2026年中考数学真题知识点专题 圆(一)

年中考数学真题知识点分类汇编之圆（一）一．选择题（共17小题）1．（2026•广东）如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°．则图中阴影部分的面积为（）A．π6 B．π3 C．162．（2026•湖北）如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B＝24°，则∠P的度数是（）A．42° B．48° C．56° D．66°3．（2026•广元）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，连接AF，若AC＝5，AF=1322A．322 B．22 C．5−4．（2026•吉林）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，连接BP．若∠BAC＝60°，则∠ABP的度数可能为（）A．20° B．35° C．45° D．60°5．（2026•河北）如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在AC上．若∠CBO＝n°，则∠ADC＝（）A．90°+n° B．180°﹣n° C．195°﹣n° D．2n°6．（2026•宜宾）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC．若△AOC为等边三角形，则∠ABC的度数是（）A．20° B．30° C．50° D．60°7．（2026•内江）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°8．（2026•河南）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到AB．若⊙O的半径为9cm，∠APB＝60°，则小红想要装饰的AB的长为（）A．3πcm B．6πcm C．9πcm D．27πcm9．（2026•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D．若AD＝CD，则tanA的值是（）A．22 B．1 C．2 10．（2026•上海）已知⊙A半径为3，⊙B半径为7，AB＝2，则两圆的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离11．（2026•连云港）如图，扇形OAB，点C在AB上．若∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是（）A．150° B．140° C．130° D．120°12．（2026•扬州）“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（）A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．40πcm13．（2026•甘肃）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BPC＝（）A．95° B．100° C．105° D．110°14．（2026•凉山州）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．π4 B．π2 C．π 15．（2026•云南）如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（）A．10° B．26° C．40° D．52°16．（2026•云南）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（）A．450πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．700πcm217．（2026•南充）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（）A．1 B．3 C．2 D．5二．解答题（共1小题）18．（2026•北京）对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧BC，使得BC所在圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由AB，AC和BC组成的图形为单弧三角形，记作△A−BC，其中BC所在圆的圆心称为△A−在平面直角坐标系xOy中，（1）如图1，点A（﹣2，﹣1），B（﹣3，1），C（1，1）．直接写出△A−BC的弧心的坐标及BC（2）如图2，点D(−23，2)，E(2，0)．当△D−EF的弧心为O（3）已知点M（1，0）．对于平面内的点N，存在点P，Q满足△P−MN和△Q−MN的弧心均为O，△PMN和△QMN都不是钝角三角形，且PQ＝1．记N的横坐标为t，直接写出

2026年中考数学真题知识点分类汇编之圆（一）参考答案与试题解析一．选择题（共17小题）题号1234567891011答案AABACBABBAA题号121314151617答案BBCDAB一．选择题（共17小题）1．（2026•广东）如图，⊙O的半径为1，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝30°．则图中阴影部分的面积为（）A．π6 B．π3 C．16【考点】扇形面积的计算；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；运算能力．【答案】A【分析】根据圆周角定理得到∠AOB的度数，再根据扇形面积公式即可计算出阴影部分的面积．【解答】解：∵∠ACB＝30°．∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，∵⊙O的半径为1，∴图中阴影部分的面积为60π×1故选：A．【点评】本题考查扇形面积公式、圆周角定理，解答本题的关键是明确扇形面积计算公式．2．（2026•湖北）如图，PA与⊙O相切于点A，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AB．若∠B＝24°，则∠P的度数是（）A．42° B．48° C．56° D．66°【考点】切线的性质；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】连接OA，由PA与⊙O相切于点A，得∠OAP＝90°，由∠B＝24°，根据圆周角定理得∠AOP＝2∠B＝48°，则∠P＝90°﹣∠AOP＝42°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OA，∵PA与⊙O相切于点A，∴PA⊥OA，∴∠OAP＝90°，∵连接PO并延长交⊙O于点B，且∠B＝24°，∴∠AOP＝2∠B＝48°，∴∠P＝90°﹣∠AOP＝42°，故选：A．【点评】此题重点考查切线的性质、圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．3．（2026•广元）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，连接AF，若AC＝5，AF=1322A．322 B．22 C．5−【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接AE、BE、BF，由AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，得∠ACB＝∠AFB＝90°，CF平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF＝45°，推导出∠ABF＝∠BAF，则BF＝AF=1322，求得AB=2AF＝13，因为AC＝5，所以BC=AB2−AC2=12，作EH⊥AB于点H，EL⊥BC于点L，EI⊥AC于点I，则EH＝IL＝EI，由12×13EL+12×12EL+12×5EI=1【解答】解：连接AE、BE、BF，∵AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，点E为△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点F，∴∠ACB＝∠AFB＝90°，CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF=12∠∵∠ACF＝∠ABF，∠BCF＝∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF，∴BF＝AF=13∴AB=BF2∵AC＝5，∴BC=A作EH⊥AB于点H，EL⊥BC于点L，EI⊥AC于点I，则EH＝IL＝EI，∵S△ABE+S△BCE+S△ACE＝S△ABC，∴12×13EL+12×12EL∴EL＝2，∵∠ELC＝90°，∠LCE＝45°，∴∠LEC＝∠LCE＝45°，∴CL＝EL＝2，∴CE=CL2故选：B．【点评】此题重点考查圆周角定理、三角形的内切圆与内心、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键．4．（2026•吉林）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，连接BP．若∠BAC＝60°，则∠ABP的度数可能为（）A．20° B．35° C．45° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】由AB是⊙O的直径，得∠C＝90°，因为∠BAC＝60°，所以∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，由点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，可知0°＜∠ABP＜30°，所以∠ABP的度数可能为20°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝30°，∵点P为边AC上不与点A，C重合的任意一点，∴0°＜∠ABP＜∠ABC，∴0°＜∠ABP＜30°，∴∠ABP的度数可能为20°，但不可能为35°或45°或60°，故选：A．【点评】此题重点考查直径所对的圆周角是直角、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得∠ABC＝30°，进而推导同0°＜∠ABP＜30°是解题的关键．5．（2026•河北）如图，在⊙O中，ACB所对的圆心角为150°，点D在AC上．若∠CBO＝n°，则∠ADC＝（）A．90°+n° B．180°﹣n° C．195°﹣n° D．2n°【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】C【分析】如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，首先利用等边对等角得到∠OCB＝∠CBO＝n°，然后利用三角形内角和定理求出∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝180°﹣2n°，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可．【解答】解：如图，连接CO并延长交⊙O于点E，连接AE，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO＝n°，∴∠BOC＝180°﹣∠B﹣∠OCB＝180°﹣2n°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝150°﹣（180°﹣2n°）＝2n°﹣30°，∴∠E=1∵∠ADC＝180°﹣∠E＝180°﹣（n°﹣15°）＝195°﹣n°，故选：C．【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握其相关知识点是解题的关键．6．（2026•宜宾）如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OC．若△AOC为等边三角形，则∠ABC的度数是（）A．20° B．30° C．50° D．60°【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质；圆周角定理．【专题】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据等边三角形的性质得到∠AOC的度数，再由圆周角定理即可得到∠ABC的度数．【解答】解：∵△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∵AC=∴若△AOC为等边三角形，则∠ABC=1故选：B．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．7．（2026•内江）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点（点P不与点C重合），则∠CPD的度数为（）A．36° B．45° C．60° D．72°【考点】正多边形和圆；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】A【分析】求出正五边形中心角∠COD的度数，再根据圆周角定理进行计算即可．【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴∠COD=360°∴∠CPD=12∠故选：A．【点评】本题考查正多边形和圆，圆周角定理，掌握正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的关键．8．（2026•河南）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心O，她过扇柄端点P作PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，得到AB．若⊙O的半径为9cm，∠APB＝60°，则小红想要装饰的AB的长为（）A．3πcm B．6πcm C．9πcm D．27πcm【考点】切线的性质；弧长的计算；垂径定理；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】连接OA、OB，由PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，推导出∠PAO＝∠PBO＝90°，因为∠APB＝60°，所以90°+∠AOB+90°+60°＝360°，求得∠AOB＝120°，而⊙O的半径为9cm，即可根据弧长公式求得lAB=6π【解答】解：连接OA、OB，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∴PA⊥OA，PB⊥OB，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，∵∠PAO+∠AOB+∠PBO+∠APB＝360°，且∠APB＝60°，∴90°+∠AOB+90°+60°＝360°，∴∠AOB＝120°，∵⊙O的半径为9cm，∴lAB=120π×9180=∴小红想要装饰的AB的长为6πcm，故选：B．【点评】此题重点考查切线的性质、四边形的内角和等于360°、弧长公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．9．（2026•福建）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D．若AD＝CD，则tanA的值是（）A．22 B．1 C．2 【考点】切线的性质；解直角三角形；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】连接BD，根据切线的性质得出∠ABC＝90°，再由直角三角形斜边中线的性质确定AD＝BD＝CD，利用圆周角定理得出∠ADB＝90°，得出∠A＝∠ABD＝45°，再由正切函数即可求解．【解答】解：连接BD，如图所示：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC＝90°，∵AD＝CD，∴点D为AC的中点，∴AD＝BD＝CD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＝∠ABD＝45°，∴tanA＝1，故选：B．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（2026•上海）已知⊙A半径为3，⊙B半径为7，AB＝2，则两圆的位置关系是（）A．内含 B．相交 C．相切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【答案】A【分析】根据d＜R﹣r判断出两圆的位置关系是内含．【解答】解：∵R＝7，r＝3，d＝2，∴d＜R﹣r，∴两圆内含．故选：A．【点评】本题考查两圆的位置关系，解题的关键是掌握相关知识解决问题．11．（2026•连云港）如图，扇形OAB，点C在AB上．若∠AOB＝60°，则∠ACB的度数是（）A．150° B．140° C．130° D．120°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】A【分析】连接OC，则OA＝OC＝OB，根据等边对等角与三角形内角和定理得到∠ACO=90°−12∠AOC，∠BCO=90°−12∠BOC，根据∠ACB＝∠【解答】解：连接OC，则OA＝OC＝OB，∴∠ACO=∠OAC=1∠BCO=∠OBC=1∴∠ACB＝∠ACO+∠BCO＝90°﹣AOC+90°﹣2∠BOC＝180°﹣2（∠AOC+∠BOC）=180°−1故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键．12．（2026•扬州）“拧拉”是一种常用的乒乓球发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为20cm，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为90°，小明手腕的运动路线长为（）A．5πcm B．10πcm C．20πcm D．40πcm【考点】弧长的计算．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】B【分析】根据题意确定圆的半径和圆心角，利用弧长公式l=nπr【解答】解：根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧，∵半径r＝20cm，圆心角n＝90°，∴手腕的运动路线长：l=nπr故选：B．【点评】本题主要考查了弧长的计算，掌握其相关知识点是解题的关键．13．（2026•甘肃）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，AB与CD交于点P．若∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BPC＝（）A．95° B．100° C．105° D．110°【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BDC，∠DBC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DCB，再根据三角形内角和定理计算即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝50°，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，由圆周角定理得：∠BDC＝∠BAC＝70°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠DCB＝90°﹣70°＝20°，∴∠BPC＝180°﹣∠ABC﹣∠DCB＝180°﹣60°﹣20°＝100°，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形肉角和定理是解题的关键．14．（2026•凉山州）如图，⊙A，⊙B，⊙C，⊙D两两不相交，且半径都是1，则图中四个扇形（即阴影部分）的面积之和为（）A．π4 B．π2 C．π 【考点】相交两圆的性质；扇形面积的计算．【专题】圆的有关概念及性质．【答案】C【分析】观察图形可知，四个阴影扇形的圆心角之和即为四边形ABCD的内角和，利用四边形内角和为360°及扇形面积公式即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∴四个扇形的圆心角之和为360°，∵四个圆的半径都是1，∴四个扇形的面积之和=360⋅π⋅故选：C．【点评】本题主要考查了相交两圆的性质，扇形面积的计算，掌握其相关知识点是解题的关键．15．（2026•云南）如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上．若∠ACB＝26°，则∠AOB＝（）A．10° B．26° C．40° D．52°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】由AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，且∠ACB＝26°，根据圆周角定理得∠AOB＝2∠ACB＝52°，于是得到问题的答案．【解答】解：∵AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，∴∠ACB=12∠∵∠ACB＝26°，∴∠AOB＝2∠ACB＝52°，故选：D．【点评】此题重点考查圆周角定理，推导出∠ACB=12∠16．（2026•云南）某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长30cm，侧面展开图是圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的侧面积为（）A．450πcm2 B．500πcm2 C．600πcm2 D．700πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】与圆有关的计算；空间观念．【答案】A【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据扇形的面积公式可计算出这个圆锥的侧面积．【解答】解：根据题意得这个圆锥的侧面积=180×π×302360=450故选：A．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17．（2026•南充）如图，AB为⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，OB＝CD＝2，则OE长为（）A．1 B．3 C．2 D．5【考点】垂径定理；勾股定理．【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】由垂径定理、推出CE=12CD＝1，由勾股定理得到OE【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴CE=12CD∵OC＝OB＝2，∴OE=O故选：B．【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到CE=12CD，由勾股定理求出二．解答题（共1小题）18．（2026•北京）对于不共线的三点A，B，C，连接AB，AC，并作劣弧BC，使得BC所在圆的圆心在过点A且与BC平行的直线上，称由AB，AC和BC组成的图形为单弧三角形，记作△A−BC，其中BC所在圆的圆心称为△A−在平面直角坐标系xOy中，（1）如图1，点A（﹣2，﹣1），B（﹣3，1），C（1，1）．直接写出△A−BC的弧心的坐标及BC（2）如图2，点D(−23，2)，E(2，0)．当△D−EF的弧心为O（3）已知点M（1，0）．对于平面内的点N，存在点P，Q满足△P−MN和△Q−MN的弧心均为O，△PMN和△QMN都不是钝角三角形，且PQ＝1．记N的横坐标为t，直接写出【考点】圆的综合题．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）（﹣1，﹣1），2π（2）点F的坐标为(−1，3（3）−1【分析】（1）先根据B、C两点坐标求出BC的垂直平分线，再结合“过点A且与BC平行”的条件进而得到弧心坐标，最后计算半径与圆心角，代入弧长公式即可；（2）先根据平行线的性质得出直线EF与OD的一次项系数相等，利用待定系数法代入点E坐标求出直线EF的一次函数解析式；再根据同圆半径相等得到OF＝OE，结合勾股定理列出坐标方程，联立直线解析式求解并舍去已知点E对应的解，即可得到点F的坐标；（3）先利用同圆半径相等和勾股定理求出MN的长度，再通过作垂线构造矩形得到∠M、∠N为非钝角的有效线段长度；再分t≥0和t＜0两种情况，结合勾股定理逆定理判断∠P是否为钝角，根据PQ＝1的条件列不等式求解；最后合并两种情况的取值范围即可．【解答】解：（1）由题意可知：弧心在过点A且与BC平行的直线上，且弧心是BC所在圆的圆心，∴弧心到B、C距离相等，即在BC的垂直平分线上，∵B（﹣3，1），C（1，1），BC为水平线段（平行于x轴），∴过A（﹣2，﹣1）且平行于BC的直线为水平线：y＝﹣1，∴BC中点为（﹣1，1），其垂直平分线为竖直线：x＝﹣1，∴两直线交点即为弧心，坐标为（﹣1，﹣1），∵弧心到B、C距离相等，∴半径r为弧心到点B的距离：r=(−1+3∵B（﹣3，1），C（1，1），∴BC＝4，∴B、C与弧心构成直角三角形，∴圆心角为90°，∴BC⌢的长=（2）设直线OD的解析式为y＝kx+b，将D(−23，2)，O（0，0）代入得：解得：k=−3∴直线OD的解析式为y=−3∵EF∥OD，∴直线EF的解析式为y=−3∵E（2，0），∴直线EF的解析式为y=−3∵ΔD−EF的弧心为O∴OF＝OE＝2，设点F坐标为（x，y），过点F作FH⊥x轴于点H，∴OH2+FH2＝OF2，∴x2+y2＝22＝4，∵y=−3∴x2解得：x1＝2（与点E重合，舍去），x2＝﹣1，将x＝﹣1代入y=−33x+故F的坐标为(−1，3（3）弧心为O，故OM＝ON＝1，即N在单位圆上，设点N的坐标为（t，n），根据勾股定理可得t2+n2＝r2＝1，过点M、N分别作坐标轴平行线，得：MN2＝（1﹣t）2+n2，代入t2+n2＝1，得MN=2−2t由题意可得已知直线PQ过原点O，且PQ∥MN，分别过点M、N作MN的垂线，交直线PQ于P1，P2两点，当点P在线段P1P2上时，∠PMN、∠PNM均为直角或锐角（非钝角）；若P在P1左侧或P2右侧，对应角为钝角；由PQ∥MN、MP1⊥MN/NP2⊥MN，可判定四边形MP1P2N是矩形，根据矩形对边相等得：P1情况1：当t≥0时，当P与原点O重合时，OM＝ON＝1，代入得：MN2＝2﹣2t≤2＝OM2+ON2，此时∠MON为非钝角，因此整条线段P1P2都满足三角形非钝角的要求，有效区域长度为2−2t，要存在PQ＝1，需有效长度2−2t≥1解得t≤1结合t≥0得0≤t≤1情况2：当t＜0时，当P与原点O重合时，MN2＝2﹣2t＞2＝OM2+ON2，因此直线PQ上，原点附近一段区域会使∠MPN为钝角，设MN中点为O'，∴O'(1+t2，n2∵n2＝1﹣t2＝（1﹣t）（1+t），∴圆心到直线PQ的距离d的平方1+t2∴L=2r要存在PQ＝1，需钝角区域宽度2−t解得t≥−1结合t＜0得−1合并两种情况，得t的取值范围为−1【点评】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，分类讨论等，掌握综合知识是解题的关键．

考点卡片1．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．2．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2−b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．3．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．4．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．5．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．6．三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）概念说明：①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．7．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题．8．三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．9．圆与圆的位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点