F．【初步探究】（1）如图1，在点D的运动过程中，试探究CE与BD的数量关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，当点D运动到CD＝4时，求EF的长．【拓展延伸】（3）如图3，点M为ED延长线上一点，且满足MC＝MF，当BDDC=k（k＞1）时，求MDDF【考点】三角形综合题．【专题】几何综合题．【答案】（1）CE＝BD，理由如下：由旋转得∠DAE＝90°，AD＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD，∵∠CAE＝∠BAD，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD；（2）65（3）1k−1【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS）即可得证；（2）先由勾股定理求解DE，然后根据等腰直角三角形求解AE，AB，再证明△AEF∽△ABD，得到EFBD（3）证明△MCD∽△MEC即可得到DMCM=DC【解答】解：（1）CE＝BD，理由如下：由旋转得∠DAE＝90°，AD＝AE，∵∠BAC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC，∴∠DAC+∠CAE＝∠DAC+∠BAD，∵∠CAE＝∠BAD，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴CE＝BD；（2）∵BC＝10，CD＝4，∴BD＝BC﹣CD＝6，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵△ABD≌△ACE，∴CE＝BD＝6，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，∴DE=D在Rt△ADE中，AD＝AE，∴DE=AD2+AE∴AD＝AE=2同理可求AB＝AC=2∵∠AEF＝∠B＝45°，∠EAF＝∠BAD＝90°﹣∠DAF，∴△AEF∽△ABD，∴EFBD∴EF6解得EF=6（3）由（1）可得，△ABD≌△ACE，∴∠ECA＝∠B＝45°，∵MC＝MF，∴∠MCF＝∠MFC，∴∠FCD+∠MCD＝∠ECF+∠FEC，∵∠DCF＝∠ECF＝45°，∴∠MCD＝∠MEC，∵∠M＝∠M，∴△MCD∽△MEC，∴DMCM∵BDDC∴DMCM∵CM＝FM，∴DMFM∴DMFD【点评】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．15．（2026•山东）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点．（1）求证：△EDF≌△ECF；（2）判断四边形AEFG的形状，并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．【专题】多边形与平行四边形．【答案】（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，∴∠FED＝∠CEF，∵EF＝EF，∴△EDF≌△ECF（SAS）；（2）四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=12∵AG=12∴EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形．【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出ED＝EC＝AE，利用等边对等角，三角形的中位线定理推导角相等，准备三角形全等的条件，得出△EDF≌△ECF；（2）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【解答】证明：（1）∵在△ABC中，CD⊥AB于点D，点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴ED＝EC＝AE，EF∥AB，∴∠A＝∠EDA，∠CEF＝A，∠FED＝∠EDA，∴∠FED＝∠CEF，∵EF＝EF，∴△EDF≌△ECF（SAS）；（2）四边形AEFG是平行四边形，理由如下：∵点E，F，G分别是边AC、BC，AB的中点，∴EF∥AB，EF=12∵AG=1∴EF＝AG，∴四边形AEFG是平行四边形．【点评】本题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定．16．（2026•云南）如图，AB＝DC，AE＝DE，点E是线段BC的中点．求证：△ABE≌△DCE．【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】证明：∵点E是线段BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△DCE中，AB=DCBE=CE∴△ABE≌△DCE（SSS）．【分析】先根据线段中点的定义得到BE＝CE，然后根据“SSS”可判断△ABE≌△DCE．【解答】证明：∵点E是线段BC的中点，∴BE＝CE，在△ABE和△DCE中，AB=DCBE=CE∴△ABE≌△DCE（SSS）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．17．（2026•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E是线段AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F，连结BF．（1）求证：△DEC≌△AEF；（2）判断四边形ADBF的形状并说明理由．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力．【答案】（1）∵点E是线段AD的中点，∴DE＝AE，∵点D在BC上，AF∥BC交CE的延长线于点F，∴∠DCE＝∠AFE，在△DEC和△AEF中，∠DEC=∠AEF∠DCE=∠AFE∴△DEC≌△AEF（AAS）．（2）四边形ADBF是矩形，理由：连接DF，由（1）得△DEC≌△AEF，∴CE＝FE，∵DE＝AE，∴四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，DF＝AC，∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，DF＝AB，∵AF∥CD，且AF＝CD，∴AF∥BD，且AF＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵四边形ADBF是平行四边形，且DF＝AB，∴四边形ADBF是矩形．【分析】（1）由点E是线段AD的中点，得DE＝AE，由AF∥BC交CE的延长线于点F，得∠DCE＝∠AFE，而∠DEC＝∠AEF，可根据“AAS”证明△DEC≌△AEF．（2）连接DF，由全等三角形的性质得CE＝FE，因为DE＝AE，所以四边形ACDF是平行四边形，则AF＝CD，DF＝AC，由AB＝AC，AD平分∠BAC，得BD＝CD，DF＝AB，可证明四边形ADBF是平行四边形，进而证明四边形ADBF是矩形．【解答】（1）证明：∵点E是线段AD的中点，∴DE＝AE，∵点D在BC上，AF∥BC交CE的延长线于点F，∴∠DCE＝∠AFE，在△DEC和△AEF中，∠DEC=∠AEF∠DCE=∠AFE∴△DEC≌△AEF（AAS）．（2）解：四边形ADBF是矩形，理由：连接DF，由（1）得△DEC≌△AEF，∴CE＝FE，∵DE＝AE，∴四边形ACDF是平行四边形，∴AF＝CD，DF＝AC，∵在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝CD，DF＝AB，∵AF∥CD，且AF＝CD，∴AF∥BD，且AF＝BD，∴四边形ADBF是平行四边形，∵四边形ADBF是平行四边形，且DF＝AB，∴四边形ADBF是矩形．【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定等知识，推导出DE＝AE，∠DCE＝∠AFE，进而证明△DEC≌△AEF是解题的关键．18．（2026•安徽）项目式学习【项目主题】一类勾股数有序表示的探究【预备知识】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足a2+b2＝c2的正整数a，b，c是勾股数，记为（a，b，c）．设m，n为正整数，且m＞n，因为（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以（m2﹣n2，2mn，m2+n2）为勾股数．本项目只研究形如（m2﹣n2，2mn，m2+n2）的勾股数．【规律探究】分别对m，n进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：mn勾股数（m2﹣n2，2mn，m2+n2）序号21（3，4，5）131（8，6，10）22（5，12，13）341（15，8，17）42（12，16，20）53（7，24，25）6…………【规律应用】根据如表规律，请完成下列问题：（1）m＝5，n＝1对应的勾股数是（24，10，26），序号为7；（2）勾股数（35，12，37）对应的m＝6，n＝1；（3）序号为15的勾股数是（11，60，61）．【项目拓展】（4）项目组某成员观察上表发现：在序号从1依次增大到6的过程中，勾股数中m2+n2的值随着序号的增大而增大．他猜想：在序号从6依次增大到16的过程中，m2+n2的值也会随着序号的增大而增大．请问他的猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．【考点】勾股数；规律型：图形的变化类；函数的表示方法．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【答案】（1）24，10，26，7；（2）6，1；（3）11，60，61；（4）不正确，理由：当m＝5，n＝4时，m2+n2＝52+42＝41，序号为(5−1)×(5−2)2当m＝6，n＝1时，m2+n2＝62+12＝37，序号为(6−1)×(6−2)2∵41＞37，10＜11，∴序号从10增加到11时，m2+n2的值减小，∴他的猜想不正确．【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；（2）根据题干中勾股数的定义可得m2﹣n2＝352m＝12，m2+n2＝37，把m2﹣n2＝35，m2+n2＝37，两式相加并结合已知条件则求出m的值，然后把m的值代入2mn＝12求解即可；（3）根据表格中的规律发现：每一个m对应的勾股数组数为（m﹣1）组，从得出m值从2取到k时，勾股数的总组数为k(k−1)2组，然后根据题意得出k(k−1)2=15（4）举反例说明即可．【解答】解：（1）当m＝5，n＝1时，m2﹣n2＝52﹣12＝24，2mn＝2×5×1＝10，m2+n2＝52+12＝26，∴m＝5，n＝1对应的勾股数是（24，10，26），序号为7，故答案为：24，10，26，7；（2）根据题意，得m2﹣n2＝35，2mn＝12，m2+n2＝37，∴m2﹣n2+m2+n2＝35+37，即2m2＝72，又∵m＞0，∴m＝6，把m＝6代入2mn＝12，得2×6n＝12，解得n＝1，∴勾股数（35，12，37）对应的m＝6，n＝1，故答案为：6，1；（3）由表格知，当m＝2时，符合题意的勾股数有2﹣1＝1组；当m＝3时，符合题意的勾股数有3﹣1＝2组；当m＝4时，符合题意的勾股数有4﹣1＝3组；……，当m＝k（k≥2的整数）时，符合题意的勾股数有（k﹣1）组；此时一共有1+2+3+⋯+(k−1)=k(k−1)当k(k−1)2=15时，解得k＝6或∴序号为15时，m＝k＝6，n＝k﹣1＝5，∴m2﹣n2＝62﹣52＝11，2mn＝2×6×5＝60，m2+n2＝62+52＝61，序号为15的勾股数是（11，60，61），故答案为：11，60，61；（4）不正确，理由：当m＝5，n＝4时，m2+n2＝52+42＝41，序号为(5−1)×(5−2)2当m＝6，n＝1时，m2+n2＝62+12＝37，序号为(6−1)×(6−2)2∵41＞37，10＜11，∴序号从10增加到11时，m2+n2的值减小，∴他的猜想不正确．【点评】本题考查了勾股数，掌握勾股数是解题的关键．19．（2026•成都）在综合与实践活动中，数学兴趣小组对等腰三角形的拼接和变换进行了探究．如图，△ABC≌△EAD，AB＝AC＝nBC（n＞1），点D在AC边上，延长ED交AB于点F．【初步感知】（1）求证：AF2＝FD•FE；【深入探究】（2）如图1，当n＝2，AD＝1时，求BF的长；【拓展延伸】（3）如图2，将△EAD绕点E按逆时针方向旋转一定角度（小于90°）得到△EA′D′，若F，A′，D′三点共线，且点A的对应点A′满足A′A⊥A′B，求n的值．【考点】三角形综合题．【答案】（1）∵△ABC≌△EAD，∴∠BAC＝∠E，即∠FAD＝∠E，又∵∠AFD＝∠EFA，∴△AFD∽△EFA，∴AFFE∴AF2＝FD•FE；（2）23（3）2+1【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠FAD＝∠E，结合∠AFD＝∠EFA，证明△AFD∽△EFA，再利用相似三角形的性质即可证明；（2）根据题意得BC＝AD＝1，AB＝AC＝AE＝DE＝2，由△AFD∽△EFA，得到AFFE=FDAF=ADAE=12，则FE＝2（3）连接A'F，设BC＝AD＝1，由（2）中的结论可得AB＝AC＝AE＝DE＝n，根据旋转的性质得AE＝A'E，∠EA'D'＝∠EAD，则∠EAA'＝∠EA'A，设∠EA'D'＝∠EAD＝α，导角可得∠EAF＝∠EA'F＝180°﹣α，则∠FAA'＝∠FA'A，推出AF＝A'F，再结合A'A⊥A'B，推出BF＝A'F，则AF=BF=12AB=12n，再由△AFD∽△EFA得到FE=nAF=12【解答】（1）证明：∵△ABC≌△EAD，∴∠BAC＝∠E，即∠FAD＝∠E，又∵∠AFD＝∠EFA，∴△AFD∽△EFA，∴AFFE∴AF2＝FD•FE；（2）解：∵△ABC≌△EAD，∴BC＝AD＝1，AB＝AE，AC＝DE，∵AB＝AC＝nBC，n＝2，∴AB＝AC＝AE＝DE＝2，由（1）得，△AFD∽△EFA，∴AFFE∴FE＝2AF，FD=1∴DE=FE−FD=3解得AF=4∴BF=AB−AF=2−4即BF的长为23（3）解：如图，设BC＝AD＝1，由（2）中的结论可得AB＝AC＝AE＝DE＝n，由旋转的性质得，AE＝A'E，∠EA'D'＝∠EAD，∵∠EAA'＝∠EA'A，设∠EA'D'＝∠EAD＝α，∵F，A'，D'三点共线，∴∠EA'F+∠EA'D'＝180°，∴∠EA'F＝180°﹣α，∵AE＝DE，∴∠AED＝180°﹣2α，∵△ABC≌△EAD，∴∠BAC＝∠AED＝180°﹣2α，∴∠EAF＝∠BAC+∠EAD＝180°﹣2α+α＝180°﹣α，∴∠EAF＝∠EA'F，∴∠EAF﹣∠EAA'＝∠EA'F﹣∠EA'A，即∠FAA'＝∠FA'A，∴AF＝A'F，∵A'A⊥A'B，∴∠AA'B＝90°∴∠FA'A+∠FBA'＝90°，∠FA'A+∠FA'B＝90°，∴∠FBA'＝∠FA'B，∴BF＝A'F，∴AF=BF=1由（1）得，△AFD∽△EFA，∴AFFE∴FE=nAF=12n2，FD∴DE＝FE﹣FD=12解得n=2∴n的值为2+1【点评】本题考查了三角形综合问题，熟练掌握等腰三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键．

考点卡片1．规律型：图形的变化类图形的变化类的规律题首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．3．函数的表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．4．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．7．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三