代数选论期末试卷题目与答案展示

代数选论期末试卷题目与答案展示考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、单项选择题（每题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意）1.设G是一个群，a,b∈G，若(ab)^2=a^2b^2，则necessarilya与b的关系是(A)a=b(B)a=b^(-1)(C)a=b^(-1)或a=b(D)ab=ba2.设G是有限群，|G|=n。若a∈G，则a^n=e（e为G的单位元）necessarily成立的充分必要条件是(A)a是G的单位元(B)a的阶|a|整除n(C)a的阶|a|是n的因子(D)a的阶|a|是n的倍数3.设R是一个有单位元的环，I和J是R的两个理想，则I∩J也是R的一个理想。这个结论(A)仅当R是整环时成立(B)仅当R是域时成立(C)总是成立(D)仅当I和J是主理想时成立4.设R是一个交换环，I是R的一个理想。则商环R/I的零理想是(A){0}(B)I(C){0,1}(D)R/I5.下列结构中，哪一个不是群？(A)实数集R在加法运算下(B)非零有理数集Q*在乘法运算下(C)n阶可逆矩阵集合在矩阵乘法下（n≥2）(D)平面上的全体旋转运算在运算“组合”下6.设G是一个群，H和K是G的两个子群。则H∩K也是G的一个子群。这个结论(A)仅当G是交换群时成立(B)总是成立(C)仅当H或K是G的正规子群时成立(D)仅当H和K是正规子群时成立7.设R=Z[i]，即全体形如a+bi（a,b∈Z）的复数构成的集合，其中i是虚数单位，满足i^2=-1。则R在通常的加法和乘法下构成一个环，且其理想(2,1+i)等价于Z中的哪个理想？(A)(0)(B)(1)(C)(2)(D)(1,2)8.有限域F_p（p为素数）的阶是(A)p(B)2p(C)p^2(D)p!9.设F是一个域，f(x)=x^3-2∈F[x]。若F的特征不为2，则f(x)在F上(A)有一个F中的根(B)没有根(C)可分解为两个一次因式的乘积(D)可分解为一个一次和一个二次因式的乘积10.设G是一个群，H是G的一个子群，c∈G。则cHc^(-1)也是G的一个子群。这个结论(A)仅当H是正规子群时成立(B)仅当c=e时成立(C)总是成立(D)仅当G是交换群时成立二、多项选择题（每题4分，共20分。每小题有多个选项符合题意，全部选对得满分，选对但不全得部分分，有错选或漏选不得分）1.设R是一个环，a,b,c∈R。则下列运算律中，哪些一定是环运算满足的？(A)(a-b)c=ac-bc(B)a(bc)=(ab)c(C)a(b-c)=ab-ac(D)(a+b)c=ac+bc2.设G是一个群，a∈G。则a的阶|a|满足(A)|a|≥1(B)a^{|a|}=e(C)|a|是使a^n=e成立的最小正整数n(D)|a|=|G|3.设R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想。则R/I也是一个交换环。这个结论(A)总是成立(B)仅当I是R的极大理想时成立(C)仅当I是R的素理想时成立(D)仅当R是域时成立4.下列陈述中，哪些是正确的？(A)每个群都有唯一的单位元。(B)群G的任意两个子群的交仍是G的子群。(C)环R的任意两个理想的和仍是R的理想。(D)域一定是整环。5.设F=GF(5)是模5的有限域。下列元素中，哪些是F中的本原元（即其阶等于|F|=4）？(A)2(B)3(C)4(D)1三、填空题（每空3分，共30分）1.设G是一个阶为12的循环群，记作Z_12。若a是G的一个生成元，则a^5的阶是________。2.设R=Z_6，即模6的整数加法群，同时考虑其上的乘法运算（注意乘法运算可能不封闭）。则R在此乘法下________（填“是”或“不是”）一个环。3.设R是一个有单位元的环，a,b∈R，若ab=0且a≠0，则称a是R的一个左零因子。若R是一个有单位元的交换环，且R中没有左零因子，则称R是一个左无零因子环。此时，R中的任何非零元a必满足________。4.设G是一个群，H是G的一个子群，|G|=60，|H|=15。则H在G中的指数是________，且H的所有左（或右）陪集的集合构成一个________（填“群”、“交换群”或“半群”）。5.设R是一个整环，a,b∈R，且ab=0。若a≠0，则b________（填“一定”或“不一定”）等于0。6.设F是一个域，f(x)=x^2-2∈F[x]。若F的特征为0，则f(x)在F上________（填“有”或“没有”）根。7.设F_p是模p的有限域（p为素数），其阶为p^n。则F_p中的非零元构成的乘法群F_p*是一个________（填“循环群”或“非循环群”），其阶为________。8.设G是一个群，a∈G，|a|=6。则a^3的阶是________，a^(-1)的阶是________。9.设R=Z[i]，即全体形如a+bi（a,b∈Z）的复数构成的环，其中i^2=-1。则R中的理想(3,2i)包含的元素形式为________，其中k,m∈Z。10.设G是一个群，c∈G。若对于任意a∈G，都有cac^(-1)=a，则称c是G的一个正规元。若c是G的一个正规元，则cHc^(-1)=H对于G的任意子群H________（填“都成立”或“不一定成立”）。四、解答题（共20分）1.（10分）设G是一个群，a,b∈G满足a^2=b^2=e（e为单位元），且aba=b^(-1)。证明a=b。2.（10分）设R是一个有单位元的交换环，I和J是R的两个理想，且I⊆J。证明I是J的一个理想。五、证明题（共20分）1.（10分）设F是一个域，f(x)=x^n+a_nx^{n-1}+...+a_1x+a_0∈F[x]，其中a_0∈F。证明f(x)在F上有根的充分必要条件是a_0=0（假设n≥1）。2.（10分）设G是一个群，H是G的一个子群。证明H是G的正规子群当且仅当对于任意g∈G和h∈H，都有ghg^(-1)∈H。试卷答案一、单项选择题1.(C)2.(B)3.(C)4.(B)5.(C)6.(B)7.(C)8.(A)9.(A)10.(A)二、多项选择题1.(A,B,C,D)2.(A,B,C)3.(A)4.(A,B,D)5.(A,B,C)三、填空题1.22.不是3.是零因子4.4,交换群5.一定6.有7.循环群,p^n-18.2,39.k+2mi(k,m∈Z)10.都成立四、解答题1.证明：由题意，aba=b^(-1)。两边同时右乘b，得abab=b^(-1)b，即aabb=e。因为b^2=e，所以aabb=ae=a。另一方面，abab=b^(-1)b=e，所以aba=e。现在有a=abab=eb=b。因此a=b。2.证明：因为I和J都是R的理想，且I⊆J，所以对于任意r∈R和i∈I，有ri∈J（因为i∈J，且J是理想）。这说明I⊆J。又因为J也是R的理想，所以对于任意r∈R和i∈I，有ri∈J。这说明J⊆I。因此I=J。既然I=J，且J是理想，所以I也是J的理想。五、证明题1.证明：必要性。若f(x)在F上有根α，则f(α)=α^n+a_nα^{n-1}+...+a_1α+a_0=0。将α替换为0，得f(0)=0^n+a_n0^{n-1}+...+a_10+a_0=a_0。因此a_0=0。充分性。若a_0=0，则f(x)=x^n+a_nx^{n-1}+...+a_1x。令g(x)=x(x^{n-1}+a_nx^{n-2}+...+a_1)。则f(x)=g(x)(x^{n-1}+a_nx^{n-2}+...+a_